ch82反常积分的收敛判别法
习题反常积分的收敛判别法
页脚内容278习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数.则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散.证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(.于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(.于是页脚内容279≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散.（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散.例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散.设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ.则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛.例如xx f 1)(=，)21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ.显然有 ⎰∞+1)(dx x f 发散，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当121≤<p 时发散，当1>p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）.证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数.⑴ 若f x Kxp ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；页脚内容280⑵ 若f x Kx p()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞+adx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰∞+adx x f )(发散.证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1. ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x-++-+∞⎰ln ; ⑵⎰∞++131tan arc dx xx; ⑶110++∞⎰x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞⎰（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++--x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x -++-+∞⎰ln 收敛.页脚内容281（2）当+∞→x 时，31arctan x x +～32x π， 所以积分⎰∞++131tan arc dx x x收敛.（3）因为当0≥x 时有xx x +≥+11sin 11，而积分dx x⎰∞++011发散，所以积分110++∞⎰x x dx |sin |发散. （4）当+∞→x 时，pqxx +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx qp11++∞⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞⎰发散. ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛与f x dx ()-∞+∞⎰收敛是等价的. 证 显然，由f x dx ()-∞+∞⎰收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞⎰收敛.由于)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，可知极限页脚内容282+∞→A lim =)(A F +∞→A lim⎰-AAdx x f )(存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ， 于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立≤⎰'A Adx x f )(ε<-)'()(A F A F与≤⎰--BB dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，这说明积分⎰∞+0)(dx x f 与⎰∞-0)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞⎰收敛.⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰; ⑵sin x x dxp1+∞⎰（+∈R p ）; ⑶⎰∞+1tan arc sin dx xx x p（+∈R p ）⑷sin()x dx 20+∞⎰;⑸⎰∞+an m xdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点.）解 （1）因为⎰=Axdx A F 2sin )(有界，xx ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim=+∞→x xx ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰收敛； 由于≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x xx-=，而积分页脚内容283⎰∞+2ln ln ln dx xx发散，⎰∞+22cos ln ln ln xdx xx收敛，所以积分⎰∞+2sin ln ln ln dx x xx发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰条件收敛. （2）当1>p 时，ppx x x 1sin ≤，而⎰∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin xx dx p1+∞⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，p x 1在),1[+∞单调，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p1+∞⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|sin |dx x x p发散，所以当10≤<p 时积分sin x x dx p 1+∞⎰条件收敛.