数学分析课件：20-2含参量的反常积分的一致收敛
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
f ( x, y )dy
在[a, b) 上不一致收敛.
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证明: 用反证法.
假设原积分在[a, b) 上一致收敛, 则对 0, M c, 当 A, A M 时对一切 x [a, b) 恒有
A
A
f ( x, y )dy .
A A
由假设 f 在[a, b] [ A, A] 上连续，所以 f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x b , 得到当 A A M 时,
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二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则）
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上. 反常积分
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛
的充要条件是 : 对任给正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当
c d
都收敛 , 则 I I ( x) 是 [a, b] 上的函数. 含参量无 界函数反常积分在[a, b] 上一致收敛的定义为: 若对 0, 总存在某正数 ( ) d c, 使得当 0 时 , 对一切 x [a, b], 都有
d
d
f ( x, y )dy
A
A
f (b, y )dy .
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而 是任给的，因此
c
f ( x, y )dy 在x b 处收
c
敛, 这与假设矛盾. 所以积分 [a, b) 上不一致收敛.
f ( x, y)dy 在
数学分析课件：20-2含参量的反常积分的一致收敛
§20.2 含参量的反常积分的 一致收敛
本节研究形如
c f ( x, y)dy
d
f ( x, y)dy,
(d 为瑕点)
c
的含参变量广义积分的连续性、可微性与 可积性.
只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可 类似处理.
一、含参量反常积分的定义
设f ( x, y)定义在无界区域 R [a,b][c,)上,
收敛于0,
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .
5. Abel 判别法
若
(i) f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛; c
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数, 且对参量x, g( x, y)在[a,b]上一致有界 ,
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
对任一趋向于 的递增数列{An }(其中A1 c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛 .
证 只证明必要性
3. Weierstrass判别法
设有函数g( y), 使得 f ( x, y) g( y),a x b,c y .
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上
c
c
一致收敛.
4. Dirichlet 判别法
N
若 (i) N c,含参量正常积分 c f ( x, y)dy
对参数x在[a , b]上一致有界 ,
(ii) x [a,b],函数g( x, y)关于y是单调递减
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法王 明 星（德州学院数学科学学院,山东德州 253023）摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法.1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念1.1 含参量无穷限反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰,[],x a b ∈称(,)cf x y dy +∞⎰为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分.1.2 含参量无穷限反常积分收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对每一个固定的[],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有(,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰,即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上收敛于()I x .1.3 含参量无穷限反常积分一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x 对任给的正数ε,存在某一实数N c >,使得M N >时,对一切[],x a b ∈,都有 (,)()Mcf x y dy I x ε-<⎰即(,)Mf x y dy ε+∞<⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛于()I x .1.4 含参量无穷限反常积分非一致收敛若含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰与函数()I x ,总存在正数0ε,对任意给定的实数N c >,总存在M N >及[]0,x a b ∈,使得 000(,)()Mcf x y dy I x ε-≥⎰,即00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰,则称含参量无穷限反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[],a b 上非一致收敛于()I x .2 含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1 用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收敛性用定义证一致收敛的关键在于寻找只与ε有关的共同的0A ,方法常常是采取适当放大的方法.例1 证明 无穷积分dx ye xy ⎰+∞-0在区间[),a +∞()0a >一致收敛,而在()0,+∞上非一致收敛.证明 Ay Ayt Axy e dt e xy t dx ye y -+∞-+∞-==+∞∈∀⎰⎰令),,0(,对0ε∀>,取yA ε1ln0=,则0A A >∀,有0A y xy Ay Aye dx e e ε+∞---=<<⎰,因此,dx ye Axy ⎰+∞-在（0,+∞）是收敛的.