2020高考数学专题复习----数列与不等式专题
[高一数学]不等式知识点归纳与总结
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授课教案教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；等差数列等比数列 定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（*,,0n k N n k ∈>>）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nna .2 等比数列 （1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc
限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
高三数学微专题--数列与不等式
1 n2
5 3
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
（2 1 2n 1
1) 2n 1
4
课堂小结： 1、数列的单调性（最值）
(1)图像法 (2)做差法 2、数列不等式的证明
(1)寻求通项 (2)放缩法
1、已知数列an中, a1
1，其的前n项和为Sn，且满足an
2Sn2 (n 2Sn 1
2)
(1)求证：数列
cn
n 1 n
bn 1 n 1
bn
n
累乘得：
b1 1 b2 1 bn 1 2 3 n 1 n 1
b1
b2
bn
12
n
总结：
形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作
一个数列的积，先利用bn
f
f (n) (n 1)
求bn，再进一步
探究。
同理：形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作 一个数列的和，先利用bn f (n) f (n 1)求bn，再进一步探究。
r 1
a1 b r也适合上式
r 1
题型二：数列不等式的证明
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
证明：对任意的n N*,不等式 b1 1 b2 1 bn 1
b1
b2
bn
由(1)可知：b 2时：an 2n1
bn 1 2n 1
n 1 bn
2n
证明：对任意的n N *,不等式 b1 1 b2 1 bn 1 n 1
解(1)方法一 Sn bn r
解(1)方b1法二b2
a1
bn
b
r, a2
高考数学专题复习题：数列的递推公式
高考数学专题复习题：数列的递推公式一、单项选择题（共8小题）1.已知数列｛a n ｝满足a n =4a n -1+3（n ≥2，n ∈N *），且a 1=0，则此数列的第5项是（ ） A.15B.255C.16D.632. 已知数列a n =-n 2+4n +2，则该数列中最大项的序号是（ ） A .2B .3C .4D .53.已知数列｛a n ｝满足a n =1a n−1+1（n ≥2，n ∈N *），如果a 4=53，那么a 1等于（ ） A.1B.32C.2D.854.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）A.a n +1=a n +n ，n ∈N *B.a n =a n -1+n ，n ∈N *，n ≥2C.a n +1=a n +(n +1)，n ∈N ，n ≥2D.a n =a n -1+(n −1)，n ∈N *，n ≥25.已知数列｛a n ｝满足a 1=2，a n +1-a n +1=0（n ∈N *），则此数列的通项公式a n 等于（ ） A.n 2+1 B.n +1C.1-nD.3-n6.设a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n （n ∈N *），那么a n +1-a n 等于（ ）A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+27.在数列｛a n ｝中，a 1=12，a n +1=1-1a n，则a 2 024等于（ ） A.12B.-1C.2D.38.某书中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足a n +2=a n +1+a n （n ≥1），那么1+a 2+a 4+a 6+…+a 2022等于（ ） A.a 2021B.a 2022C.a 2023D.a 2024二、填空题（共4小题）9.在数列｛a n ｝中，a n +1=a n +2-a n ，a 1=2，a 2=5，则a 5=________. 10.已知数列｛a n ｝中，a 1a 2…a n =n 2（n ∈N *），则a 9=________. 11.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =12n −15，其最大项为________，最小项为________.12.在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n +1a n +2=k （k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列｛a n ｝是等积数列，且a 1=1，a 2=2，公积为8，则a 1+a 2+a 3+…+a 12=________.三、解答题（共4小题）13.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n 2-n +2. （1）求数列｛a n ｝的通项公式.（2）若b n =a n +100n -2n ，求数列｛b n ｝的最大项是该数列的第几项. 14.在数列｛a n ｝中，a 1=2，且a n +1=a n +ln (1+1n )，求数列｛a n ｝的通项公式.15.已知数列｛a n ｝中，a 1=12，a n =n−1n+1a n -1（n ≥2），求数列｛a n ｝的通项公式.16.已知数列｛a n ｝满足：a 1=m （m 为正整数），a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数.若a 4=4，求m 所有可能的取值.。
高考数学复习热点08 数列与不等式(原卷版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则的值为（ ）1144S =378a a a ++A ．11B ．12C ．13D ．142．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，{}n a 1231a a a ++=，则（ ）234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．323．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设{}n a n n S 10a >500S =，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）()*12n n n n b a a a n N ++=∈{}nb n nT n A ．23B ．25C ．23或24D ．23或254．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（ ）21131322n n n a a a --=++12a =()25log 1a +=A ．B ．C ．D ．263log 331-231log 315-363log 231-331log 215-5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，11a d≤b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能成立的是（ ）n *∈N A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．D ．2428a a a =2428b b b =6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a ，b 为正实数，且，则的最小值为（ ）1123a b +=3a b +A ．2B ．C ．3D ．4327．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且{}n a n n S ，，，则的通项公式为（ ）12n n S a n +=+-*n N ∈12a ={}n a A ．B ．C ．D ．121n n a -=-12n n a -=121n n a -=+2nn a =8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最c 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>a b c+大值是（ ）A BC D9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数{}n a 112a =2432a a a =+n S 列的前项和，则（ ）{}n a n 5S =A ． 或B ．312112312C ．D ．15610．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（{}n a 11a =427a =352a a +=）A ．45B ．54C ．99D ．8111．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若{}n a 12a =m n m n a a a +=，则（ ）155121022k k k a a a ++++++=- k =A ．2B ．3C ．4D ．512．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“{}n a 10a >q n n S”是“”的（ ）1q >3542S S S +>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n 项和，则{}n a ()212,1n n S n a n a =≥=n a =（ ）A ．