【经典】建模-数学建模中的数值方法
数模中的数值解法
∴ ,2 为有根区间 1 解：∵ f (1) 9 0, f (2) 8 0
1 ln(2 1) ln( 104 ) 4 ln10 2 n 1 13.3 ln 2 ln 2
故 n 14， x14 即为满足精度要求的近似解．
（2）用Taylor多项式近似
y( xn1 ) y( xn h) y( xn ) hy ( xn ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y n1 yn hf ( xn , y n )
§1 Euler方法
1.Euler方法 以差分方程初值问题
则 (a) 0, (b) 0
由 ( x) 满足 Lipschitz 条件可知 ( x) Ca, b
故 ( x) Ca, b 由介值定理 x a, b, 使得 ( x ) 0,
即 x ( x )
（2）唯一性：
假设 x ( x) 在 [a, b] 内有两个根 x* , ~ 则 x
x ( x)
(n 0,1,2, )
x n 1 ( xn )
步骤：取初值 x0，逐次代入上式产生序列 xn ，以 x n 为近似方程
f ( x) 0
的解，称为简单迭代法。
xn x , ( x) 在 x 处连续，则 x 是方程的根，即 结论：若
f ( x ) 0
（2）
f ( x) x 10x 20 0
3
20 f ( x) 0 x 2 x 10
迭代格式:
x n 1
20 2 x n 10
将初值代入得 :
20 x1 2 1.6326531 1.5 10
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
数学建模各类方法归纳总结
数学建模各类方法归纳总结数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对现实世界中的问题进行分析和解决。
随着科技的不断发展和应用需求的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。
本文将对数学建模的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。
一、经典方法1. 贝叶斯统计模型贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。
它通过利用先验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和预测。
贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。
2. 数理统计模型数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。
它通过收集和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法对数据进行推断和预测。
数理统计模型在市场预测、风险评估等领域有着重要的应用。
3. 线性规划模型线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约束条件来描述和解决问题。
线性规划模型在供应链管理、运输优化等领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。
4. 非线性规划模型非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。
非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。
二、进阶方法1. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。
它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。
神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。
2. 遗传算法模型遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。
它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。
遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。
3. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。
它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。
数学建模十大经典算法
数学建模十大经典算法数学建模是将现实问题抽象化成数学问题，并通过数学模型和算法进行解决的过程。
在数学建模中，常用的算法能够帮助我们分析和求解复杂的实际问题。
以下是数学建模中的十大经典算法：1.线性规划算法线性规划是一种用于求解线性约束下的最优解的方法。
经典的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶理论等。
这些算法能够在线性约束下找到目标函数的最大（小）值。
2.整数规划算法整数规划是在线性规划的基础上引入了整数变量的问题。
经典的整数规划算法包括分枝定界法、割平面法和混合整数线性规划法。
这些算法能够在整数约束下找到目标函数的最优解。
3.动态规划算法动态规划是一种将一个问题分解为更小子问题进行求解的方法。
经典的动态规划算法包括背包问题、最短路径问题和最长公共子序列问题等。