根据定义4,要想证明dx yeAxy⎰+∞-在),0(+∞∈y 是非一致收敛的,只需取0ε=e 21,,0>∀A 取),0(21,2''+∞∈=>=Ay A A A ,则01''''ε>==--+∞-⎰e e dx e y y A Axy . 但dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞a 一致收敛（其中0a >）,,取aA ε1ln0=,当0A A >时,对一切[)+∞∈,a y ,有ε=<=--+∞-⎰a A AyAxy e e dx ye 0. 所以,dx ye Axy ⎰+∞-在),[+∞∈a y （其中0>a ）上一致收敛.2.2 用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性定理1（柯西准则）反常积分dx y x f a⎰+∞),(在区间[]()d c y I ,∈一致收敛0ε⇔∀>,00A ∃>,10A A ∀>与20A A >,y I ∀∈,ε<⎰21),(A A dx y x f .例2 证明 若(),f x y 在[][),,a b c ⨯+∞上连续,又(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上收敛,但在x b =处发散,则(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.证 用反证法.假若积分在[),a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当1A ,2A M >时对一切[),x a b ∈恒有()21,A A f x y dy ε<⎰.由假设(),f x y 在[][]12,,a b A A ⨯上连续,所以()21,A A f x y dy ⎰是x 的连续函数.在上面不等式中令x b →,得到当21A A M >>时,()21,A A f b y dy ε≤⎰.而ε是任给的,因此(),cf x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾.所以积分(),cf x y dy +∞⎰在[),a b 上不一致收敛.2.3 用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理2（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()g y ,使得()(),f x y g y ≤,a x b ≤≤,c y ≤<+∞若()cg y dy +∞⎰收敛,则反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在区间[],a b 一致收敛.例3 证明含参量反常积分()320cos a u tetdt +∞-+⎰,0a >在[)0,u ∈+∞上一致收敛.证 对于任何()[)[),0,0,u t ∈+∞⨯+∞,有()322cos a u tat et e -+-≤而20at e dt +∞-⎰在0a >时收敛,故由维尔斯特拉斯判别法知()320cos a u tetdt +∞-+⎰在[)0,u ∈+∞上一致收敛.使用维尔斯特拉斯判别法,关键在于将被积函数的绝对值(,)f x u 适当地放大,以找出函数()F x （优函数）,使()(,)(),f x u F x x a u I ≤∀≥∀∈且()⎰+∞adx x F收敛,则()⎰+∞adx u x f ,关于u 在I 上一致收敛.2.4 利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况,有如下定理定理3 若函数),(y x f 在区间)0(),,(>∈+∞<≤a I y x a D 连续,且dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即,),(,0D y x C ∈∀>∃都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(,则当0>λ时,反常积分dx xy x f a⎰+∞λ),(在区间I 一致收敛.分析 )i dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界)ii 1xλ在0>λ时是单调递减的,明显的满足狄利克雷判别法的条件.证 )i 由已知dt y t f y x F xa⎰=),(),(在D 有界,即(),,C O x y D ∃>∀∈,都有C dt y t f y x F xa≤=⎰),(),(.)ii 对每一个y I ∈,1x λ关于x 是单调递减且当x →+∞时,对参变量y,1x λ一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分dx x y x f a⎰+∞λ),( 在区间I 一致收敛.例4 证明反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.证 由题可知tdt e y x F xyt sin ),(1⎰-=,)0,1(),(+∞<≤+∞<≤∈∀y x D y x 从而有)(01)1(2),(2+∞→→++≤-y e yy y x F y, 而1sin yt e tdt -⎰是定积分,必然有界.即存在C ,(),x y D ∀∈有sin xyt e tdt C -≤⎰ 又10λ=>,则由定理3可知反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在区间),0[+∞一致收敛.2.5 用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性在知道反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上的收敛值()y ϕ时,可应用下述定理定理4 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ的充要条件是0)(),(sup lim =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎰∈+∞→ξξφa Iy y dx y x f . (1)证 [必要性] 若dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ,则对任给的正数ε,存在不依赖于x 的正整数N ,当n N >时,有()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰,y I ∀∈.由上确界的定义,亦有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-≤⎰.这就证明了(1)式成立.[充分性] 由假设,对任给的0ε>,存在正整数N ,使得当n N >时,有()()sup,y Iaf x y dx y ϕε+∞∈-<⎰ （2）因为对一切y I ∈,总有()()()(),sup ,y Iaaf x y dx y f x y dx y ϕϕ+∞+∞∈-≤-⎰⎰.故由（2）式得()(),af x y dx y ϕε+∞-<⎰.