变限积分与微分方程
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
第二章 微分和变分
最小二乘法(Least square method)
通过使在整个求解域上的平方和取极小值来消除残值
V
R R dV I
T
湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical & Vehicle Engineering, Hunan University
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连续介质系统
微分方程 (Differential formulation) 变分方程 (Variational formulation)
加权余量法 Weighted residual method(WRM) Galerkin Method 最小二乘法 Least square method 配点法等
xL
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虚位移原理-平衡方程和约束条件
由此我们可以推导得到微分形式
u 2u B R AE 2 f 0 EA x x L x 2 2 2 u 1 u E u B 2 2 C f A 2 2 x C t t
有限元基础知识：虚位移原理，加权余量 法
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三本教材 The Finite Element Method-Volume I 有限单元法基本原理和数值方法 有限元法的实用教程
变上限积分跳跃间断点可导的证明
变上限积分跳跃间断点可导的证明变上限积分跳跃间断点可导的证明一、引言在数学领域中，变上限积分是一种重要的积分形式，它的性质和应用广泛存在于微积分和实变函数理论中。
而对于变上限积分跳跃间断点可导的证明，具有一定的挑战性和深度，需要系统的推导和理解。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨这一主题，并进行全面评估，以便读者能更深入地理解。
二、变上限积分的概念和特点我们来回顾一下变上限积分的定义和基本特点。
对于函数$f(x, t)$，如果它在闭区间$[a, b]$上关于$t$是可积的，并且对于$x\in[a,b]$，函数$F(x)=\int_{a}^{x}f(x, t)dt$是关于$x$连续的，则称$F(x)$是变上限积分。
变上限积分的性质包括线性性、保号性等，是微积分理论中的重要内容。
三、跳跃间断点的概念和性质接下来，我们需要了解跳跃间断点的概念和性质。
在实变函数理论中，若函数$f(x)$在点$x_0$处的左右极限存在但不相等，我们称点$x_0$是函数$f(x)$的跳跃间断点。
跳跃间断点通常是函数不连续的重要原因，它具有一定的特殊性和复杂性。
四、变上限积分跳跃间断点可导的证明现在，让我们开始探讨变上限积分跳跃间断点可导的证明。
我们需要从基本的定理和性质入手，逐步推导和论证。
假设函数$f(x, t)$在闭区间$[a, b]$上关于$t$是可积的，并且对于$x\in[a,b]$，函数$F(x)=\int_{a}^{x}f(x, t)dt$是关于$x$连续的。
此时，如果函数$f(x, t)$关于$t$满足一定的条件，我们可以证明$F(x)$在跳跃间断点处是可导的。
具体而言，我们需要利用变上限积分的定义，结合导数的极限定义和连续函数的性质，对函数$F(x)$在跳跃间断点处的导数进行推导和分析。
通过严谨的推导和论证，可以证明变上限积分在跳跃间断点处是可导的，并且给出导数的表达式和性质。
这一证明过程需要较强的数学功底和逻辑推理能力，但对于理解变上限积分的深层含义和特殊性具有重要意义。
alevel数学a2知识点有哪些
alevel数学a2知识点有哪些
A-Level数学A2阶段的知识点主要包括：
1. 微积分：这是A2阶段的核心内容之一，涵盖了函数、导数、积分以及应用等方面。
具体包括高阶导数、定积分、变限积分和微分方程等重要概念。
2. 向量与三角法：这是另一个重要部分，涉及到向量的定义、运算规则，以及向量的点乘和叉乘等重要概念。
此外，还有三角法的基本性质、三角函数以及三角恒等式等相关内容。
3. 微分方程：这是A2阶段的重难点内容之一。
主要介绍微分方程的定义、分类以及一阶和二阶微分方程的求解方法。
还会通过一些实际问题，展示微分方程在物理和工程等领域的实际应用。
4. 统计与概率：这是另一个重要领域，详细介绍概率论的基本概念，包括随机变量、期望、方差以及常见概率分布等。
还会讨论统计学的基本原理和方法，包括样本调查、频率分布以及假设检验等。
5. 解析几何：这是A2阶段的最后一个重要模块，深入讨论点、直线、平面和圆等几何图形的方程和性质。
还会介绍点与直线的关系、点与平面的关系以及直线与平面的关系等重要概念。
此外，还会讲解三维空间中的向量和平面等相关内容。
6. 代数：这是A2阶段另一个重要的知识点，涉及到方程、不等式、函数和多项式等方面。
需要掌握如何解方程、如何求解不等式、如何求解函数和如何分解多项式等技巧。
7. 几何：涉及平面几何和立体几何等方面。
需要掌握如何计算图形的面积和周长，以及如何计算立体图形的体积和表面积等技巧。
以上知识点仅供参考，建议查阅A-Level数学教材或咨询专业教师获取更准确的信息。
一阶微分方程求解公式是变限积分
一阶微分方程求解公式是变限积分（最新版）目录一、引言二、一阶微分方程的基本概念三、一阶微分方程的求解方法：变限积分四、变限积分的求解步骤及示例五、结论正文一、引言微分方程是数学领域中的一个重要分支，它在物理、工程以及经济等多个领域中都有着广泛的应用。
微分方程可以根据其阶数进行分类，其中一阶微分方程是最基本的类型。
对于一阶微分方程，其求解方法有很多，而变限积分是其中一种非常实用的方法。
本文将详细介绍一阶微分方程以及其求解方法——变限积分。
二、一阶微分方程的基本概念一阶微分方程是指关于未知函数的一阶导数的方程，其一般形式可以表示为：dx/dt + p(t)x + q(t) = 0其中，p(t) 和 q(t) 是已知函数，x(t) 是未知函数。
解一阶微分方程，就是求解这个关于 x(t) 的方程。
三、一阶微分方程的求解方法：变限积分求解一阶微分方程的方法有很多，其中一种比较常用的方法是变限积分。