（3）当1>p 时，≤px xx arctan sin px 2π，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx x x x p 绝对收敛；当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，p x x arctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim =+∞→p x xx ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1arctan sindx x x x p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1sin arctan dx x xxp 发散，所以当10≤<p 时积分⎰∞+1arctan sindx x xx p条件收敛.（4）令2x t =，=⎰∞+02)sin(dx x ⎰∞+02sin dt tt ，由于⎰∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞⎰条件页脚内容284收敛.（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2xK ≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(绝对收敛.当1+=m n 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p nmx ，由Dirichlet 判别法可知⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛. 当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞→)()(lim，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+a n mxdx x q x p sin )()(发散.⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5.定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得⑴ f x K b x p ()()≤-，且p <1，则f x dx ab()⎰收敛； ⑵ f x K b x p()()≥-，且p ≥1，则f x dx ab()⎰发散. 证 （1）当p <1时，积分⎰-bapdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理，页脚内容2850>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b pεηη<-⎰--')(1. 由于≤⎰--')(ηηb b dx x f εηη<-⎰--')(b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰收敛. （2）当1≥p 时，积分⎰-bapdx x b )(1发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>∃ε，0>∀δ，),0(',δηη∈∃：K dx x b b b p0')(1εηη≥-⎰--. 由于≥⎰--')(ηηb b dx x f 0')(εηη≥-⎰--b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰发散. 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且lim()()x b p b x f x l →--=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b()⎰收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b()⎰发散.证 （1）由lim()()x b p b x f x l →--= （+∞<≤<l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b l x f )(1)(-+<， 再应用定理8.2.'3的（1）.页脚内容286（2）由lim()()x b p b x f x l →--= （+∞≤<≥l p 0,1），可知0>∃δ，),(b b x δ-∈∀：px b lx f )(2)(->， 再应用定理8.2.'3的（2）.定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b()()⎰收敛： ⑴（Abel 判别法）f x dx a b()⎰收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界；⑵（Dirichlet 判别法）⎰-=ηηb adx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,)a b 上单调且0)(lim =-→x g b x .证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b()⎰收敛，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，0>∃δ，),(,b b A A δ-∈'∀：Gdx x f A A2)(ε<⎰'.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(⎰⎰'+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εεε=+<22.（2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'∀，有M dx x f A A2)(<⎰'.因为0)(lim =-→x g b x ，0>∀ε，0>∃δ，),(b b x δ-∈∀，有Mx g 4)(ε<.由积分第二中值定理，⎰'A Adx x g x f )()(⎰⎰'⋅'+⋅≤A Adx x f A g dx x f A g ξξ)()()()(页脚内容287|)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εεε=+<22.