2015—2016年北京丰台高三上学期期末理科数学试题及答案.
2015-2016年北京市丰台区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数（1+i） （1+ai）是实数，则实数 a 等于（ A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ） ）
2． （5 分）x2＞0 是 x＞0 的（
3． （5 分）已知数列{an}中， 列的第 2016 项，则判断框内的条件是（ ）
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（θ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的
5． （5 分）函数 A． B．
）
6． （5 分）若
，则 a，b，c 的大小关系
是（
）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c 7． （5 分）若 F（c，0）为椭圆 C： 线 A． 的右焦点，椭圆 C 与直 ）
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，
（Ⅲ）该创业园区的 A 团队有 100 位员工，其中有 30 人是志愿者．若在 A 团队 随机调查 4 人，则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为 P3．试根据（Ⅰ） 、 （Ⅱ） 中的 P1 和 P2 的值，写出 P1，P2，P3 的大小关系（只写结果，不用说明理由） ． 18． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 y=f（x）的极值； （Ⅱ）若存在实数 x0∈（﹣1，0） ，且 的取值范围． 19． （13 分）已知定点 M（1，0）和直线 x=﹣1 上的动点 N（﹣1，t） ，线段 MN 的垂直平分线交直线 y=t 于点 R，设点 R 的轨迹为曲线 E． （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）直线 y=kx+b（k≠0）交 x 轴于点 C，交曲线 E 于不同的两点 A，B，点 B 关于 x 轴的对称点为点 P．点 C 关于 y 轴的对称点为 Q，求证：A，P，Q 三点共 线． 20． （13 分）已知数列{an}的各项均为正数，满足 a1=1，ak+1﹣ak=ai． （i≤k，k=1， 2，3，…，n﹣1） （Ⅰ）求证： ； ，使得 ，求实数 a ．
2015丰台一模 北京市丰台区2015年高三一模试题数学理 Word版含答案
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习（一） 2015.3高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为 (A) (1,1)-(B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或23．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 7 (B)10 (C) 11(D) 161俯视图侧视图正视图335．在极坐标系中，曲线26cos 2sin 60ρρθρθ--+=与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于(A)(B)(C) (D) 46．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是ODCB A(A) 4(B) 5(C)(D)7．将函数1cos()26y x π=-图象向左平移3π个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 (A) cos(+)6y x π=(B) 1cos4y x = (C) cos y x =(D) 1cos()43y x π=-8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的(A) 最大值是，最小值是4 (B) 最大值是8，最小值是4(C) 最大值是2 (D) 最大值是8，最小值是2第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．定积分(cos )x x dx π+=⎰____．10．已知二项式2()nx x+的展开式中各项二项式系数和是16，则n =____，展开式中的常数项是____．11．若变量x ，y 满足约束条件40,40,0,y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值是____．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-， 如果函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围 是____．13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB =8，BC =1，则 CD=____；AD=____．14．已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A=____；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为____．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()cos cos2222xxx f x ωωω=+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．16. （本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R （单位：公里）可分为三类车型，A ：80≤R ＜150，B ：150≤R ＜250， C ：R ≥250．甲从A ，B ，C 三类车型中挑选，乙从B ，C 两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310. （Ⅰ）求p ，q 的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和．为X ，求X 的分布列．17. （本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2．（Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值； PEDCBA如果不存在，说明理由．18.（本小题共13分）设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >； （Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．20.（本小题共13分）如果数列A ：1a ，2a ，…，m a (Z m ∈，且3)m ≥，满足：①Z i a ∈，22i m ma -≤≤(1,2,,)i m =； ②121m a a a +++=，那么称数列A 为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M ：-2，1，3，-1；数列N ：0，1，0，-1，1．试判断数列M ，N 是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A 是“Ω”数列，求证：数列A 中必定存在若干项之和为0．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．22π 10．4，24 11．612．(1,0)- 13．3 14．1，6π+ 注：第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．二、解答题：15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）21()cos cos2222xxx f x ωωω=-21sin 232cos 1-++=x x ωω x x ωωcos 21sin 23+=)6sin(πω+=x ． 因为πωπ==2T ，0>ω，所以2=ω．因为)62sin()(π+=x x f ，R x ∈，所以1)62sin(1≤+≤-πx ．所以函数()f x 的最大值为1，最小值为-1． ……………………8分（Ⅱ）令226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈， 得322322ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈，所以63ππππ+≤≤-k x k )(Z k ∈．所以函数()f x 的单调递增区间为3[ππ-k ，]6ππ+k )(Z k ∈．