这些算法通过定义递推关系，将问题的解构造出来。
4.图论算法图论是研究图和图相关问题的数学分支。
经典的图论算法包括最小生成树算法、最短路径算法和最大流算法等。
这些算法能够解决网络优化、路径规划和流量分配等问题。
5.聚类算法聚类是将相似的数据点划分为不相交的群体的过程。
经典的聚类算法包括K均值算法、层次聚类算法和密度聚类算法等。
这些算法能够发现数据的内在结构和模式。
6.时间序列分析算法时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。
经典的时间序列分析算法包括平稳性检验、自回归移动平均模型和指数平滑法等。
这些算法能够分析数据中的趋势、周期和季节性。
7.傅里叶变换算法傅里叶变换是将一个函数分解成一系列基础波形的过程。
经典的傅里叶变换算法包括快速傅里叶变换和离散傅里叶变换等。
这些算法能够在频域上对信号进行分析和处理。
8.最优化算法最优化是研究如何找到一个使目标函数取得最大（小）值的方法。
经典的最优化算法包括梯度下降法、共轭梯度法和遗传算法等。
这些算法能够找到问题的最优解。
9.插值和拟合算法插值和拟合是通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
经典的插值算法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。
数学建模中的数值方法
准备工作
第一天晚前的活
查到相关资料是好事吗？
在此情况下,企业需要在销售季节到来之前确定制造 渠道产品的供应数量,即在需求和返回都是随机变量 的情况下进行决策,以使得收入达到最大.进而,分析 再制造渠道对制造渠道的影响。
在此情况下,企业需要做的事情如下：（A）在销售季节开始之前， 用户需求还没有到来时，对部件1和部件2库存的采购数量进行决 策并采购部件；（B）在销售季节开始后，所有的用户向制造商提 交产品订单，然后企业根据已实现的总需求装配成品满足用户， 假设每个成品需要部件1和部件2各1一个.请问：企业应该如何进 行部件1和部件2的采购决策. 进而，分析再制造渠道对制造渠道 的影响。
微分方程数值解法
dx rf ( x) dt x(0) x0
常微分方程
2 2 2 u 2 u 2 u 2 u a b c ku F ( x, y , z , t ) 2 2 2 t x y z u ( x, y , z , 0) 1 ( x, y , z )
论文正文 1、结构安排清晰（要从读者角度看） 一部分开始的简短引言、每部分的名称，包括每 个小问题的名称 2、主要结论突出
可用图、表、定理、命题表达。同时这也使论文 增色
3、不必像摘要那么苛刻，没有语法错误、表达清楚 即可
学校数据库 中文：CNKI、VIP、万方、超星 外文：EBSCO、Elseriver、ProQuest、Springer、EI、 ISI Web of Knowledge
3）大多数制造企业不单制造一种产品，现假设企业生产两 种产品,产品2是产品1的升级换代产品，类似电脑的更新。 每个产品由三个部件组装而成，如下图。部件可以进行分 类,包括：通用部件（属产品1和产品2共用，且可经制造和 再制造两种渠道供应，相应条件类似（1）（2））；特殊 部件（属产品1和产品2所特有）；升级部件（属产品1和产 品2所特有，但当产品1该部件短缺且产品2该部件剩余的情 况，可以用产品2部件替代产品1部件满足需求，用户可接 收该替换，也可不接受，假设是否接受部件产品服从0-1分 布；接受替换的用户需要支付一定的升级费用，不接受的 用户放弃购买该产品）.在此环境下,企业的运作流程类似 （2），“当需求还没有到来时,采购所有部件进行存储,等 待订单到来之后,根据具体的需求信息再进行组装”.请研 究该情况下企业对各个部件的采购决策。进而，分析再制 造渠道和替代行为lar(/)
数学建模中的数值方法
异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：
待估计参数
min
ˆ ( x , y , z )] [u( x , y , z ) u
i 1 i i i i i i
n
2
那现在的问题是： 这样模型的精确解好求吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)
则有
2 2 2 u u u u a 2 2 b2 2 c 2 2 t x y z
如果 G 内存在污染源，则有单位时间内、单位体积内所产生的污染 物质为 F ( x, y, z, t ) ，新增的质量为：
Q3
t t
t
F ( x, y, z, t )dxdydzdt
重金属在土壤中的传播： （1）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性 （慢，相对于空气或液体中），因此，这个题更 多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各 区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时， 主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据； （2）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四 周空间区域扩散，梯次减小。 （3）假设物质是由高浓度区向低浓度区扩散
t t t
u ( x, y, z , t )dxdydz dt G t
扩散是随着时间的一个变化过程，因此微元分析可以取 [t, t t ] ，则在 该时间微元内，流过封闭曲面为 的污染物质质量为
