反常积分法收敛判别法
反常积分收敛才能使用积分定理
反常积分收敛才能使用积分定理介绍积分定理是微积分中非常重要的概念之一，它建立了微积分与几何之间的联系。
然而，积分定理并非在所有情况下都适用，只有在积分收敛的情况下才能使用。
本文将深入探讨反常积分收敛的概念，并说明为什么只有在反常积分收敛的情况下才能使用积分定理。
反常积分收敛的定义反常积分是对无界函数或在某个区间上的函数在无穷远处或某个点上的积分。
反常积分收敛意味着积分的结果是有限的，而不是无穷大或不存在。
反常积分收敛的定义如下：定义： 若函数 f (x ) 在区间 [a,b) 上连续，且当 x 趋近于 b 时，f (x ) 趋于有限值或无穷大，则称反常积分 ∫f b a (x )dx 收敛。
反常积分收敛的判定对于反常积分收敛的判定，有以下两种常见方法：1. 比较判别法比较判别法是一种常用的判定反常积分收敛的方法。
它的基本思想是将待定积分函数与一个已知的收敛或发散的函数进行比较。
具体步骤如下：1. 选择一个已知的函数 g (x )，使得 f (x )≤g (x )，其中 g (x ) 是一个在[a,b) 上的非负函数。
2. 判断已知函数的积分 ∫g b a (x )dx 是否收敛。
3. 如果 ∫g ba (x )dx 收敛，则根据比较判别法，∫f ba (x )dx 也收敛。
4. 如果 ∫g b a (x )dx 发散，则无法确定 ∫f b a (x )dx 的收敛性。
2. 极限判别法极限判别法是另一种常用的判定反常积分收敛的方法。
它的基本思想是通过计算极限来判断反常积分的收敛性。
具体步骤如下：1. 计算极限 lim x→b −∫f x a (t )dt ，如果极限存在且有限，则反常积分∫f b a (x )dx 收敛。
2. 如果极限不存在或为无穷大，则反常积分 ∫f ba (x )dx 发散。
反常积分收敛与积分定理的关系积分定理是微积分中的重要工具，它将曲线的积分与曲线所围成的区域的性质联系起来。
反常积分的收敛判别法
反常积分的收敛判别法阿文摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法引 言一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.一 非负函数反常积分的收敛判别法1.比较判别法设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则（1） 当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.2.Cauchy 判别法设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，（1）若p xK x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p xx f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法1.Abel 判别法dx x f a ⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；2.Dirichlet 判别法F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛.三 无界函数反常积分的收敛判别法1.Cauchy 判别法设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(px b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法⎰ba dx x f )(收敛，)(x g 在),[b a 上单调有界，则⎰ba dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法⎰-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰ba dx x g x f )()(收敛.总 结函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。
反常积分法的收敛判别法
而在第二项中，由于 g(x) 单调，因此 g′(x) 保持定号，由积分第一中值
定理，存在 ξ ∈[a, b] ，使得
于是
∫ ∫ ∫ b
F
( x) g ′( x)dx
=
F
(ξ
)
bg ′(x)dx = [g(b) − g(a)]
ξ f (x)dx ，
a
a
a
∫ ∫ b a
f
( x ) g( x )dx
=
g(b)
也发散。
例 8.2.1
讨论
+∞
∫1
cos 2 x3
x sin + a2
x
dx
的敛散性（
a
是常数）。
解 因为当 x ≥ 1时有
cos 2x sin x ≤ 1 ，
x3 + a2 x x
在例
8.1.2
中，已知
∫ +∞ 1
x
1 x
dx
收敛，由比较判别法，∫1+∞
cos 2x sin x x3 + a2
dx
dx 发散。
因此，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
条件收敛。
例 8.2.5
讨论
+∞
∫1
sin
x
arc x
tan
x
dx
的敛散性。
解
由例
8.2.4，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
收敛，而
arc
tan
x
在
[1,+∞)
上单调有界，
由 Abel
| dx
收敛，则称
ch反常积分的收敛判别法
于是，由比较判别法，当 a ( x)dx 发散时 a
f ( x)dx 也发散。
数学分析
例 8.2.2
解 因为
3
