含参变量的无穷积分(北工大)
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
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sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
4.1 含参变量的积分
利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得
H H H ( x) ( x) ( x) x
( x)
( x)
f x ( x, y ) d y f ( x, ( x)) ( x)
f ( x, ( x)) ( x)
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3 sin x 3 2 sin x 2 x
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结束
例4. 设 f ( x) 在 x 0 的某邻域内连续 , 验证当 x 充 分小时, 函数 x 1 ( x) ( x t ) n 1 f (t ) d t (n 1) ! 0
的 n 阶导数存在, 且 ( n ) ( x) f ( x) . 证: 令 F ( x, t ) ( x t ) n1 f (t ) , 显然 , F ( x, t ) 及 Fx ( x, t ) 在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得 x 1 ( x) (n 1)( x t ) n 2 f (t ) d t (n 1) ! 0 1 ( x x) n1 f ( x) (n 1) !
①
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
含参积分的性质 — 连续性, 可积性, 可微性 :
定理1.(连续性) 若 f ( x, y ) 在矩形域 R [a, b] [ , ]
上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续.
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结束
证: 由于 f ( x, y ) 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 任给 0, 存在 0 , 对R内任意两点 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
含参变量的积分
§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰，或(,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()yx y y x y∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f xr r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰01.(0)1cos dx r r r r xππ=-≠+⎰ 设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，001cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝.将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有1()((ln ln I r dr r C r rππ==++⎰ln(1C π=+.已知'(0)0.I =，有 1ln 2ln 2C ππ=-=.于是 ，1()ln(1ln ln 2I r πππ=+=.例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!x n a y x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0n y a y a y a -===.证明： 逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=--+---⎰ =21()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!x n a y x x t f t dt n -=--⎰(1)()(),xn a y x f t dt -=⎰()()()n y x f x =，即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，'()()0,()0,()0n y a y a y a ===.例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x∂=∂ 即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abbyyaax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yyx x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。
含参变量的积分
连续且
x
F (x, u) a f (t, u)dt
在D有界,即 C 0,(x,u) D ,有
x
F(x,u) a f (t,u)dt C
则当 0时，无穷积分
，
a
f
(x, x
u)dx
在区间I一致收敛.
4.含参变量无穷积分的性质
定理8(连续性) 设f (x,u)在区域D(a x , u )连续，
0 y
0 x2 y2
201
(
d x
(x)
)2y1
2arctan
x y
1 0
2
arctan
1 y
.
y
例2. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
x
y
d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
A2 f (x, u)dx A1
定理6(优函数判别法) 若 B 0,x B,u I , 有
f (x,u) F(x) ,且无穷积分 a F(x)dx 收敛，则无穷积分
a
f (x,u)dx
在区间I一致收敛.
例7. 证明:无穷积分 eux2 dx 在区间[a, )
上连续, 则函数 (u) ab f (x,u)d x 在区间 [, ]也连续.
证: 由于 f (x,u)在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即
任给 0, 存在 0, 对R内任意两点 (x1,u1), (x2,u2 ),
只要
关于无穷积分收敛的必要条件的探讨
湖北大学硕士学位论文关于无穷积分收敛的必要条件的探讨姓名：孙幸荣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：文胜友20080501关于无穷积分收敛的必要条件的探讨作者：孙幸荣学位授予单位：湖北大学1.期刊论文关冬月关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件-内蒙古师范大学学报(教育科学版)2004,17(5)数项级数∑∞n=1un与广义积分∫+∞af(x)dx之间可以互相转化,函数项级数∑∞n=1un(x) (x∈I)与含参变量广义积分∫+∞af(x,y)dx (y∈I)之间也可以互相转化.鉴于此,无穷级数与无穷积分在收敛性及相关的性质方面有诸多相似之处.本文探讨了无穷级数与无穷积分收敛的必要条件的不同之处,并给出几个必要条件.2.期刊论文张千祥无穷级数与无穷积分的关系探讨-安庆师范学院学报(自然科学版)2002,8(4)本文讨论了无穷级数与无穷积分的关系,给出∫+∞αf(x)d(x)收敛时,limx→∞f(x)=0成立的几个充分条件.3.期刊论文王宇凡.WANG Yu-fan关于无穷积分∫+∞0f(x)dx收敛的必要条件-阴山学刊（自然科学版）2007,21(4)本文从无穷级数收敛的必要条件出发,通过无穷积分和无穷级数的紧密联系,给出无穷积分收敛的一个必要条件.4.期刊论文毛一波.MAO Yi-bo反常积分与无穷级数的对数审敛法-重庆文理学院学报（自然科学版）2007,26(1) 利用比较判别法,给出了无穷积分和瑕积分敛散性的对数判别法;对比无穷积分和无穷级数,同时给出了无穷级数的对数审敛法.5.期刊论文朱水源无穷积分+∞∫0 sinx/x dx的敛散性的判别和计算-宿州教育学院学报2007,10(6)本文就无穷积分+∞∫0 sinx/x dx这一反常积分问题,给出了Dirichlet判别法、留数计算法、Laplace变换(像函数积分法)、无穷级数(近似)计算法.这些无疑是解决诸如+∞∫0 sinx/x dx类积分问题的有效手段.6.期刊论文刘宁谈无穷级数与广义积分的关系-重庆职业技术学院学报2004,13(3)本文叙述了无穷级数与广义积分的区别与联系,并给出了收敛的无穷积分其被积函数趋于零的充要条件.7.期刊论文梁洪亮浅谈等价关系的应用-高等数学研究2004,7(4)将等价关系应用于求极限和判定无穷积分、无穷级数的敛散性,可极大地方便问题求解.8.期刊论文许志红.钱祖平.益晓新有限电导率下格林函数的解析表达式及其数值计算-解放军理工大学学报(自然科学版)2001,2(4)在阻抗边界条件下，有限电导率地平面上电偶极子的赫兹位函数可被表达成电偶子源的直达波，镜像源的反射波与一个无穷积分或一个贝塞尔函数级数之和的解析形式。
第十二章反常积分与含参变量的积分
|
f ( x) | dx
收敛，则
f ( x)dx 必收敛，并有
a
a
a f ( x)dx a | f ( x) | dx.
证
|
f
( x) | dx
收敛，则由Cauchy准则，
a
0,G a,u1 u2 G,有
u2 | f ( x) | dx u2 | f ( x) | dx .
|
f
( x) | dx
收敛；
a
(2)当p 1,0 时，
|
f ( x) | dx
发散。
a
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例３
判别
1
x3 1
/2
x
2
dx
的收敛性.
解 lim x
x
x3 1
/2
x2
lim
x
1
x
2
x
2
1,
反常积分发散．
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例5 判别 e ax sinbxdx (a、b 是常数，a 0) 0 的 敛 散 性.
a
f
( x)dx.
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
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类似定义
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a
a
A'
收敛
1
n1 n 收敛
1
发散 发 散
无穷积分
dx
a x 与广义调和级数
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练 证明:无穷积分
1
sin xy dx 在R一致收敛. 2 1 x
定理3
狄利克雷判别法
满足：
A a
若 f ( x , u), g( x , u)
１）当 A 时, 积分 f ( x , u)dx 对 u [ , ] 一致有界；
2
0, A0 0, A A0 , u I , 有
f ( x , u )dx .
从而，A A0 , u I , 分别有
A1
f ( x , u )dx
A2 A1
2
.
A2
f ( x , u )dx
2
.
于是
f ( x , u)dx
上一致收敛．
例
证明：无穷积分
0
e
xy
sin x dx x
在区间
[0,) 一致收敛．
例
证明：无穷积分 [0,) 一致收敛．
0
sin x 2 dx 在区间 p 1 x
sin xy dy 0
y
定理2 若
B 0, x B, u I , 有
f ( x , u) F ( x ),
F ( x )dx a
且无穷积分
a
收敛,则无穷积分
f ( x, u)dx在区间 I 一致收敛. ux 2 例 证明:无穷积分 0 e dx 在区间
A" A'
f ( x , u)dx
A' a
f ( x , u)dx
A" a
f ( x , u)dx 2M .
由条件２）， 0, A0 a , x A0 ,
u [ , ], 有 g( x , u) . 由积分第二中值定理， [ A' , A" ], 有
(u)
f ( x, u)dx, u [ , ],
称为含参变量的无穷积分, u 是参变量.
2.一致收敛的定义
设 u I (区间) ,无穷积分 f ( x, u)dx 收 敛. 0, A 0, A A , u I , 有 若
0 0
a
a
f ( x, u)dx f ( x , u)dx
A a
A
f ( x, u)dx ,
则称无穷积分
a
f ( x, u)dx ,在区间 I 一致
非一致收敛的定义 收敛． 若 0 0, A 0, A0 A, u0 I , 有
A0
f ( x , u0 )dx 0 .
一.含参变量的无穷积分
1 定义 区域 R ( x, u) a x , u 上, u [ , ], 无穷积分
a
设二元函数 f ( x , u) 是定义在无界
f ( x, u)dx 都收敛 .则 f ( x, u)dx a
a
是区间 [ , ] 上的函数,记为
A2 A1
令 A2 , 有
A1
f ( x , u)dx ,
即无穷积分
0
f ( x, u)dx
xu ue dx 0
在区间 I 一致收敛． 例 证明：无穷积分 在区间
[a , b](a 0) 一致收敛．
例 证明:含参变量的无穷积分 在 [ ,)( 0) 一致收敛.
A" A'
f ( x , u) g( x , u)dx
A"
g( A' , u) A' f ( x , u)dx g( A" , u) f ( x , u)dx
2 M 2 M 4 M .
由定理2知，则无穷积分 在 [ , ] 上一致收敛．
a
f ( x, u) g( x, u)dx
g ２） ( x , u) 是
x
的单调函数，且 x
时，关于
u 一致趋于０．
a
则无穷积分
f ( x, u) g( x, u)dx 在 [ , ]
上一致 , ],
有
f ( x , u)dx M .
A a
于是 A' , A'' a 及 u [ , ], 有（不妨 设 A' A" )
定理4 1)
a
阿贝耳判别法 满足：
若 f ( x , u), g( x , u)
f ( x , u)dx 关于 u [， ]一致收敛;
2)函数 g( x , u) 关于 x 单调, 且关于u 在 [， ] 上一致有界. 则无穷积分
a
f ( x, u) g( x, u)dx 在 [ , ]
3 一致收敛的判别方法
定理1 （一致收敛的柯西准则）
无穷积分 收敛
0, A0 0, A1 , A2 A0 , u I , 有
A2 A1
0
f ( x, u)dx 在区间
I
上一致
f ( x , u)dx .
证明
( )
A
由一致收敛的定义,
A1
f ( x , u)dx
A2
f ( x , u)dx
f ( x , u)dx .
2 2
1 0
A1
f ( x , u)dx
A2
0, A , A A 与 A
0
2
A0 ,
u I , 有
f ( x , u)dx .