专题五 数列不等式专题

专题五 数列不等式专题【命题趋向】在历年高考中,往往把数列当作重要的内容来考查．在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中,关注概念辨析以及等差、等比数列的“基本量法”;在考查数列的综合问题时,对能力有较高的要求，试题有一定的难度和综合性，常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合等数学思想．在考查相关知识内容的基础上,高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上.使用选择题、填空题形式考查数列的试题,往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法．使用解答题形式考查数列的试题，其内容往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法,并且往往不单一考查数列知识,而是与其他内容相结合,体现对解决综合问题的考查力度．数列综合题有一定的难度，对能力有较高的要求,对合理区分出较高能力的考生起到重要作用.在高考试卷中一般有一个小题有针对性地考查数列的知识和方法，有一道综合解答题重点对数列、数列和函数导数、不等式进行综合考查考查．由于新课标的考试大纲在必考部分删除了不等式的证明方法，分式不等式、带绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式等内容，高考对不等式的考查主要体现在其和其他知识的交汇考查上,重点是不等式和导数的结合、不等式和数列的结合、不等式和实际问题的结合，不等式与线性规划.高考试卷中一般有１-２个小题考查基本不等式的运用、简单的线性规划,在解答题中与其他知识交汇考查.【考点透析】数列的主要考点有：数列的概念及其表示,等差数列、等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式，数列的简单应用等.不等式的主要考点有:不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单的线性规划,基本不等式及其应用.【例题解析】题型1 数列的一般问题例1.(2００9江苏泰州期末６)若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则数列{}n na 中数值最小的项是第项．分析：根据数列中n a 与n S 的关系求出n a 后解决. 解析:当1n =时,119a S ==-；当2n ≥时，22110(1)10(1)211n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.可以统一为211n a n =-，故2211n na n n =-，该关于n 的二次函数的对称轴是114n =,考虑到n 为正整数，且对称轴离3n =较近，故数列{}n na 中数值最小的项是第3项．答案3．点评:数列问题中其通项公式、前n 项和公式都是关于正整数n 的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题.数列的一般问题中通项n a 与前n 项和n S 的关系是重点，要注意把1n =和2n ≥分开讨论，再看能不能统一.例2．（江苏扬州市2０08-２009学年度第一学期期未调研测试第１3题）数列{}n a 的前n 项和是n S ,若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556，若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥,则k a = .分析：数列的构成规律是分母为2的一项，分母为3的两项，分母为4的三项等,故这个数列的和可以分段求解．解析：112S =，31123232S +=+=,63123324S ++=+=,101234355S +++=+=，161234515562S ++++=+=，下面的和为12345637+++++=，这样2321102S =>，而221512345151515510272722S ++++=+=+<+=,故57k a =.答案57． 点评:本题中数列的前()12n n -的和是可以求出来的,但本题的目的不是这个．本题主要的考查目的就是观察、归纳和运算求解,在其中找到一项恰好满足某个限制条件,是一个设计很优秀的题目．题型2 等差数列与等比数列的基本问题例3（200８高考四川理16)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___＿______＿.分析:根据已知的不等关系，可以建立关于1,a d 的不等式组,通过这个不等式组探究解决的方法.解析：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4510,15S S ≥≤，∴4151434102545152S a d S a d ⨯⎧=+≥⎪⎪⎨⨯⎪=+≤⎪⎩ , 即1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ ,∴()4141153533322323d d a a d d a a d a d d d -+⎧=+≥+≥⎪⎨⎪=+=++≤+⎩, ∴45332da d +≤≤+，5362d d +≤+, 1d ≤,∴43314a d ≤+≤+= 故4a 的最大值为4．点评:本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的灵活运用，解题的关键是基本量思想,即在不等式组1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩中，通过不等式建立起4a 的关于d 的不等关系，再通过这个不等关系求出d 的范围使问题获得解决的.例4.(中山市高三级2008—２009学年度第一学期期末统一考试理科第４题)已知在等差数列{}n a 中,,4,1201-==d a 若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为 A ．60 B.62 ﻩﻩ C.70ﻩ ﻩ D.72分析：根据n a 和n S 的关系,1(2)0n n n S a n S -≤≥⇔≤，根据求和公式列出不等式解决. 解析：根据分析()()()211211204212612402n n n S n n n ---=-⨯-⨯=-+-≤，即263620n n -+≥,即()()1620n n --≥,即62n ≥．答案B.点评:本题把等差数列的求和与一元二次不等式交汇，体现了在知识网络的交汇处设计试题的原则．题型3 等差数列、等比数列综合题 例5．（中山市高三级2008—2０09学年度第一学期期末统一考试理科第16题）已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设*1423log ()n n b a n +=∈N ,数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.(1）求数列}{n b 的通项公式;（2)求数列}{n c 的前n 项和n S .分析:（1)直接计算:（2）根据等比数列的性质数列}{n b 为等差数列,这样数列}{n c 就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，用“错位相减法”解决．【解析】(1)由题意知,*1()()4n n a n =∈N ，又143log 2n n b a =-，故 *32()n b n n =-∈N ．(2）由（１）知,*1(),32()4n n n a b n n ==-∈N ,*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴．,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ，两式相减,得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n *2321()()334nn n S n +∴=-⨯∈N ．点评：“错位相减法”是最重要的数列求和方法之一，要熟练掌握.例6(江苏扬州市2０08-２０0９学年度第一学期期未调研测试第2０题）已知等差数列{}n a 的首项为a ,公差为b ,等比数列{}n b 的首项为b ,公比为a (其中,a b 均为正整数).（1） 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; （2)在(１）的条件下,若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列,求数列{}k n 的通项公式;(3） 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t +=∈N 成立,试求a 、b 的值.分析：(１)根据基本量方法,列出方程求出,a b 的值；(2)就是在一个等差数列中挑出 一个等比数列的子数列,根据数列中的项既是等差数列中的项又是等比数列中的项列方程解决;(3）根据给出的不等式和*,a b ∈N 的条件采用不等式限制的方法确定,a b 应满足的条件，根据这些条件探究问题的答案. 解析:(1）由1122,a b a b ==得：a ba b ab =⎧⎨+=⎩,解得：0a b ==或2a b ==，*,a b ∈N , 2a b ∴==,从而2,2n n n a n b ==(２)由（１)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项,3为公比的等比数列，即:123k k n a +=⋅ ,又2k n k a n =，故1223k k n +=⋅，13k k n +∴=(Ⅲ） 由11223a b a b a <<<<得：2a b a b ab a b <<+<<+, 由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得:()12a b b -<， 而*,,a b a b∈<N ,即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----， 2,3a ∴=,当3a =时,2b =不合题意，故舍去,所以满足条件的2a =. 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅,故()1212n b m t b -+-+=⋅,即：()1212n m b t --+=+①若1210n m --+=,则2t =-∉N ,不合题意； ②若1210n m --+≠，则1221n tb m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12．点评：本题的难点在第三问，解答这个问题的基本思想是根据不等关系确定相等关系，即从不等式入手,根据,a b 为正整数且a b <首先确定了a 的值(这是解答这个题目的关键）,然后采取分离的方法把b 用正整数,m n 和自然数t 表达出来，再结合问题的要求确定问题的答案． 题型３ 递推数列例７.(2０0８高考陕西文2０)已知数列{}n a 的首项123a =,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =….（1)证明：数列1{1}na -是等比数列; （2）求数列{}nna 的前n 项和n S ． 分析：（１）根据递推式和等比数列的定义；（2）结合通项的具体特点和数列求和的常用方法，采用适当的方法解决． 解析：（１） 121n n n a a a +=+,∴111111222n n n n a a a a ++==+⋅，∴ 11111(1)2n na a +-=-,又123a =,∴11112a -=，∴数列1{1}n a -是以为12首项,12为公比的等比数列.(2)由（Ⅰ)知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+,∴2n n n nn a =+． 设23123222n T =+++ (2)n n+， ①则23112222n T =++ (1122)n n n n+-++,②由①-②得2111222n T =++ (111)11(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---, ∴11222n n n n T -=--.又123+++ (1)2n n n ++=.∴数列{}n na 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==． 点评:本题主要考查等比数列的概念和“错位相减”求和法.解题的关键是求出数列{}n a 的通项公式,由于有第一问为引导，这个问题对大多数考生困难不大．本题容易把1a 看成数列1{1}na -的首项求错数列{}n a 的通项公式，“错位相减”求和时“漏项”或“添项”,计算出错等. 题型4 数列的应用例８.(北京卷理１４)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处,其中11x =，11y =，当2k ≥时,111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分,例如(2.6)2T =,(0.2)0T =．按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 .分析：通过简单计算就知道1255k k T T --⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个项组成一个周期为5的数列，数列{}n x 和{}n y 也是有规律的，归纳的方法解决..解析：（1,2) （３， ４0２） Ｔ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-5251k T k 组成的数列为1，0,０，０,０,１， 0，0,0,0,1， 0,0,０，0,1……(ｋ=１，2,3,4……).一一带入计算得:数列{}n x 为1，2,３,4,5,1,2,3,4,5,１,2,3,4,５……；数列{}n y 为1,1，1,1,1,2，2，２,２，２,3，3,3,３，3，４，4,4,4，4…….因此,第6棵树种在 （1，２),第2００8棵树种在（3， 402)．点评:对于新定义型的试题,首先要把握好新定义的含义，这是解决问题的前提，把新定义弄清楚了，问题就是常规的了,在递推数列问题中，往往数列的前几项能给我带来归纳问题一般结论的启示,所以在解答这类问题时，要小心计算数列的前面几项，千万不要出错,不然数列的一般规律就被个别的错误数字所掩盖了． 题型5 数列与其他知识的交汇性的综合性解答题 1.数列与不等式的交汇例9.（安徽省错误!未定义书签。