勾股定理及两点间距离公式B(学生版)
坐标系中两点间的距离公式
坐标系中两点间的距离公式
在坐标系中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
这个距离可以用勾股定理来计算，也可以用坐标系中两点间的距离公式来计算。
本文将介绍坐标系中两点间的距离公式及其应用。
坐标系中两点间的距离公式
假设在坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式来计算：
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
其中，d表示两点之间的距离，√表示开方，(x2 - x1)²表示x2与x1之间的差值的平方，(y2 - y1)²表示y2与y1之间的差值的平方。
应用举例
假设在坐标系中有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以用上述公式来计算它们之间的距离：
d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²]
= √[3² + 4²]
= √(9 + 16)
= √25
= 5
因此，点A和点B之间的距离为5。
坐标系中两点间的距离公式的应用不仅限于计算两个点之间的距离，还可以用于其他问题的求解。
例如，我们可以用这个公式来计算一个点到某一直线的距离，或者计算一个点到某一平面的距离等等。
总结
坐标系中两点间的距离公式是计算两个点之间距离的一种常用方法。
它可以用于计算两个点之间的距离，也可以用于其他问题的求解。
在实际应用中，我们可以根据具体问题来选择合适的方法来求解。
平面坐标2点之间距离公式
平面坐标2点之间距离公式在平面直角坐标系中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
这个距离可以用一个简单的公式来计算，即两点间距离公式。
本文将介绍如何使用该公式来计算平面坐标系中两点之间的距离。
1. 坐标系简介平面直角坐标系是一个由两条垂直的坐标轴组成的二维坐标系。
其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
任意一点在坐标系中可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x是该点在x轴上的坐标，y是该点在y轴上的坐标。
2. 两点间距离公式设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们需要计算这两点之间的距离。
根据勾股定理，两点之间的直线距离可以表示为：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，√表示开平方根，(x2 - x1)²表示x坐标差的平方，(y2 - y1)²表示y 坐标差的平方。
3. 实例演示假设有两点A(3, 4)和B(-2, -1)，我们将演示如何使用上述公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们可以计算出：距离= √((-2 - 3)² + (-1 - 4)²)= √((-5)² + (-5)²)= √(25 + 25)= √50≈ 7.07所以，点A和点B之间的距离约为7.07个单位。
4. 总结通过上述实例演示，我们可以看到，在平面直角坐标系中，计算两点之间的距离可以使用距离公式。
这个公式简单直观，只需要计算两点的坐标差的平方和，然后将其开平方根即可得到两点之间的距离。
在实际应用中，这个公式可以用于测量两个平面坐标点之间的距离，以及计算线段或多边形的长度等。
它在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
希望本文能够帮助你理解平面坐标系中两点之间距离的计算方法，并能够应用于实际问题的解决中。
两点间距离公式的推导过程
两点间距离公式
两点间距离公式是∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
设两个点A、B以及坐标分别为：A(X1,Y1)、B(X2,Y2)则A和B两点之间的距离为：∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。
两点距离公式是常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式推论：
已知AB两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)。
过A做一直线与X轴平行,过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。
则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴);则三角形ACB为直角三角形，
由勾股定理得：AB^2=AC^2+BC^2;故AB=根号下AC^2+BC^2,即两点间距离公式。
点到直线的距离：
直线Ax+By+C=0 坐标(x0，y0)那么这点到这直线的距离就为：d=│
Ax0+By0+C│/根号(A^2+B^2)。
初二上勾股定理(经典题型)
初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。
勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。
勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。
解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。
解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。
例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。
两点间的距离公式和中点公式
两点间的距离公式和中点公式首先，让我们来看两点间的距离公式。
假设有两个平面上的点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的直线距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式实际上是根据勾股定理推导出来的。
我们可以将点A和点B看作是一个直角三角形的两个顶点，而线段AB就是斜边。
根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和。
在这里，两个直角边的长度分别是(x2-x1)和(y2-y1)，所以直线距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
这个公式的意义非常直观。
实际上，我们可以将其应用到三维空间或更高维度的情况中。
只要将坐标分量的平方和根号进行推广即可。
这个公式在测量两点间的距离时非常有用，例如在地理学和导航系统中，我们可以使用它来计算两个地理位置之间的直线距离。
接下来，我们来看中点公式。
中点公式用于计算一个线段的中点坐标。
假设有一个线段AB，其中点A的坐标为(x1,y1)，而点B的坐标为(x2,y2)，线段AB的中点C的坐标可以通过以下公式计算：Cx=(x1+x2)/2Cy=(y1+y2)/2中点公式的推导非常简单。
由于线段AB的中点C位于点A和点B之间，所以C的x坐标就是x1和x2的平均值，而C的y坐标就是y1和y2的平均值。
这个公式也可以推广到更高维度。
例如，在三维空间中，线段的中点可以表示为(x1+x2)/2，(y1+y2)/2和(z1+z2)/2中点公式在几何学和代数学中经常使用。
它可以帮助我们计算线段的中心位置，这在绘图和建模中非常有用。
此外，中点公式还可以与向量的概念结合使用，用于计算线段的向量表示。
总结起来，两点间的距离公式和中点公式是数学中两个非常重要的公式。
两点距离公式用于计算平面上两个点之间的直线距离，而中点公式用于计算线段的中点坐标。
尽管它们的推导和计算方法都非常简单，但它们在几何学、代数学和应用数学中有广泛的应用。
沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义
点 ， 之间所连线段的中点 坐标为（ ， ）
公式对于 和 两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在 中， 那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得 或 ，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在 轴上，那么可设B的坐标为（0， ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（ ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与 轴的距离等于1，则点B在与 轴平行且分布在 轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1， ）和（-1， ）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为 （ 为正整数），显然 最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解： 联结AC
在Rt 中，因为 ，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在 中，AC=15，AD=8，CD=17
而 ，即
所以 为直角三角形，且 （勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且
勾股定理及两点间的距离公式
模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -； （2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】 知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。
3.1 探索勾股定理(学生版) 2024-2025学年七年级数学上册同步课堂(鲁教版五四制)
3.1 探索勾股定理◆勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：222a b c += ．题型一 应用勾股定理求线段长1.（2024春•嘉祥县期中）如图，在ABC D 中，90C Ð=°，若1AC =，2AB =，则BC 的长是( )A ．1BC．2D2.（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，3BC =，4AC =，CD AB ^于点D ，E是AB的中点，则DE的长为( )A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9题型二应用勾股定理求面积1.（2024春•齐河县校级月考）如图，字母B所代表的正方形的面积是( )cmcm D．306 2cm B．15 2A．12 2cm C．144 22.（2022秋•郓城县期中）如图，在Rt ABCD中，90Ð=°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在C数学史上称为“希波克拉底月牙”，当4BC=时，则阴影部分的面积为( )AC=，2A．4B．4p C．8p D．83.（2024春•济南期末）已知，如图长方形ABCD中，3=，将此长方形折叠，使点BAD cmAB cm=，9D的面积为( )与点D重合，折痕为EF，则ABE6cm D．212cm3cm B．24cm C．2A．24.（2023秋•阳信县期末）如图，在Rt ABCAB=，则正方形ADEC和正方形BCFGÐ=°，若15D中，90C的面积和为( )A．225B．200C．150D．无法计算5.（2024春•沂水县校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是( )A．50B．16C．25D．416.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )A．16B．25C．144D．169题型三勾股定理的证明1.（2024春•历下区期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )A．B．C．D．2.（2024春•梁山县校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若7ab=，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为( )A．16B．8C．4D．23.（2024春•阳谷县校级月考）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a b+的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．84.（2024春•嘉祥县期中）如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值是( )A ．25B ．17C ．29D ．225.（2023秋•邹平市期末）下面图形能够验证勾股定理的有( )A ．0B ．1C ．2D ．36.（2022春•兖州区期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )A ．B ．C ．D ．7.（2024春•齐河县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么2()a b +的值为 ．8.（2015秋•滕州市校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为 ．9.（2024春•河东区校级月考）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a 、b 、c ，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用2()a b +表示，也可以用含a 、b 、c 的代数式表示为 ，那么可以得到等式： ．整理后，得到a 、b 、c 之间的数量关系：222a b c +=，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a 、b 与斜边c 所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形ABC 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，那么AB = ，点D 为射线BC 上一点，将ACD D 沿AD 所在直线翻折，点C 的对应点为点1C ，如果点1C 在射线BA 上，那么CD = ．（直接写出答案）10.（2024春•兰山区校级月考）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a ，()b a b <，斜边长为c ．（1）探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②)．①小正方形的边长为c ，大正方形的边长为 ；②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式 ，整理得 ，从而验证勾股定理；（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使BC 和CD 在一条直线上，连接AE ．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．11.（2024春•昌乐县期中）公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222a b c +=．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足222a b c +=，则这个三角形是直角三角形．（1）小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形ACDE 边CD 上取点B ，连接AB ，得到Rt ACB D ，三边分别为a ，b ，c ，剪下ACB D 把它拼接到AEF D 的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理．（2）一个零件的形状如图3，按规定这个零件中A Ð和C Ð都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸（单位：)cm 如图③所示，这个零件符合要求吗？12.（2024春•长清区期中）（1）计算：(2)()a b a b ++= ；（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：图2: ；图3: ；（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，再做1个长分别为c 的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：222a b c +=．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即222a b c +=．（4）如图5，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD 是AB 边上高，4AC =，3BC =，求CD 的长度．。
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学科教师辅导讲义
2． 已知直角三角形的两边长分别是8cm 和6cm ，求它的面积.