……………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为33410115q p q =⎧⎪+=⎨+⎪⎪⎪⎩所以25p =，25q =． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，则121233()554545P A ⨯+⨯=+=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是35． ……………………7分（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．111(7)5420P X ==⨯=， 13211(8)54544P X ==⨯+⨯=， 21232(9)54545P X ==⨯+⨯=； 233(10)5410P X ==⨯=．所以……………………13分17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形． 所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =所以EG //CD ，且EG CD =． 所以四边形CDGE 为平行四边形． 所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD ． ……………………4分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =-，(4,0,2)PE =-，(0,4,4)PD =-．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z =，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m =．设PD 与平面PCE 所成角为α， 则sin cos ,6m PD m PD PD mα⋅=<>==． 所以PD 与平面PCE所成角的正弦值是． ……………………9分 （Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =-，(4,4,2)DE =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩． 令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a n ． 因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即08222=-++a a，所以4512<=a ， 点12(,0,0)5F ．所以35AF AB =． ……………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，所以()2x f x e '=-．因为0(0)21f e '=-=-，即切线的斜率为1-，所以切线方程为1(0)y x -=--，即 10x y +-=． ……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2x f x e '=-．令()0f x '=，则0ln 2x =．当(,ln 2)x ∈-∞时，0)('<x f ，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减， 当(ln 2,)x ∈+∞时，0)('>x f ，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当ln 2x =时，函数最小值是ln 2(ln 2)2ln 222ln 20f e =-=->．命题得证． ……………………8分（Ⅲ）因为()x f x e ax =-，所以()x f x e a '=-．令()0f x '=，则ln 0x a =>．当1a >时，设()ln M a a a =-，因为11()10a M a a a-'=-=>， 所以()ln M a a a =-在(1,)+∞上单调递增，且(1)1ln11M =-=， 所以()ln 0M a a a =->在(1,)+∞恒成立，即ln a a >． 所以当(0,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a a ∈，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a a 上单调递增． 所以()f x 在[0,]a 上的最大值等于{(0),()}max f f a ， 因为0(0)01f e a =-⋅=，2()a f a e a =-， 不妨设2()()(0)1a h a f a f e a =-=--(1a >)，所以()2a h a e a '=-．由（Ⅱ）知()20a h a e a '=->在(1,)+∞恒成立，所以2()()(0)1a h a f a f e a =-=--在(1,)+∞上单调递增． 又因为12(1)1120h e e =--=->，所以2()()(0)10a h a f a f e a =-=-->在(1,)+∞恒成立，即()(0)f a f >． 所以当1a >时，()f x 在[0,]a 上的最大值为2()a f a e a =-． ……………………13分19.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为c e a ==c = 所以2221b a c =-=， 所以椭圆C的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-，22(2,)AQ x y =-，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-， 所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y k k k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上， 所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041k k k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M 不是“Ω”数列；数列N 是“Ω”数列． ……………………2分（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由121m a a a +++= 得12m a a Z m +=∉，与i a Z ∈矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列． ……………………7分（Ⅲ）将数列A 按以下方法重新排列：设n S 为重新排列后所得数列的前n 项和（n Z ∈且1n m ≤≤）， 任取大于0的一项作为第一项，则满足1122m m S -+≤≤， 假设当2,n m n N ≤≤∈时，1122n m m S --+≤≤ 若10n S -=，则任取大于0的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤， 若10n S -≠，则剩下的项必有0或与1n S -异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与1n S -异号的一项作为第n 项，可以保证122n m m S -+≤≤． 如果按上述排列后存在0n S =成立，那么命题得证；否则1S ，2S ，…，m S 这m 个整数只能取值区间[1,]22m m -+内的非0整数， 因为区间[1,]22m m -+内的非0整数至多m -1个，所以必存在i j S S =(1)i j m ≤<≤， 那么从第1i +项到第j 项之和为0i j S S -=，命题得证．综上所述，数列A 中必存在若干项之和为0． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2016丰台区高三(上)期末数学(理科)
