含参变量反常积分的几种计算方法
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
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A1 , A2 M 时 , 对一切 x [a, b] 都有
c
A2
A1
f ( x, y ) dy < .
(5)
证明：(充分性) 对每个 x, (3)式成立,这说明
f ( x, y ) dy 收敛, 从而
A1
f ( x, y ) dy 收敛,
A1
M
c
f ( x, y )dy
对参量 x 在[a, b] 上一致有界, 即存在正数 G ,
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对一切 M c 及一切 x [a, b] 都有 |
M c
f ( x, y )dy | M ;
(ii ) 对每一个 x [a, b], 函数 g g ( x, y ) 关于 y 是单调递减且当 y 时, 对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0. 则含参量反常积分 一致收敛.
在(3)式中令 A2 得, | 故结论得证.
f ( x, y ) dy |
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例2
证明：若 z f ( x, y ) 在[a, b] [c, ) 上连续, 又
c
f ( x, y )dy
在[a, b) 上收敛 , 但在 x b 处发散, 则
A
sin xy dy y
Ax
sin u dy 0 . u
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sin xy 由于 dy 收敛, 对任意固定的 M 0, 0 y sin xy sin xy M 1 sin xy du M 1 y dy 0 y dy 0 y ( M 1) x sin u du : I ( x ), 0 u 则 I 在包含原点为左端点的某闭区间上连续, 于是
含参变量反常积分
|∫
d
d −η
f ( x, y )dy |< ε ，
则称含参量反常积分
∫
d
c
f ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛．
例6 证明 ∫
+∞
0
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) p x
即证 ∀[ p0 , p1 ] ⊂ ( −1,1),
∫
+∞
0
∫
+∞
0
2 2 +∞ cos x 1 cos x cos x 2 dx = dx + ∫ dx = I1 + I 2 p p p ∫ 0 1 x x x
sin xy dy y
在，）上一致收敛（其中但在 [δ + ∞ δ > 0),
（，）内不一致收敛。 0 +∞
分析
A > A0 要证：∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使得当时，
对一切，都有 x ∈ [δ , +∞ )
|∫
+∞ A
sin xy dy |< ε y
证
+∞
令 u=xy, 得
+∞ sin u sin xy ∫ A y dy = ∫ Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 由于 ∫ du 收敛，故 0 u 就有 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时， A > A0 +∞ sin u |∫ du |< ε A u A0 取N = 时 则当A > N 时有 Aδ > A0， δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， 有 Ax ≥ Aδ > A0， +∞ sin xy +∞ sin u 从而 | = ∫ A y dy | | ∫ Ax u du |< ε +∞ sin xy 所以 ∫ [δ + ∞ 一致收敛. dy 在，） 0 y
含参量反常积分
01
工程问题建模
含参量反常积分在工程问题建模中具有 重要应用，如流体动力学、电磁学等领 域。
02
03
金融数据分析
含参量反常积分在金融数据分析中具 有广泛应用，如风险评估、投资组合 优化等领域。
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收敛性
当参数在某个范围内变化时，含参量 反常积分的值是有限的，则称该含参 量反常积分在该范围内收敛。
收敛性的判定方法
柯西准则
如果存在一个正数$alpha$，使得在积分区间上，被积函数的绝对值小于$alpha$，则 该含参量反常积分收敛。
狄利克雷判别法
如果被积函数在积分区间上单调有界，且参数的变化范围有限，则该含参量反常积分收 敛。
02
CATALOGUE
含参量反常积分
含参量反常积分的定义
含参量反常积分
在数学中，含参量反常积分（或含参量不定积分）是一种特殊的反常积分，其中积分上 限或下限是参数。
定义
设函数f(x, a)在区间[a, b]上连续，且对于每一个固定的a值，f(x, a)在[a, b]上可积。那 么含参量反常积分∫f(x, a)dx在[a, b]上的值是函数F(x, a)在[a, b]上的增量，其中F(x, a)
含参量反常积分
目 录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的收敛性 • 含参量反常积分的应用 • 含参量反常积分的展望
01
CATALOGUE
反常积分简介
反常积分的定义
反常积分是指定积分在某个区间上发 散或无界的积分，通常表示为∫f(x)dx ，其中f(x)是定义在某个区间上的函数 ，而这个区间可能是无穷区间或者不 连续的区间。
解决数学问题
含参量反常积分的极限
含参量反常积分的极限在微积分中，我们学习了定积分和反常积分的概念和性质。
而含参量反常积分则是反常积分的一个扩展，用于研究积分上限或下限中含有参数的情况。
本文将探讨含参量反常积分的极限问题。
一、含参量反常积分的定义含参量反常积分是指积分上限或下限中含有参数的反常积分。