B ．C ．D ．()21n n +22(1)n +121n-121n -二、多选题14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-+≤15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，．则下列说()14n n n a a ln a +-=-法正确的是（ ）A ．数列{a n }先增后减B ．数列{a n }为单调递增数列C ．a n ＜3D ．202052a >三、填空题16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，{}n a {}n b 12a =11b =1n n n a b b ++=.则＝_______.114n n n a b a +++=20211008b a 18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对140,0,1m n m n >>+=24m n x x a +≥-++已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．,m n x a 19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若，数列满足，前n 项和为，sin sin sin B A C ={}n a 32|cos |2nn a nB =n S 2nS =__________.20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取,a b 1()(2)2f x x x x =+>-x a =得最小值，曲线在点处的切线与直线_____2ln(1)y x =+()0,0y bx =a b +=四、解答题21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成131n n n a a a +=+1{}n a 236111,1,a a a +等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答2123111132n n na a a a -++++= 补充完整的题目.已知数列中，______.{}n a 11a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设为数列的前项和，求证：.1,n n n n b a a T +={}n b n 13n T <注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，1{}n a 2312a a +=416a =.2log n n b a =（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列的前项和为，求的前项和.{}n b n n S ()()*12n nnn a c n S -=∈N n n T 23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，{}n a {}n b ．()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记的前项和为，求证：；{}n a n n S ()2*21n n n S S S n ++<∈N （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．n ()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，．1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且，求q 与{a n }的通项公式；0q >1236b b b +=（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．0d >1211n c c c d +++<+*()n N ∈25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，{}n a 23a =1a 3a ，成等比数列.7a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.{}n b 110101n n n b a a +=+{}n b n n S 12n S <。
2020年高考数学专题复习指数型数列不等式放缩
1 3n 1
11 16
3 4
1
3n 1
1 9 3n2
1
8 3n2
1 3n2
1
1 8 3n2
n2
1 3n 1
(3n
3n1 1 1)(3n 1
1)
(3n
3n1 1)(3n 1
1)
3 2 3n 2 (3n 1)(3n1 1)
3 2
(
1 3n
1
3n
1
1
) 1
1 31 1
1 32 1
1 3n 1
1 2
3 2
(
1 32 1
1 33
1
1 33
1
1 34 1
1 3n
1
1 3n1
) 1
1 3 11 2 16 16
引例
求证： 1 31
1
1 32
1
1 3n
1
11 16
1
3n1 1 1
3n 1 3n1 1
3n 3n1
1 3
3n 1
1 31
1
1 32
1
1 3n
1
1
1
1
1
n 1
3n 1
1 2
2 32
2 3n
1
2
1
1
n-1
9 3
2
1 1
3
11 5
23 6
引例
求证： 1 31 1
1 32 1
1 3n 1
3 4
1 3n 1
2 3n
于是， 1 31
1
1 32
1
1 3n
1
2 31
数列求和与数列不等式的证明--高考数学【解析版】
专题27 数列求和与数列不等式的证明等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n 项和公式构成两类数列的重要内容，在历届高考中属于必考内容，既有独立考查的情况，也有二者与其它知识内容综合考查的情况．一般地，选择题、填空题往往独立考查等差数列或等比数列的基本运算，解答题往往综合考查等差数列、等比数列．数列求和问题是高考数列中的另一个易考类型，其中常见的是“裂项相消法”、“错位相减法”.数列求和与不等式证明相结合，又是，数列考题中的常见题型，关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明（数列的和）不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列的和不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，达到解题目的.【重点知识回眸】（一）数列的求和 1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d ； (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①111(1)1n n n n =-++；②1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+；11n n n n =+++(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.（6）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前n 项和中含多少个周期即可. （二）数列中的不等关系1.数列中的最值项，要依靠数列的单调性.如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） （3）对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定.进而把问题转化成为判断n a 的符号问题. （三）利用放缩法证明不等式 1.与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试. 2.放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可.3.与数列中的项相关的不等式问题：① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即()1n n a a f n +-<或()1n na f n a +<（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为n a ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 4.常见的放缩变形： （1）()()211111n n n n n <<+-，其中2,n n N ≥∈：可称21n为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择. 注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：()()22111111111211n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：()()22211411111412121221214n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭- （2）n n n=+，从而有：212111n n n n n n nn n +=<<<--+++-n2,2,n n n n N n *<--≥∈ （3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.（4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n--=<=------- ()1112,2121n nn n N *-=-≥∈-- 可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=------- ()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 5.