函数的单调性 对称性和周期性
函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系
函 数 的 对 称 性一个函数的自对称定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。
就是该函数的对称轴是x a =。
定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。
就是该函数的对称点是(,0)a 。
定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x +=对称。
就是该函数的对称轴是2a b x +=。
定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点(,0)2a b +对称。
就是该函数的对称点是(,0)2a b +。
还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于(,)22a b m +这个点对称。
周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数.它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1()f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=)(11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。
习 题1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。
2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点）3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根?4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值.5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02f x f x ++=且5()4f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
时，
.
..
w
.
..
..
解： 时，
∴ [例 4] 求下列函数的增区间
（1） （2）
答案：（1）
，
∴
（2）作图
∴
[例 5]若 答案：分类讨论
（1）① 当
②当
时，要在区间
在区间 在区间
，则有
，求 取值范围。 ，符合题意
∴
[例 6]
，
关系。
解：∵
为偶函数 ∴
则函数关于直线 x=2 对称
∵
在（0，2）
为偶函数，试比较
（1）若 f (x a) f (x b) ，则 f (x) 是周期函数， b a 是它的一个周期（自己证明）
（2）若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （a ≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。（自己证明）
常用性质：
1． f (x) 0 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在 x 0处有定义，则必有 f (0) 0 ；
3．偶函数满足 f (x) f (x) f ( x ) ；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；
5． f (x) 0 除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数
两位学生分别构造了一个函数（
）：
①
②
请你判断，正确的结论是（ ）
A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错
2. 函数
与
A. y 轴对称
C. 直线 x=1 对称
的图像关于（ ）
B. 原点对称 D. 关于 y 轴对称且关于直线 x=1 对称
函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（3）记住几条常用的结论：
①若()是增函数，则−()为减函数；若()是减函数，则−()为增函数；
2
注意：关于①式，可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ )．
+1
−
偶函数：①函数() = ±( + )．
②函数() = log ( + 1) − ．
2
③函数(| |)类型的一切函数．
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是（
− 2
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f ( x)为偶函数
（2）若函数 = ( + )为奇函数，则函数 = ()关于点(, 0)对称．
（3）若() = (2 − )，则函数()关于 = 对称．
（4）若 + (2 − ) = 2，则函数()关于点(, )对称．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增（或减）函数，则在()和()的公共定义域上() +
专题09 函数的基本性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性等)QG
专题09 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等）【重温课标】1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．3．结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．【解读考情】1．函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位．2．函数的奇偶性常与函数的单调性、对称性、最值等结合考查，综合考查知识的灵活应用能力，是高考考查的热点．3．函数的奇偶性，以选择、填空题居多，且是高考考查的热点．【知识点归纳】一、增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) f (x )在区间D 上是增函数⇔ f (x 1)＜f (x 2)；(2) f (x )在区间D 上是减函数⇔ f (x 1)＞f (x 2)．【温馨提示】(1) 单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2) 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(3) 两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，g (x )f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 二、单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．三、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：条件 (1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2) 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2) 存在x 0∈I ，使得 f (x 0)＝M 结论 M 为最大值M 为最小值四、判断或证明函数单调性的方法(1) （图象法）根据图象判断：函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左到右是一致上升还是一致下降，因此可以根据图象的特点来判断．如：根据右图，指出函数y ＝f (x )的单调增区间与减区间．从图上可以看出函数y ＝f (x )在区间(－∞，－5]和(12，＋∞)内递增，在区间(－5，12]内递减． (2) （定义法）根据定义来判断或证明：这是最基本的方法，其步骤如下：第一步：取值，即设x 1，x 2是该区间内的任意两点，且x 1＜x 2．