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有⎰∞+adx x g x f )()(收敛的结论.⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴112301x x dx ()-⎰;⑵ln xx dx 2011-⎰;⑶12202cos sin x xdx π⎰; ⑷102-⎰cos xxdx pπ; ⑸|ln |x dx p 01⎰; ⑹x x dx p q ---⎰11011();⑺⎰---1011|ln |)1(dx x x xq p .解 （1）因为32)1(1x x -～321x )0(+→x ，32)1(1x x -～31)1(1x -)1(-→x ，所以积分112301x x dx()-⎰收敛.（2）因为1ln lim 21--→x x x 21=，且对任意10<<δ，01ln lim 20=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxx x 11ln 2<-，所以积分ln xx dx 2011-⎰收敛. （3）因为x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2)2(1x -π)2(-→πx ，所以积分12202cos sin x xdx π⎰发散.页脚内容288（4）因为p x x cos 1-～221-p x )0(+→x ，所以当3<p 时积分102-⎰cos x x dx p π收敛，当3≥p 时积分102-⎰cos xxdx pπ发散. （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+→p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δxxp1ln <；且 px ln ～p x --)1(1)1(-→x .所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 01⎰收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01⎰发散.（6）11)1(---q p x x ～px -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～qx --1)1(1)1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---⎰11011()收敛，在其余情况下积分x x dx p q ---⎰11011()发散.（7）|ln |)1(11x x x q p ---～qx --)1(1)1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 11210=----+→x x x xq p p x ，即当0>x 充分小时，有21111ln )1(p q p xx x x ---<-，所以当1,0->>q p 时积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰---1011|ln |)1(dx x x x q p 发散.⒏ 讨论下列反常积分的敛散性：页脚内容289⑴x x xdx p q ---⎰111ln (+∈R q p ,);⑵11223x x x dx ()()--+∞⎰; ⑶ln()10++∞⎰x x dx p; ⑷⎰∞+0tan arc dx xxp; ⑸⎰2/0tan πdx x x p;⑹x dx p x --+∞⎰10e ;⑺1x x dx p q++∞⎰;⑻⎰∞+2ln 1dx xx qp . 解（1）x x x dx p q ---⎰1101ln ⎰-=2101ln dx x x p ⎰--2101ln dx x x q ⎰---+12111ln dx xx xq p . 当0>p ，0>q 时积分⎰-211ln dx x x p 与积分⎰-2101ln dx xxq 显然收敛，且当-→1x 时， =---x x x q p ln 11()[]()[]())1(1ln 1)1(11)1(111-+--+---+--x x x q p ～q p x x q p -=---1)1)((，即⎰---12111ln dx xx x q p 不是反常积分，所以积分x x x dx p q ---⎰1101ln 收敛.（2）=--⎰∞+032)2()1(1dx x x x ⎰--1032)2()1(1dx x x x ⎰--+2132)2()1(1dx x x x⎰∞+--+232)2()1(1dx x x x .页脚内容290因为32)2()1(1--x x x ～313121x ⋅-)0(+→x ，32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(-→x ，所以积分⎰--1032)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～32)1(1--x)1(+→x ，32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(-→x ，所以积分⎰--2132)2()1(1dx x x x 收敛；因为32)2()1(1--x x x ～313)2(121-⋅x)2(+→x ，32)2()1(1--x x x ～341x )(+∞→x ，所以积分⎰∞+--232)2()1(1dx x x x 收敛.页脚内容291由此可知积分11223x x x dx ()()--+∞⎰收敛.（3）=+⎰∞+0)1ln(dx xx p++⎰10)1ln(dx x x p⎰∞++1)1ln(dx xx p. 由px x )1ln(+～11-p x )0(+→x ，可知当2<p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p收敛，当2≥p 时，积分⎰+10)1ln(dx xx p发散；当1>p 时，0)1ln(lim 213=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+∞→p p x x x x ，即当0>x 充分大时，有 2131)1ln(-<+p px xx ，其中1213>-p ，可知当1>p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p 收敛，当1≤p 时，积分⎰∞++1)1ln(dx xx p发散； 综上所述，当21<<p 时，积分⎰∞++0)1ln(dx x x p 收敛，在其余情况下积分⎰∞++0)1ln(dx x x p发散.（4）⎰∞+0tan arc dx x x p ⎰=10tan arc dx x x p ⎰∞++1tan arc dx xxp. 