Q2
t t t
2 u 2 u 2 u cos b cos c cos dsdt a x y z
结 果：u = tg(t+c1)
数学建模计算方法
数学建模计算方法数学建模是指运用数学的方法和技巧解决实际问题的过程。
它是数学与其他学科的交叉融合，旨在通过建立数学模型，从而给出该问题的数学描述以及计算方法。
数学建模的计算方法是解决数学模型的关键步骤，下面将详细介绍数学建模的三种常用的计算方法：数值方法、优化方法和模拟方法。
首先，数值方法是通过数值计算来求解数学模型的一种方法。
它的基本思想是将问题转化为数值计算问题，利用离散的数值计算方法得到问题的近似解。
数值方法常用于求解无法用解析方法获得精确解的复杂数学模型。
其中的核心方法包括数值微积分、数值代数、数值逼近等。
数值方法的优点是能够较快地得到近似解，但是由于是近似解，所以其误差会存在一定的范围。
其次，优化方法是一种通过寻找最优解来求解数学模型的方法。
优化方法的目标是在模型的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量。
它的基本思想是将问题转化为一个最优化问题，利用优化理论和算法来求解。
优化方法常用于求解资源配置、作业调度、生产运营等实际问题。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、动态规划等。
优化方法的优点是能够找到最优解，但是对于复杂的问题，求解过程可能较为耗时。
最后，模拟方法是一种通过模拟现实系统的行为来求解数学模型的方法。
模拟方法的基本思想是将问题看作一个系统，通过建立与之对应的数学模型，模拟和观察该系统在不同条件下的行为，从而获得问题的解。
模拟方法常用于求解自然科学、社会科学等领域的问题，如气象预测、交通流模拟等。
常见的模拟方法有蒙特卡洛方法、离散事件仿真等。
模拟方法的优点是能够模拟现实系统的行为，但是对于复杂系统的模拟，需要考虑到各种因素的相互影响，因此模拟精度可能受到一定的限制。
总之，数学建模的计算方法包括数值方法、优化方法和模拟方法。
不同的计算方法适用于不同类型的问题，选择合适的计算方法可以有效地求解数学模型，并得到实际问题的解答。
在实际应用中，常常会结合不同的计算方法，综合运用，以获得更准确、更全面的结果。
数学建模中的数值逼近方法
数学建模中的数值逼近方法在现代化的科学技术中，数学建模已经成为了一个非常重要的手段。
其中，数值逼近方法在数学建模中扮演着重要的角色。
这篇文章将讨论数值逼近在数学建模中的应用和相关方法。
一、数值逼近的定义和基本概念数值逼近是一种近似求解数学问题的方法。
它的主要思想是利用数值计算方法对某个数学问题进行计算，以确定其数值结果。
数值逼近方法具有很强的通用性和实用性，适用于各种不同的数学问题。
在数值逼近中，常用的基本概念有误差、精度、收敛性等。
二、数值逼近在数据建模中的应用数值逼近在数据建模中的应用非常广泛。
在数据建模中，常常需要根据实际数据结果来预测未来趋势或变化。
例如在生物医学领域中，可以根据病人的生理指标、血液检测结果，预测病情变化。
在工程设计方面，可以利用数值逼近方法对机械部件、材料等受力情况进行计算，以确定设计的可行性和实用性。
三、数值逼近涉及的方法1.多项式逼近法多项式逼近法是数值逼近方法中最基本的方法之一。
它的基本原理是通过一些已知数据点的函数值来逼近一个未知函数。
多项式逼近法通常会使用拉格朗日插值多项式或牛顿插值多项式等方法来实现。
2.三次样条插值法三次样条插值法是一种常用的数值逼近方法。
它的基本原理是将一个函数分成几个相邻的曲线段，在各个曲线段内用三次多项式函数来逼近函数。
三次样条插值法可以获得比多项式逼近更加光滑的函数。
3.最小二乘法最小二乘法是一种对误差进行优化的数值逼近方法。
它的基本原理是通过优化各项数据点与实际值的误差平方和，来实现对未知函数的逼近。
最小二乘法通常可以实现对线性方程组、非线性方程组、非线性最小二乘问题等的求解。
四、使用数值逼近方法进行建模的注意事项1.应选择适当的逼近方法，以保证计算效率和精度。
2.需要对数据进行处理，例如去除异常值、平滑数据等。
3.应注意数据量的大小，过大的数据量可能会导致计算量过大或不稳定的问题。
4.在进行数值逼近时，需要对数据的误差进行控制，以保证模型的精度和稳定性。
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考虑三维区域 G ，假设其为均匀的且各向同性。
设点 (x, y, z) 处在时刻 t 的浓度为 u(x, y, z,t) 。
区域 G 内浓度升高增加的污染物质量为
Q1 u(x, y, z,t t) u(x, y, z,t)dV
G
G
t t t
u (x, t
重金属在土壤中的传播：
（1）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性 （慢，相对于空气或液体中），因此，这个题更 多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各 区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时， 主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据；
（2）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四 周空间区域扩散，梯次减小。
于是 Q1 Q2 Q3 Q4 ，则有
u t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x,
