2010年全国高考数学试题及答案(文)(全国卷Ⅱ)

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类）（全国卷Ⅱ）

第Ⅰ卷 （选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 (+)()+()P A B P A P B = S=4πR

2

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B ?=? 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34

V R 3

π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

P ()(1)(0,1,2,,)k k

n k n n k C p p k n -=-=

一、选择题

（1）设全集{}

*

U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B = e（ ）

（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式

3

02

x x -<+的解集为（ ） （Ａ）{}

23x x -<< （Ｂ）{}

2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}

3x x > （3）已知2

sin 3

α=

，则cos(2)πα-=

(A) 19- (C) 19（4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是

(A) 1

1(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+> (C) 1

1(R)x y e

x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈

(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??

≥??+≤?

，则2z x y =+的最大值为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =

(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则

（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-

（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，

SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 （A

）

4 （B

）4（C

）4

（D ） 34

（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中

标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种

（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则

CD =

（A ）1

233a b +

（B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355

a b + （11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱

AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个

（12）已知椭圆C ：22x a +22b y =1(0)a b >>的离心率为2

3

，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）

的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 （13）已知α是第二象限的角，1

tan 2

α=

，则cos α=___________. (14) 9

1()x x

+的展开式中3

x 的系数是__________

(15) 已知抛物线2C 2(0)y px p =>：的准线为l ，过M(1,0)且斜

率为l 相交

于点A,与C 的一个交点为B,若，AM MB =

，则p 等于_________.

（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆Ｍ与圆N 的公共弦，AB=4，

若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,5sin 13B = ,3

cos 5

ADC ∠=.求AD.

（18）（本小题满分12分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且

1212

11

2(

)a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++.

(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2

1()n n n

b a a =+

,求数列{}n b 的前n 项和n T .

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.

（21）（本小题满分12分）

已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.

（22）（本小题满分12分）

已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>相交于B 、D 两点，且BD

的中点为M(1,3). （Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，DF BF =17?，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.

2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案（文史类）（全国卷Ⅱ）

一、选择题

1. C

2. A

3. B

4. D

5. C

6. C

7. A

8. D

9. B 10. B 11. D 12. B 二、填空题

13. 5

-

14. 84 15. 2 16. 3 三、解答题 （17）解：

由3cos 052ADC B π∠=

><知 由已知得124cos ,sin 135

B AD

C =∠=， 从而 sin sin()BA

D ADC B ∠=∠-

=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠

41235

513513=??? 33

65

=.

由正弦定理得

AD sin sin BD

B BAD =∠, 所以sin AD sin BD B

BAD

?=∠

53313=

=253365

?

. （18）解：

（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有

11112341

11234111112,

11164.

a a q a a q a q a q a q a q a q a q ???+=+? ????

?

???++=++ ?????

化简得2

1261264.

a q a q ?=??=??，

又10a >，故12,1q a == 所以 12n n a -=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2

21

21

1112424n n n n n n n b a a a a --??=+=++=++ ??

? 因此

()()1111

111411414...41 (224421)

14

441314

n

n n n n n n T n n n ----

-??=++++++++=++=-++ ?-??-

（19）解法一：

（Ⅰ）连结1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F.因为面11AA BB 为

正方形，故11A B AB ⊥，且1AF=FB .又1AE=3EB ，所以1FE=EB ，又

D

为1BB 的中点，故

1DE BF DE AB ⊥∥，.

作CG AB ⊥,G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点. 又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥11AA B B .

连结DG ，则1DG AB ∥，故DE DG ⊥,由三垂线定理，得DE CD ⊥. 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.

（Ⅱ）因为1DG AB ∥，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，CDG=45∠

.

设AB=2

，则1AB =

作111B H A C ⊥,H 为垂足，因为底面11111A B C AAC C ⊥面,故111B H AAC C ⊥面， 又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连结1B K ,由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角

111B H ==

13

HC ==

1111AA HC AC HK AC ?===

=

11tan B H

B KH HK

∠=

=所以二面角111A AC B --

的大小为解法二：

（Ⅰ）以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.

设AB=2，则A （2,0,0,），1B (0,2,0)，D （0,1,0），13

E(

,,0)22

， 又设C （1,0,c ）,则()()111DE 0B A=2,-2,0,DC=1,-1,c 22??= ???

，，，.

于是1DE B A=0,DE DC=0

.

故1DE B A DE DC ⊥⊥，,

所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.

（Ⅱ）因为1,B A DC <>

等于异面直线1AB 与CD 的

夹角，

故 11cos 45B A DC B A DC =

，

即

42

=， 解得

c =

AC (,2=

-1，

又11AA =BB =(0,2,0)

，

所以11AC =AC+AA =(1,2-

，

设平面11AAC 的法向量为(,,)m x y z =，

则110,0m AC m AA ==

即2020x y y -+==且

令x =

1,0z y ==，故m =

令平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r =

则110,0n AC n B A == ，即20,220p q p q -+=-=

令p ，则1q r =-，故1)n = 所以 cos ,

m n m n m n <>=

=

. 由于,m n <>等于二面角111A -AC -B 的平面角，

所以二面角111A -AC -B 的大小为arccos 15

. （20）解：

记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =

A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，

B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， （Ⅰ）123123A A A A A A A = ，，，相互独立，

3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===-

, 又 P()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故 3

(1)0.0010.9p p -==，， （Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A = ， 44134123P(B)P(A +A A A +A A A A )=

44134123P(A )+P(A A A )+P(A A A A )=

44134123P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891 （21）解：

（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(22f x x x x f x x x '=-++=--

当(,2x ∈-∞时()0,()f x f x '>在(,2-∞单调增加；

当(2x ∈时()0,()f x f x '<在(2单调减少；

当(2)x ∈+∞时()0,()f x f x '>在(2)+∞单调增加；

综上所述，()f x 的单调递增区间是(,2-∞和(2)+∞，

()f x 的单调递减区间是(2

（Ⅱ）22()3[()1]f x x a a '=-++，

当2

10a -≥时，()0,()f x f x '≥为增函数，故()f x 无极值点； 当210a -<时，()0f x '=有两个根

12x a x a ==+

由题意知，23,23a a <<<或 ①式无解，②式的解为

55

43

a <<， 因此a 的取值范围是5543?? ???

，. （22）解：

（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+，

代入C 的方程，并化简，得2

2

2

2

2

22

()440b a x a x a a b ----=， 设 1122B(,)(,)x y D x y 、，

则2222

12122222

44,a a a b x x x x b a b a ++==--- ①

由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2

22

1412a b a

?=- 即2

2

3b a =， ②

故2c a == 所以C 的离心率2c

e a

=

= （Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=，

2

121243(,0),(2,0),2,02

a A a F a x x x x ++==<

故不妨设12,x a x a ≤-≥，

1BF 2a x ==-，

2FD 2x a ==-，

22121212BF FD (2)(2)=42()548a x x a x x a x x a a a =---++-=++ .

又 BF FD 17= ，

故 2

54817a a ++=， 解得1a =，或9

5

a =-

（舍去），

故12BD 6x -=

=，

连结MA ，则由A (1,0)，

M(1,3)知MA 3=，从而M A =M B =M D ,且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的

圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.