利用导数证明数列不等式 （四）数学归纳法证明不等式【典型考题解析】热点一 分组求和与并项求和【典例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{n a }满足11a =，()*121N n n a a n +=+∈．(1)证明{1n a +}是等比数列，并求{n a }的通项公式； (2)求数列{1]n a n ++的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析；21nn a =-(2)()11222n n n n S ++=+-【分析】（1）根据题意结合等比数列定义可证1121n n a a ++=+，可得{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为2n n b n =+，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．（1）由题意可得：1120a +=≠∵()11121212111n n n n n n a a a a a a +++==++=+++所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列则12nn a +=，即21n n a =-因此{n a }的通项公式为21n n a =-（2）由（1）知21nn a =-，令1n n b a n =++则2n n b n =+所以()()()121221222nn n S b b b n =+++=++++++．()12222(12)nn =++⋯++++⋯+()()2121122n n n -+=+-()11222n n n ++=+-．综上()11222n n n n S ++=+-．【典例2】．（2021·河南·高三开学考试（文））已知等比数列{}n a 的公比大于1，26a =，1320a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12331log log 22n n n n b a a a ++=+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)123n n a -=⋅(2)131n n -+ 【分析】（1）设出公比q ，根据题目条件列方程求解； （2）先写出n b ，利用裂项求和，分组求和的办法表示出n T . （1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，由26a =，1320a a +=得6620q q +=，解之得3q =或13q =（舍去），由26a =得，12a =，所以{}n a 的通项公式为123n n a -=⋅.（2） 由（1）知，()1112331111232311log log 22n n n n n n b a a an n n n --++=+=⋅+=⋅+-++所以{}n b 的前n 项和为()01111111233312231n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13112131311n n n n -=⨯+-=--++ 【总结提升】分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．热点二 裂项相消法求和【典例3】（2017·全国·高考真题（理））（2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 【解析】 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 【典例4】（2018·天津·高考真题（理））设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 是等差数列.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()*n T n N ∈，（i ）求n T ；（ii ）证明()()()()22*122122n nk k k k T b b n N k k n ++=+=-∈+++∑. 【答案】(Ⅰ)12n n a -=，n b n =；(Ⅱ)（i ）122n n T n +=--.（ii ）证明见解析.【解析】 【详解】分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则12n n a -=.结合等差数列通项公式可得.n b n =（II ）（i ）由（I ），有21nn S =-，则()112122nk n n k T n +==-=--∑.（ii ）因为()()()212221221k k k k k T b b k k k k ++++=-++++，裂项求和可得()()()22122122n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑. 详解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d += 由5462a b b =+，可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故()()1112122122212nnnk k n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）因为()()()()()()()()1121222222212121221k k k k k k k k k k T b b k k k k k k k k k +++++--+++⋅===-++++++++， 所以()()()32432122122222222123243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑. 【典例5】（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）已知数列{}n a 满足()*1232311113333n n a a a a n n ++++=∈N . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设3log n n b a =，求数列121n n n b b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .【答案】(1)()*3N n n a n =∈(2)()()1112212n T n n ⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由递推关系取1n =可求1a ，当2n ≥时，取递推关系中的1n n 可求(2)n a n ≥，由此可得数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)可得n b n =，利用裂项相消法求数列121n n n b b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）当1n =时，13a =，当2n 时，1232311113333n na a a a n ++++=①1231231111113333n n a a a a n --++++=-② 由①-②得()1113n n a n n =--=，即()32n n a n =. 当1n =时也成立，所以数列{}n a 的通项公式为()*3N n n a n =∈（2）因为33log log 3nn n b a n ===，所以()()()()()1211111122112n n n b b b n n n n n n n ++⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦， 所以()()()()()11111111112122323341122212n T n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【规律方法】裂项相消法的步骤、原则及规律 (1)基本步骤：裂项、累加、消项； (2)裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 热点三 错位相减法求和【典例6】（2020·天津·高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【典例7】（2022·云南·高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令83n n nb a =⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)232n n a -=⋅(2)24(1)2n n T n +=+-⨯【分析】（1）根据n a 和n S 的关系式，即可求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）中结论可得数列{}n b 的通项公式，再由错位相减法即可求得n T . （1）由已知得243n n S a =-． ①当1n =时，11132432S a a =-⇒=；当2n ≥时，11243243n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩①②，-①②得12(2)n n a a n -=≥，所以{}n a 是以32为首项，2为公比的等比数列； 所以1232322n n n a --=⨯=⋅． （2）由（1）得1823n n n nb a n +=⨯=⋅， 所以21341222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅，①所以341221222(1)22n n n T n n ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②则-①②得：()234142222n n n T n ++-=-⨯+++⋅⋅⋅+，化简得24(1)2n n T n +=+-⨯．