数列中的不等式问题
数列绝对值不等式
数列绝对值不等式数列是数学中一个重要的概念，它是由一串有顺序的数字组成的序列。
在数列的研究中，绝对值不等式是一种常见的数学问题。
本文将介绍数列绝对值不等式及其性质，并通过例题来解释其应用。
一、数列绝对值不等式的定义和性质数列绝对值不等式是指在一个数列中由绝对值组成的不等式。
数列绝对值不等式常见的形式有以下几种：1. |an|≤a，其中a为实数。
2. |an|≥a，其中a为正实数。
3. |an±bn|≤a，其中a为实数。
4. |an±bn|≥a，其中a为正实数。
在数列绝对值不等式中，|an|表示数列中的第n个数的绝对值，a和b为实数。
根据不等式的性质，我们可以得出以下结论：1. 若|an| ≤ a，则 -a ≤ an ≤ a。
2. 若|an| ≥ a，则an ≤ -a 或an ≥ a。
二、解决数列绝对值不等式的方法解决数列绝对值不等式的关键是确定数列中每个数的取值范围。
以下是一些常用的解题方法：1. 分情况讨论法当数列中的每个数的取值范围不同时，可以采用分情况讨论的方法。
具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，给出每个数的取值范围。
（2）将取值范围代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。
（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。
2. 取最大值和最小值法当数列中每个数的取值范围相同时，可以通过取最大值和最小值的方法求解。
具体步骤如下：（1）根据数列中每个数的绝对值大小，确定每个数的取值范围。
（2）将取最大值和最小值代入绝对值不等式中，得出每个数的取值范围。
（3）将每个数的取值范围整合起来，得出整个数列的取值范围。
三、例题解析为了更好地理解数列绝对值不等式的求解过程，我们来看几个例题。
例题1：已知数列an=3n-2，试求满足绝对值不等式|an+2|≤5的n的取值范围。
解析：首先，我们根据数列an=3n-2，求得数列中每个数的取值。
当 n = 1 时，a1 = 3(1) - 2 = 1；当 n = 2 时，a2 = 3(2) - 2 = 4；当 n = 3 时，a3 = 3(3) - 2 = 7；...根据数列中每个数的取值，我们可以判断出：an+2 = 3(n + 2) - 2 = 3n + 4接下来，我们将an+2代入绝对值不等式中，得到：|3n + 4| ≤ 5根据绝对值不等式的性质，我们可以得到以下两种情况：1. 3n + 4 ≤ 5，即3n ≤ 1，解得n ≤ 1/3；2. -(3n + 4) ≤ 5，即 -3n ≤ 9，解得n ≥ -3。
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
数列中的不等式(许兴华)
数列中的不等式数列中的不等式是高考中的一个重要内容。
本文介绍用“放缩法”证明数列中的不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
1. 裂项放缩（即先放缩后裂项或先裂项再放缩）若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例1已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。
证明：因为122121nn nn n n n =++-=--＜（），则11213+++…＜（）（）…（）＜++-+-++--=-1122123221212nn n n n 所以原不等式成立。
例2 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。
证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ， 又2)1()1(+<+n n n n ， 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ， 综合知结论成立。
2. 公式放缩（利用基本不等式、二项式定理放缩）利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例3已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n nn f 。
证明：由题意知)12)(1()12(212211)111()1221(112121)(+++-=+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f 又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n，又因为，1n 21n 2)1n (n n 1C C C C C )11(2nn 1n n2n 1n 0n n n +>+++-++=+++++=+=- 所以1)(+>n nn f 。
数列中的不等式的证明
数列中的不等式的证明证明数列中的不等式的一般方法：1.数学归纳法：①直接应用数学归纳法：这是由于数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题，当然也包括与正整数相关的不等式（即数列不等式）；②加强命题后应用数学归纳法：直接应用数学归纳法并不能证明所有数列不等式，有些数列不等式必须经加强后才能应用数学归纳法证出.2.放缩法：①单项放缩:将数列中的每一项（通项）进行相同的放缩；②裂项放缩：将数列中的每一项裂开放缩成某两项之差；③并项放缩：将数列中的两项合并放缩成一项；④舍（添）项放缩：将数列中的某些项舍去或添加；⑤排项放缩：将数列中的项进行排序（即确定数列的单调性），从而求出数列中项的最值，达到证明不等式的目的,能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然； ⑥利用基本不等式放缩：例如平均数不等式也可在数列不等式的证明中起作用.