2016丰台区高三（上）期末数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤20174．（5分）若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．25．（5分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（）A．B．C．D．6．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c7．（5分）若F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B 两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）A． B．C．D．8．（5分）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（2x﹣1）7的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）10．（5分）若x，y的满足，则z=2x﹣y的最小值为．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=．12．（5分）在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）设函数其中a＞﹣1．①当a=0时，若f（x）=0，则x=；②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，AB=12，，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．17．（14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若存在实数x0∈（﹣1，0），且，使得，求实数a的取值范围．19．（13分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】复数（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以1+a=0，解得a=﹣1．故选：D．2．【解答】由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．【解答】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．4．【解答】曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．5．【解答】由=0得sin2x=﹣cos2x，即tan2x=﹣，即2x=kπ﹣，即x=﹣，∵0≤x≤π，∴当k=1时，x=，当k=2时，x=，则函数f（x）的零点之和为+=，故选：C6．【解答】分别作出函数y=2x，（红色曲线），y=x（绿色曲线），y=log2x（蓝色曲线）的图象，则由图象可知当1≤x≤2时，对应的函数2x＞x＞log2x，即对应的平面的面积依次减小，即c＜b＜a，故选：A7．【解答】∵F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，∴A（a，0），B（0，b），∵线段AB的中点在直线x=c上，∴，∴椭圆的离心率e===．故选：B．8．【解答】①存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；②存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；．．③存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；④存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（2x﹣1）7的展开式中，通项公式为T r+1=•（2x）7﹣r•（﹣1）r，令7﹣r=2，解得r=5；所以展开式中x2的系数为•22•（﹣1）5=﹣84．故答案为：﹣84．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，4），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z．由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．11．【解答】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=42，∴=42，解得a1+a7=12，∴2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，∴a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=3×6=18．故答案为：18．12．【解答】在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则=CM•CN•cos＜＞≤•=3，故答案为：3．13．【解答】如图，由三视圆得该几何体由直三棱柱ABC﹣A1B1C1与三棱锥B﹣B1C1D组合而成，其中A1B1DC1是边长为2的正方形，AA1=2，∴该几何体的体积为：V====．故答案为：．14．【解答】①当a=0时，f（x）=，由f（x）=0，可得lnx=0，解得x=1．②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，可得f（x）在x＜1为递增，在x≥1为递增函数，可得a＞﹣1；由增函数的定义可得e﹣1≤ln（1+a），解得a≥e e﹣1﹣1．综上可得a的范围是[e e﹣1﹣1，+∞）．故答案为：1，[e e﹣1﹣1，+∞）．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵AB=12，，，∴根据余弦定理：=．…（6分）（Ⅱ）∵0＜C＜π，∴sinC＞0，．∴根据正弦定理得：，即：=8．…（13分）16．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，因为M是AP中点，F是PD中点，所以，又因为，所以四边形BCFM是平行四边形，所以FC∥BM，又FC⊄面ABP，BM⊂面ABP所以FC∥面ABP…（5分）（Ⅱ）连接CE，因为在△ABP中，AB=AP=BP，点E是边AB在的中点，所以PE⊥AB且，在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以在△PEC中，，，，所以PE⊥EC又因为AB∩EC=E，AB⊂面ABCD，EC⊂面ABCD所以PE⊥面ABCD…（9分）（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），，A（﹣1，0，0），因为：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量为设面ABC的法向量为，，，取x0=1，得，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ，cosθ==，二面角B﹣PA﹣C余弦值为．…（14分）17．【解答】（Ⅰ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为．（Ⅱ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116．（Ⅲ）由于A团队中，每个人是志愿者的概率为，P3 =•=0.4116，P1＞P3=P2 ．18．【解答】（Ⅰ）f′（x）=ax2+2x，令f′（x）=0得x2=0，．∴函数y=f（x）的极大值为；极小值为f（0）=0．…（8分）（Ⅱ）若存在，使得，则由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）（图1），（图2），于是可得．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（Ⅱ证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以k AP=k AQ，所以A，P，Q三点共线．…（13分）20．【解答】（Ⅰ）证明：∵a k+1﹣a k=a i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴数列{a n}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜a n．﹣a k=a i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），又∵a k+1﹣a k≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．∴a k+1（Ⅱ）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；∵{a n}是等比数列，∴数列{a n}的公比为2．∵a k﹣a k=a i（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有a k+1=2a k．+1这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴．（Ⅲ）证明：∵1=a1=1，2=a2=2，，，…，，由上面n个式子相加，得到：，化简得，∴．。
2015届高三年级期末考试数学(理)含答案
