《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题解析

2018/10/31
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第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
2
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
一：概述
f y T Ay aij yi y j
i , j 1
m
实二次型：
f 0正定，f 0半正定 f 0负定，f 0半负定
1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<2>伺服系统（随动系统）
e(t ) yr (t ) y (t )
二.状态调节器 1.已知
以不大的能量是系统输出跟随给定的输出而变化。
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )V (t ), x(t0 ) x0
1 1 tf T J xT (t f ) Fx (t f ) [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
Yr(t)表示预期输出，e(t)为广义误差。寻求最优控制u*(t)，使下面二次型性能指标最小。 1 T 1 tf T J e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) uT (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0 其中，F是q×q半正定常数矩阵 Q(t)是q×q半正定矩阵 R(t)是p×p正定矩阵。（R 1 (t )要存在） 2.性能指标J
则
(t f ) Fx(t f )
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
④控制方程： H 0 u H Ru BT 0 u (t ) R 1BT u
2H u 2
R 0 则u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) (t )
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t ) Fx (t f ) F11x 12 ① ② ③
则②=③
10
t [t0 , t f ]
又由横截条件： (t f ) FX (t f )
21x 22 F12 x F12 （22 F12 ) ( F11 21) x
1 T 1 e (t )Q(t )e(t ) 2
用以衡量误差大小
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 tf T e Qedt 2 t0 表示t0 t f 的总误差
1 T 2 u (t ) R(t )u (t ) 用以衡量控制功率的大小 2 tf T t0 u Rudt 表示控制能量
寻求u*(t),使J最小。<X(tf)自由，tf有限>
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
求解：①构造哈密顿函数：
H F T f
1 T 1 T H X Qx U Ru T Ax T Bu 2 2 H ②协调方程： x 1 Qx 1 ( xT Q)T (T A)T Qx AT 2 2 1 T [ x FX ] 2 ( t ) ③横截条件 f x(t f ) x(t f )
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ), y(t ) c(t ) x(t ) x
其中，x(t)是n维状态向量，u(t)是p维控制向量，y(t)是q维输出向量，u(t)不受约束。A(t),B(t),C(t)是分段的时间连续函数
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
<实际中不用上式来求P(t)，过于复杂，采用如下方法;> 2.黎卡提矩阵微分方程考察 (t ) P(t ) x(t ) 两边对t求导
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
3.分类
<1>调节器问题.yr(t)=0 ①状态调节器
t [t0 , t f ]
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t , t0 ) 2n 2n 的状态转移矩阵
当t t f 时，又t [t0 , t f ] 都可作为初始时刻<分块>
x(t f ) 11(t f , t ) 12 (t f , t ) x(t ) ( t ) ( t , t ) ( t , t ) ( t ) 22 f f 21 f
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) ห้องสมุดไป่ตู้ R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )

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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题

1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
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第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
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线性二次型最优控制

❖ 正定的时变矩阵R(t)亦为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的控制向量u(t) 的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。
✓ 时变矩阵R(t)的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。
❖ 综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。
✓ R(t)为r×r维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定的。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致的讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中的第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端代价函数。 ✓ 非负定的常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量的要求不同、重要性不同。 ✓ 若矩阵F的第i行第i列元素值较大,代表二次项的重要性较大,对其精度要求较高。
➢ 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。
➢ 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。
线性二次型最优控制(4/12)
线性二次型最优控制问题设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0 y(t) C(t) x(t)
f / r β-a
β q a2 r
最优控制的存在性与唯一性(7/13)
➢ 最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解
x(t)
a
p(t) r
x(t)
于是得
x(t)
x0
exp

4.1 线性二次型最优控制

(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)

• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )

第4章线性二次型最优控制

由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n，即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能，可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可以将 Q(t)逐渐取大。二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得到的最优控制规律也是完全不一样的。（4）线性二次型最优控制问题的三种类型依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为如下三类： I. 状态调节器问题此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题

线性二次型讲解

(3)
其解为：
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
(5)
线性二次型(LQ)最优控制问题
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
1 [ xT (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f ) (6)
边界条件：
(17)
(6)
(13)
(t f ) Fx(t f )
(t ) P(t ) x(t )
P(t f ) F
(18)
线性二次型(LQ)最优控制问题
黎卡提方程求解问题：
（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。
u(t ) R1BT R1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
(14)
线性二次型(LQ)最优控制问题
最优线性反馈控制
求解P(t),但直接利用式（12）求解，涉及矩阵求逆，运算量大
线性二次型(LQ)最优控制问题
应用性质求解P（t）
(t ) P(t ) x(t ) (13) x Ax BR 1BT Ax S
说明：
1 T J (u ) [ x (t )Qx(t ) u (t )T Ru (t )]dt 2 t0
(2)
1）要求系统完全能控。
2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应
线性二次型(LQ)最优控制问题
可以证明：
(10)
(t ) (22 F12 )1 (F11 21 ) x(t )

【线性系统课件】线性二次型最优控制问题

则上式写成
A A12 x1 B1 x 11 1 u A 21 A22 x2 B2 x 2 x1 y I q 0 x1 x2

因此, 只需再估计出x2 , 则x 已知, x可得. 只需对x2构造(n q)维状态观测器 , 对x2而言, 是全维状态观测器 .
闭环系统为

x [ A BR1BT P]x
仍保持为定常系统。
对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 [ A BR1BT P] 的所有特征值均具负实部。可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。
证明：选取Lyapunov函数
V ( x) xT Px x ( A BR1 B T P ) x V ( x) x Px x P x
1 T x0 P (0) x0 , x0 0 2
证明：该定理给出的是充分条件，实际上也是必要条件。
1 T 1 T x (t f ) P(t f ) x(t f ) x (0) P(0) x(0) 2 2 1 tf d T [ x P(t ) x]dt 0 2 dt 1 tf T T T [ x P(t ) x x P(t ) x x P(t ) x]dt 2 0 1 tf T T {x [ A P(t ) P(t ) P(t ) A]x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx xT P(t ) BR1 B T P(t ) x u T B T P(t ) x xT P(t )Bu}dt 2 0 1 tf { xT Qx u T Ru [u R 1 B T P(t ) x]T R[u R 1 B T P(t ) x]}dt 2 0

最优控制教案第四章线性二次型性能指标的最优控制问题

许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。

设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。

上式中系数21是为了简化计算。

指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。

(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。

(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。

线性二次型问题的最优控制

若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ，因此，系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x

最优控制应用基础-第四章

R ，
1 ，Riccati方程为
p 11 ( t f ) 0 , p 12 ( t f ) 0 , p (t ) S , 1 22 f
p 12 p 22
p 11 p 12 0 , 故有 u * 1 R 1TB T P ( t ) X ( t ) T P ( t ) P( t ) A ( t ) A ( t ) P( t ) P( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) P( t ) Q ( t ) 1 1 p 22 , x 2 (t ) t f t 1 S1 t t 1 S
Q ( t ) x ( t ) A ( t ) P( t ) x ( t )
T
得黎卡提(Riccati)矩阵(P(t)是对称时变矩阵)微分方程
T 1 T P ( t ) P( t ) A ( t ) A ( t ) P( t ) P( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) P( t ) Q ( t )
J 1 2 S 1 x 2 (t f )
2
1 2

tf
u dt
2
t0
取极小。解
p 11 P p 12
0 A 0 1 0 0 ，B ， Q 0 1
2 p 11 p 12 , p 12 p 12 p 22 p 11 , p p2 2 p , 22 12 22
第四章线性最优控制
线性最优控制问题，它研究的受控对象是线性的，性能指标是关于状态矢量和控制矢量的二次型函数，因此，又称做线性二次型问题。线性二次型问题在现代控制理论中占有重要地位，它是卡尔曼在20世纪60年代初提出和解决的。线性二次型问题能够避开求解一般最优控制问题时经常遇到的非线性两点边界值问题，得到闭合形式的解析解，而且求出的最优控制是统一的状态变量的线性函数，可以利用反馈方法来构成闭环控制，在工程上易于实现。它在理论上也很重要，有许多控制问题可以作为线性二次型问题来处理。尤其是需要综合考虑各种设计参数的关系时，线性二次型问题可以把一些相互矛盾的要求统一在一个性能指标中，求得系统的总体最优性。线性最优控制问题包括线性调节器和线性伺服系统两类问题。

最优化控制线性二次型最优控制问题

用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J

1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0

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