【典例8】(2020·全国卷Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 【答案】【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3，即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2. 所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 故{a n }的公比为－2.(2)记S n 为{na n }的前n 项和． 由(1)及题设可得，a n ＝(－2)n －1. 所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ×(－2)n －1，－2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)×(－2)n －1＋n ×(－2)n . 可得3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ×(－2)n ＝1(2)3n--－n ×(－2)n .所以S n ＝19－(31)(2)9nn +-.【规律方法】错位相减法求和的具体步骤：热点四 其它求和方法【典例9】（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对123100++++的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数4()42xx f x =+，则1232018()()()()2019201920192019f f f f ++++等于（ ） A ．1008 B ．1009 C ．2018 D ．2019【答案】B【分析】根据()(1)1f x f x +-=，利用倒序相加法求解.【详解】解：因为4()42xx f x =+，且114444()(1)1424242244--+-=+=+=+++⨯+x x x xx x x f x f x ， 令1232018()()()()2019201920192019=++++S f f f f , 又 2018201720161()()()()2019201920192019=++++S f f f f ， 两式相加得：212018=⨯S ， 解得1009S =， 故选：B【典例10】（2022·全国·高三专题练习（文））1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________. 【答案】2276【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276.【典例11】（2016·全国·高考真题（文））等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==.所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 热点五 与裂项相消法相关的不等式证明【典例12】（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得.(1)∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； (2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ ∴12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【典例13】（2022·安徽·高三开学考试）已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=-且)*N n ∈，且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：213n T <. 【答案】(1)()*2n n a n =∈N(2)证明见解析【分析】（1）将已知条件与1212n n a a a a ++++-=-两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出n T 即可证明. （1）解：因为1212n n a a a a -+++-=-，所以1212n n a a a a ++++-=-，两式相减得12(2)n n a a n +=，当2n =时，122a a -=-， 又24a =，所以1212,2a a a ==，所以()*12n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以()*2n n a n =∈N ；（2）证明：()()()()11122111121212121n n n n n n n n a a +++==-------， 所以2231111111111121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-<⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由1n ，得124n +，所以1121213n +--， 综上，213n T <. 【总结提升】(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．(2)放缩法常见的放缩技巧有： ①21111(1)1k k k kk <=---. ②2211111()2111k k k k <=--+-.③21111111k k k kk -<<-+-. ④2(12(1)n n n n n+<<--．热点六 与错位相减法相关的不等式证明【典例14】（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n nn nT --=++++， 012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++-1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.【典例15】（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii ）证明)*12222nk k kk k a n N c a c +=∈-【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证； （ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得1112222n k k n k k k k a k c c a +-==-，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅， 2122124222222n n n nn nna n anc c +--⋅⋅，所以1112222nk k n k k k k k a kc c a +-==-， 设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-， 所以11112224222222nn k k n k k k k a k n c c a +--==+⎫-<⎪-⎭ 【规律方法】等差数列的判定与证明的方法方法 解读适合题型 定义法 若a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列 解答题中证明问题等差中项法 2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列 选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列【精选精练】一.单选题1．（2021·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，若2cos 3=πn n n b a ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则11S =（ ） A ．64 B ．80 C ．64- D ．80-【答案】C【分析】由已知可得111n n a a n n +-=+，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此求出22cos 3n n b n π=，分别令 1,2,3,,11n =可求出11S .【详解】数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++， 则111n na a n n+=++， 可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1、公差为1的等差数列，即有na n n=，即为2n a n =， 则222cos cos 33n n n n b a n ππ==， 则()()2222222222211112457810113692S =-++++++++++()22222222222222112334566789910112=-+--++--++--++ ()15234159642=-⨯+++=-. 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习（文））斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（ ） A ．2698 B ．2697 C ．2696 D ．2695【答案】C【分析】根据()*12123,,1n n n a a a n n a a --=+⋯∈==N , 递推得到数列{}n a ,然后再得到数列{}n b 是以6为周期的周期数列求解.【详解】因为()*12123,,1,n n n a a a n n a a --=+⋯∈==N所以数列{}n a 为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋯此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列{}n b 为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,是以 6 为周期的周期数列, 所以20222022=(1+1+2+3+1+0)=26966S . 