讨论 1
3
dx 的敛散性。 x 3x 5x 2x 1
4 3 2
1
由于 1
3
x 3x 5x 2x 1 1 1 dx 收敛，所以 1 3 4 dx 收敛。 4 3 2 x x 3x 5x 2x 1
f ( x ) dx 。
A
A
f ( x)dx
数学分析
cos 2 x sin x 例 8.2.1 讨论 1 dx 的敛散性（ a 是常数）。 3 2 x a 解 因为当 x 1时有 cos 2 x sin x 1 ， 3 2 x x x a cos 2 x sin x 1 dx 收敛，由比较判别法， 1 已知 1 dx 绝 3 2 x x x a cos 2 x sin x 对收敛，所以 1 dx 收敛。 3 2 x a
推论
证1 对任意给定的 0 ，由于 a
f ( x)dx 收敛而非绝对收敛，则称 a
f ( x)dx
若反常积分 a
f ( x)dx 绝对收敛，则它一定收敛。
f ( x ) dx 收敛，所以存在
A0 a ，使得对任意 A, A A0 ，成立 利用定积分的性质，得到
A
A
1、非负函数反常积分的收敛判别法
)上恒有 定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a , 0 f ( x) K( x)，其中 K 是正常数。则
（1） 当 a ( x)dx 收敛时 a （2） 当 a
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总含参数的反常积分是指在积分中包含一个或多个参数的情况下的积分运算。
一致收敛是指在定义域上的每个点上，函数项级数都收敛于同一个函数。
一致收敛的发散判别法是用来判断含参数的反常积分是否一致收敛的方法。
它的基本思想是先对含参数的反常积分的被积函数进行求和，然后通过逐项求和的结果进行判断。
一般来说，当积分区间是有界区间时，可以直接采用一般的单调收敛判别法，若积分区间是无界区间，则需要使用其他方法来判断其一致收敛性。
以下是一些常见的含参数反常积分的一致收敛发判别法及推广：1.魏尔斯特拉斯判别法：该判别法适用于被积函数在区间上无上界的情况。
若函数项级数的每一项在区间上都存在可求得的上界，并且级数的系数与参数无关，即参数只出现在积分区间上，则该函数项级数在该区间上一致收敛。
2.绝对收敛发散判别法：若被积函数在积分区间上绝对收敛，则函数项级数在该区间上一致收敛。
3.阿贝尔判别法：若函数项级数在积分区间上逐项收敛，且在积分区间上一致有界，则函数项级数在该区间上一致收敛。
4.一致收敛的推广汇总：对于参数函数项级数的一致收敛判别，可以将其推广为参数函数项广义积分的一致收敛判别。
具体而言，可以参考以下几种情况的判别方法：a.线性组合的情况：若参数函数项级数与常数函数项级数的线性组合在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
b.积分换元法的情况：若参数函数项级数的积分变量进行换元，得到的新的参数函数项级数在积分区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
c.参数函数项级数的逐项积分的情况：若参数函数项级数的逐项积分在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
d.参数函数项的相对收敛性：若参数函数项级数的每一项与参数的函数项级数的每一项的绝对值相比，在积分区间上一致有界，并且参数的函数项级数在该区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
习题82反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+a dx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
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反常积分
∫ +∞ a
f
( x )dx
收敛的充
分必要条件是：对任意给定的 ε > 0 ，存在 A0 ≥ a ，使得对任意 A, A′ ≥ A0 ，
有
∫ A′ f (x)dx < ε 。 A
定义 8.2.1 设 f (x) 在任意有限区间 [a, A] ⊂ [a,+∞) 上可积，且
∫ +∞
|
a
f
(x)
反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以
+∞
∫a
f
( x)dx
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
+∞
∫a
f
( x)dx
收敛即为极限
lim
A→+∞
A
∫a
f
( x)dx
存在，因此对
其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以
表述为如下形式：
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理）
f (x) ≥ 0 ， K 是正常数。
⑴
若
f
(x)
≤
K xp
，且
p
> 1，则
+∞
∫a
f
(x)dx
收敛；
⑵
若
f
(x)
≥
K xp
，且
p
≤ 1，则
+∞
∫a
f
(x)dx
发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[a, + ∞) ⊂ (0, + ∞) 上恒有
f (x) ≥ 0 ，且
lim x p f (x) = l ，
ϕ(x) ≥ 0 ，且
lim f (x) = l ，
x→+∞ ϕ (x)
则
⑴
若
0
≤
l
<
+∞
，则
