2001-09东南大学高等代数真题
东南大学高数习题
ln 2 t 1600
x Ce kt
C m0
说明镭随时间的增加而 按指数规律衰变 .
4.2.2 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为：
y P( x) y Q( x)
其中 P ( x ), Q ( x ) 为连续函数。
若 Q ( x ) 0 ，则称 y P ( x ) y 0 ①
§4.1 微分方程的基本概念
例 1．求过点(1, 3) 且切线斜率为2x 的 曲线方程。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数g ( g 0) ，且初
始位置为 0， 初速度为v ，求自由落体的运动规律。
1.微分方程的定义
含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分)的 等式称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未 知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
f 此类问题的解法是利用对变限求导，化为 (x) 的微分
方程初值问题，然后求解。
dy f ( x)dx g ( y)
G( y) F ( x) C (微分方程的隐式解 )
若g ( y0 ) 0 , 则y y0为常数解。
例1．求微分方程
y y xy 0
的通解。
放射出微 例 2 镭的衰变: 放射性元素镭由于不断 粒子而减少质量 设衰变速度与镭的剩余 , 量成正比, 已知镭的原质量为 0 , 经过1600 m 年后, 只剩下原质量 的一半.求镭的衰变规律 .
ln y P( x)dx C1,
y e P( x)dxC1 ,
即 y eC1 e P( x)dx ，
令 C eC1 ，又 y 0 为特解， 得方程的通解： y Ce
东南大学高数D总习题
,
1 ∴ S 8 2
12
3 4 r 2 () d 4 4 d 0 0 3cos 2 sin 2
1 4 d (tan) 12 2 0 3 tan
1 tan arctan 3 3
4 0
1 2 3 12 . 3 3 6
第三章总习题
5．设 y
1sint 1
1 (1 e u )du ,其中 t (x) t
是由方程
x te t 0 所确定的隐函数，求dy t 0 。 dx
6．设函数 f 在[0,)连续 ，且 f ( x) 0 ，证明当x 0 时 ，
0 tf (t )dt 单调增加。 函数 ( x) 0 f (t )dt
2
2 udu 2 0 2 2 2
2
2
2
2 2.
x2 y2 18． （3）求由 y 2 1 和 x 2 1 所围成的面积 S。 3 3
解:要求的是两椭圆的公共部分的面积， 由对称性可知它是阴影部分那块面积 的八倍。又这两个椭圆的交点在直线 y x 和 y x 上。
a 1
2
y (ax x )(a 0) 与直线 x
2
a 所构成的图形面积最大。 a 1 2 a a y 2 (ax x ) 交点(0,0), ( , ). 解： a a 1 a 1 yx a a 1 a 1 a 2 1 3 aa 1 1 2 S a1[ (ax x 2 ) x]dx 2 ( x x ) x 0 2 3 0 a2 a 2
0 x
x 0
sin t dt cx 以 为周期。
x 0 x
东南大学线性代数几何代数历年试题
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）
东南⼤学⾼数（上）⾄年期末考试（附答案）东南⼤学⾼数(上)⾄年期末考试(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：03～10级⾼等数学（A ）（上册）期末试卷2003级⾼等数学（A ）（上）期末试卷⼀、单项选择题（每⼩题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由⽅程+-=yx t x dt e12确定，则==0x dxdy（）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所⽰，则导函数)(x f y '=的图形为（）4．微分⽅程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===⼆、填空题（每⼩题3分，共18分）2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ?+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分⽅程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每⼩题6分，共36分）1．计算积分dx x x+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ?5cos sin3. 计算积分dx e x x ?-2324. 计算积分?5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3→6.求微分⽅程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分⽅程xxe y y y 223-=+'-''满⾜条件0,000='===x x y y 的特解五.（8分）设平⾯图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转⼀周所⽣成的旋转体的体积。
全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦 门 大 学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
10.四川大学高等代数考研真题及 详解
2013年四川大学931高等代数考研真 题及详解
2011年四川大学高等代数考研真题
11.浙江大学高等代数考研真题
2012年浙江大学601高等代数考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：高等代数（601）
5.中 山 大 学 877高等代数考研真题
2015年中山大学877高等代数考研真题 2014年中山大学874高等代数考研真题 2013年中山大学869高等代数考研真题 2012年中山大学869高等代数考研真题 2011年中山大学875高等代数考研真题 6.中南大学高等代数考研真题 2011年中南大学883高等代数考研真题 7.湖南大学高等代数考研真题 2013年湖南大学813高等代数考研真题 8.华 东 师 范 大 学 817高等代数考研真题 2013年华东师范大学817高等代数考研真题 2012年华东师范大学817高等代数考研真题 2011年华东师范大学817高等代数考研真题 9.华中科技大学高等代数考研真题及详解 2013年华中科技大学高等代数考研真题 2012年华中科技大学高等代数考研真题及详解 2011年华中科技大学高等代数考研真题 10.四川大学高等代数考研真题及详解 2013年四川大学931高等代数考研真题及详解 2011年四川大学高等代数考研真题 11.浙江大学高等代数考研真题 2012年浙江大学601高等代数考研真题
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
09-10-2几代B 东南大学几何与代数试卷
六. （12%）假设二次型 f (x1, x2, x3) x12 x22 ax32 4x1x3 2x2x3 。 1. 求一可逆线性变换 x Cy 将 f 化成其标准形； 2. 求 f 的矩阵 A ，问：当参数 a 取什么值时， A 的特征值都大于零？ 3. 如果二次曲面 f (x, y, z) 1表示单叶双曲面，问：参数 a 应满足什么条件？
2 x4 4 x4
1 b
。
3x1 5x2 x3 (a 6)x4 5
1． 当参数 a,b 满足什么条件时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？ 2．有无穷多解时，求方程组的通解。
1 1 1 2 0 0
四.