第二步：变形，变形有两种途径．一般采用作差法，即f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；如果是指数型一般采用作商比较法．第三步：定号，确定差f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分区间讨论．如果是作商比较，则需比较变形结果与1的大小关系．第四步：判断，根据定义作出结论．(3) （导数法）用导函数方法去判断函数单调性．这种方法我们将在（高二）学习．(4) （结论法）判断函数单调性的常用结论① 在两个函数的公共定义域内，两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；② 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；③ 互为反函数的两个函数有相同的单调性；④ 如果f (x )在区间D 上是增(减)函数，那么f (x )在D 的任一子区间上也是增(减)函数； ⑤ 如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相同，那么y ＝f [g (x )]是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相反，那么y ＝f [g (x )]是减函数．简称为：同增异减．注：在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大简化我们的判断过程．五、函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有很重要的作用，具体体现在：(1) 利用单调性比较大小利用函数的增减性，可以把比较函数值的大小问题转化为自变量的大小比较问题． 如：已知函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，因为－3.2＜－0.2，则0.8－3.2＞0.8－0.2．(2) 确定函数的值域或求函数的最值．如：函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增．则可以判定它的值域为[f (a )，f (b )]，若在[a ，b ]上递减，则函数值域为[f (b )，f (a )]且当f (x )在[a ，b ]上递增时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最小值与最大值，当f (x )在[a ，b ]上递减时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最大值与最小值．函数最值存在的两条定论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．*常用结论：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么：(1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＞0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是增函数； (2) f (x 1)－f (x 2)x 1－x 20 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＜0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是减函数． 【例题示范】例1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A .(－∞，－2)B .(－∞，1)C .(1，＋∞)D .(4，＋∞)【解析】由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间.因为函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).故选D .例2．(2020·海南卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)在(a ，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】令t ＝x 2－4x －5，由t ＞0，得x ＜－1或x ＞5，又f (x )＝log 2t 在定义域内单调递增，且t ＝x 2－4x －5在(5，＋∞)也单调递增，由复合函数的性质得a ≥5，故选D ．例3．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0成立． (1) 判断f (x )在[－1，1]上的单调性，并证明它；(2) 若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1) 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1，1]，因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(2) 因为f (1)＝1，f (x )在[－1，1]上单调递增．所以在[－1，1]上，f (x )≤1．问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1，1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2ma ＋m 2≥0．①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1，1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1) ≥0，所以m ≤－2，或m ≥2．所以m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2．【分段函数的单调性问题的解决策略】(1) 抓住对变量所在区间的讨论；(2) 保证各段上同增(减)时，要注意上、下段端点值间的大小关系；(3) 弄清最终结果取并集还是交集．例4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x ＞1）(4－a 2)x ＋2（x ≤1）是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)【解析】函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞14－a 2＞0a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4，8)．选B ．例5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎭⎫138，2 【解析】由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＜0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138．选B ． 六、奇(偶)函数的定义及图象特征奇偶性定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数 关于原点对称【温馨提示】(1) 所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件．例如，y ＝x 2当定义域为区间(－∞，＋∞)时是偶函数，但当定义域为区间[－1，2]时却不具有奇偶性．(2) f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝1xf (0)无意义；又如f (x )＝2x －1满足f (0)＝0，但不是奇函数．但奇函数f (x )在x ＝0处有意义，必有f (0)＝0．(3) 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(4) 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．