由p x x arctan ～11-p x )0(+→x ,可知当2<p 时积分⎰10tan arc dx xx p 收敛； 由p x x arctan ～p x 2π)(+∞→x ，可知当1>p 时积分⎰∞+1tan arc dx xxp 收敛. 所以当21<<p 时积分⎰∞+0tan arc dx xxp收敛，在其余情况下积分页脚内容292⎰∞+0tan arc dx xxp发散. （5）⎰2/0tan πdx xx p⎰=4/0tan πdx xx p⎰+2/4/tan ππdx xx p.由pxxtan ～211-p x)0(+→x ，可知当23<p 时积分⎰4/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分⎰4/0tan πdx xx p发散；由pxx tan ～122()2pp x ππ-)2(-→πx ，可知积分⎰2/4/tan ππdx xx p收敛.所以当23<p 时积分⎰2/0tan πdx x x p收敛，当23≥p 时积分 ⎰2/0tan πdx xx p发散.（6）x dx p x --+∞⎰10e ⎰--=101e dx x x p ⎰∞+--+11e dx x x p .由于积分⎰∞+--11e dx x x p 收敛，及x p e x --1～px -11)0(+→x ，所以当0>p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 收敛，当0≤p 时积分x dx p x --+∞⎰10e 发散.（7）10x x dx p q++∞⎰⎰+=101dx x x q p ⎰∞+++11dx x x q p . 当q p =时，显然积分1x x dx p q++∞⎰发散；页脚内容293当q p ≠时，由于q p x x +1～),min(1q p x )0(+→x ，q p x x +1～),max(1q p x)(+∞→x ， 所以当1),min(<q p ，且1),max(>q p 时积分10x x dx p q++∞⎰收敛，其余情况下积分10x x dx p q ++∞⎰发散.（8）设1>p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+<p qp xxx ，因为121>+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 收敛. 设1<p ，则对任意的q ，当x 充分大时，有211ln 1+>p qp xxx ，因为121<+p ，可知积分⎰∞+2ln 1dx xx qp 发散.设1=p ，令t x =ln ，则⎰∞+2ln 1dx x x q p ⎰∞+=2ln qtdt，由此可知当1>p 或 1,1>=q p 时积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 收敛，在其余情况下积分⎰∞+2ln 1dx x x q p 发散. ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性：⑴x x dx p -+∞+⎰121; ⑵x xx dx q psin 11++∞⎰ (p ≥0);⑶⎰∞+0sin cos e dx xxpx ; ⑷⎰∞+0sin 2sin e dx xxpx ;页脚内容294(⎰1021cos 1dx xx p ； (⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p(0>p ). 解（1）x x dx p -+∞+⎰1201⎰+=-10211dx x x p ⎰∞+-++1211dx x xp . 由211x x p +-～p x -11)0(+→x ，211xx p +-～p x -31)(+∞→x ，可知当20<<p 时积分x x dx p -+∞+⎰1201收敛，在其余情况下积分x x dx p -+∞+⎰121发散. （2）当1-<p q 时，由q p p q xx x x -<+11|sin |，可知积分x x x dx qpsin 11++∞⎰绝对收 敛.当p q p <≤-1时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，当x 充分大时pqxx +1单 调减少，且01lim =++∞→p q x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞++11sin dx xxx p q收敛； 但因为积分⎰∞++11|sin |dx xx x pq 发散，所以当p q p <≤-1时积分sin x x dx p 1+∞⎰条 件收敛.当p q ≥时，由于n →∞时22sin 1q n pn x xdx xπππ++⎰不趋于零，可知积分 x xx dx q psin 11++∞⎰发散.页脚内容295（3）⎰∞+0sin cos e dx x x p x ⎰=10sin cos e dx x x p x ⎰∞++1sin cos edx xx p x. 由px xxe cos sin ～p x 1)0(+→x ，可知当1<p 时积分⎰10sin cos edx xxpx收敛，在其余情况下积分⎰10sin cos edx xxpx发散.当1<p 时，易知积分⎰∞+1sin |cos |e dx x x p x 发散；当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin cos edx xx p x发散. 当10<<p 时，因为1cos 1sin -<⎰e xdx e A x，p x 1单调减少，且01lim =+∞→p x x，由Dirichlet 判别法；可知积分⎰∞+1sin cos e dx xxpx 收敛. 综上所述，当10<<p 时，积分⎰∞+0sin cos e dx x x p x 条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin cos edx xx p x发散.（4）⎰∞+0sin 2sin e dx x x p x ⎰=10sin 2sin e dx x x p x ⎰∞++1sin 2sin edx xx p x. 由p x x x e 2sin sin ～12-p x )0(+→x ，可知当2<p 时积分⎰10sin 2sin e dx x x p x收敛，在其余情况下积分⎰10sin 2sin e dx xxpx发散. 当21<<p 时，显然积分⎰∞+1sin |2sin |e dx x x p x 收敛；当1≤p 时，易知积分⎰∞+1sin |2sin |edx xx p x发散；页脚内容296当0≤p 时，易知积分⎰∞+1sin 2sin e dx x xpx 发散. 