2015届高三年级期末考试 数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为A ．B ．C ．D ．2．设全集U R =，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =A ．B ．C ．{}1D ．{}0,13．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体， 其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是A ．143 B ．4 C ．103D ．38．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则A.AP AD =B.PA PD =C.DP DA =D.PA AD = 9．将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为ABCD11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于正视图 侧视图俯视图A ．761B ．762C ．841D ．84212．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
丰台区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题答案
x
2 (, ) a
2 a
(0, )
f / ( x) f ( x)
+
0 极大值
0 极小值
+
∴函数 y f ( x ) 的极大值为 f ( )
2 a
1 2 2 4 a ( ) 3 ( ) 2 2 ； 极小值为 f (0) 0 . 3 a a 3a
1 AD ， 2 1 AD ， 2
又因为 BC AD , BC
所以四边形 BCFM 是平行四变形
FC BM , FC 面 ABP ， BM 面 ABP
所以 FC 面 ABP （Ⅱ）连接 CE ，
…………………………5 分
因为在 ABP 中， AB AP BP ，点 E 是边 AB 在的中点， 所以 PE AB 且 PE 2 2 12 3 ， 在 Rt BEC 中， BE EC 1 ， EB BC ，所以 EC 2
AP (1, 0, 3) ， AC (2,1, 0) AP n2 0 x 3 z0 0 0 AC n2 0 2 x0 y 0 0 3 n2 (1, 2, ) 3
由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为
cos |
n1 n2 3 | | n1 | | n2 | 2 n1 n2 3 | | n1 | | n2 | 2
………………………14 分
二面角 B PA C 余弦值为： cos | 17．(本小题共 14 分) 解： （Ⅰ） P1
丰台区 2015-2016 年第一学期期末练习
高三数学（理科）参考答案
丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习2016.01
丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习 高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共 40 分）2016.01一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数 f ( x) log0.5 ( x 1) 的定义域为 （A） ( 1, ) （B） (1, ) （C） (0, ) （D） ( , 0)2.在复平面内，复数 z (1 i)(2 i) 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3． “ x 1 ”是“ x2 1 0 ”的 （A）充分必要条件 （C）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件4.已知向量 a (3,-4) ， b ( x, y) ，若 a // b ，则 （A） 3x 4 y 0 （B） 3x 4 y 0 （C） 4 x 3 y 0 （D） 4 x 3 y 05.已知圆 O： x 2 y 2 1 ，直线 l 过点（-2，0） ，若直线 l 上任意一点到圆心距离的最小值等于 圆的半径，则直线 l 的斜率为 （A） 3 3（B） 3（C） 2（D） 16. 函数 f ( x)=sin2x cos 2 x 的一个单调递增区间是 （A） [3 , ] 4 4（B） [ 34 , 4]（C） [3 , ] 8 8（D） [ 38y P,8]7.如图，在圆 x2 y2 4 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的 垂线段 PD ， D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是矚慫OMDx润厲钐瘗睞枥。
1 / 15（A） （C）1 2（B） （D）1 42 23 28. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年 1 月 1 日至 12 月 31 日)为周期执行居民阶梯电价，即： 一户居民用户全年不超过 2880 度 （1 度=千瓦时） 的电量， 执行第一档电价标准， 每度电 0.4883 元；全年超过 2880 度至 4800 度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电 0.5383 元；全 年超过 4800 度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电 0.7883 元.下面是关于阶梯电价 的图形表示，其中正确的有聞創沟燴鐺險爱氇。
【VIP专享】丰台区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(理)试题答案
6
7
14．1 , e 1,
23 65 6
8
…………………………13 分
…………………………5 分
3
在 PEC 中， PE 3 ， EC 2 ， PC 5 ，
所以 PE EC
又因为 AB EC E, AB 面 ABCD ， EC 面 ABCD
所以 PE 面 ABCD
（Ⅲ）取 CD 中点 N ，以 EB ， EN ， EP 分别为轴 x ， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标
2 所以四边形 BCFM 是平行四变形 FC A BM , FC 面 ABP ， BM 面 ABP
所以 FC A面 ABP
3
AC sin ADC
（Ⅱ）连接 CE ， 因为在 ABP 中， AB AP BP ，点 E 是边 AB 在的中点，
所以 PE AB 且 PE 22 12 3 ，
在 RtBEC 5-2016 年第一学期期末练习
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 1
2
高三数学（理科）参考答案
3
答案 D B C A C A B D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13． 16 3
根据正弦定理得：
AD AC sin C 8 sin ADC
16．(本小题共 14 分)
AD sin C
解：（Ⅰ）取 AP 的中点 M ，连接 MF, MB ，
因为 M 是 AP 中点， F 是 PD 中点， 所以 MF A AD, MF 1 AD ，
2 又因为 BC A AD, BC 1 AD ，
2015年高三一模数学(理)北京市丰台区试题Word版带解析
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习高三数学（理科）2015.31． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为（ ） (A) (1,1)- (B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】A 【解析】277212542525=1342525i i i i ii i ++---===-+()(3-4i ）(3+4i)(3-4i ） 故选A2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或2【难度】1 【考点】等比数列 【答案】B 【解析】22342()2()4a a a q q q q +=+=+=，解得：12q q ==-或 故选B3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 【难度】1 【考点】双曲线 【答案】C 【解析】由题意得：22232ba c abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得：221,3a b ==所求双曲线的方程为：2213y x -= 故选C4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）(A) 7(B)10(C) 11(D) 16【难度】2【考点】算法与程序框图 【答案】C 【解析】程序执行过程如下： 开始，输入5n =，1m =，1S =，满足条件m n <，进入循环体； 2S =，2m =，满足条件m n <，进入循环体； 4S =，3m =，满足条件m n <，进入循环体； 7S =，4m =，满足条件m n <，进入循环体； 11S =，5m =，不满足符合条件m n <，跳出循环体；输出11S =，结束。