形式上，含参量反常积分可以表示为：∫[a, b]f(x; t)dx其中，f(x; t)是一个含有自变量x和参数t的函数，[a, b]表示积分的区间。
我们需要研究随着参数t的变化，含参量反常积分的极限趋向于什么值。
二、含参量反常积分的极限性质含参量反常积分的极限性质与普通反常积分类似。
我们来讨论两种情况：1. 参数t趋向于某个值时的极限当参数t趋向于某个值时，含参量反常积分的极限等于普通反常积分。
即当lim(t→c)∫[a, b]f(x; t)dx存在时，有：lim(t→c)∫[a, b]f(x; t)dx = ∫[a, b]lim(t→c)f(x; t)dx这个性质使得我们可以先求极限，再进行积分计算。
2. 积分区间端点趋向于无穷大时的极限当积分区间的上限或下限趋向于无穷大时，含参量反常积分的极限需要额外的讨论。
如果对于任意的L，存在一个常数M，使得当|t|>M时，有：|∫[a, b]f(x; t)dx - L| < ε其中，ε是一个足够小的正实数。
那么我们称含参量反常积分在积分的端点趋向于无穷大时收敛，并且极限为L。
三、求解对于一般的含参量反常积分，我们可以通过以下步骤求解极限：1. 先对含参量反常积分进行求积分运算，得到含有参数t的函数F(t)。
2. 对F(t)进行极限运算，即求解lim(t→c)F(t)。
3. 若极限存在，则得到含参量反常积分的极限值。
需要注意的是，在每一步的计算中，我们要遵循常规反常积分的计算规则，特别是在求极限的过程中需要注意参数t的取值范围和积分的收敛性。
四、示例分析为了更好地理解含参量反常积分的极限性质和求解方法，我们来看一个具体的示例。
含参变量的反常积分dini定理
含参变量的反常积分dini定理一、反常积分的基本概念反常积分也称为广义积分，是一种积分范围超越常规定积分的积分。
在定义上，反常积分可以看作是对定积分的推广，其积分区间可以是无穷区间，也可以是其他非正常区间。
反常积分具有广泛的应用，包括物理学、工程学、概率论等领域。
二、含参变量的反常积分含参变量的反常积分是指在积分过程中包含参数的积分。
这种积分在处理一些复杂问题时非常有用，例如物理中的热传导问题、弹性力学中的应变问题等。
含参变量的反常积分在处理这些问题的过程中，通过引入参数来简化问题，使问题得到更有效的解决。
三、Dini定理的背景和意义Dini定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到含参变量的反常积分。
Dini定理的背景可以追溯到19世纪末，当时数学家开始关注含参变量的反常积分。
Dini定理的意义在于，它提供了一种判断含参变量的反常积分收敛性的方法，从而为解决一系列相关问题提供了理论支持。
四、Dini定理的证明过程Dini定理的证明过程相对复杂，需要使用到实数性质、微积分基本定理等知识点。
在证明过程中，首先需要引入一个与被积函数有关的辅助函数，然后通过分析这个辅助函数的性质，逐步推导出Dini定理的结论。
具体证明过程可以参考数学分析教材或相关论文。
五、Dini定理的应用举例Dini定理的应用非常广泛，下面举几个具体的例子来说明其应用。
1. 在物理学中的应用：在研究波动方程时，Dini定理可以用来判断波动方程解的存在性和唯一性。
例如，在研究弦振动时，通过引入参数和利用Dini定理，可以证明弦振动方程解的存在性和唯一性。
2. 在工程学中的应用：在电气工程中，Dini定理可以用来判断电路中的电流和电压是否收敛。
例如，在分析交流电路时，通过引入角频率作为参数，并利用Dini定理判断电流和电压的收敛性，从而为电路的分析和设计提供依据。
3. 在概率论中的应用：在随机过程和概率论中，Dini定理可以用来判断随机过程的样本函数的收敛性。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总含参数的反常积分是指在积分中包含一个或多个参数的情况下的积分运算。
一致收敛是指在定义域上的每个点上，函数项级数都收敛于同一个函数。
一致收敛的发散判别法是用来判断含参数的反常积分是否一致收敛的方法。
它的基本思想是先对含参数的反常积分的被积函数进行求和，然后通过逐项求和的结果进行判断。
一般来说，当积分区间是有界区间时，可以直接采用一般的单调收敛判别法，若积分区间是无界区间，则需要使用其他方法来判断其一致收敛性。
以下是一些常见的含参数反常积分的一致收敛发判别法及推广：1.魏尔斯特拉斯判别法：该判别法适用于被积函数在区间上无上界的情况。
若函数项级数的每一项在区间上都存在可求得的上界，并且级数的系数与参数无关，即参数只出现在积分区间上，则该函数项级数在该区间上一致收敛。
2.绝对收敛发散判别法：若被积函数在积分区间上绝对收敛，则函数项级数在该区间上一致收敛。
3.阿贝尔判别法：若函数项级数在积分区间上逐项收敛，且在积分区间上一致有界，则函数项级数在该区间上一致收敛。
4.一致收敛的推广汇总：对于参数函数项级数的一致收敛判别，可以将其推广为参数函数项广义积分的一致收敛判别。
具体而言，可以参考以下几种情况的判别方法：a.线性组合的情况：若参数函数项级数与常数函数项级数的线性组合在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
b.积分换元法的情况：若参数函数项级数的积分变量进行换元，得到的新的参数函数项级数在积分区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
c.参数函数项级数的逐项积分的情况：若参数函数项级数的逐项积分在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
d.参数函数项的相对收敛性：若参数函数项级数的每一项与参数的函数项级数的每一项的绝对值相比，在积分区间上一致有界，并且参数的函数项级数在该区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
含参变量反常积分
|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以
0
e0 x dx 收敛，
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n 1
An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.