变限积分的原理是将微分方程中的未知函数看作是某个函数的导数，然后通过求解积分方程来得到未知函数的表达式。
四、变限积分的求解步骤及示例下面我们来详细介绍一下如何使用变限积分求解一阶微分方程。
步骤 1：根据微分方程的形式，确定积分方程的形式。
步骤 2：根据积分方程，确定积分的上下限。
步骤 3：对积分方程进行积分，求解出未知函数的表达式。
下面我们通过一个具体的示例来说明如何使用变限积分求解一阶微分方程。
示例：求解以下一阶微分方程：dx/dt + 2x + 1 = 0解：根据一阶微分方程的形式，我们可以得到积分方程：∫(dx/dt + 2x + 1) dt = ∫(0 + 2x + 1) dt = x^2 + 2x + t + C 其中，C 为积分常数。
根据积分方程，我们可以确定积分的上下限。
假设积分的上限为 t=T，下限为 t=0，则有：x^2 + 2x + T = 0解得：x = -1 ± sqrt(1 - T)根据求解出的 x，我们可以得到未知函数的表达式：x(t) = -1 ± sqrt(1 - t)五、结论通过以上示例，我们可以看到，利用变限积分求解一阶微分方程的方法是可行的。
高数重要知识点汇总
高数重要知识点汇总第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0,称f (x )是比g (x )高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0,称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
（3）l = 1,称f (x )与g (x )是等价无穷小,记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1− cos x ~ 2/2^x , x e −1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1高数重要知识点汇总准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．高数重要知识点汇总4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→例1计算极限0e 1lim x x x→-. 解 该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 0e 1lim x x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x ax bx→． 解 该极限属于“00”型不定式,于是由洛必达法则,得 00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大）,则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)n x x x n e→+∞>． 解 所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有 lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学上册-知识点总结 (1)
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→这个定理说明：当)()(lim0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
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等式两端乘以 x 得
2 x
xf x x e f t d t ，
x 0
两端关于 x 求导，得
f x xf x 2x e x x2 e x f x，
解出 f x 2 x e x ．
相关例题1
于是
f x f x d x 2 x e x d x x 1e x C ．
相关例题2
设函数 x 可导，且满足
x cos x 2 x sin t d t x 1 ．
x 0
解答：
两端对 x 求导得
xcos x xsin x 2 x sin x 1，
令 y x ，上式即为
y tan x y sec x ，
x e x x x x t d t
x x 0
e t d t ，
x x 0
由上式可知 x 可导，且有 x e x x ．
相关例题3
令 y x ，上式即为 y y e x ，且由 x 和
这是一阶线性微分方程，其通解为
相关例题2
ye sec x e tan x d x d x c 1 cos x sec x d x c cos x
tan x d x
cos xtan x c ，
又，从原式可得 0 1 ，代入上式得 c 1 ，于 是得
x 的表达式知： y0 1 ， y0 1 ，解此初值
问题，得
1 x cos x sin 分离变量的一阶微分方程，分离变量
并积分
f x 2 dx d x， f x x 1
2
解得 f x cx 1 ．由于 f 0 1 ，代入得
c 1 ，从而 f x x 12 ．
常见错误
在求导时混淆了上限变量和积分变量的区
在等式两端关于 x 求导，得
4x 5 f x 31 f t d t 3x 2 f x ，
x
整理后得
x 1 f x 31 f t d t ，
x
继续求导，有
f x x 1 f x 3 f x ，
或
x 1 f x 2 f x ．
x cos xtan x 1 sin x cos x ．
相关例题3
设函数 x 连续，且满足 求 x ．
x e t t d t x t d t ，
x x x 0 0
解答：
根据题设条件，可知 x 可导，且有
题
目
设 f x 连续可导，且 f 0 1 ，
4t 5 f t d t 3x 2
x 1
x
1
f t d t ，
求 f x ．
解题方法1
在等式两端关于上限变量求导，消去方程中 的积分上限函数，并得到一个便于求解的微分方 程，进而得出所求函数．
解题步骤1
别，得出错误结果．
方法总结
第一步：等式两端连续两次关于变量 x 求导，
得出一个一阶微分方程； 第二步：用分离变量法求解此微分方程，代 入初值条件，求得结果．
相关例题1 设 f x 在 0, 上连续，且 1 x x f x x e f t d t ， x 0 求 f x ．