∫ +∞ϕ(x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛；
⑵
若
0
<
l
≤
+∞
，则
∫ +∞ϕ(x)dx a
发散时
+∞
∫a
f
( x)dx
也发散。
所以，当
0
<
l
<
+∞
∫ 时， +∞ϕ(x)dx a
和
+∞
∫a
f
( x)dx
我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a, +∞) 上恒有 0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x) ，其
中 K 是正常数。则
（1） 当
∫ +∞ϕ (x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛；
（2） 当
+∞
∫a
f
( x)dx
发散时
∫ +∞ϕ (x)dx a
绝
∫ 对收敛，所以 +∞ cos 2x sin x dx 收敛。
1
x3 + a2
注意：在以上定理中，条件“在[a, + ∞) 上恒有 0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x) ”， 可以放宽为“存在 A ≥ a ，在[A,+ ∞) 上恒有 0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x) ”。
推论（比较判别法的极限形式）设在 [a, +∞) 上恒有 f (x) ≥ 0 和
x→+∞
则
⑴
若
0
≤
l
<
+∞
，且
p
>
1 ，则+∞Fra bibliotek0 ，由于
∫ +∞
|
a
f
(x)
| dx
收敛，所以存在
A0
≥
a
，使
得对任意 A, A′ ≥ A0 ，成立
∫ A′ |
f
(x) |
dx
<
ε
。
A
利用定积分的性质，得到
∫ ∫ A′
f (x)dx ≤
A′
|
f
( x)|
dx
<ε
，
A
A
由
Cauchy
收敛原理，可知
+∞
∫a
f
(x)dx
收敛。
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。
也发散。
例 8.2.1
讨论
+∞
∫1
cos 2 x3
x sin + a2
x
dx
的敛散性（
a
是常数）。
解 因为当 x ≥ 1时有
cos 2x sin x ≤ 1 ，
x3 + a2 x x
在例
8.1.2
中，已知
∫ +∞ 1
x
1 x
dx
收敛，由比较判别法，∫1+∞
cos 2x sin x x3 + a2
dx
同时收敛或同时发散。
证 ⑴ 若 lim f (x) = l < +∞ ，则存在常数 A ≥ a ，当 x ≥ A 时成立
x→+∞ ϕ (x)
f (x) < l +1，
ϕ(x)
即
f (x) < (l + 1)ϕ(x) 。
于是，由比较判别法，当
∫ +∞ϕ(x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛。
x→+∞ ϕ (x)
f (x)
ϕ ( x)
>
l′
，
其中 0 < l′ < l （当 l = +∞ 时， l′可取任意正数）即
f (x) > l′ϕ(x) 。
于是，由比较判别法，当
∫ +∞ ϕ a
( x)dx
发散时
+∞
∫a
f
( x)dx
也发散。
例 8.2.2
讨论
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
| dx
收敛，则称
+∞
∫a
f
( x)dx
绝对收敛（或称
f
(x) 在 [a,+∞)
上绝对
可积）。
若
+∞
∫a
f
( x)dx
收敛而非绝对收敛，则称
+∞
∫a
f
( x)dx
条件收敛（或称
f (x) 在[a,+∞) 上条件可积）。
推论
若反常积分
+∞
∫a
f
( x)dx
绝对收敛，则它一定收敛。
证对任意给定的 ε
>
证 ⑴ 若 lim f (x) = l < +∞ ，则存在常数 A ≥ a ，当 x ≥ A 时成立
x→+∞ ϕ (x)
f (x) < l +1，
ϕ(x)
即
f (x) < (l + 1)ϕ(x) 。
于是，由比较判别法，当
∫ +∞ϕ(x)dx a
收敛时
+∞
∫a
f
( x)dx
也收敛。
⑵ 若 lim f (x) = l > 0 ，存在常数 A ≥ a ，使得当 x ≥ A 时成立
+ 2x
dx 的敛散性。
−1
解 因为
3 x4
lim
=1
x→+∞ 3 x 4 + 3x3 + 5x 2 + 2x − 1
由于
∫ +∞ 1
3
1 x4
dx
收敛，所以
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
+ 2x −1
dx 收敛。
例 8.2.2
讨论
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
+ 2x
dx 的敛散性。
−1
解 因为
3 x4
lim
=1
x→+∞ 3 x 4 + 3x3 + 5x 2 + 2x − 1
由于
∫ +∞ 1
3
1 x4
dx
收敛，所以
∫ +∞ 1
3
x4
+ 3x3
1 + 5x2
+ 2x −1
dx 收敛。
将定理 8.2.2 中的 ϕ(x) 取为 1 ，就得到如下的 Cauchy 判别法：
xp
定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a, + ∞) ⊂ (0, + ∞) 上恒有
§2 反常积分的收敛判别法
反常积分的 Cauchy 收敛原理
下面以
+∞
∫a
f
( x)dx
为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
+∞
∫a
f
( x)dx
收敛即为极限
lim
A→+∞