M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
含参变量反常积分
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
则称含参量反常积分
f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛于I( x),
或含参量积分在[a, b]一致收敛.
由于
I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关.如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切 x [a, b]，都有
sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0 u
0, M c，使得当 A M时，就有|
sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时 ， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
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含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。
关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。
本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。
一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u edu+∞-⎰u=xα令2()0(0)x edx ααα+∞-∀>⎰，求2ed αα+∞-⎰的值。
分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。
解：由已知，得()g α=2()0x e dx αα+∞-⎰是取常值的函数，记I=2e d αα+∞-⎰,则 I 2=I 2e d αα+∞-⎰=2Ie d αα+∞-⎰=22()0()x e dx e d αααα+∞+∞--⎰⎰=22(1)x d e dx ααα+∞+∞-+⎰⎰=22(1)x dx e d ααα+∞+∞-+⎰⎰=201121dx x +∞+⎰=4π故二 积分号下微分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求导，须验证以下条件：(1) ()(),,,y f x y f x y 在,x a y I ≥∈上连续（设I 为某个区间）； (2) (),a f x y dx +∞⎰在y I ∈上收敛；(3)(),y af x y dx +∞⎰对y I ∈一致收敛（或内闭一致收敛），则 ()()()()//,,y y aag f x y dx f x y dx +∞+∞==⎰⎰用此法求解含参变量反常积分，常常要通过建立微分方程来求积分值；应用这一方法的基本原则是(),y f x y 能比(,)f x y 较简单，更容易求出。
例1 求()22x jtxt e dx ϕ+∞--∞=⎰ （j 为复数单位） 解：令()22,x jtx f x t -=，显然()22,x jtx f x t -=在,x R t R ∈∈上连续,又()22,x jtx t f x t -=，而2222x x jtx x e--≤，由于222x x edx +∞--∞=⎰，由魏尔斯特拉斯判别法知，(),t f x t dx +∞-∞⎰是一致收敛的，故 ()()2/2,x jtx t t f x t dx dx ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰又()()2/2()0x jtx t t jt j jt x edx ϕϕ+∞--∞+=-=⎰,所以 ()()/0t t jt j ϕϕ+= ()0j ≠通过变量分离求解微分方程得 ()21ln 2t t c ϕ=-+，即()22t t ce ϕ-= （c 为积分常数）而()2201t dt ϕ+∞--∞==⎰1c = ()22t t e ϕ-=例2 求 ()()2sin 1x xtI dt t t +∞=+⎰(0)t ≥ 解：令()()2sin ,1xt f x t t t =+，显然()()2sin ,1xtf x t t t =+在,0x R t ∈≥上连续，且因()()22sin ,11x xtf x t tt t =≤++，故积分在任何有限区间上一致收敛。
为了计算()x I ，采用积分号下微分法，由于()2cos ,1x xtf x t t =+，且20cos 1xt dt t+∞+⎰在x R ∈上一致收敛,故()/2cos 1x xtI dt t +∞=+⎰，但这个积分仍不能直接计算。
再考虑()2,sin 1xx tf x t xt t=-+，当00x x ≥>时，()012sin 1cos Axtdt xA x x =-≤⎰又当0t →时，21tt+单调趋于零，由狄利克雷判别法知，积分()0,xx f x t dt +∞⎰在00x x ≥>上致收敛（0x x ≤-也一样），因此()//20sin 1x t I xtdt t +∞=-+⎰。