于是dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于()y ϕ.例 5 证明反常积分dx yx y⎰+∞+0221关于y 在)0(),,[>+∞c c 上的一致收敛性和),0(+∞内的非一致收敛性.解 显然dx yx y⎰+∞+0221关于y 在),0(+∞内收敛于2π （事实上22lim 1AA y dx x y →∞+⎰=()0lim arctan AA xy →∞∣=()lim arctan arctan 0A Ay →∞-=2π）. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰≥+∞→ξξπ02221sup lim dx y x y c y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥+∞→ξπξy c y arctan 2sup lim=0)arctan 2(lim =-+∞→ξπξc ,而⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+⎰>+∞→ξξπ022021sup lim dx y x y y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧->+∞→ξπξy y arctan 2sup lim 0=22limππξ=+∞→.由定理4,得dx yx y⎰+∞+0221 关于y 在),[+∞c ,()0c >上一致收敛于2π,在),0(+∞内非一致收敛. 定理 5 含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(关于y 在区间I 上一致收敛于)(y φ的充要条件是：对任意{}[):,+∞∈a n ξ{}),2,1(:,lim =∈⊂+∞=∞→n I y I y n n n n ξ,都有 0)(),(lim=-⎰+∞→nan nn y dx yx f ξφ.例6 试证dx y x y⎰+∞+12)(关于y 在),0(+∞内非一致收敛. 证明 显然dx y x y⎰+∞+12)( 关于y 在),0(+∞内收敛于yy+1.取),,2,1(, ===n n y n n n ξ那么就有),,2,1)(,0(,lim =+∞∈+∞=+∞→n y n n n ξ但是2121lim lim 1)(lim12==+=+-+∞→∞→∞→⎰n n n n n n n n n n y y y y dx y x y nξξ由定理5,()dx y x y⎰+∞+12关于y 在()+∞,0内非一致收敛.2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理6 （狄利克雷判别法）设 )i 对一切实数0>N ,含参变量反常积分()⎰Ncdx y x f ,对参变量y 在[]b a ,上一致有界,即存在正数M ,对一切c N >及一切[]b a y ,∈,都有()M dx y x f Nc≤⎰,；)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,关于x 是单调递减且当+∞→x 时,对参变量y ,()y x g ,一致地收敛于0,则含参变量反常积分()()dx y x g y x f c,,⎰+∞在[]b a ,上一致收敛.例7 对于()0,1a ∀∈,讨论含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰的一致收敛性.解 )i 对于0A ∀>,都有sin 2Axdx ≤⎰.)ii 因为()()'12101010a x a x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦++⎛⎫ ⎪⎝⎭,当101ax a>-时,'010x x <+⎛⎫ ⎪⎝⎭,即10ax x +在10,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减,并且lim 010ax x x →+∞=+.因此由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分101sin 10a a ax xdx x +∞-+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.而在100,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦上是定积分,必收敛,则对()0,1a ∀∈是一致收敛的. 所以含参量反常积分sin 10a x xdx x +∞+⎰对()0,1a ∀∈是一致收敛的.2.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7 （阿贝尔判别法）设)i ()dx y x f c⎰+∞,在[]b a ,上一致收敛;)ii 对每一个[]b a y ,∈,函数()y x g ,为x 的单调函数,且对参变量y ,()y x g ,在[]b a ,上一致有界,则含参变量反常积分()()⎰+∞cdx y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛.例8 证明含参变量反常积分dx xxe xy sin 0⎰+∞- 在[]d ,0上一致收敛.证明 由于反常积分dx x x⎰+∞sin 收敛,（当然,对于参变量y ,它在[]d ,0一致收敛）,函数()xy e y x g -=,对每一个[]d x ,0∈单调,且对任何d y ≤≤0,0≥x ,都有()1,≤=-xy e y x g ,故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分dx xxe xy⎰+∞-0sin在[]d ,0上一致收敛.推论 1 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且对y 的偏导数(,)y f x y 存在.若下列条件满足1）对每一个[],y c d ∈,反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛；2）存在常数0M >,使得对任意0b >及所有的[],y c d ∈,恒有 (),by af x y dx M ≤⎰,即(),by af x y dx ⎰关于b 及[],y c d ∈一致有界.则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.证明 由于[],c d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的0ε>,一定存在有限个点011n n c y y y y d -=<<⋅⋅⋅<<=,使得[][]11,,n i i i c d y y -==且1i i y y ε--<.由于反常积分(),af x y dx +∞⎰收敛,于是对任给的()1,2,,i y i n =⋅⋅⋅,都存在()0,i A y ε,使得对任给的()10,,i A A A y ε>有()1,,1,2,,A i Af x y dx i n ε<=⋅⋅⋅⎰（3）另一方面,对任意的[],y c d ∈,一定存在一点i y ,使得i y y ε-<.