故选：C.3.（2018·浙江·高考真题）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >>【答案】B 【解析】 【分析】先证不等式ln 1x x ≥+，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 【详解】令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+ 2e 1,e 1(0).x x x x x ≥+≥+≥二、填空题4．（2021·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））已知{}n a 是等比数列，公比大于1，且2420a a +=，38a =.记m b 为{}n a 在区间()*(0,]m m N ∈中的项的个数，则数列{}m b 的前60项的和60S 的值为______.【答案】243【分析】第一步求出{}n a 是等比数列的通项公式，第二步计算m b 为{}n a 在区间()*(0,]m m N ∈中的项的个数，列举求值即可。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高三数学复习专题目录.docx
高三数学复习专题目录专题一、数列与不等式数列（1）数列（2）专题二、三角函数三角函数（1）三角函数（2）专题三、立体几何立体几何（1）立体几何（2）专题一、数列与不等式一.基础知识梳理数列：1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.了解递推公式是给出数列的一种方法，能据递推公式写出前几项，同时求出通项公式.4,理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项公式，并能解决简单实际问题.5.体会等差数列、等比数列与一次函数，指数函数，二次函数的关系.不等式：（必修部分）1.一元二次不等式^2+^ + c>0（cz>0）与相应的函数y = ax2+bx+c（a>0\相应的方程ax2+bx +c = 0（«〉。
）之间的关系2.一元二次不等式恒成立情况小结：J G >0 [a<0 ax2 + bx + c>0（a/0）恒成立 o。
，ax2 +bx + c <0（a/0）恒成立o。
3.二元一次不等式表示的平面区域：直线I: ax + by + c = 0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线/上的点（x, y）的坐标满足ax +by+ c = 0（2）直线Z一侧的平面区域内的点（x, y）^^ax + by + oO（3）直线Z另一侧的平面区域内的点（x,y）满足ox + /<y + c<0所以，只需要在直线Z的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（将，光），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
4.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题.其中，满足约束条件的解（x,y）称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解.5.基本不等式：⑴如果"eR,那么/+〃 2 2沥，（当且仅当“=。
高考数学专题复习：不等式
高考数学专题复习：不等式一、单选题1．已知x ∈R ，则“2x <-”是“220x x +->"的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ，b ∈R ，如果a b >，那么（ ） A ．11a b> B ．1a b> C ．22a b >D ．11a b ->-3．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a b <B ．11a b< C ．44a b < D ．11a b a<- 4．若,a b c d >>，则下列关系一定成立的是（ ） A ．ac bd > B ．ac bc > C ．a c b d +>+D ．a c b d ->-5．不等式()20x x -≥的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．(][),02,-∞+∞6．若不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值为（ ）A ．14B ．10-C ．12D ．14-7．设0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11b a a b+<+ B ．2211ab a b< C ．22ac bc >D ．2211a b a b+>+83 ）A 3B 3>C 3D ．不确定9．已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．记不等式220x x +->､210(0)x ax a -+≤>解集分别为A 、B ，A B 中有且只有两个正整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．517,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．517,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（ ） A ．[]28,B ．[]3,8C ．[]2,7D ．[]5,1012．已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a a m b b m+>+B ．22m ma m ab m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313b a ->- 二、填空题13．已知x 、y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则xy 的最大值为________． 14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2xx y y++的最小值是________． 15．不等式1x x<的解集为________. 16．已知关于x 的不等式20(,,)ax bx c a b c ++>∈R 的解集为{}|34x x <<，则25c a b++的取值范围为________． 三、解答题17．已知函数()()21f x x a x a =-++，其中a 为实常数．（1）1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若不等式()2f x x ≥-对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围．18．已知函数()()()34f x x m x m =-++. （1）若1m =，求不等式()12f x >-的解集；（2）记不等式()0f x ≤的解集为A ，若4A -∉，求m 的取值范围．19．已知函数()2f x x ax b =++(a ，b R ∈)（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值；（2）若2a =-，0b =函数()()x f x kx =-，[]0,2x ∈，不等式()<1F x 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若函数()0f x =在区间()1,2上有两个零点，求()1f 的取值范围.20．已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之.21．已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为(1,2)-．（1）当[2,)x ∈+∞时，求2x bx cx++的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠，（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集；（2）若()14f =，1b >-，求11a ab ++的最小值．参考答案1．A 【分析】利用一元二次不等式的解法求出220x x +->，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：因为220x x +->，即()()210x x +->，解得2x <-或1x >， 因为()()(),2,21,-∞--∞-+∞，所以“2x <-”是“220x x +->”的充分不必要条件． 故选：A ． 2．D 【分析】利用作差可以判断ABC ，利用不等式性质可以判断D. 【详解】对于A ，因为a b >，所以0a b ->，11b aa b ab--=，由于ab 的正负不确定，所以1a与1b的大小不确定，故错误； 对于B ，因为a b >，所以0a b ->， 1a a b b b--=，由于b 的正负不确定，所以 1与ab的大小不确定，故错误； 对于C ，因为a b >，所以0a b ->，()()22a b a b a b -=-+，由于a b +的正负不确定，所以2a 与2a 的大小不确定，故错误；对于D ，因为a b >，所以0a b ->，所以()110a b a b ---=->，所以11a b ->-，正确. 故选：D. 3．D 【分析】结合已知条件，利用做差法逐项证明即可. 