当0x >时（或0x <），()x I 二次可微且满足微分方程()()//0sin x x xt I I dt t+∞=+⎰ ，而当0x >时，0sin 2xt dt t π+∞=⎰， 即当0x >时，()()//2x x I I π-=-， 解得()2x xx I Ae Be π-=++(其中A,B 为常数) 因()/2200cos 111x xt Idt dt t t +∞+∞=≤=++⎰⎰2π,及()/x x x I Ae Be -=-,于是要保证()/x I 有界，必须0A =，再由()00I =，可得2B π=-，故()()12xx I e π-=- （当0x >时），又()xI 为奇函数且连续，()()()102102{x xe x x e x I ππ--≥-+<=例3 求 ()220A x x A I edx ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭=⎰ ()0A ≥解：因222()A x x x ee-+-≤，而2x e dx +∞-⎰是收敛的，由魏尔斯特拉斯判别法知，()A I 对0A ≥是一致收敛，故()A I 是连续，又由()2()221,Ax x A f x t e x -+=-及2()2201Ax x e dx x -++∞-⎰对00A A ≥>是一致收敛的。
因此0A >时，()A I 可微，且()()2()2/21,Ax x A A I f x t dx e dx x -++∞+∞==-⎰⎰，又()()22/201A x x A A I edx x ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰2x e ed x x ⎛- +∞-⎝⎭⎛=- ⎝⎭（令t x x =-）2teedt +∞---∞=-=又在()/A I中令t =()()2/0t A A I e dt I ⎛- +∞⎝⎭==⎰，因此 ()A I -=三 引进含参变量原积分对一些特殊的积分，直接运用牛顿-莱布尼兹公式行不通，此时可以考虑借助含参变量原积分来解决问题。
例1 求01cos xx I e dx xβ+∞--=⎰ （0β>）解：考虑()01cos x x I e dx xβαα+∞--=⎰，显然()1 I I = 因为 ()001cos sin lim lim 01x x x x x xe x e x ββαααβ+-→→-==-，所以0x =不是瑕点，考虑函数()1cos 00,{xx ex xx f x βαα--≠== 与(),sin x f x e x βααα-=均在R α∈上连续，而01cos xx e dx xβα+∞--⎰在R α∈上收敛，()0,f x dx αα+∞⎰在R α∈上一致收敛（其中x e βα-为优函数），因此R α∈时，()I α可积分号下求导，且()/22sin x I e xdx βααααβ+∞-==+⎰，故()()22221ln 2I d c ααααβαβ==+++⎰(c 为积分常数)，又()00I =，故21c=ln 2β，()2221ln 2I ααββ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此 ()()211ln 12I β-=+ 例2 求 ()()2211I dx x ββ+∞=+⎰（0β>）解：考虑()201dx x αφαβ+∞=+⎰（1α≥），当1α≥时，22111x x αββ≤++且2011dx x β+∞+⎰收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，()21dx xαφαβ+∞=+⎰一致收敛，且()201dx x αφαβ+∞===+⎰（*）当1α≥时，又有222211()(1)x x αββ≤++，且221(1)dx x β+∞+⎰收敛，故221()dx x αβ+∞+⎰一致收敛，（*）式两边对α求导，得()31/22221()4dx x απφαβαβ+∞--=-=-+⎰，令1α=，得12221(1)4I dx x πββ+∞-==+⎰四 引进收敛因子有些积分是收敛的，但积分号下求导后发散，不满足积分号下可求导的条件，此时可以考虑引进收敛因子，因为收敛因子可以大大改善积分收敛性，从而可以利用含参变量反常积分的性质来解决问题。
例1 求狄利克雷积分0sin xdx xβ+∞⎰(R β∈) 解：由狄利克雷判别法知该积分收敛，但/sin cos x dx xdx x βββ+∞+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰是发散的，不满足积分号下可求导的条件，因此考虑引进收敛因子x e α-。
令()0sin xxg e dx xααβ+∞-=⎰,收敛因子大大改善了积分收敛性。
事实上 /0sin sin x xx e dx e xdx x αααββ+∞+∞--⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰ (1) 又0sin xxxex eeαααβ---≤≤ ()00αα≥>, 且00x e dx α+∞-⎰收敛，所以积分(1)在0α>上内闭一致收敛，故 ()/22sin x g e xdx ααββαβ+∞-=-=-+⎰（当0α>,0β>时）。
因此 ()g arctgc ααβ=-+ (c 为积分常数) （2），又0β>时,有()0sin 0xx xg e dx e dx xαααβββα+∞+∞--=≤=→⎰⎰(α→+∞)。