与角平分线有关的基本模型

1．(2019·大庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外
角∠ACM 的平分线，BE 与 CE 相交于点 E.若∠A＝60°，则∠BEC＝( B )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
2．(2018·黄石)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内 角的一半．
模型3 两外角平分线的夹角 ∠如A之图间，的在关△系AB为C：中∠，OBO＝，90C°－O是12∠△AA．BC的外角平分线，则∠O与
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的 一半的差．
.
模型 4 内角平分线和高线的夹角 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线(AE 可能在 AD 的左侧或右侧)，则∠EAD＝ 12|∠B－∠C| ．
别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋
∠ACD＝(A ) A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
3．(2018·深圳改编)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC， BE 平分∠ABC，AD，BE 相交于点 F，且 AF＝4，EF＝ 2，则 AE＝ 10．
与角平分线有关的基本模型
一、三角形中角平分线的夹角问题
模型 1 两内角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G，
则∠BGC 与∠A 之间的关系为： ∠BGC＝90°＋12∠A
．
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一 半的和．
模型 2 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与 CP 相交于点 P，则∠P 与∠A 之间的关系为： ∠P＝12∠A．
A．2＋ 2 B. 2＋ 3 C．2＋ 3 D．3
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9．(2019·永州)已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线 DE⊥OA，垂足为 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图 所示．若 DE＝2，则 DF＝ 4 ．
10．(2019·威海改编)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 于点 E，且 EC 平分∠BED.连接 BE.若 AB＝6，则 CD＝ 3．
解：结论：AB＝AF＋CF. 证明：延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝BE. ∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G. 又∵∠AEB＝∠GEC，BE＝CE， ∴△AEB≌△GEC(AAS)． ∴AB＝GC. ∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG＝∠FAG. ∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG. 又∵CG＝CF＋FG，∴AB＝AF＋CF.
解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可 以得到一个等腰三角形．
5．(2019·陕西)如图，OC 是∠AOB 的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则
∠2 的度数为( C) A．52°
B．54°
C．64°
D．69°
6．(2018·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，
过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC.若 AN＝1，则 BC
的长为( B)
A．4
B．6
C．4 3
D．8
7．(2019·安顺节选)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点．若 AE 是∠BAF 的平分线，试探 究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．
模型 2 利用角平分线，作辅助线构造全等三角形 ①过角平分线上的点作角两边的垂线 如图 1，BO 是∠ABC 的平分线，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥BC 于点 F，则 OE＝OF，△BEO≌△BFO.
图1
②过角平分线上任意一点作角平分线的垂线 如图 2，BO 是∠ABC 的平分线，EF⊥BO，则△BEO≌△BFO. ③采用截长补短法构造全等三角形
4．如图，在△ABC 中，∠A＝α，△ABC 的两外角平分线交于点 D1，
∠CBD1 的平分线与∠BCD1 的平分线交于点 D2，∠CBD2 的平分线与 ∠BCD2 的平分线交于点 D3，则∠D3＝ 157.5°－81α (用含 α 的代数式表示)．
二、与角平分线有关的图形和辅助线作法 模型 1 角平分线＋平行线→等腰三角形 常见模型有以下四种：
12．感知：如图 1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易 知：DB＝DC.
探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°， 求证：DB＝DC.
图3 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
③采用截长补短法构造全等三角形 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
(截长法)在BC上取线段BE＝BA，连接OE， 则△BEO≌△BAO；
( 补 短 法 ) 延 长 BA 至 点 D ， 使 BD ＝ BC ， 连 接 OD，则△BDO≌△BCO.
11．如图，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC ＋CD.
证明：延长 AC 至点 E，使 AE＝AB，连接 DE. ∵AB＝AE，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)．∴∠B＝∠E. ∵∠ACD＝∠E＋∠CDE，∠ACD＝2∠B， ∴∠ACD＝2∠E.∴∠E＝∠CDE. ∴CD＝CE.∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD.
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角 平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两 端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．
8．(2019·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E.若 DE＝1，则 BC 的长为(A )