函数单调性第一课时(公开课)
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函数的单调性与导数--公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
假如函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数旳单调区间。
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
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03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
3.2--3.2.1--第一课时-函数的单调性公开课
[做一做]
1．下列命题中真命题的个数为
()
①定义在(a，b)上的函数 f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当 x1<x2 时，有 f(x1)<f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上单调递增； ②如果函数 f(x)在区间 I1 上单调递减，在区间 I2 上也单调递 减，那么 f(x)在区间 I1 和 I2 上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当fxx11－－fx2x2<0 时，f(x)在 (a，b)上单调递减；
复合函数y＝f(g(x))的单调性 [问题探究]
[典例] 已知函数f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]． (1)判断此函数在x∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤．
[解] (1)函数f(x)＝x－2 1可分解为函数y＝u2和函数u＝x－1.
[母题探究] 1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(－∞，3]，
求a的值．
解：由题意知－a－1＝3，即a＝－4. 2．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a
的取值范围． 解：由题意可以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
意”；由 f(x)＝1x，可知②是假命题；
∵fxx11－ －fx2x2<0 等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于
fx1－fx2>0， x1－x2<0
或
fx1－fx2<0， x1－x2>0，
即 fx1>fx2， x1<x2
或
fx1<fx2， x1>x2，
∴f(x)在(a，b)上单调递减，③是真命题，同理可
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
【课件】函数单调性第一课时课件
置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
象表示的函数不是一个单调函数.
x0
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象， 根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y=f（x）是增函数还是减函数?
解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1）
[1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
<x 1
x 2
2.作差变形 （一般地） 即作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解
、配方法、有理化等方法化为积商形式，向有利于判断
差的符号的方向变形，直到可以判断符号为止。
3.判定正负 确定f(x1)-f(x2)的正负
4.判断 根据定义作出结论
即“取值-作差-定号-判断”
例3：证明函数f(x)= x3在R上是增函数.
三、练习
(1)判断函数f (x) 1 在(,0)上是增函数还是减函
x
数 ? 并证明你的结论.
减函数
证明:设x1, x2是(,0)上任意的两个实数,且x1 x2
则：f (x1) f (x2 由x1, x2 (,0),
11
)
得x1xx12
x2 0
x2 x1 x1x2
又由x x ,得x x 0
g(x)在区间[ ,
),[
,
2 22 ]上是减函数，
2
22
在区间[ , ]上是增函数。
22
例2：证明函数f (x) 1 在(0,)上是减函数 x
证明:
设x 1
,
x 是(0, 2
)上任意的两个实数,
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
THANKS FOR WATCHING感Biblioteka 您的观看CHAPTER 03
函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
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当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
0
工人数
2.整个上午（8:00~12:00）天气越来越暖，中午时分（ 12:00~13:00 ）一场暴风雨使 天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉. 画出这一天8:00~20:00期间气温关于时间函数的一个可能图像，并说明所画函数的单 调区间. 3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函 数. y
y
y x2
o x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
合作交流：
例1、下图为函数 y = f x , x [4, 7] 的图像， 指出它的单调区间。 y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4
x
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 如果函数 f ( x ) 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f ( x ) 在该区 间上为增函数；如果函数 f ( x ) 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函 数 f ( x )在该区间上为减函数．
课堂效果提升：教材P39习题1.3A组第1题，第4题
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
-1
0
1
2
3
4
5
x
课堂小结：
增函数 图象
y2 y1
O
减函数
y1
y
x1 x2
y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2
y2
x
O
x
图象 特征 数量 特征
上升 自左至右，图象____.
下降 自左至右，图象_______ .
增大 当任意 y随x的增大而_____. y1＜y2 x1＜x2时，都有_________
减小 y随x的增大而_______. 当任意 y1＞y2 x1＜x2时，都有________
4 3 2 1
0 4
0 4
函数 y x 在 [0, ) 上 y随x的增大 而增大，在 (, 0) 上y随x的增大而减小．
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4 2
x
1 y (0, ) 函数 上 y随x的增大而减 x在 小，在 (, 0)上y随x的增大而减小．
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
三．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
I
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
函数的单调性
一、新课导入
下面是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
问题：观察图形，能得到什么信息？
二、归纳探索，形成概念 1 2 y x 2 , y x 2 , y x , y 问题1：分别作出函数 的图象，并且观察自变 x
量变化时，函数值有什么变化规律？
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
y
4 3 2 1
y
4 3
2 1 0 4
0
4
函数 y x 2 在整个定义域内 y随x的增 大而增大；
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 -4
x
y
函数y - x 2 在整个定义域内 y随x的 增大而减小． y
4 3 2 1
3
-4 -3
-2 -1 o
-1.5
2 1 -1 -2
1 2 3 4 5 6 7x
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7] 注意：如果有多个单调区间，各区间之间用“ ”隔 开
，
学习效果展示：
练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 生产效率