2010年全国高考数学试题及答案(文)(全国卷Ⅱ)

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（全国卷Ⅱ）第Ⅰ卷 （选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 (+)()+()P A B P A P B = S=4πR2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34V R 3π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n k C p p k n -=-=一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B = ð（ ）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式302x x -<+的解集为（ ） （Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}3x x > （3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=(A) 19- (C) 19（4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是(A) 11(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+> (C) 11(R)x y ex +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 （A）4 （B）4（C）4（D ） 34（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =（A ）1233a b +（B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆C ：22x a +22b y =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）已知α是第二象限的角，1tan 2α=，则cos α=___________. (14) 91()x x+的展开式中3x 的系数是__________(15) 已知抛物线2C 2(0)y px p =>：的准线为l ，过M(1,0)且斜率为l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若，AM MB =，则p 等于_________.（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆Ｍ与圆N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,5sin 13B = ,3cos 5ADC ∠=.求AD.（18）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++.(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n nb a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.（20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.（21）（本小题满分12分）已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B 、D 两点，且BD的中点为M(1,3). （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，DF BF =17∙，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案（文史类）（全国卷Ⅱ）一、选择题1. C2. A3. B4. D5. C6. C7. A8. D9. B 10. B 11. D 12. B 二、填空题13. 5-14. 84 15. 2 16. 3 三、解答题 （17）解：由3cos 052ADC B π∠=><知 由已知得124cos ,sin 135B ADC =∠=， 从而 sin sin()BAD ADC B ∠=∠-=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠41235513513=⨯⨯⨯ 3365=.由正弦定理得AD sin sin BDB BAD =∠, 所以sin AD sin BD BBAD∙=∠53313==253365⨯. （18）解：（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得21261264.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又10a >，故12,1q a == 所以 12n n a -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 因此()()1111111411414...41 (224421)14441314nn n n n n n T n n n -----⎛⎫=++++++++=++=-++ ⎪-⎝⎭-（19）解法一：（Ⅰ）连结1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F.因为面11AA BB 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF=FB .又1AE=3EB ，所以1FE=EB ，又D为1BB 的中点，故1DE BF DE AB ⊥∥，.作CG AB ⊥,G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点. 又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥11AA B B .连结DG ，则1DG AB ∥，故DE DG ⊥,由三垂线定理，得DE CD ⊥. 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1DG AB ∥，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，CDG=45∠.设AB=2，则1AB =作111B H A C ⊥,H 为垂足，因为底面11111A B C AAC C ⊥面,故111B H AAC C ⊥面， 又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连结1B K ,由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角111B H ==13HC ==1111AA HC AC HK AC ⨯====11tan B HB KH HK∠==所以二面角111A AC B --的大小为解法二：（Ⅰ）以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设AB=2，则A （2,0,0,），1B (0,2,0)，D （0,1,0），13E(,,0)22， 又设C （1,0,c ）,则()()111DE 0B A=2,-2,0,DC=1,-1,c 22⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，.于是1DE B A=0,DE DC=0.故1DE B A DE DC ⊥⊥，,所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.（Ⅱ）因为1,B A DC <>等于异面直线1AB 与CD 的夹角，故 11cos 45B A DC B A DC =，即42=， 解得c =AC (,2=-1，又11AA =BB =(0,2,0)，所以11AC =AC+AA =(1,2-，设平面11AAC 的法向量为(,,)m x y z =，则110,0m AC m AA ==即2020x y y -+==且令x =1,0z y ==，故m =令平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r =则110,0n AC n B A == ，即20,220p q p q -+=-=令p ，则1q r =-，故1)n = 所以 cos ,m n m n m n <>==. 由于,m n <>等于二面角111A -AC -B 的平面角，所以二面角111A -AC -B 的大小为arccos 15. （20）解：记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过， （Ⅰ）123123A A A A A A A = ，，，相互独立，3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===-, 又 P()1P(A)=10.9990.001A =--=， 故 3(1)0.0010.9p p -==，， （Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A = ， 44134123P(B)P(A +A A A +A A A A )=44134123P(A )+P(A A A )+P(A A A A )=44134123P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891 （21）解：（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(22f x x x x f x x x '=-++=--当(,2x ∈-∞时()0,()f x f x '>在(,2-∞单调增加；当(2x ∈时()0,()f x f x '<在(2单调减少；当(2)x ∈+∞时()0,()f x f x '>在(2)+∞单调增加；综上所述，()f x 的单调递增区间是(,2-∞和(2)+∞，()f x 的单调递减区间是(2（Ⅱ）22()3[()1]f x x a a '=-++，当210a -≥时，()0,()f x f x '≥为增函数，故()f x 无极值点； 当210a -<时，()0f x '=有两个根12x a x a ==+由题意知，23,23a a <<<或 ①式无解，②式的解为5543a <<， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （22）解：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=， 设 1122B(,)(,)x y D x y 、，- 11 - 则22221212222244,a a a b x x x x b a b a ++==--- ① 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a⨯=- 即223b a =， ②故2c a ==所以C 的离心率2c e a== （Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=，2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==< 故不妨设12,x a x a ≤-≥，1BF 2a x ==-，2FD 2x a ==-，22121212BF FD (2)(2)=42()548a x x a x x a x x a a a =---++-=++ . 又 BF FD 17= ，故 254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故12BD 6x -==， 连结MA ，则由A (1,0)，M(1,3)知MA 3=，从而M A =M B =M D ,且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。