3第三章刚体的转动
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
第3章 刚体的定轴转动 习题答案
1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解：
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示，细棒长度为l，设转轴通过棒上距中心d的一 点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O '，并说明这一转 动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来， 此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时，人和转椅这一系 统的转速、转动动能、角动量如何变化？
解：首先，该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ，初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n ， 由转动惯量的定义容易知，n 1 由角动量守恒定理容易求出，收回双臂后的角速度 初始角动能
M t J
代入数据解得：M 12.5 N m
3-4. 如图所示，质量为 m、长为 l 的均匀细杆，可绕过其一 端 O 的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固定在 一起。当该系统从水平位置由静止转过 角时，系统的角
速度、动能为？此过程中力矩所做的功？
解： 由角动能定理得：
解：设该棒的质量为m，则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'
0
r dr
2
3
0
r dr
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
3.刚体的定轴转动
a a n a
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
第三章刚体的转动
三、转动定律 第一转动定律：若 第二转动定律：
，刚体将保持原状
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物体， ,滑轮质量为m，半径为r，其转动 惯量可按 计算（视为圆盘），绳 与轮之间无相对滑动，试求物体的加速 度 和绳的张力。 例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对o杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆 静止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的 平面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹 性碰撞 ） ，结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 ，求小球最初被拉开的角度 。 4．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速 度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第三章 刚体的转动
一、基本概念 1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面 6．角坐标；角位移；角速度；角加速度
7. 线速度 8 刚体的平衡条件
二、转动惯量 (1)转动惯量定义：
(2)刚体的动能：
与(a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
四、刚体定轴转动的动能定理 1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 力矩所做的功为：
时，
五、定轴转动的角动量定理
1．定义：冲量矩= 2．刚体定轴转动的角动量定理 3．角动量守恒定律 当 时， 恒量 问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是 否有 、 ，其大小是否改变？ ②一个物体可以绕定轴做无摩擦的匀速运动，当 它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
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运动方程 (t)
z
, α
v
r •P θ
角速度 d
dt
刚体
参 考
角加速度
d
dt
d 2
dt 2
方 向 定轴
角量与线量的关系
v r
a r
an r 2
刚体匀变速转动公式 ：
设：t 0, 0 ; 0 ; c
则容易得到 ：
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2( 0 )
与匀变速直线运动公式类似。
当物体绕轴有一角位移 d 时，力 Fi
做的元功为
z d ds
o ri P
i
i Fi
dAi F i d r Fi cos i d r Fi cos ids Firi cos id Fi ri sinid
Mi Fi ri sini dAi Mid
设刚体从0 转到 ，则力 Fi作的功为
由转动定律 M J d d (J ) ( 刚体的J 恒量)
dt dt
Mdt dL d(J)
所以
t2 Mdt
t1
2 1
d ( J
)
J 2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段
时间内转动物体角动量的增量------角动量定理。
2、定轴转动刚体的角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis
m i
CR
例题 均匀圆盘：
JC mR 2
dm ds
m R 2
ds 2rdr
面密度
r
J r 2dm R r 2 2 rdr 0
R4 1 mR2
22
刚体的转动惯量与下列三个因素有关：
⑴与质量有关。形状、大小相同的均匀刚体总 质量越大，转动惯量大。
⑵与质量分布有关。总质量相同的刚体，质量 分布离轴越远，转动惯量越大。
JA
1 2
mA
rA2
和
JB
1 2
mB
rB2
)
B rB
A
rA
fB fA
关于刚体的静力学问题
Problem of statics of a rigid body
刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件
刚体受合外力等于零
Fi 0
整个刚体受合外力矩等于零
Mi 0
例题一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙
解：取盘上一质元
m
R2e
e
d
r dr
df dN dmg dM rdf
M
dM
R
0 rge2rdr
2 3
mgR
根据转动定律
2 mgR J 1 mR2
3
2
设盘经时间t停止
0 t
t
3 4
R
g
0
如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定 轴O转动，它们的质量分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg， 半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮 上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘 处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多 少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为
m1
m2
解： 受力分析如图
T2
按牛顿运动定律和转动定律可列
出下列方程
m2 g
T 1m1g m1a
m2 g T2 m2a
T1 aa
m1 g
T2'r T1'r J
a r
T1'
T2'
从以上各式即可解得
a (m2 m1)g
m1
m 2
1 2
m
a
(m2
m 1
)g
r
(m1
m2
1 2
m)r
T1
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
T2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
当不计滑轮质量即令 m 0
T1
T2
2m1m2 m1 m2
g
a m2 m1 g m2 m1
练习、 将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞 轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m的重物， 飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg代替重 物拉绳时，飞轮的角加速度将［ ］
解：⑴棒在任意位置时的重力矩
C
M m g L cos
J 1 m L2 O
•
2
3
d
因为 M J
M 3g cos
C•
J 2L
mg
根据机械能守恒求角速度。
mg L sin 1 J 2 0 3g sin
2
2
L
⑵因为 dA Md mg L cosd
2
所以
A
2
mg
L cos d
Ai 0 Mid
所有外力的功（力矩的功）
A Ai
i
i
0 Mid
(
0 i
Mi )d
Md
0
式中 M Mi 为刚体所受到的总外力矩
i
z
能定理 rotational kinetic energy theorem
M J J d
dt dA Md Jd
解:取物体m、滑轮、弹簧和地球 为系统，系统只有重力和弹力做 功，机械能守恒。
J
m R
\/\/\/\/
光滑
mghc
mgxsin
mghc
1 2
mv2
1 2
J 2
1 2
kx2
m gxsin 1 kx2
v
2
1
J
2 m 2R2
v R
一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知 棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自 由下摆，求：⑴棒在任意位置时的角加速度和角速度；⑵棒摆至铅 直位置时重力矩所做的功。
R)2
Jo
1 3
m L2
1 2
MR2
M(L
R)2
例 如图已知R 和 M0 ，试计算其转动惯量，设转轴过 O点且和盘面垂直。
解：根据J 的可叠加性，可将其看成两部分：
R
=
+M
-m
O
(
M0 R2 R2
/
4)
Jo
1 R2R2
2
1
2
R2 4
R2 4
R2 4
R2
4
13 R4
32
Jo
13 24
M0R2
(A) 小于． (B) 大于，小于2 ． (C) 大于2 ． (D) 等于2 ．
F=2mg m
例题、一质量为M，半径为R的定滑轮
（当做均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的
一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量
为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求
物体由静止下落h高度时的速度和滑轮
的角速度。
解： 受力分析如图
m
T
按牛顿运动定律和转动定律可列
z
⑴刚体上各个质点都在做圆周运动,但 各质点圆周运动的半径不一定相同；
⑵各质点圆周运动的平面垂直于轴,圆 心在轴线上； ⑶各质点的矢径,在相同的时间内转过 的角度相同.
A r1
o1
A'
o B
r2
2
B'
4、刚体的一般运动
5、角速度矢量：
angular velocity vector
对定轴转动，矢量可简化为标量：
例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系对通过A点和O点，且垂直
于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
3
A
解：
J A mi ri2
i 1
O•
J A m 0 m L2 m L2 2mL2 B
C
Jo m(
3L )2 3 mL2 3
例题 均匀杆质量m,长l，求杆对O轴和C轴的转动惯量。
mg
L
0
2
2
法一
这功即是细棒重力势能的减少
LL
A
EP
(mg
) 2
mg
2
法二
动能定理
A
1 2
J 2
1 2
J 02
1 2
J 2
法三
§3.6 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
1、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum
theorem of a rotational rigid body around a fix axis
⑶与转轴位置有关。同一刚体，转轴不同，质 量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
Jo J1o J2o
L
O
m
J1o
1 12
m L2
m(
L)2 2
1 3
m L2
M
o' R
J 2o
1 2
MR2
M (L
刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自 身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都 相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的 运动。
3、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
刚体定轴转动的特点
Lz Liz mirivi ( miri2 )
z
, α
v
r •P θ
角速度 d
dt
刚体
参 考
角加速度
d
dt
d 2
dt 2
方 向 定轴
角量与线量的关系
v r
a r
an r 2
刚体匀变速转动公式 ：
设：t 0, 0 ; 0 ; c
则容易得到 ：
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2( 0 )
与匀变速直线运动公式类似。
当物体绕轴有一角位移 d 时，力 Fi
做的元功为
z d ds
o ri P
i
i Fi
dAi F i d r Fi cos i d r Fi cos ids Firi cos id Fi ri sinid
Mi Fi ri sini dAi Mid
设刚体从0 转到 ，则力 Fi作的功为
由转动定律 M J d d (J ) ( 刚体的J 恒量)
dt dt
Mdt dL d(J)
所以
t2 Mdt
t1
2 1
d ( J
)
J 2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段
时间内转动物体角动量的增量------角动量定理。
2、定轴转动刚体的角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis
m i
CR
例题 均匀圆盘：
JC mR 2
dm ds
m R 2
ds 2rdr
面密度
r
J r 2dm R r 2 2 rdr 0
R4 1 mR2
22
刚体的转动惯量与下列三个因素有关：
⑴与质量有关。形状、大小相同的均匀刚体总 质量越大，转动惯量大。
⑵与质量分布有关。总质量相同的刚体，质量 分布离轴越远，转动惯量越大。
JA
1 2
mA
rA2
和
JB
1 2
mB
rB2
)
B rB
A
rA
fB fA
关于刚体的静力学问题
Problem of statics of a rigid body
刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件
刚体受合外力等于零
Fi 0
整个刚体受合外力矩等于零
Mi 0
例题一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙
解：取盘上一质元
m
R2e
e
d
r dr
df dN dmg dM rdf
M
dM
R
0 rge2rdr
2 3
mgR
根据转动定律
2 mgR J 1 mR2
3
2
设盘经时间t停止
0 t
t
3 4
R
g
0
如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定 轴O转动，它们的质量分别为mA＝10 kg和mB＝20 kg， 半径分别为rA和rB．现用力fA和fB分别向下拉绕在轮 上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A、B轮边缘 处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多 少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为
m1
m2
解： 受力分析如图
T2
按牛顿运动定律和转动定律可列
出下列方程
m2 g
T 1m1g m1a
m2 g T2 m2a
T1 aa
m1 g
T2'r T1'r J
a r
T1'
T2'
从以上各式即可解得
a (m2 m1)g
m1
m 2
1 2
m
a
(m2
m 1
)g
r
(m1
m2
1 2
m)r
T1
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
T2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
当不计滑轮质量即令 m 0
T1
T2
2m1m2 m1 m2
g
a m2 m1 g m2 m1
练习、 将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞 轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m的重物， 飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg代替重 物拉绳时，飞轮的角加速度将［ ］
解：⑴棒在任意位置时的重力矩
C
M m g L cos
J 1 m L2 O
•
2
3
d
因为 M J
M 3g cos
C•
J 2L
mg
根据机械能守恒求角速度。
mg L sin 1 J 2 0 3g sin
2
2
L
⑵因为 dA Md mg L cosd
2
所以
A
2
mg
L cos d
Ai 0 Mid
所有外力的功（力矩的功）
A Ai
i
i
0 Mid
(
0 i
Mi )d
Md
0
式中 M Mi 为刚体所受到的总外力矩
i
z
能定理 rotational kinetic energy theorem
M J J d
dt dA Md Jd
解:取物体m、滑轮、弹簧和地球 为系统，系统只有重力和弹力做 功，机械能守恒。
J
m R
\/\/\/\/
光滑
mghc
mgxsin
mghc
1 2
mv2
1 2
J 2
1 2
kx2
m gxsin 1 kx2
v
2
1
J
2 m 2R2
v R
一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知 棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自 由下摆，求：⑴棒在任意位置时的角加速度和角速度；⑵棒摆至铅 直位置时重力矩所做的功。
R)2
Jo
1 3
m L2
1 2
MR2
M(L
R)2
例 如图已知R 和 M0 ，试计算其转动惯量，设转轴过 O点且和盘面垂直。
解：根据J 的可叠加性，可将其看成两部分：
R
=
+M
-m
O
(
M0 R2 R2
/
4)
Jo
1 R2R2
2
1
2
R2 4
R2 4
R2 4
R2
4
13 R4
32
Jo
13 24
M0R2
(A) 小于． (B) 大于，小于2 ． (C) 大于2 ． (D) 等于2 ．
F=2mg m
例题、一质量为M，半径为R的定滑轮
（当做均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的
一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量
为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求
物体由静止下落h高度时的速度和滑轮
的角速度。
解： 受力分析如图
m
T
按牛顿运动定律和转动定律可列
z
⑴刚体上各个质点都在做圆周运动,但 各质点圆周运动的半径不一定相同；
⑵各质点圆周运动的平面垂直于轴,圆 心在轴线上； ⑶各质点的矢径,在相同的时间内转过 的角度相同.
A r1
o1
A'
o B
r2
2
B'
4、刚体的一般运动
5、角速度矢量：
angular velocity vector
对定轴转动，矢量可简化为标量：
例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系对通过A点和O点，且垂直
于三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
3
A
解：
J A mi ri2
i 1
O•
J A m 0 m L2 m L2 2mL2 B
C
Jo m(
3L )2 3 mL2 3
例题 均匀杆质量m,长l，求杆对O轴和C轴的转动惯量。
mg
L
0
2
2
法一
这功即是细棒重力势能的减少
LL
A
EP
(mg
) 2
mg
2
法二
动能定理
A
1 2
J 2
1 2
J 02
1 2
J 2
法三
§3.6 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
1、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum
theorem of a rotational rigid body around a fix axis
⑶与转轴位置有关。同一刚体，转轴不同，质 量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
Jo J1o J2o
L
O
m
J1o
1 12
m L2
m(
L)2 2
1 3
m L2
M
o' R
J 2o
1 2
MR2
M (L
刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自 身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都 相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的 运动。
3、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
刚体定轴转动的特点
Lz Liz mirivi ( miri2 )