【详解】A ：因为0a b <<，所以0a b a b -=-+>，所以a b >，故A 错误；B ：因为11b aa b ab--=，因为0a b <<，所以0,0b a ab ->>，所以110->a b ，即11a b>，故B 错误；C ：因为()()()4422a b a b a b a b -=++-，因为0a b <<，所以220,0,0a b a b a b -<+<+>， 所以440a b ->，即44a b >，故C 错误；D ：因为()()()11a a b b a b a a a b a a b ---==---， 因为0a b <<，所以0a b -<， 所以110a b a-<-，即11a b a <-，故D 正确； 故选：D. 4．C 【分析】利用基本不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得到答案； 【详解】对A ，当0,0a b c d ac bd >>>>⇒>，故A 错误； 对B ，当0c >时，ac bc >，故B 错误； 对C ，同向不等式的可加性，故C 正确；对D ，若2,1,0,31,4a b c d a c b d ====-⇒-=-=，不等式显然不成立，故D 错误； 故选：C. 5．D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】()20x x -=的两根为0，2，所以原不等式的解集为：(][),02,-∞+∞，故选：D. 6．D 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间关系，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得11,23-是方程220ax bx ++=的两根，且0a <，所以112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,2a b =-=-，所以14a b +=-.故选：D. 7．A 【分析】根据不等式的性质判断，错误的不等式可举反例说明． 【详解】因为0a b >>，所以110ab<<，则11a b->-，所以11a b a b->-，故A 正确； 因为0a b >>，0c ≠，所以0b a -<，20c >，20a c +>，2222110a bab a b a b --=>， 2211ab a b∴>，故B 错误； 当0c ，得22ac bc =，故C 错误：取12a =，14b =，可得2194a a +=，211416b b +=，2211a b a b +<+，故D 错误．故选：A ． 8．B 【分析】利用平方作差，再判断差的正负即可得解. 【详解】30>0>，则223)(16(160-=+-+==>，3故选：B 9．A 【分析】 根据0a b >>与2211a b<的互相推出情况判断出属于何种条件. 【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b <，所以充分性满足， 当2211a b <时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足， 所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 10．B 【分析】求出集合A ，由分析知B ≠∅，求出集合B ，进而得出A B 中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解. 【详解】由220x x +->可得：1x >或2x <-，所以{|2A x x =<-或}1x >， 因为A B 中有且只有两个正整数解，所以A B ⋂≠∅， 对于方程210(0)x ax a -+=>，判别式24a ∆=-，所以方程的两根分别为：1x，2x =，所以B x x ⎧⎪=≤≤⎨⎪⎪⎩⎭， 若A B 中有且只有两个正整数解，则134≤⎨⎪≤<⎪⎩即268a a a ⎧-≤⎪⎨--⎪⎩，可得2103174a a a ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩，所以101734a ≤<，当11x =>时，解得02a <<，此时240a ∆=-<，B =∅不符合题意， 综上所述：a 的取值范围为1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B. 11．A 【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，利用待定系数法求得,m n ，利用不等式的性质即可求32x y -的取值范围.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++， 所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1532()()22x y x y x y -=+--，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以[]1532()()2,822x y x y x y -=+--∈， 故选：A. 12．B【分析】利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，由题意可知a a mb b m+<+，A 选项错误； 对于B 选项，作出函数2x y =与y x =的图象如下图所示：由图可知，当0x >时，2x x >，0m >，则2m m >，所以，()()()()()()()()()()22220222mmmm m mma b m a m b a b m a a m b b mb b m b b m ++-++--++-==>++++++，即22mma m ab m b ++<++，B 选项正确； 对于C 选项，()()()()()220a m b m a m b m m b a ++-++=->， 所以，()()()()22a m b m a m b m ++>++，C 选项错误； 对于D 选项，取1a =，2b =，则121113143ba -=<=-，D 选项错误. 故选：B. 13．18. 【分析】根据基本不等式2x y +≥xy 的范围，求出答案. 【详解】因为,0x y >，且230x y xy ++=，所以302xy x y -=+≥（当且仅当2x y =时，取等号）即2030≤+，解得-180xy ≤<， 所以xy 的最大值是18.此时6x =，3y =. 故答案为：18. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是运用基本不等式把230x y xy ++=转化为2030≤+.14．4 【分析】把给定等式两边都除以xy ，再利用“1”的妙用即可得解. 【详解】因为002x y x y xy >>+=，，，则121y x+=，所以()122422444x x x y x y x y y y x y y x ⎛⎫++=+++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当24x y y x =时“=”， 由242x y y x x y xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得21x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所以21x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2x x y y ++有最小值4．故答案为：4．15．()()1,01,-⋃+∞【分析】根据分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.【详解】10,<x x -即21,<0x x- 即2(1)0,<x x -即(1)(1)0>x x x -+，所以()()0110x x x >⎧⎨-+>⎩或()()0110x x x <⎧⎨-+<⎩ 解得1x >或10x -<<所以不等式的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为： ()()1,01,-⋃+∞16．)+∞【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把,b c 用a 表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．【详解】由不等式解集知0a <，由根与系数的关系知347,3412,b a c a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩7,12b a c a ∴=-=，则225144552466c a a a b a a ++==-+≥=+--当且仅当5246a a -=-，即a =时取等号．故答案为：)+∞．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方17．（1）∅；（2）[2,2]-．【分析】（1）确定相应二次方程的根，结合二次函数性质可得不等式的解；（2）由一元二次不等式恒成立可得．【详解】（1）由已知不等式为2210x x -+<，而2221(1)0x x x +=-≥-，所以原不等式解集为∅； （2）不等式()2f x x ≥-对任意实数x 恒成立，即2(2)(2)0x a x a -+++≥恒成立，所以2(2)4(2)0a a ∆=+-+≤，解得22a -≤≤．即a 的范围是[2,2]-．18．（1）{1x x >或}3x <-；（2）403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）当1m =时，代入整理得2230x x +->，解之可得解集．（2）由题意得() 40f ->，解之可求得m 的取值范围.【详解】解：（1）当1m =时，() 12f x >-，即（()()35120x x -++>，整理得2230x x +->，解得 >1x 或3x <-，所以()12f x >-的解集为{} 13x x x ><-或．（2）因为4A -∉，所以() 40f ->，即()430m m -->．所以()340 m m +<，解得403m -<<． 即m 的取值范围为403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 19．（1）52a =，1b =；（2）102k -<<；（3）()0,1. 【分析】（1）由()0f x >的解集知，()0f x =的两根为2-和12-，根据韦达定理求得参数值. （2）由题意得，2a =-，0b =，所以()22f x x x =-，不等式恒成立等价于2121x x kx -<--<在[]0,2恒成立.通过讨论x 的值，分离参数1122x k x x x--<<+-在(]0,2恒成立，根据函数单调性，求得最值，从而求得k 的取值范围.（3）方程()0f x =在区间()1,2有两个不同的实根，应满足条件()()2110242012240f a b f a b a a b ⎧=++>⎪=++>⎪⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎪⎩，把条件中的b 用(1)f 和a 表示，从而解得(1)f 的取值范围.【详解】（1）因为()0f x >的解集为()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以()0f x =的两根为2-和12-， 由韦达定理得()()122122a b ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以52a =，1b =. （2）由题意得，2a =-，0b =，所以()22f x x x =-，因为()()1f x g x -<在[]0,2恒成立，所以2121x x kx -<--<在[]0,2恒成立.①当0x =时，101-<<满足题意，②当(]0,2x ∈时，1122x k x x x--<<+-在(]0,2恒成立， 即max min1122x k x x x ⎛⎫⎛⎫--<<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为12y x x =--在(]0,2单调递增，12y x x=+-在(]0,1上单调递减， 在(]1,2上单调递增，所以max 1122x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，min120x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以102k -<<；（3）因为方程()0f x =在区间()1,2有两个不同的实根，所以()()2110242012240f a b f a b a a b ⎧=++>⎪=++>⎪⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎪⎩， 所以()11b f a =--，所以()()()()21042110424110f a f a a a f a ⎧>⎪++-->⎪⎨-<<-⎪⎪--->⎩， 由()131f a >-->-，由()()24110a f a --->得()()24124f a <+<，得()11f <， 综上所述：()011f <<.所以()1f 的取值范围是()0,1.20．（1）证明见解析；（2）2p =，证明见解析.【分析】（1）由分析法，只需证明111()()0a c a b b c c a -++>---即可, 利用基本不等式即可证明. （2）只需11()()0p a c a b b c c a -++>---，左边24b c a b p p a b b c --=-++---，进而可得结果. 【详解】（1）由于a b c >>，所以0a b ->，0b c ->，0a c ->， 要证1110a b b c c a++>---， 只需证明111()()0a c a b b c c a -++>---.左边111[()()]()a b b c a b b c c a=-+-++--- 130b c a b c a b a b b c b b a---=++≥=>--- （2）要使110p a b b c c a ++>---，只需11()()0p a c a b b c c a -++>---， 左边11[()()]()24p b c a b a b b c p p a b b c c a a b b c--=-+-++=-++------， 所以只需40p ->即可，即4p <，所以可以取2p =，3代入上面过程即可.21．（1）32；（2）(,1)-∞-. 【分析】（1）先求出b 、c ，再利用单调性求最小值；（2）用分离参数法，只需求出2()31h x x x =-+的最小值即可.【详解】（1）因为关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为(1,2)-，解得11b c =-⎧⎨=⎩， 所以22111x bx c x x x x x x++-+==+-，令1()1g x x x =+-，2x ≥，则21()10g x x '=->， 所以函数()g x 在[2,)+∞上单调递增，所以min13()(2)2122g x g ==+-=，所以2x bx c x++的最小值为32． （2）由（1）可知1b =-，1c =，因为当[1,1]x ∈-时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，所以当[1,1]x ∈-时，212x x x m -+>+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立．令22()3135()24x h x x x +=--=-，易知函数()h x 在[1,1]-上的最小值为(1)1h =-， 所以1m <-，故实数m 的取值范围为(,1)-∞-．【点睛】（1）单调性法求最值是求值域最常用的方法；（2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决.22．（1）详见解析；（2）34. 【分析】（1）本题首先可通过题意将不等式()42f x x <-+转化为()()110x ax --<，然后分为0a <、0a >两种情况进行讨论，0a >又分为1a =、1a >、01a <<三种情况进行讨论，即可得出结果；（2）本题首先可根据()14f =得出()14a b ++=，然后通过基本不等式得出1114a a a b a+≥++，最后分为0a >、0a <两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】（1）因为()()223f x ax b x =+-+，所以()42f x x <-+即()22342ax b x x +-+<-+，因为3b a =--，所以不等式可以转化为()2110ax a x -++<，即()()110x ax --<，当0a <时，11a <，()()110x ax --<即()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或1x >， 当0a >时，()()110x ax --<即()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 若1a =，不等式()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为∅， 若1a >，则11a<，解得11x a <<， 若01a <<，则11a >，解得11x a <<， 综上所述，不等式的解集为：当0a <时，()1,1,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a =时，解集为∅；当1a >时，11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （2）因为()14f =，所以()14a b ++=，则()111114144144a a a a b a b a a a b a b a a b a a++++=+=++≥+++++， 当0a >时，1a a =，1514a a b +≥+，当且仅当43a =、53b =时等号成立；当0a <时，1a a =-，1314a ab +≥+，当且仅当4a =-、7b =时等号成立， 综上所述，11a a b ++的最小值为34. 【点睛】易错点睛：本题考查含参数的一元二次不等式的解法以及基本不等式求最值，在求解含参数的一元二次不等式的时候，例如()()110x ax --<，既要注意1和1a的大小关系，也要注意a 的正负，在利用基本不等式求最值时，要注意取等号的情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，是难题.。
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数列与不等式专题一．高考说明剖析高考数学考试大纲，对于《不等式》一章的考试内容及考试要求为：(1）理解不等式的性质及其证明。
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
(4)掌握简单不等式的解法。
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分内容的要求完全一样。
据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之一。
传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、直线和平面、圆锥曲线。
而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。
这是总的格局，再细化一下，看2004年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省2004年高考数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题(数列为第20题，不等式为第22题)。
其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都在不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。
由此可以看出，不等式和数列是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。
还应指出的是：数列、不等式也是《新课标》必修模块5的内容。
因此，我们有理由相信：不等式、数列内容仍将是今年高考考查的重点。
二．高考试题研究例1．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n 。
⑴若首项a 1＝32，公差d ＝1，求满足2k S ＝(S k )2的正整数k ； ⑵求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2k S ＝(S k )2成立。
学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。
其中，第二句话具有高等数学的语言味道。
例2．(2004年江苏高考22题)已知函数f(x)(x ∈R)满足下列条件：对于任意的实数x 1、x 2，都有λ(x 1－x 2)2≤(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]和｜f(x 1)－f(x 2)｜≤｜x 1－x 2｜，其中λ是大于0的常数。
设实数a 0、a 、b 满足f(a 0)＝0和b ＝a －λf(a)。
(Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f(b 0)＝0；(Ⅱ)证明：(b －a 0)2≤(1－λ2)(a －a 0)2；(Ⅲ)证明：[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2。
本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低，区分度极差。
从某种意义上讲，经过直觉判断后95％学生可放弃解答本题。
例3．(2004年全国高考数学试卷二19题)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n+1＝n 2n＋S n (n ＝1，2，3，…)。
证明：⑴数列{S n n}是等比数列；⑵S n+1＝4a n 。
解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号{S n n}的意义，二是把握项与和的关系（消项留和）。
例4．f(x)是定义在[0，1]上的增函数，f(x)=2f(x 2)且f(1)＝1，在每个区间(12i ，12i-1 ］(i=1，2，3，…)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。
⑴求f(0)及f(12 )、f(14 )的值，并归纳出f(12i )(i=1，2，3，…)的表达式；⑵略解答本题必须具有识别数列模式的能力。
例5．给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275。
现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，r1称为第一组的余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这里的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…，直至第N组(余差为r N)把这些数全部分完为止。
⑴判断r1，r2，…，r N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；⑵当构成第n(n＜N)组后，指出余下每个数与的r n的大小关系，并证明r n-1＞150n－Ln－1；⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11（本题是理科试题最后一题）。
阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第1小题多数学生可以做出来，不难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。
三．高考命题展望根据上述三点，我们对高考数学命题展望如下：1．贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。
如2004年北京高考数学试题第19题。
例6．某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5km，BC＝3km，在列车运行时刻表上，规定列车8点整从A 站出发，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站。
在实际运行时，假设列车从A 站正点出发，在B 站并停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
⑴分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；⑵要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围。
本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力。
本题具有一定的生活背景和文化背景，而且其数学模型是一个简明的绝对值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误差分别为｜300v －7｜和｜480v －11｜，进而得出不等式：｜300v－7｜和｜480v －11｜≤2。
本题作为应用题，它的阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力，第二问检测学生的数学解模能力。
估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理解，第二个障碍是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现单位错误, 第三个障碍是不会解不等式,或解解不等式时分类不全,乱分类。
2．考查学生的数学探究能力《普通高中数学课程标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学教学使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0＝0。
为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，x n＝n5，y n＝(a0＋a1＋…＋a n)，作函数y＝f(x)，使其图象为逐点依次连接点P n(x n，y n)(n ＝0，1，2，…，5)的折线。
（1）求f(0)和f(1)的值；（2）设P n-1P n的斜率为k n(n＝1，2，3，4，5)，判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（3）证明：当x∈(0，1)时，f(x)＜x；（4）求由函数y＝x与y＝f(x)的图象所围成图形的面积S（用a1，a2，a3，a4，a5表示）。
本题以数字为研究对象，波及的知识点多，这点对于学生来说，具有一定的挑战性。
但更具有值挑战性的是，学生要有勇气、毅力和探究能力。
3．适度综合由学习和教学的特点，只能将结构完整的蕴含着深刻思想的有着内在联系的知识网络，人为地加以分割成条、块，而后，按一定的顺序，渐次展开进行教学。
但在应用中，往往需要将知识综合，需要数学思想指导，需要数学方法支撑，才能够解决问题，支离破碎的知识是不行的（有用捕捉，有关提取，有效整合）。
不等式与函数、数列、二项式定理、解析几何等知识的综合，数列与函数、方程、不等式、解析几何等的综合，既有天然的因素，也有人工的成份。
试题渗透归纳猜想、类比联想、等价转化、分类讨论等重要的数学思想，试题难度一般均属中等以上。
例如2004年上海高考数学试卷的第22题。
例8．(2004年上海高考22题)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(n ≥3，n ∈N)是二次曲线C 上的点，且a 1＝｜OP 1｜2，a 2＝｜OP 2｜2，…，a n ＝｜OP n ｜2构成了一个公差为d(d ≠0)的等差数列，其中O 是坐标原点。
记S n ＝a 1＋ a 2＋…＋a n 。
(文)⑴若C 的方程为x 29－y 2＝1，n ＝3，点P 1(3，0)且S 3＝162，求点P 3的坐标；(只需写出一个)⑵ 若C 的方程为y 2＝2px(p ≠0)，点P 1(0，0)，对于给定的自然数n ，证明：(x 1＋p)2、(x 2＋p)2、(x 3＋p)2、…、(x n ＋p)2成等差数列；⑶若C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P 1(a ，0)，对于给定的自然数n ，当公差d 变化时，求S n 的最小值。
本题在二次曲线与数列的交汇点设计试题，题型新颖，解法多样。
四．高考复习建议关于数列与不等式这部分内容的复习，提几点建议，一家之言，仅供大家参考：1．注重双基，降低难度，突出主干知识。
比如数列中对a n 与S n 符号的理解： 2004年江苏省高考数学试卷的第20题，考查了学生对符号2k S 的理解。
学生明白＝f(n)意义标准是：⑴数列｛a n ｝第n 项就是f(n)；⑵数列｛a n ｝第n 项与其序号n 的对应关系就是f 。
类似的还有符号x i （i=0，1，2，…）。
关于a n 与S n 之间的关系，江苏省近两年的高考数学试题虽均没涉及，我们也不能掉以轻心，应给予足够地重视。
在给a n 与S n 的关系的前提下，是消a n 还是消S n 要灵活，比如：上面的例3，2004年全国高考数学试卷二19题。
又比如，已知数列{a n }的各项都是正数，且前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1a n)，求{a n }的通项公式以及前n 项和公式。
对于递推数列，特别是递推数列与概率的综合问题，我们要给予重视。
有人玩硬币走跳棋的游戏。
棋盘上有第0站，第1站，第2站，……，第100站。
一枚棋子开始在第0站。
已知硬币出现正反面的概率都是0.5，棋手每掷一次硬币，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。