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2015-2016年北京丰台高三上学期理科数学试题及答案丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习高三数学（理科） 2016.01第一部分 （选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-12.“20x >”是“0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图,计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（A1 （B（C（D ）25.函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是 （A ）23π （B ）712π （C ） 76π（D ）43π6. 若212xa dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A ,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（A）2 （B ）12 （C（D）38.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答）10.若,x y 的满足30,30,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为 .11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .14.设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.俯视图侧视图主视图二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，=36AC ，=56BC ，点D 在边BC 上，且60OADC ∠=.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）求线段AD 的长.16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5.（Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.18.（本小题13分）已知函数321()(0)3f x ax x a =+>. （Ⅰ）求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，求实数a 的取值范围.19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.20.（本小题13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -（Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n丰台区2015-2016年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C A C A B D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13．16314．1 , [)1,e -+∞ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题共13分)解：（Ⅰ）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅222(36)(56)121323656+-==⋅⋅ ………6分 （Ⅱ）因为0C π<<，所以sin 0C > 22122sin 1cos 1()3C C =-=-=根据正弦定理得：sin sin AD ACC ADC =∠ sin sin AC C AD ADC⋅=∠8= ……………13分16．(本小题共14分)解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ， 因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1,2MF AD MF AD =， 又因为1,2BC AD BC AD =， 所以四边形BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC ⊄面ABP ， BM ⊂面ABP所以FC 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =，所以PE EC ⊥又因为,AB EC E AB =⊂面ABCD ，EC ⊂面ABCD 所以PE ⊥面ABCD ……………………9分（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B，P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC = 设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =AP =，(2,1,0)AC =20000200200AP n x x y AC n ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩2(1,2,n =- 由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅二面角B PA C --余弦值为：1212cos ||||||2n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分17．(本小题共14分)解：（Ⅰ）1337141012C C P C ⋅==所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 ………5分 （Ⅱ）1132437()()0.41161010P C =⋅= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12 …………………………10分（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分18．(本小题共13分)解：（Ⅰ）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32x a=-.()f x极大值极小值∴函数()y f x=的极大值为322()()()33f aa a a a-=⋅-+-=；极小值为(0)0f=.…………………………8分(Ⅱ) 若存在11(1,)(,0)22x∈---，使得1()()2f x f=-，则由（Ⅰ）可知，需要21221,1(1)()2aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）.（图1）（图2）于是可得18(,4)(4,6)7a∈. (13)分19．(本小题共13分)（Ⅰ）有题意可知：RN RM=，即点R到直线1x=-和点M的距离相等.根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点.设R的轨迹方程为：22y px=，12p=，2p=所以R的轨迹方程为：24y x=. …………………………5分（Ⅱ）由条件可知(,0)bCk-，则(,0)bQk.联立24y kx by x=+⎧⎨=⎩,消去y得222(24)0k x bk x b+-+=，222(24)416(1)0bk b k bk∆=--=->.yxOQPCBA设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -12242bk x x k -+=，1x2x =. 因为1212AP y y k x x +===-，11110()AQ y k kx b k b kx b x k -+====-- 所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . …………………………13分20. （本小题共13分）（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<<.又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（. …………………………3分（Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12n n a -=. …………………………8分（Ⅲ）证明：因为11=1a =，22=2a =，2332a ≤≤， 3442a ≤≤ (1)2n n n a -≤≤由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1，化简得1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（所以12)1(21-≤≤+n n S n n . ………13分。