令(){}00max ,,1,2,,i A A y i n ε==⋅⋅⋅,则0A 只与ε有关.同时对任意的10,A A A >,式（3）必然成立.于是根据微分学中值定理及式（3）有()1,A Af x y dx⎰()()()()1,,,A iiAf x y f x y f x y dx =-+⎰()()()()11,,,A A i i A Af x y f x y dx f x y dx ≤-+⎰⎰()()()11,,A A y i i AAf x y y dx f x y dx ξ=-+⎰⎰()()()1,,21AA y y i aaf x dx f x dx y y M ξξεε⎛⎫≤+-+≤+⎪⎝⎭⎰⎰即含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.如果将推论1中的条件1）变弱,则条件2）会变强.得如下推论推论 2 设函数(,)f x y 定义在无界区域[)[],,a c d +∞⨯上,且关于[],y c d ∈可微.若满足如下条件1）存在一点[]0,y c d ∈,使得反常积分()0,af x y dx +∞⎰收敛；2）反常积分(),y af x y dx +∞⎰于[],y c d ∈一致收敛. 则含参量反常积分(),af x y dx +∞⎰在[],c d 上一致收敛.例9 判断含参量反常积分22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛性,其中0α>.解 由于对固定的y R ∈,当x →+∞时,222222cos 2cos 20x x x x exy xy eαα-=→,于是对固定的y R ∈,广义积分22cos2xe xydx α+∞-⎰收敛.另一方面,考虑积分()22,2sin 2xy f x y dx xe xydx α+∞+∞-=-⎰⎰,这里()22,cos 2xf x y e xy α-=.由于当x →+∞时,()222232,sup sin 20x x y x x xexy eαα-∈-∞+∞⋅=→.从而有(),y af x y dx +∞⎰在(),y ∈-∞+∞上一致收敛,由推论2知,22cos2xe xydx α+∞-⎰在(),y ∈-∞+∞范围上的一致收敛.总之,判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样,关键在于理解它们各自应用的范围及其相互联系,以达到灵活应用.参考文献:[1]贺自树.一致收敛教学的探讨[J].重庆师范学院学报（自然科学版）,1998(15)：66-78.[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.[3]华东师范大学数学系编. 数学分析第三版下册[M].北京:高等教育出版社,2001. [4]吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京:人民教育出版社,1982.[5]刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M]. 北京:高等教育出社,1994(414). [6]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京;崇文书局,2003(643).[7]徐晶.一种反常积分与正项级数收敛的判别法[J].邯郸师范学院学报,2005,8(3)：25-34.[8]温朝晖,李天胜,朱存斌.无穷积分敛散性的一个新的判别法[I].大学数学,2005,21（2).[9]张永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[J].咸阳师范学院学报,2006,21（6）：59-70.[10]吴良森,毛羽辉,韩士安.数学分析学习指导书下册[M].北京：高等教育出版社,2009,9（2）.[11]孙清华等.数学分析内容、方法与技巧下[M].武汉：华中科技大学出版社,2003,5（1）：74-97.Criterions about the Convergence of Parameter ImproperIntegrationWang Mingxing(College of Mathematical Sciences in Dezhou , Shandong Dezhou 253023) Abstract: The convergence of parameter improper integral is to study and expression in particular non-primary function of a powerful tool.Based on the uniform convergence of parameter improper integral analysis and research, summarized several simple and effective method and the theorem of the discriminant of uniform convergence of parameter improper integral(Cauchy criterion, M criterion, Bound method, Dirichlet criterion and so on), So as to convenient to learn and master for uniform convergence of parameter improper integral.key words: Improper Integration;Uniform Convergence;criterion。
§19.2.含参量反常积分
在 (, ) 上一致收敛.
证 因为，有
cos xy 1 | | 2 1 x 1 x2
并且反常积分
所以
y
0
1 dx 2 1 x
收敛
0
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 2 1 x
2015年11月23日星期一 13
yx 练习2、试证 e sinxdx(0 c y )一致收敛 . 0
f ( x , y )dy
都收敛， 由反常积分收敛的定义，
即 0, N ( , x) c, 使得 M N ,
M c
M
lim
|
M
f ( x , y )dy I ( x )
c
f ( x , y )dy I ( x ) |
如果存在一个与 x I无关的
其中 N 与 x 有关.
A
0
sin xy dy在 （ 0， ） 内 不 一 致 收 敛 . y
2015年11月23日星期一
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9×
练习1 试 证
0
xe xy dy
(1)在[ , )上 一 致 收 敛 (其 中 0)； （2） 在(0, )内 不 一 致 收 敛 .
证： (1)
设含参量反常积分 两个条件之一，则
c
f ( x,y ) g( x,y )dy ( x I )满足如下 f ( x,y ) g( x,y ) dy 在I上一致收敛：
c
⑴（Abel判别法） ; f ( x, y)dy在I上一致收敛
c
g( x, y)对x I关于y单调，且在 I上一致有界 .