一、直接应用数学归纳法证明1．已知函数ax x x f +-=3)(在)1,0(上是增函数. )1(求实数a 的取值集合A(2)当a 中取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+且)1,0(1∈=b a ，b 为常数，试比较n n a a 与1+的大小(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c 使10<-<c a n 对一切+∈N n 恒成立？2. (2007.全国1理第22题）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…43n n b a -<≤，123n =，，，…． 3．已知012)2(112=++++++n n n n a a a a ，211-=a 求证：（1）01<<-n a （2）122->n n a a （3）}{12-n a 递增.4．(2004.辽宁理科高考第21题) 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时 （1）求a 的值； （2）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 5．(2005.重庆理科高考第22题)数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a n n n 且. （1）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；(2) 已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….6. (2007.全国2理第21题)设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．7. （2005.辽宁卷第19题）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（1）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ； （2）证明.332<n S 8．(2004.重庆理第22题)设数列{}n a 满足).3,2,1(,1,211 =+==+n a a a a nn n 12)1(+>n a n 证明对一切正整数n 成立；的大小，与，判断令1)3,2,1(,)2(+==n n n n b b n n a b 并说明理由.二、应用单项放缩或数学归纳法或排项放缩或基本不等式证明9．（2007重庆理科高考第21题）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+10．求证：),1(212)1211()511)(311(∙∈>+>-+++N n n n n11．求证：11(11)(1)(1))432n N n ∙+++>∈-12. 求证：)(1212642)12(531∙∈+<⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯N n n n n 13．已知2,1≥>n a ，且+∈N n ，求证)1(1a a n aa n n ->-三、应用裂项放缩证明14. 已知)(x f y =，1)1(=-f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f(1)当N n ∈时求)(n f 的表达式(2)若11=b ，)1(1-+=+n f b b n n ，求n b(3)求证当+∈N n 时4711121<+++n b b b 15．（2006年全国卷I 第22题）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+)(+∈N n ， （1）求首项1a 与通项n a ；（2）设2nn n T S =)(+∈N n ，证明：132n i i T =<∑. 16. 已知+∈N n ，求证：3)11(2<+≤n n. 17. 定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211,求证：（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立。
数列不等式
数列不等式数列不等式是数学中最基础的概念之一，也是解决特定问题的基本技术之一。
它能够帮助人们了解数学直觉，构建可操作的数学模型，以及深入挖掘生活中的数学关系。
一般地，数列不等式表示一个或多个等号组成的不等式，通常是以两两等式相结合的形式出现，即：若X1≤X2≤X3≤ (X)则，X1+X2+X3+…+Xn≤n(X1+Xn)2数学研究者经常使用这类不等式来描述给定的数列的范围，以及这些数列的几何发展情况。
例如，某数列的前n项和可以用如下变量替代：Sn=X1+X2+X3+ (X)这些变量可作为连续的函数。
通过不等式的方式来描述这些函数，通常可以提出一定的结论，甚至可以形成一个系统的数学研究体系。
不等式可以用来描述给定的数列和函数，例如可以利用不等式提出如下结论：若给定函数f(x)满足f(x)≤a，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤na2此外，如果f(x)的导函数的值存在，不等式往往用来描述导函数的大小或值的确定性。
例如，若函数f(x)的导函数g(x)存在，可以提出如下结论：若g(x)≤g1，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤ng1n不等式用来描述函数的空间形状和时间发展也是如此。
比如，有一类函数叫做凸函数，它以特定的形式出现：f(x)≤f(x1)+f′(x1)(xx1)其中，f′(x1)是函数f(x)在x1点处的导函数。
上述不等式可用来表示函数f(x)的单调性和凸性。
此外，不等式可以用来解释随机事件的发生，特别是事件的概率关系。
例如，假设有A、B、C三次事件，看作A事件概率P(A)，B事件概率P(B)，C事件概率P(C)。
那么根据不等式的概念，可以推出： P(A∪B∪C)≤P(A)+P(B)+P(C)这个不等式说明，A、B和C三个事件同时发生的概率一定比分别发生的概率之和要小。
数列不等式在各个学科领域都有着重要的作用，尤其是经济学、金融学、管理学等社会科学。
它能够有效地提升模型的效率，模拟实际发生事件的过程，开发更为实用的决策策略。
数列与不等式结合典型题
数列与不等式结合典型题1.已知数列}{n a 中，),3,2,1(0 =>n a n ，其前n 项和为n S ，满足*,)1(N n a p S p n n ∈-=-，10≠>p p 且. 数列}{n b 满足.log 1n p n a b -=（Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项n n b a 与； （Ⅱ）若n nn n T a b c p ,,21==记为数列}{n c 的前n 项和，求证：.40<<n T2．已知定义在（－1，1）上的函数)1,1(,,1)21()(-∈=y x f x f 且对满足时，有).1()()(xyyx f y f x f --=-（I ）判断)1,1()(-在x f 的奇偶性，并证明之； （II ）令)}({,12,21211n nn n x f x x x x 求数列+==+的通项公式； （III ）设T n 为数列})(1{n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的34,-<∈*m T N n n 有成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.3．（本小题满分14分）设函数)0()(22>-+=a a x x x f（Ⅰ）求)()(1x f x f -的反函数及定义域；（Ⅱ）若数列}{,),(,3}{111n n n n n n n b aa aa b a f a a a a 求设满足+-===-+的通项公式；（Ⅲ）S n 表示{b n }的前n 项和，试比较S n 与87的大小. 4.（本小题满分14分）已知数列.)11(2,2:}{211n n n a na a a +==+满足 （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n C Bn An b 2)(2⋅++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都有n n n b b a -=+1成立？说明你的理由；（3）求证：.2)22(2221+⋅+-≥+++n n n n a a a5. 设函数f （x ）=22-ax x （a ∈N*）, 又存在非零自然数m, 使得f （m ）= m , f （– m ）< –m1成立.（1） 求函数f （x ）的表达式;（2） 设{a n }是各项非零的数列, 若)...(41)1(21n n a a a a f +++=对任意n ∈N*成立, 求数 列{a n }的一个通项公式;（3） 在（2）的条件下, 数列{a n }是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明6. 已知函数)3(1)(b ax f x-=的图象过点A （1，2）和B （2，5）. （1）求函数)(x f 的反函数)(1x f -的解析式；（2）记*)(,3)(1N n a n f n ∈=-，试推断是否存在正数k ，使得12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n对一切*N n ∈均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由.卷二一、选择题：（每小题5分，共50分）1、数列95,74,53,32,1的一个通项公式n a 是（ ） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、32+n n2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24282a a a =，11=a 则=2a （ ）A 、2B 、2C 、22D 、213、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02564=-+a a a 则=9S （ ）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（ ） A 、M<N B 、M>N C 、M=N D 、不确定5、若011<<b a ，则下列不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（2）（3）C 、（1）（3）D 、（3）（4）6、不等式1213≥--x x 的解集是 （ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243x x C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432x x x 或 D 、{}2<x x7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则（ ）A 、 1B 、 1-C 、 2D 、 128、在的条件下，，00>>b a 三个①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A 、3,12min max ==z zB 、,12max =z z 无最小值C 、z z ,3min =无最大值D 、z 既无最大值，也无最小值10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-a D 、2123<<-a 二、填空题：（每小题5分，共25分）11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和=4S ___________12、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________14、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________15、关于x 的不等式211(1)0(0)x a x a a a a-++++<>的解集为 三、解答题：16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =-(1) 求数列{}n a 的通项公式 ； (2) 求n S 的最大或最小值.18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若n n a C =·n n b 2+，（1）求数列{}n C 的通项公式； （2）求数列{}n C 的前n 项和n S .19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1112,2--==n n a a a ， ,4,3,2=n ，(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式； （3）令∑=+=ni i i n a a T 11，求证：43+<n T n.答案卷一1．解：（I ）1=n 时，.10.0)1()1(1111=⇒>=-⇒-=-a p a p a p a p 由 1分 当,)1(2n n a p S p n -=-≥ ①,)1(11++-=-n n a p S p ②由②－①，有,)1(11++-=-n n n a a a p 2分从而，.111pa a a pa n n n n =⇒=++∴数列}{n a 是以1为首项，p1为公比的等比数列.∴1)1(-=n n pa .∴.)1(1)1(log 1log 11n n pa b n p n p n =--=-=-=-（II ）当21=p 时，.21-==n n n n n a b c 1分 ∵.0.0>∴>n n T c 12102232221-++++=n n n T ， ③ n n n nn T 221222121121+-+++=∴- . ④由③－④，得n n n nT 221212121211210-++++=-.22222122211)21(11n n n n nn n n +-=--=---=-.2241-+-=∴n n nT 1分.40.4,0221<<∴<∴>+∴-n n n T T n1分2．解：（I ）令0)0(,0===f y x 得。
有关数列中不等式问题的几种常见处理方法
有关数列中不等式问题的几种常见处理方法在高中数学的教学中，数列中的不等式证明是数列知识与不等式知识的交汇，经研究发现这类问题主要从考查等差数列、等比数列的基本知识入手，侧重考查证明不等式的常用方法，对这个问题的归纳探究完善，能帮助学生构建一个很好的思维框架。
1.比较法解决数列中的不等式证明问题例1 设等比数列的首项为，公比，求证：是单调递增数列.证明数列的通项公式为： ( ),∴ ,又∵ , >0,∴ ( ),∴ ( ).因此，数列是单调递增数列.注：比较法有时也可用平方作差、作商2.数学归纳法，是证明数列不等式的重要方法例2在数列中，，且 ( )，求证： ( ).证明当时，因，故不等式成立.假设不等式当时成立，即，当时，∵，即不等式当时也成立.∴对一切自然数，都有 ( ).注：凡与正整数相关的命题均可考虑用数学归纳法.3.利用函数解决数列中的不等式问题递推数列的通项公式和前项和可看成函数的表达式.如等差数列的通项公式，可视为关于的一次函数；前项和的公式，可视为关于的二次函数等等，利用这些函数的图像和单调性证不等式.1.放缩法解决数列中的不等式问题在不等式的证明中，常常用舍掉一些正（负）项或在分式中放大（或缩小）分母或分子这种证明方法，通常称为放缩法. 数列不等式证明中常用的放缩技巧：技巧一：对通项进行裂项便于采用裂项相消法裂项相消法，就是将分母进行适当放缩以便于加减相消，放缩时要根据理论要求把握好度，如果放缩的恰到好处，能取得意想不到的效果.常见的放缩方向：，， .技巧二：以某一不等关系为依据进行逐层递推放缩逐层递推法，就是根据题目要求建立起相邻两项的不等关系，利用逐层递推寻求各项与首项的不等关系，从而建立一个新的不等关系.技巧三：对分母进行恰当的放缩将复杂分母简化构造新的等比数列.技巧四：对通项进行变形创造裂项条件.技巧五：利用二项定理展开对通项进行整体放缩.根据数列的特征，运用二项式定理作适当放大或缩小，使某些数列不等式得到证明，又称不等式的这种证明方法为二项式法.技巧六：利用单调性放缩.在放缩时主要采用两种方法：① 构造数列② 构造函数技巧七：利用重要不等式放缩：① 均值不等式法② 利用有用结论其中重要不等式为：例3已知数列的前n项和满足： .③ 证明：对任意的整数，有 .分析③ 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和.而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1的交替出现，容易想到将式中两项两相地合并起来并一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对进行分类讨论.解③ 当为偶数( )时，<=<当是奇数( )时,为偶数，<所以对任意整数，有 .注：本题的解题关键是并项后进行适当的放缩.数列中的不等式问题是中学数学中的重要知识和数列中的难点，往往一道数列中的不等式题可以用多种方法解，而有时一种解法中又包含了好几种解法.深入挖掘和提炼数列不等式问题的解法，能更好的为中学数学教学服务.由于笔者的能力有限，总结以上四种常用方法，在今后教学中，还将继续完善。
数列中的不等式问题
（ ２ ） 记 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前ｎ 项 的 和 为ｓ ｎ ， 当 ｔ ＝ ｝ 时 ， 试 证 明
Ｓ ｎ ＜ ｎ ＋ ７
０， Ｓ ｏ ＝Ｏ
・ ． ．
顶点 的横坐标为
＝ １ ０ ０ ４ １
解析 （ １ ） ‘ ． ’ Ｎ曲线 Ｃ在点 Ｐ 处的切线与直线 Ａ 平行
，
又’ ． ‘ ｎ ∈Ｎ ￥ ． ・ ． ｎ ＝ ｌ Ｏ ０ ４ １ ０ ０ ５￣ － ， ｊ ＂ ， ｓ 取最小值
． ． ・
． ．
此题 中的方法一 ，等差数列前 ｎ项和 的最值可利用 性质求 出正负转折项求解 ， （ ２ ） 问就直接表示出 ａ ， Ｓ 解不 等式 。又 因为数列通项公式就相 当于函数解析式 ，所 以我们 也可 以 用 函数 的观点来研究数列 ， 比如方法 二 ， 等差数列 ａ Ⅱ 可看作 次 函数 ， 等差数列 可看作二次 函数 ， 利 用其单调性来研 究最值或利用 图象解不等式 。但 是要注意数列 只能看作是 自变量为正整数的函数 ， 在解决问题 时要 注意这一特殊性 。
文 理 导 航２ ０ １ ２ Ｉ Ｄ
争 ） ｎ 争 ， ａ 广 争 是 常 数 ． ｓ ｎ 是 ｎ 的 二 次 函 数（ ｄ ≠ ０ ） ‘ ． ’ ｓ 一 ：
・ ‘ ．
存在点 Ｐ ｎ （ ｘ ｎ ， ｆ （ ｘ ） ） ， 使得点 Ｐ 处的切线与直线 Ａ 平行 。 （ １ ） 证明 ： ｛ ｌ ｏ ｇ ， （ ｘ １ ） ＋ １ ｌ 是等 比数列 ；
・ ‘
ａ
２ ｘ ｎ ＝ 等， ： 旦 。 由 － １ ） ＋ １ ， 得 ｘ １ ＝ ｔ
（ ｘ Ｉ 广１ ）
（ ２ ） ａ ａ ｌ ＋ （ ｎ 一 １ ） ｄ ＝ ｄ ｎ ＋ （ ａ １ ～ ｄ ） ‘ ． ‘ ｄ ＞ ０ ． 。 ． ａ 是 ｎ的 一 次 函数 Ｓ ２ ０ ０ ９ ＝ ０ ． ・ ． ｌ Ｄ 十 Ｓ ∞ ０ ９ ＝ １ ０ 即Ｓ ２ ｏ ｌ ｏ ＝ ａ 方程 Ｓ ｎ ＝ ａ 有两个实数解 ｎ ＝ ｌ 和ｎ ＝ ２ ０ １ ０ ａ ≥Ｓ 的解 集 为 ｛ ｎ ｌ １ ≤ｎ ≤２ ０ １ ０ ， ｎ∈ ｉ Ｎ ＊ ｌ 点评 ： 有关数列类 问题可 以利用 数列相关性质求解 ， 如
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构造等比数列
4.数列{a n }中，a1 8，a4 2，且满足a n 2 2a n 1 a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n | a1 | | a 2 | | a n | ，求S n； 1 ( 3)设bn ( n N )，Tn b1 b2 bn， n(12 a n ) m 使得对任意n N 均有Tn 成立.求最大正整数m . 32
1 1 例2. (2) 已知Sn 2 2 2 求证 : n 1 1 Sn n .
(2)对 1 1 2 n
1 2 n
的放缩, 大致二种情况 1 n1 n
2 n n n1 1 1 n n 1 ( n 1) 2 n n n1
3.已知递增的等比数列 {an }满足a2 a3 a4 28，且a3 2是a2和a4的等差中项. (1)求数列{an }的通项公式； (2)若bn an log1 an，S n b1 b2 b3 bn，
2
求使不等式S n n 2
n1
30成立时n的最小值.
例2.已知an 2n 1, 数列an 的前项n和为S n . 1 1 1 7 证明 : S1 S 2 Sn 4 1 1 1 1 ( n 2) Sn n 2 2 Sn n n( n 1) n 1 n Sn n
1 1 a1 a2
1 1 1 1 2 an n n1 n
第3项开始放缩
1 1 1 1 7 1 ( ) an 4 2 n 4
3.已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1， (1)求{an}的通项公式； 1 1 1 3 (2)证明 ＋ ＋…＋a < . a1 a2 n 2
3.设数列an 的前n项和为S n , 已知a1 1, 2 Sn 1 2 2 an1 n n , n N * n 3 3 an (1)求数列an 的通项公式
n
2
1 1 1 7 ( 2)证明 : 对一切正整数n, 有 a1 a2 an 4
1 2 Sn nan1 n( n 1)( n 2) 3
n( n 1) Tn 2n
T1 T2 T3 T4
3 Tn m T2 2
( n 1)(n 2) n( n 1) ( n 1)(2 n) Tn1 Tn n1 n 2 2 2 n1
点评：数列中不等式恒成立问题，利用函数的单调性。
例2.数列a n 满足a1 2a 2 2 a 3 2 1 an n (1)求数列a n 的通项; 2 ( 2)若bn ( 2n 5)a n , 数列bn 的前n项和S n .
2 n 1
n an . 2
7 求证 : - S n 1 4
2n 1 S n 1 n 2
数列中的不等式问题
例 1.已知等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27. (1)求数列{an}的通项公式； a 3n 3n( n 1) n Sn Sn 2 (2)记数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Tn＝ n－1，若对于一 3· 2 切正整数 n，总有 Tn≤m 成立，求实数 m 的取值范围．
1 (1)对 2 的放缩, 大致三种情况 n 1 1 1 1 ( n 2) 2 n n( n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 ( )( n 2) 2 2 n n 1 2 n1 n1 1 1 1 1 2( )( n 1) 2 1 n 2n 1 2n 1 2 n 4