14%）假设矩阵
A
2
4
2
,
B
0
2
0
，且
A
与
B
相似。
3 3 a 0 0 b
；
3.
直线
x
x
y 3z 2y z
2 1
的一个方向向量为
；
4. 点 P(1,1,1) 到平面 x 2y 2z 3的距离是
；
1 1 1
5.
如果向量组
1
,
a
,
2
线性相关，则参数
a
满足条件
；
a a 1
6.
向量
1 2
在
R2
的基
1 1
,
3
2
下的坐标是
；
7.
如果
1 1
止 于 至 善
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
09-10-2几代B
东南大学高数试卷及答案-11-12-2高数期末试题(有答)-1
共 4 页 第 1 页11-12-2高数期末试卷(150分钟)一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．曲线32635y x x x =-++上的拐点坐标是(2,5)-；2．曲线211x y x +=-的斜渐近线方程是1y x =+；3．抛物线2(1,0)y x x =-在点处的曲率是2；4．曲线段321 (01)312x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩的弧长是1；5．sin 20ln(1)li 1cos 4mxx t dtx→+=-⎰6．设2, 0(), 0x x x x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，则31(2)f x dx -⎰76e -=；7．微分方程2(1)0xy x y '--=的通解是212x Cxey -=；8．设212()ln x f t dt x +=⎰，其中()f t 为连续函数，则 11)8(10f =； 9．在2sin ()n y x n R x ==的2阶Maclaurin 公式中，Lagrange 余项为21(1)cos()(01)(21)!n n x x n θθ+-<<+。
二.计算下列各积分（本题共4小题，每小题8分，满分32分） 1．⎰C =+2. 1202 2x dx x x +--⎰ 5ln 23=- 3．1ln(1)x dx -⎰1=-共 4 页 第 2 页4． 2arcsin xdx x⎰arcsin ln x C x =-++三．（本题满分6分）一物体由静止开始作变速直线运动，在t 秒末的速度是23(/)t 米秒，问：（1）在t 秒末时，物体离开出发点的距离是多少？ （2）需要多少时间走完343米？3(1) ; (2) 7t m t s =四．（本题满分9分）过原点引抛物线2(1) 3 (0)y a x a =++>其中的两条切线。
设切点分别为,A B ， （1）求两条切线,OA OB 与此抛物线所围部分的面积()I a ； （2）求()I a 的最小值。
线性代数与解析几何__东南大学(28)--2010-2011-2《几何与代数B》试题参考解答
X.
解: 由 AX = B-X 得(A+E)X = B.
�2 0 0
由(A+E, B) = � � �02
2 0
0 2
2 0 4
6 -2 0
� � � �初uuu等uuu行uuu变uu换uur
�1 � � �00
0 1 0
0 0 1
1 3 � �1 3 �
0 1
--31� � �得 X = � � �10
x+2 -3
=
y -1 1
=
z 1
.
注: 也可以由(1, 2, 1)(2, 5, 1) = (-3, 1, 1)求 s.
�1 0 0� �2 6 �
四. (8 分)设 32 矩阵 X 满足 AX = B-X, 其中 A = � � �02
1 0
0 1
� � �, B
=
� � �04
-2 0
� � �, 求
八. (10 分) 1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A* O, 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的 两个不同的解. 证明:
(1) 1-2 为齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
证明: 因为1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解, 所以 1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的非零解. 因而|A| = 0. 又因为 A* O, 所以 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零, 可见 r(A) = n-1. 因而 Ax = 的基础解系中只有一个解向量. 所以1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
ﾱ(x -1)2 + ( y -1)2 = 1, ﾱﾱz = 0.
3. 在右边的坐标系中作出曲面 S 和曲线 c1 的图形
东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)
3.求 (
ln x 2 ) dx x
t t
解：令 t ln x, 则x e , dx e dt , (
t2 ln x 2 ) dx 2t e t dt = t 2 e t dt t 2 e t 2te t x e
2e t C
(ln x) 2 2 ln x 2 C x
f ' ( x)
1 1 1 1 f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] f (2) f (0) 2 2 2 2 1 1 1 (2 x) 2 x 2 2 2
( x 1) 2 2
，
1 1 f ' ' ( ) (2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 2 2
和发散，并证明 F ( p) 在 p > 0 上连续． 五、(本题满分 12 分) 证明级数
å
¥
(- 1)n- 1 ( n n - 1) 条件收敛．
n= 1
六、(本题满分 12 分) 设函数项级数
å
¥
un ( x) 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，且对每个 n ， un ( x) 在上 I 上一
解 ：
f ' ' ( ) (0 x ) 2 , 2 f ' ' ( ) f (2) f ( x) f ' ( x)(2 x) ( 2 x) 2 2 1 f (2) f (0) 2 f ' ( x) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 1 2 f ' ( x) f (2) f (0) [ f ' ' ( )(2 x) 2 f ' ' ( ) x 2 ] 2 f (0) f ( x) f ' ( x)(0 x)