当10≤<p 时，因为⎰+=ππ)1(sin 02sin k k x xdx e ，可知⎰A x xdx e 0sin 2sin 有界，且p x1单调减少，01lim=+∞→p x x ，由Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+1sin 2sin e dx xxpx 收敛. 综上所述，当21<<p 时积分⎰∞+0sin 2sin e dx x x p x 绝对收敛，当10≤<p 时积分⎰∞+0sin 2sin edx xx p x条件收敛，在其余情况下积分⎰∞+0sin 2sin e dx xxpx 发散. （5）令21x t =，则 ⎰=1021cos 1dx xx p tdt t p cos 121123⎰∞+-. 于是可知当1<p 时积分⎰121cos 1dx x x p 绝对收敛；当31<≤p 时积分⎰1021cos 1dx x x p 条件收敛，当3≥p 时积分⎰121cos 1dx xx p 发散. （6）当1>p 时，因为pp xx x x 11sin ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 绝对收敛.页脚内容297当10≤<p 时，因为⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛+261sin ππππn n p dx x x x p n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅>2321πππ，而级数 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n pn ππ发散，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p发散；又因为 =+⎰∞+dx x x x p1)1sin(dx x x x x x p⎰∞++1sin 1cos cos 1sin ，注意到当x 充分大时，p x x 1sin 与p xx 1cos 都是单调减少的，由Dirichlet 判别法可知积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx x x x p 收敛，所以积分⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+11sin dx xx x p 条件收敛. 10．证明反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛. 证 对任意A A A >>'"，由分部积分法，⎰="'4sin sin A A xdx x x ⎰-"'42)(cos 4sinA A x d x x"'244cos sin A A x xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-+"'244cos cos A A dx x x x ⎰"'342sin cos A A dx x x x . 显然，当+∞→A 时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分⎰∞+04sin sin xdx x x 收敛.11．设f x ()单调，且当x →+0时f x ()→+∞，证明：f x dx ()01⎰ 收敛的必要条件是lim ()x xf x →+=00.页脚内容298证 首先由f x ()的单调性，对于充分小的10<<x ，有⎰≤≤xx dt t f x f x 2)()(20. 由Cauchy 收敛原理，⎰=+→x xx dt t f 200)(lim，于是得到0)(lim 0=+→x xf x .12．设⎰∞+adx x f )(收敛，且)(x xf 在),[+∞a 上单调减少，证明:0)()(ln lim =+∞→x f x x x .证 首先容易知道当+∞→x 时，)(x xf 单调减少趋于0，于是有0)(≥x xf ，且⎰=⋅≤≤xx dt tt tf x f x x 1)()()(ln 210⎰x xdt t f )(.然后由Cauchy 收敛原理，0)(lim=⎰+∞→xxx dt t f ，于是得到0)()(ln lim =+∞→x f x x x .13．设f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，证明：若'f x ()在[,)0+∞上连续，则反常积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛.证 首先由分部积分法，⎰∞+=2sin )('xdx x f ⎰∞+02)(sin x xdf ⎰∞+-=02sin )(xdx x f .页脚内容299由于⎰=Axdx A F 02sin )(有界，f x ()单调下降，且lim ()x f x →+∞=0，由Dirichlet 判别法，可知积分⎰∞+02sin )(xdx x f 收敛，从而积分'+∞⎰f x x dx ()sin 20收敛.14. 设⎰∞+adx x f )(绝对收敛，且lim ()x f x →+∞=0，证明f x dx a 2()+∞⎰收敛.证 首先由lim ()x f x →+∞=0，可知a A >∃，A x >∀，有1)(<x f ，即当A x >时，成立)()(2x f x f ≤.因为积分⎰∞+adx x f )(绝对收敛，于是由比较判别法，积分f x dx a 2()+∞⎰收敛.15． 若f x dx a 2()+∞⎰收敛，则称f x ()在[,)a +∞上平方可积（类似可定义无界函数在[,]a b 上平方可积的概念）.⑴ 对两种反常积分分别探讨f x ()平方可积与f x ()的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含；⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立.解 （1）⎰∞+adx x f )(收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+1)(dx x f 收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散；f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+a dx x f )(收敛，例如：x x f 1)(=，则 ⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 发散.页脚内容300（2）f x dx a 2()+∞⎰收敛不能保证⎰∞+adx x f )(绝对收敛，例如：xx x f sin )(=，则⎰∞+12)(dx x f 收敛，但⎰∞+1)(dx x f 不是绝对收敛的；⎰∞+a dx x f )(绝对收敛不能保证f x dx a 2()+∞⎰收敛，例如：⎪⎩⎪⎨⎧+∈=∞=其他0]1,[)(23n n n n x n x f ，则⎰∞+1)(dx x f 绝对收敛，但⎰∞+12)(dx x f 发散.（3）由)](1[21)(2x f x f +≤，可知⎰b a dx x f )(2收敛保证⎰ba dx x f )(绝对收敛；但⎰b a dx x f )(绝对收敛不能保证⎰ba dx x f )(2收敛，例如：xx f 1)(=，则⎰1)(dx x f 绝对收敛，但⎰102)(dx x f 发散.16. 证明反常积分sin sin xx xdx p++∞⎰1当p ≤12时发散，当121<≤p 时条件收敛，当p >1时绝对收敛.证 当p >1时，对充分大的x ，有x x x p sin sin +p x 2≤，由于积分⎰∞+12dx xp 收敛，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1绝对收敛.当10≤<p 时，利用等式)sin (sin sin sin sin 2x x x xx x x x x pp p p+-=+.页脚内容301这时积分⎰∞+1sin dx x x p 收敛；积分⎰∞++12)sin (sin dx x x x x p p 当121<≤p 时收敛，当210≤<p 发散. 当121<≤p 时，由于⎰+++434sin sin ππππn n p dx x x x 1)1(122++⋅≥pp n ππ，因为级数1)1(11++∑∞=pp n n π发散，所以积分⎰∞++1sin sin dx xx xp发散. 综上所述，当121<≤p 时，积分sin sin x x x dx p ++∞⎰1条件收敛；当210≤<p 时，积分sin sin x x x dx p++∞⎰1发散.当0≤p 时，因为有⎰+++2242sin sin ππππn n p dx x x x 2224sin 2n n x dx ππππ++>⎰π162>，由 Cauchy 收敛原理，可知积分sin sin xx xdx p ++∞⎰1发散.。
反常积分的收敛判别法
反常积分的收敛判别法阿文摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法引 言一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.一 非负函数反常积分的收敛判别法1.比较判别法设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则（1） 当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.2.Cauchy 判别法设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，（1）若p xK x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p xx f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法1.Abel 判别法dx x f a ⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；2.Dirichlet 判别法F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛.三 无界函数反常积分的收敛判别法1.Cauchy 判别法设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(px b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法⎰ba dx x f )(收敛，)(x g 在),[b a 上单调有界，则⎰ba dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法⎰-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰ba dx x g x f )()(收敛.总 结函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
ch-8-2反常积分的收敛判别法
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。
无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。
图一如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。
通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。
那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。
（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。
）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。
由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。
最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。
最后给出解答过程：图二虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a 的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。
Ch 8.2 反常积分
g(x) 在 [a,b] 上单调有界
lim g ( x) = 0 , x → +∞
∫
+∞
a
收敛. f ( x) g ( x)dx 收敛 A—D 判别法
Abel 判别法 Dirichlet 判敛法
+∞
例
讨论积分
sin x 的敛散性. dx 的敛散性. ∫ x 1
sin x arctan x dx 的敛散性. 的敛散性. x
ⅲ>
c = +∞ ⇒
∫ ϕ ( x)dx = +∞时， f ( x)dx = +∞ ∫
Cauchy判敛法 判敛法: 判敛法
+∞
在比较判敛法中, 以 在比较判敛法中
∫
1
dx 1 为比较对象, 即取 ϕ ( x ) = p , 为比较对象, p x x
则得到以下的Cauchy判敛法 以下取 a > 0 . 判敛法. 则得到以下的 判敛法
∫
A
a
f ( x)dx 单调不减，因此
+∞
f 在 [a, +∞) 上不可积 ⇔ ∫
a
f ( x)dx = +∞
比较判别法
定理 8.2 设定义在 [ a , +∞ ) 上 0 ≤ f ( x ) ≤ K ϕ ( x ),
K 是正数，则
( ) (ⅰ) 当 (ⅱ) 当
∫
∫
+∞
a
ϕ ( x ) dx 收敛时, ∫ ,
x →b −
则积分
∫ f ( x) g ( x)dx
a
b
收敛. 收敛
1
例
讨论积分
dx ∫ x p ln x 0
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
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讨论
1
cos 2x sin xdx x3 a2
的敛散性（a
是常数）。
解 因为当 x 1时有
cos 2x sin x 1 ， x3 a2 x x
已知 1
x
1
dx x
收敛，由比较判别法，
1
cos 2x sin xdx x3 a2
绝
对收敛，所以
1
cos 2x sin x dx
x ( x)
f( x)
( x)
l，其中0
l
l （当 l
时，l可取任意正数）
即 f( x) l( x)。
于是，由比较判别法，当
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
例 8.2.2 解 因为
数学分析
讨论 13
x4
3x3
1 5x2
反常积分 a
f( x)dx收敛
的充分必要条件是：对任意给定的 0，存在 A0 a，使得
对任意 A, A A0，有
A
A
f( x)dx
。
二、无穷区间形式
数学分析
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必 要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困 难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。
x3 a2
收敛。
注 记 ： 在 以 上 定 理 中 ， 条 件 “ 在 [a, ) 上 恒 有
0 f( x) K( x)”，可以放宽为“存在 A a，在[A, ) 上恒有0 f( x) K( x)”。
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
dx 的敛散性。 2x 1
lim
3 x4
1，
x 3 x4 3x 3 5x 2 2x 1
由于 1 dx 收敛，所以
1
dx 收敛。
1 3 x4
1 3 x4 3x3 5x2 2x 1
将定理
8.2.2
中的(
x)取为
1 xp
，就得到如下的
Cauchy
f(
x)dx 绝对收敛，则它一定收敛。 f ( x) ).
( x) 0，2且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
A0
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
A
f( x)dx
A
A
f( x)dx
，
由
Cauchy
收敛原理，可知
a
f( x)dx收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
数学分析
定义 8.2.1 设 f( x)在任意有限区间[a,A] [a,)上
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0l，则a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
所以，当0
l
时，a
(
x)dx
和
a
f( x)dx同时收敛
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f(
x)dx
收敛即为极限
lim
A
A
a
f( x)dx存
在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy
收敛原理，它可以表述为如下形式：
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理）
判别法：
定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a, ) (0, )上恒有
f( x) 0， K 是正常数。
⑴
若 f (x)
K xp
，且
p
1，则 a
f ( x)dx收敛；
⑵
若 f (x)
K xp
，且
p
1，则 a
f( x)dx发散。
数学分析
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[a, ) (0, )上
lim x2( xa ex ) 0，
x
由
Cauchy
判别法的极限形式（1），可知
0
xa
e
x dx 收敛。
2、绝对收敛与条件收敛
数学分析
定义 8.2.1 设 f( x)在任意有限区间[a,A] [a,)上
可积，且 a
f(
x)dx
收敛，则称
a
f( x)dx绝对收敛（或
恒有 f( x) 0，且
lim x p f(x) l ，
x
则
（1）若0
l
，且 p
1，则 a
f( x)dx收敛；
（2）若0
l
，且 p
1，则 a
f( x)dx发散。
例 8.2.3
讨论 0
xa
e
x
dx的敛散性（a
R
）。
解 因为对任意常数a R，有
称 f( x)在[a,)上绝对可积）。
若 a
f(
x)dx
收敛
而非绝对收敛，则称
a
f( x)dx
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
可积，且 a
f(
x)dx
收敛，则称
a
f( x)dx绝对收敛（或
称 f( x)在[a,)上绝对可积）。
若 a
f(
x)dx
收敛
而非绝对收敛，则称
a
f( x)dx
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
证2
令若反( x常) 积1分( f(ax)
或同时发散。
证
⑴
若 lim f(x)
x ( x)
l
，则存在常数 A
a，
当 x A时成立
f( x)
( x)
l
1，
数学分析
即 f( x) (l 1)( x)。
于是，由比较判别法，当
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛。
⑵ 若 lim f ( x) l 0，存在常数 A a，使得当 x A时成立
1、非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a,)上恒有
0 f( x) K( x)，其中 K 是正常数。则
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）
当 a
f(
x)dx
发散时
a
(
x)dx
也发散。
数学分析
例 8.2.1