例如：y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则g (x )＝()()2f x f x +-为偶函数，h (x )＝()()2f x f x --为奇函数，且f (x )＝g (x )＋h (x )． (5) 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6) 既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．(7) 奇函数在定义域内满足()()f x f x =--，该式常用来求函数解析；偶函数在定义域内满足()()f x f x =-，该式也常用来求函数解析．【常用结论】①函数奇偶性满足下列性质：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②奇函数与奇函数复合还是奇函数，奇函数与偶函数复合是偶函数，偶函数与偶函数复合还是偶函数．【温馨提示】（这点非常注重要）f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x|)，该式把偶函数的负变量转化为正变量研究．【例题示范】例．y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，不等式f (x x ＋1)＜f (－12)的解集为________．【解析】因为y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，所以f (x x ＋1)＜f (－12)等价为f (|x x ＋1|)＜f (|－12|)＝f (12)，所以|x x ＋1|＜12，即2|x |＜|x ＋1|，平方得4x 2＜x 2＋2x ＋1，所以3x 2－2x －1＜0，解得－13＜x ＜1，即不等式的解集为(－13，1)． 七、函数奇偶性的判断与证明(1) 根据图象的对称性判断：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y 轴成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．(2) 根据定义判断或证明：其步骤为：第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则可断言函数y ＝f (x )不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤．第二步：判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立．既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f (x )＋f (－x )＝0或f (x )－f (－x )＝0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析．第三步：作出结论．若f (－x )＝f (x )则f (x )为偶函数，若f (－x )＝－f (x )则为奇函数，若f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数；若f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(3) 根据规律判断（详见前面的常用结论）：判断一个函数既不是奇函数也不是偶函数，取特殊值举反例即可！！．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4) 函数奇偶性的变形应用：对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用定义去证明，要注意灵活运用定义：当直接推证f (－x )＝f (x )，或f (－x )＝－f (x )遇到困难时，可以考虑证明等式f (－x )－f (x )＝0，或f (－x )＋f (x )＝0恒成立，或者证明f (－x )f (x )＝±1（f (x )≠0）恒成立，前一个技巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．【温馨提示】判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断．【常见的奇偶函数】(1) 奇函数：()ny x n =为奇数， y kx =，k y x =，tan y x =，sin y x =，x x y a a -=-，11x x a y a -=+，11x x a y a +=-， x xx x a a y a a ---=+，x xx x a a y a a --+=-，log )a y mx =，log )a y x =，log x nx n a y +-=，log x n x n a y -+=．(2) 偶函数：()y a a =为常数，n y ax =(n 为偶数)，||y k x =，cos y x =，+x x y a a -=，(||)y f x =；如果()y f x =为奇函数，那么()y f x =一定为偶函数．七、周期性与对称性1．周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件：(1) T ≠0；(2) f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．【温馨提示(1) 定义应对定义域中的每一个x 值来说，若个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )不能说T 是f (x )的周期．(2) 在等式f (x ＋T )＝f (x )中，应强调加在自变量x 本身的常数才是周期，如f (x 2T )＝f (x 2，T 不是周期，而应写成f (x 2＋T )＝f [12(x ＋2T )]＝f (x 2)，2T 才是f (x )的周期． (3) 若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【必记结论】周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：则函数y＝f (x )是周期函数，T ＝2|a |是它的一个周期．①f (x ＋a )＝－f (x )；②f (x ＋a )＝1f (x )；③f (x ＋a )＝－1f (x )；④f (x ＋a )＝k f (x )（k ≠0）； ⑤f (x ＋a )＝f (x －a )；⑥(x ＋a )＝f (x )＋1f (x )－1，⑦f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )． (2) 若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝|a －b |．(3) 若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数；(4) f (x )的图象既关于直线x ＝a 对称（即函数f (x )满足f (2a －x )＝f (x )）又关于直线x ＝b 对称（即函数f (x )满足f (2b －x )＝f (x )），则函数f (x )的周期T ＝2|a －b |(a ≠b )．（规律：和定对称 ，差定周期）(5) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① f (x )为奇函数且其图象关于直线x ＝a 对称，则T ＝4|a |；② f (x )为奇函数且其图象对称中心为（a ，0），则T ＝2|a |；③ f (x )为偶函数且关于直线x ＝a 对称，则T ＝2|a |；④ f (x )为偶函数其图象对称中心为（a ，0）则T ＝4|a |．【识记规律】① 奇偶函数如果另外具有中心对称性或者轴对称性，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心之间距离的2倍，是相邻对称轴之间距离的2倍，是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．② 如果一个函数图象既有中心对称性，又有轴对称性，则该函数一定具有周期性，且周期是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．③ 如果一个函数图象有多个中心对称或对称轴，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心（对称轴）之间距离的2倍．轴对称性常用的结论(6) 若f (a －x )＝f (b ＋x )，那么函数f (x )图象的对称轴为x ＝a+b 2； (7) y ＝f (x )符合f (2a －x )＝f (x )等价于其图象的对称轴为x ＝a ，等价于f (a －x )＝f (a ＋x )；中心对称性常用的结论(8) 设a ，b ，c 为常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① 当f (a ＋x )+f (b －x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a+b 2，c ）； ② 当f (2a －x )+f (x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a ，c ）．其他结论若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称；若函数f (x )既是周期函数，则其导函数y ＝f ′(x )是周期函数；若函数f (x )是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )是偶函数；若函数f (x )是偶函数，则其导函数y ＝f ′(x )是奇函数；若函数g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )+k ，则f (a )＋ f (－a )＝2k ﹒【例题示范】例1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．【解析】设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ．又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0. 例2．已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是_______．【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1所以函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x )在R 上是增函数．由f (3－a 2)＞f (2a )得3－a 2＞2a ．解得－3＜a ＜1．例3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.例4．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2019)＝f (－5＋2024)＝f (－5)＝－1，D 正确．故选BCD ．例5．(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x【解析】由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，对于A ，f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；对于B ，f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；对于C ，－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；对于D ，f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知BD 正确，故选BD.例6．(2019·新课标Ⅱ卷)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-．若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即 3a =-．。
函数基本性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)重难考点突破
专题:函数基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）重难考点突破考点一：求函数单调区间1．函数()()2f x x x =-的单调递增区间是（ ） A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[]0,22．213()log (28)f x x x =--的单减区间为（ ）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞3．函数()2112x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．（-∞，1] C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1，+∞）4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞5．函数232y x x -+-___________.6．函数()223f x x x =-++的单调减区间为______.考点二：利用函数单调性求参数的值或范围7．已知函数2()6f x x kx =--在[2，8]上单调递减，则k 的取值范围是（ ） A ．(4,16)B ．[4,16]C ．[16,)+∞D ．(,4][16,)-∞⋃+∞8．已知a R ∈，函数()222,1log ,1ax x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若12,x x R ∀∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．已知函数()212log 2=-y ax x 在()22,-a a 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[31,2)(1,2]-D ．(,31](1,2]-∞-10．（多选题）若函数()f x 在[,]a b 上是增函数，则对任意的()1212,[,]x x a b x x ∈≠，下列结论正确的是（ ） A ．()()12f x f x ≠B ．()()12()()f a f x f x f b <C ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦D ．()()12120f x f x x x ->-11．已知函数()f x 是R 上的增函数，且()()2f x x f a x +>-对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________. 12．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，若对()()22,2x f x ax f x ∀∈-+>+R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数()213log y x ax a =-+在区间(2)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围为_________．14．已知函数()2255f x ax x a =+-+1x ，(]2,2x ∈-∞-，都有不等式()()21210f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是________.考点三：函数奇偶性的判断与证明 15．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++16．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A ．12log y x =B ．122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1y x=D ．3y x =-17．设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是 A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数18．已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数19．设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数考点四：利用函数奇偶性求值、求参数的值、求解析式20．已知函数2()3([,21])=+-∈+f x ax bx a x a a 是偶函数，则()1f 的值为___________. 21．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＜0时，()()2log 1f x x =-，则f (f (7)) =（ ）． A ．–1B ．–2C ．1D ．222．已知定义域为R 的函数()()22g x f x x =+为奇函数，且()23f =．则()2f -=_____________ 23．若函数()4()=ln 1xf x kx e ++ 为偶函数，则实数k =_________ .24．已知3()2,,f x ax bx a b =++∈R ，若(3)1f -=-，则(3)f =_____． 25．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且()425f =，则b a =____________． 26．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()23=-+f x x x ，则(1)f -=___________，函数()f x 的解析式是___________.27．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x m =++，则(1)f -=_______． 28．已知偶函数()f x 在0x >时()1lg 1x f x x=-+，则0x <时()f x =___________.29．已知()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且1()()2,x f x g x ++=，则f （2）=___________.考点五：函数单调性与奇偶性的比较大小和解不等式30．已知函数()f x 为R 上偶函数，且()f x 在[)0,∞+上的单调递增，若()22f =-，则满足()12f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B ．(,1][3,)-∞-+∞ C ．[1,3]-D ．(,2][2,)-∞-+∞31．若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集是（ ） A ．(－2，0)∈(0，2) B ．(－∞，－2)∈ (0，2) C ．(－∞，－2)∈(2，＋∞)D ．(－2，0)∈(2，＋∞)32．设定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(2021)0f =，则()2()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(,0)(2021,)∞∞-⋃+B ．(,2021)(0,2021)∞--⋃C ．(2021,0)(0,2021)-⋃D ．(,2021)(2021,)∞∞--⋃+33．已知()f x 是偶函数，它在(],0-∞上是减函数.若()()lg 1f x f <，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,110,∞⋃+34．已知函数()f x 在R 上为偶函数，若任意[)12,0,x x ∈+∞且12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，且()2=0f ，则()()10x f x -<的解集为（ ）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．()()2,00,1-C ．()(),21,2-∞-D ．()()2,02,-+∞35．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,∞+上单调递增，若实数a 满足()()3log 1f a f +-≤()131log f f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a ≤B ．3a ≥C ．03a <≤D ．103a <≤36．函数()2020sin2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞37．已知函数2()2x f x x =+，且()()321f a f a ->-，则实数a 的取值范围（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．130,,24⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭38．已知偶函数()y f x =在区间(0，4)上单调递减，则有( ) A ．(1)()(2)f f f π->> B ．(2)(1)()f f f π>-> C ．()(1)(2)f f f π>->D ．(1)(2)()f f f π->>39．已知函数()e e xxf x -=-（e 为自然对数的底数），若202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120202021b =，12020log2021c =，则下列不等关系正确的是（ ） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f c f b f a << C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<40．已知偶函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，若3(log 2)a g =，0.2(2)b g =，(ln )c g e =-，则（ ） A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<考点六：函数基本性质的综合应用41．（多选题）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--42．（多选题）已知函数()2121x x f x -=+，下面说法正确的有（ ）A ．()f x 的图像关于原点对称B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的值域为()1,1-D ．12,x x R ∀∈，且()()121212,0f x f x x x x x -≠>-43．已知函数()221x f x a =-+为奇函数． （1）求实数a 的值，并用定义证明函数()f x 的单调性；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()2230f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．44．已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()xf xg x e x +=+.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）若函数()()1()2y g x ag x a =++∈R 的最小值为1-，求a 的值.。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
函数的单调性奇偶性对称性周期性
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性湖南祁阳四中何双桥整理一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单调增区间；如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，(��) f(x1)?f(x2)，则称立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。
特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，(��) f(x1)?f(x2)，则称立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件★若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：f(x1)?f(x2)?0或（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?x1x2★若f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：f(x1)?f(x2)?0或（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?x1x23.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当用心爱心专心x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。
5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数(1)当f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：函数FF2(x)?f(x)?g(x)的f(x)和g(x)具有相同的增减性时，1(x)?f(x)?g(x)、增减性与f(x) (或g(x))相同，F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性g(x)不能确定； (2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：①F1(x)?②f(x)?g(x)、F2(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定；f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)为g(x)f(x)F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?减函数。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性3.1函数的单调性知识回顾1．一般地，设函数的定义域为，区间：⑴增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数；⑵减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；2．单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．3．判断函数单调性的基本方法：⑴定义法：任取，，判断的正负；⑵图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；⑶复合函数的单调性——同增异减．3.2函数的奇偶性（一）知识点睛3.3函数的对称性知识点睛一般的轴对称：⑴函数的图象关于直线对称；⑵若函数满足，则的图象关于直线成轴对称．【练习1】（1）若函数满足：，则的图象的对称轴为________；（2）若函数满足：，则的图象的对称轴为________；（3）若函数满足：，则的图象的对称轴为________．【解析】⑴；⑵；⑶．一般的中心对称：⑴函数的图象关于点对称．⑵若函数满足，则的图象关于点成中心对称．【练习2】（1）若函数满足：，则的图象的对称中心为________；（2）若函数满足：，则的图象的对称中心为________；（3）若函数满足：，则的图象的对称中心为________．【解析】⑴；⑵；⑶．3.4函数的周期性知识点睛1．对于函数，如存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的一个周期．2．如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期．3．代数形式⑴全T：若函数满足：，，则函数是周期为的函数；⑵半T：若函数满足：，，则函数是周期为的函数．⑶其他：若函数满足：，则函数是周期为的函数．【练习3】如果函数满足下面的关系式，写出它的周期：⑴；⑵；⑶；⑶；⑷．【解析】⑴；⑵；⑶；⑶；⑷．3.5如何识别对称性和周期性注意区别如下四个关系式反映的函数性质：①：有对称轴；②：有对称中心；③：有周期；④：有周期．3.6双对称知识点睛1．双对称性函数具有周期性．⑴若函数的图象关于点，及点对称，则函数是周期为的函数．证明：．⑵若函数的图象关于直线及对称，则函数是周期为的周期函数．证明：．⑶若函数图象关于直线对称，且关于点对称，则函数是周期为的周期函数．证明：．2．正弦、余弦函数的对称性及其结论【结论】（1）对称中心到离他最近的一条对称轴的距离为四分之一各周期；（2）相邻两条对称轴之间的距离为半个周期；（3）相邻两对称中心之间的距离为半个周期。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
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函数的单调性 对称性和周期性考点１ 函数单调性判断的两种思维方法讨论函数f （x ）=x+x a（a>0）的单调性.方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2) =（x1+1x a ）-（x2+2x a ）=(x1-x2)·（1-21x x a ）. ∴当0<x2<x1≤a 时，21x x a >1,则f （x1）-f （x2）<0，即f(x1)<f(x2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数.当x1>x2≥a 时，0<21x x a<1，则f （x1）-f （x2）>0,即f(x1)>f(x2),故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+∞）上为增函数；f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数.方法二 由)(x f '=1-2x a=0可得x=±a 当x>a 时或x<-a 时，)(x f '>0,∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数.同理0<x<a 或-a <x<0时，)(x f '<0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 例（０８ 江西） 若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 解析 整体变量认识()y f x =，换元化归对号函数的区间上的单调性求值域， 令()t f x =，则1[,3]2t ∈，1()F x t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上递减，在[]1,3上递增，则110()[2,]3F x t t =+∈； 感悟 对号函数函数y=au+u b(a 、b ∈R 的常数)的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）,其图象关于原点对称.当a>0,b>0时的常数，其图象在⎥⎦⎤ ⎝⎛a b ,0，⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减，在,⎛-∞ ⎝⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,a b 上单调递增，在（0，+∞）上图象似“对号”的形状，故简称为“对号函数” .本题不就是换元法化归对号函数区间上的单调性求最值吗？考点２ 复合函数确定单调区间树立定义域优先的意识例 求函数y=21log （4x-x2）的单调区间.解 由4x-x2>0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=21logt.∵t=4x-x2=-(x-2)2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y=21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21log （4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例 要使函数 ()⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,242x x x ax x x f a 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围为A ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛1,4321,0解析 认识R 上单调的意义，注意分界点处函数值满足的条件，构建不等式组有43211log 1411242≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥a a a a点评 本题由06北京高考题改编而来，考查R 上单调的意义，对分界点处要注意两段函数函数值的大小关系，对运动变化观念和数形结合思想的应用都进行了考查。
考点３ 复合函数的＂同步为增，异步为减＂的认识和应用考点４ 函数的奇偶性和对称性定义在R 的函数()x f y =在()a ,∞-上是增函数，且函数()a x f y +=是偶函数，当a x a x a x a x -<-><2121,,时，有A ()()2122x a f x a f ->-B ()()2122x a f x a f -=-C ()()2122x a f x a f -<-D ()()212,2x a f x a f --大小不确定解析 由复合函数的对称轴确定外层函数的对称轴，借助图像平移研究，()a x f y +=是偶函数向右平移a 个单位得到()x f y =，则其对称轴为a x =，注意到()x f y =在()a ,∞-上是增函数和a x a x a x a x -<-><2121,,的意义作草图可知有()()2122x a f x a f ->-；点评 复合函数与其外层函数之间的关系，借助图象变换认识直观，利用对称性和单调性比较大小，这是函数图像和性质的具体应用。
例 （０８重庆）若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R 有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是A f(x)为奇函数B f(x)为偶函数C f(x)+1为奇函数D f(x)+1为偶函数 解析：赋值运算为突破口。
令x1=x2=0,可得1)0(-=f ，于是令x1=x,x2=-x 即得2)()(-=-+x f x f ，f(x)的图像关于)1,0(-对称，所以f(x)+1的图像关于)0,0(对称，f(x)+1为奇函数，选c.点评 若如果对于定义域内的任意一个x 的值，)()(x b f x a f --=+.则函数)(x f 的图像关于点(,0)2a b +中心对称.特别地，若),()(x a f x a f --=+则函数)(x f 的图像关于点)0,(a 中心对称. 这是研究函数本身关于特殊点对称的充要条件。
例（０８全国1）奇函数)(x f ，且在在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--x x f x f 的解集为（ ）A ),1()0,1(+∞⋃-B )1,0()1,(⋃--∞C ),1()1,(+∞⋃--∞D )1,0()0,1(⋃-答案：D ；解析 注意函数)(x f 图象关于原点对称的特征，则()()f x f x -=-化简函数不等式0)()(<--x x f x f 等价于0)(<x xf ，可构造不同的模拟函数求解。
方法1：利用函数)(x f 图象关于原点对称和同号特征，原不等式等价于0)(<x xf ， 由已知 模拟)(x f 的图像如右上图，可得不等式的解集为)1,0()0,1(⋃-，选D.f(x)f(x)2f(x)2f(x)=f(x)=<0x xf(x)x y=f(x)y=x D －－解析 由函数图象关于原点对称即－－，∴∴与异号，可以画出两个特殊图象和即为答案为。
点评 认识和理解图象关于原点对称的意义()()f x f x -=-，认识函数图象的对称性和同号的简化功能的认识，对应法则不确定的函数构造模拟函数使复杂问题简单化，这是构造的数学思想和方法的体现。
本题的两种构造模拟函数的方法，来源于平时对函数求解总结提炼和积累，要好好回味不同的构造函数模型的过程，自觉提高求解抽象函数问题的能力。
考点５ 抽象函数中注意其对称性和周期性的探究例 定义在R 上的奇函数()x f 满足()()11,23=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=f x f x f ,则()()++21f f ()()=+20083f f 解析 由函数奇偶性的意义和已知关系式探求周期由()()33232323=∴+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=T x f x f x f x f()()()=++321f f f 0 ∴()()++21f f ()()=+20083f f ()()111-=--=f f 感悟 函数的周期性和奇偶性就是为简化计算引入的，抽象函数问题，要挖掘题设条件，类比三角函数掌握探究周期的方法，提高简化求解问题的能力，看一看近几年的高考题。
再次感悟学习图象和性质的出发点和归宿.( 2009·山东文理16)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<12x x +=-4x x +=12341248x x x x +++=-+=-答案：-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,( 2009·辽宁文6)已知函数()f x 满足：x≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝ （A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38 解析：∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)， 且3＋log23＞4∴2(2log 3)f +＝f(3＋log23) ＝12221log 33log 3log 311111111()()()282828324+=⨯=⨯=⨯=(2009·辽宁文理9)已知偶函数()f x 在区间∞[0,+)上单调增加，则1(21)()3f x f -<的x 取值范围是12()(,)33A 12()[,)33B 12()(,)23C 12()[,)23D A 解析：由已知有1|21|3x -<，即112133x -<-<，∴1233x <<。
（山东10.）定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2解析: 由目标意识函数可能为周期函数，区间上求值探究，由已知得2(1)l o g 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C.感悟：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算；对函数对应法则的递推关系可类比数列的类似性质性质进行探究，根据特殊值得探究，观察函数值的规律，归纳函数的周期性进行求解，这类方法要好好总结．( 2009·山东文12．)12． 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )．A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D ．答案：D ．【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题．。