题型三：
【例9】如下图，字母B 所代表的正方形的面积是 ；
【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子吃完小朋友洒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？
【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
B
169
25
C B A
【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？
【例13】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
你能结合这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？
【借题发挥】
1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，
C
（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。
（2）求∠ADC 的度数。
6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长
为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？
题型四：两点间距离公式
【例14】求下列两点间的距离：
（1）()2,8A -和()3,4B - （2）(
)
2,1C 和()
2,3D -
（3）(
)
3,2P
-和()23,1Q （4）(
)5,2M
-和()
2,5N
1．在直角三角形ABC 中，3,4a b ==，则c = .
2．直角边分别为8cm 和15cm 的直角三角形的斜边上的中线长 cm . 3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则它的面积等于 . 4．已知代数式2425x z -+-与代数式21449y y -+的值互为相反数，则以,,x y z 为三边的三角形的形状为
三角形,
5．如图，在圆O 中，AB 是弦，直径CD 垂直平分AB 于M ，CD 15cm =，:3:5OM OC =,则弦AB 的长为 .
解答题：
1．在直角坐标平面内，已知点()6,2A -，点()2,4B -，在x 轴上有一点P ，且PA PB =.求点P 的坐标.
2．已知：在△ABC 中，26,24,10AB cm AC cm BC cm ===，D 是AB 中点.求线段CD 的长.
3．以()()()1,1,0,3,3,1A B C --三点为顶点，能否构成一个三角形？若能，请判断这个三角形的形状;若不能，请说明原因,
4．菱形的周长为20cm ，它的一个锐角等于60°，求它的面积.
【课堂总结】
【课后作业】 一、基础巩固训练
填空题：
1．如果等腰直角三角形有一条边长2厘米，那么它的另两条边长分别长 厘米.
2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点，3,33AC BC ==,则∠DCE 的度数为 .
3．点()2,1A -和点()3,2B -之间的距离AB 为 .
4．如果边长为3厘米的小正方形的面积之和等于一个大正方形的面积，那么大正方形的边长为 厘米.
5．如果点()4,8M 和点(),5N a 之间的距离等于5，那么a 的值为 .
选择题：
1．以下列各组数为三边长的三角形中，不能组成三角形的是（ ）
A.31,31,22+-;
B.3.5,4.5,5;
C.4,7.5,8.5;
D.()221,2,11n n n n -+>.
2．在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（ ） A.偶数; B.奇数; C.自然数; D.以上结论都不对. 3．在下列命题中，真命题有（ ）
①有一个角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形；
②有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形； ③三条边长分别为10,20,30的三角形是直角三角形；
④三个外角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形. A.4个; B.3个; C.2个; D.1个.
4．三角形三个内角的度数比为3:2:1，那么它的三条边的长度之比为（ ） A.3:2:1; B.3:2:1; C.2:3:1; D.9:4:1.
5．已知直角三角形有一条直角边长11厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为（ ） A.120厘米; B.132厘米; C.144厘米; D.156厘米. 解答题：
1．已知：在△ABC 中，AB AC =，D 是底边BC 上任意一点，连结AD .求证：2
2
AB AD BD DC -=⋅.
2．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，2
AB BC a
==，AD是BC边上的中线，把点A翻折与点D重合，得到折痕EF，求线段AE与线段BE的长度之比.
3．点P、Q为Rt△ABC斜边AB的三等分点.
（1）若CP⊥AB，CP=2，求斜边AB的长.
（2）若2
CP CQ
==，求斜边AB的长.
二、综合提高训练
1．△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？
A B
C
a
b
c
S1
S3
S2
A
C
a
b
c
S2
S3
B
S1
2．你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！。