一致收敛性及其判别法含参量反常积分的性质
I(x)c f(x,y)dy
在[a,b]上 一 致 收 敛 I(x)， 在[则 a,b]上 可积，且
b
b
adcx f(x ,y )d y c da y f(x ,y )d x
定理 19.12 设f(x, y)在 [a, )[c, )上 连 .若 续
|
six ny dy||
siu ndu|
Ay
Ax u
所以 sin xy dy 在[，）一致收敛. 0y
定1理 9.8 设含参量反 f常 (x,y积 )dy分 c
在[a,b]一致收敛
对任 一 的趋 递 {A 于 n 增 }(其 数 A 1中 c)， 列
adcx f(x ,y )d y cday f(x ,y )d x
例4 计算积分
I e ps xb i n s xa id n x ,x (p 0 ,b a )
0
x
解
sinbxsinax
b
cosxydy
x
a
I e p x s i n b x s i n a x d x e p x
狄利克雷判别法 设
⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ]
都有
N
|c f(x, y)dy|M
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y
单调递减且当 y时，对参量 x , g ( x, y ) 一致
地收敛于 0 ， 则
22 2
由数学归纳法易证
于是
d n dx
含参变量反常积分
|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以
0
e0 x dx 收敛，
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n 1
An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.
M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
高等数学随堂讲义含参量反常积分
(A) sup xJ
A f ( x, y)dy
0 ( A ).
注2 由定义, ( x)
f ( x, y)dy在 I 上不一致收敛
c
的充要条件是
使得
0 0, M c, A M及 x0 J ,
A
f ( x0 ,
y)dy
0
.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
含参量无界函数的反常积分
魏尔斯特拉斯 M 判别法
设有函数 g(y), 使得
f ( x, y) g( y) , (x,y) I [c, ) .
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在 I 上一致收敛.
c
c
证
由于
c
g(
y)dy
收敛,
N
c,A1 ,
A2
N,
因此
A2 g( y)dy . A1
是 x 的连续函数. 在上面不等式中令 x b , 得到当
A A M 时,
A
A f (b, y)dy .
而 是任给的, 因此 f ( x, y)dy 在 x b 处收敛, c
这与假设矛盾. 所以积分 f ( x, y)dy 在 [a, b) 上 c
不一致收敛.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
1 1 x2
,
及反常积分
0
1
dx x2
收敛,
故由魏尔斯特拉斯M判
别法, 含参量反常积分(10)在 (, ) 上一致收敛.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
例4 证明含参量反常积分
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则可得如下函数：
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
称为定义在[a,b]上含参量x的无穷限反常积分 ,
简称为 含参量反常积分.
如何判断含参变量反常积分的连续性、 可微性与可积性？
求 I( x);
可用广义牛—莱公式，或通过分部积 分法和换元积分法去计算完成。
收敛于0,
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .
5. Abel 判别法
若
(i) f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛; c
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数, 且对参量x, g( x, y)在[a,b]上一致有界 ,
c
一致收敛于I( x).
M
M f ( x, y)dy c f ( x, y)dy I( x)
等价于说：
F ( x, M ) M f ( x, y)dy uni I ( x)，(M ) c
记：(M ) sup |f ( x, y) Nhomakorabeay |,
由定义知：
x[a ,b] M
定理1. 积分 f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛 c
函数项级数
在函数项级数一致收敛的情况下, 可以 考虑和函数的分析性质.
二、含参量反常积分的一致收敛性
1. 定义 对于含参量反常积分
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
若 0,N 0,M N ,x [a,b], 都有
M f ( x, y)dy , 则称含参量反常积分 f ( x, y)dy 在[a,b]上
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上
c
c
一致收敛.
4. Dirichlet 判别法
N
若 (i) N c,含参量正常积分 c f ( x, y)dy
对参数x在[a , b]上一致有界 ,
(ii) x [a,b],函数g( x, y)关于y是单调递减
且当y 时对参量x, g( x, y)一致地
2008／06／10
§20.2 含参量的反常积分的 一致收敛
本节研究形如
c f ( x, y)dy
d
f ( x, y)dy,
(d 为瑕点)
c
的含参变量广义积分的连续性、可微性与 可积性.
只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可 类似处理.
一、含参量反常积分的定义
设f ( x, y)定义在无界区域 R [a,b][c,)上,
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
对任一趋向于 的递增数列{An }(其中A1 c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛 .
证 只证明必要性
3. Weierstrass判别法
设有函数g( y), 使得 f ( x, y) g( y),a x b,c y .
于I( x) lim (M ) 0. M
2. 一致收敛的判别方法
(1) 柯西收敛原理
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
0,M c,A1, A2 M,x [a,b],都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(2) 与函数项级数关系定理
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .