基本不等式在最值问题中的应用归纳

不等式中最值问题全梳理教师专用（2020.8.23）题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B．)+∞C ．()2,+∞ D ．()0,1【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =，则2212x x +=212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题22291sin cos αα+的最小值为（ ）A ．2B ．16C ．8D ．12【分析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∴()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题例题4 已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3B ．1C ．2D ．32【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，利用不等式求得112m n+最小值. 【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32.故选：D【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题例题5 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-【解析】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()31144a a a ⎛⎫=-+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。

例题6 已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab 的最小值为________． 【解析】由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12. 题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题例题7 如图所示,已知点G 是ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为______.【分析】根据重心的性质有1331AG AB AC =+,再表达成,AM AN 的关系式,再根据M ,G ,N 三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根据条件：1AC AN y =,1AB AM x =,又1331AG AB AC =+,1133AG AM A x y N ∴=+. 又M ,G ,N 三点共线,11331y x∴+=. ()114433333333x x y x y x y y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+=⎪⎝⎭. 3xy ∴+的最小值为3,当且仅当3x y y x =时“=”成立.故答案为：3. 题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题例题8 在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【解析】（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(,3)B x -，(0,1)A -．所以MA =(,1)x y ---， MB =(0，3y --)，AB =(x ，-2).再由题意可知（MA +MB ）• AB =0， 即（x -，42y --）• (x ，－2)=0．所以曲线C 的方程式为2124y x =-． （Ⅱ）设00(,)P x y 为曲线C ：2124y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x ， 因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=． 则O 点到l 的距离2d=．又200124y x =-，所以201412,2x d +==≥当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．例题9 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上 的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆面积最大？若存在，求出点M 坐标及相对应的OAB ∆面积；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）由2223c e c a a ===，所以222213b ac a =-=，设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点， 则22221x y a b+=，∴222222(1)3y x a a y b =-=-，||PQ=所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （Ⅱ）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B ,则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==1||2OABS AB d =⋅= 由②得2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅， 当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 题型六 基本不等式与圆相结合的最值问题例题10 设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 取值范围是（ ）A．[1 B．(,1[1+3,+)-∞∞ C．[2- D ．(,2[2+22,+)-∞-∞【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得 (,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.题型七 基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题例题11 当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．)+∞C ．(0,)+∞D ．()-+∞【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.【解析】当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x ⎛⎫>-+⎪⎝⎭在(1,2)x ∈时恒成立即等价于2max m x x ⎡⎤⎛⎫>-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；而因为(1,2)x ∈，故2x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭,当且仅当2x x =时取得最大值.故：m >-【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.例题12 已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．9B ．12C ．16D ．20【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【解析】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤。

题型八 基本不等式与立体几何相结合的最值问题例题13 如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）A ．2563π B ．3C ．323πD ．36π 【分析】根据三棱锥的体积关系可得6mn =,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得2R =根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n ,所以112232n m ⋅⋅⋅⋅=,所以6mn =,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为R ,所以2R ,所以24R ≥==,当且仅当m n ==时,等号成立,，所以2R ≥,所以该三棱锥外接球体积为343R π3432233ππ≥⨯=.故选:C 【小结】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.题型九 基本不等式与解三角形相结合的最值问题例题14 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin sin 3sin A B A B C +=，则sin C 的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．6D ．6【分析】由已知可得22223a b c +=，结合余弦定理，求出cos C 用,a b 表示，用基本不等式求出cos C 的最小值，即可求解.【解析】2222sin sin sin 3sin A B A B C +=,由正弦定理得22223a b c ++=，由余弦定理得2223336cos c a b ab C =+-，226cos 2ab C a b =+，26cos 6a b C C b a =+-≥，当且仅当a =时，等号成立，sin C ∴=≤sin C 【小结】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题. 例题15ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值． 【解析】（1）c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+=，由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+，()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=，由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立），2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立） 2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立），即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为12真题赏析1. 【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【小结】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.2. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021xf x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x -=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2()(ln )h x x '=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e].【小结】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3. (2018全国卷Ⅰ)已知函数，则的最小值是_____． 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以，所以的最小值为． 4. (2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 ． 【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 5. （2017新课标Ⅰ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有设，，，，此时直线方程为，取方程，得，∴ ()2sin sin 2=+f x x x ()f x ()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x 2223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x 443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27[]344-++++++⋅=≤x x x x 3(1cos )1cos -=+x x 1cos 2=x 2270[()]4≤≤f x ()fx 2-F C 24y x =F 1l 2l 1l C A B 2l C D E ||||AB DE +1l x 1l 1k 2l 2k 121k k ⋅=-11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)D x y 44(,)E x y 1l 1(1)y k x =-214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=同理得，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取得等号．6. （2017天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．模拟题汇编1．（2020·武汉市第一中学高三）已知正实数a ，b 满足123a b+=，则()()12a b ++的最小值是（ ） A ．503 B ．259 C ．253D ．509【解析】∵123a b +=，∴8239a b ab ab +=≥⇒≥，当且仅当2a b =时，等号成立，∴()()501222429a b ab a b ab ++=+++=+=，即()()12a b ++的最小值是509．2.（2020陕西高三）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>【解析】∵，∴，又在上单调递增，故，即，∵，∴． 3．（2020·山西实验中学高三月考）已知函数())2log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【分析】先确定奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后基本不等式求最值. 0,x x x x >≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以23422x x k +=1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥121k k =-=1-0a b 2a b ab ()ln f x x (0,)()2a bf f qp 11(()())(ln ln )ln ()22r f a f b a b ab f ab p p r q()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，所以()3131936b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=，所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 4．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( ) A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2 D ．6【解析】本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C. 5.（2020·天水市第一中学高三月考）实数,x y 满足条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩.当目标函数(),0z ax by a b =+>在该约束条件下取到最小值4时，12a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2【解析】由z ax by =+得a z y x b b =-+，因为,0a b >，所以直线的斜率为0a b-<， 作出不等式10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩对应的平面区域如下：由图像可得：当直线a z y x b b =-+经过点A 时，直线a z y x b b=-+在y 轴截距最小，此时z 最小。