y,
z,t)
由于数据没有关于时间，因为我们可以认为释放过程已经达到一个平
衡状态，即不随时间发生变化，则有
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x,
y,
z)
0
如果污染源是点源的话：
t t t
G
a
2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
dxdydzdt
由 Q1 Q2 ，
tt
t
G
u t
(x,
y,
z, t )dxdydz
dt
t t t
G
a2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
dxdydzdt
则有
u a2 2u b2 2u c2 2u
大致建模思路是：
根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系， 找出反映内部机理的规律，建立模型的基本结构。
然后根据该结构，通过给定数据用参数辨识的方 法来确定模型的参数，从而最终确定模型。
步骤：（1）建立基本结构，如是偏微分、还是 常微分是一阶还是二阶；（2）参数辨识，如最 小二乘法
建立模型结构的大致思路：
计算参数的方法：最小二乘法
情况1：如果模型中待求解函数可由所提的数 学模型通过精确理论推导求解（含有未知参 数），则可利用此理论解和给定观测数值，再 借助最小二乘法进行参数计算；
情况2：如果模型中待求解函数无法通过所提 的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获 得模型的近似解（含有未知参数），然后再用 最小二乘法进行参数计算。
例 3 求微分方程组的通解.
dx
dt
2x
3y 3z
dy
dt
4x
5y
3z
dz dt
4x 4y
2z
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z', 'Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')
微分方程模型 建立与求解
如物质流动与扩散问题 膜和弦的振动问题 力学和运动问题 温度分布 病毒传染 种群变化
1、用微分方程建模的大致步骤、思 路及注意点
2、微分方程求解方法概述 3、简单微分方程的matlab解法 4、复杂方程的理论求解方法 5、模型参数辨识及函数拟合问题
微分方程模型是建模中常见的建模方法
结 果：u = tg(t+c1)
例 2 求微分方程的特解.
d2 y
dx2
4
dy dx
29 y
0
y(0) 0, y '(0) 15
解 输入命令:
y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为缺省.
例如，微分方程
d2 y dx2
0
应表达为：D2y=0.
例 1 求 du 1 u2 的通解. dt
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
y,
z,
t
) dt
dxdydz
tt u
t
G
t
(x,
y,
z, t )dxdydz
dt
扩散是随着时间的一个变化过程，因此微元分析可以取[t,t t]，则在
该时间微元内，流过封闭曲面为 的污染物质质量为
Q2
t t t
a
2
u x
cos
b2
u y
cos
c2
u z
cos
dsdt
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x0 ,
y0 ,
z0 )
0
如果污染源是线源的话：
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F
(x,
y,
z0
)
0
可假设边界为第一类边界条件 u 0 。
如果污染源选择准确的话，各点理论值与真实值的偏差都应该比较
小，因此，可以用最小二成法求参数。
异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：
n
min
待估计参数
[u(xi , yi , zi ) uˆ(xi , yi , zi )]2
i 1
那现在的问题是： 这样模型的精确解好求吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)
最小二乘法：
已知数据 u(x1, y1, z1), ,u(xi , yi , zi ), ,u(xn , yn , zn ) 模型求解 uˆ(x1, y1, z1), ,uˆ(xi , yi , zi ), ,uˆ(xn , yn , zn )
如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象
，那也意味着，模型 2
如果 G 内存在污染源，则有单位时间内、单位体积内所产生的污染
物质为 F(x, y, z,t) ，新增的质量为：
t t
Q3 t F (x, y, z,t)dxdydzdt G
考虑过程中自然降解，单位时间的衰减率为 k ，则衰减的质量为：
t t
Q4 t ku(x, y, z,t)dxdydzdt G
结合问题用微积分思想的实现。这个过程在建 模中很多时候不需要自己完全的创新，更多是 需要找到相关的模型做一些改进。（因此，快 查查到相关研究是重要的，平时多积累查找文 献资料的方法）
注意：需要针对问题修改模型。这是建模中最 关键的一步，注意要有针对问题的结合分析， 为什么用这个模型及为什么要做修改，对模型 的借用方式应该是随内容的分析展开而自然的 引入，不应该是没有分析强行拷贝。