无穷积分的性质与收敛判别法
积分的无穷级数
积分的无穷级数积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于求解曲线下的面积、求解概率密度函数等问题。
而积分的无穷级数则是指一种特殊的级数，它由一列积分组成，而不是由一列数值组成。
这种无穷级数的研究对于理解积分的性质和应用非常有帮助。
在介绍积分的无穷级数之前，我们先需要回顾一下一般的无穷级数的定义：设有实数列${a_n}$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$存在。
否则，称级数发散。
积分的无穷级数是由一列积分组成的级数。
具体来说，设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积（或可积于Riemann-Stieltjes意义下），则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$存在。
否则，称级数发散。
需要注意的是，积分的无穷级数并不是对于所有的可积函数都存在的。
事实上，对于某些函数族，它们的无穷级数可能会发散。
下面我们将介绍一些积分的无穷级数的性质和判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断级数的敛散性的一种常用方法。
类似地，我们可以将其推广到积分的无穷级数上。
比较判别法的基本思想是：将待定极限与已知级数或积分进行比较，如果待定极限的模长小于等于已知极限的模长，并且已知级数或积分收敛，则待定极限收敛。
例：比较级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的敛散性。
解：设$f_n(x)=\frac{1}{n+n\sin^2n}$，则有$\int_{0}^{\pi}f_n(x)dx=\frac{\pi}{2n(1+\frac{1}{2}\sin^2n)}\geq \frac{\pi}{4n}$又由于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的，因此可以利用比较判别法得出，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$也是发散的。
无穷积分的性质及收敛判别_2022年学习资料
则当∫gdr收敛时，∫。fxdr亦收敛：-当∫。frdr发散时，∫。gdr亦发散，-证若」。gxdr收敛， M>0,Hu∈[a,+o,-Jgxd≤M.-因此jfxdr≤JgxdrsM.-由非负函数无穷积分的判别法， 。fxdr收敛，-第二个结论是第一个结论的逆否命题，因此也成立.-前页-后页-返回
§2无穷积分的性质及收敛判别-本节讨论无穷积分的性质，并用这些-性质得到无穷积分的收敛判别法。-一、无穷积 的性质-二、非负函数无穷积分的收敛判别法-三、一般函数无穷积分的收敛判别法-前页-后页-返回
一、无穷积分的性质-定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分-。fxdr收敛的充要条件是：Vc>0, ≥a,-当山1，山2>G时，-foeJfxwarfearke-证设Fw=∫fxdr,u∈[a,+o,则fx r-收敛的充要条件是存在极限imFu.由函数-L→+00-极限的柯西准则，此等价于-前页-后页-返回
ii由lim-fx=+0,存在G>a,使r>G,有-x0gx-fx>1,-8x-即fx>g,x∈[G,+o 因此由」gxdr发散-可推得∫fxdr发散.-推论2设f是定义在[a,+oo上的非负函数，在任何-有限区间 a,w上可积.-若fspn则ar收数-前页-后页-返回
若fp≤则fwdr发敢-推论3设f是定义在[a,+o上的非负函数，在任何有-限区间[a,u]上可积.若im 'fx=2,则-X→+00-当p>l,0≤<+o时，fxdr收敛：-田当p≤1,0<≤+oo时，fxdr发 .-说明：推论3是推论2的极限形式，读者应不难写-出它的证明-前页-后页-返回
十一章反常积分
0
1
b
x
二、两类反常积分的定义. 两类反常积分的定义
定义1: 定义 设函数 f (x)定义在区间[a, +∞)上, 且在任何 有限区间[a, u]上可积，如果存在极限
u →+∞ a
lim
∫ f ( x )dx = J
u
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +∞)上 (x) [a, +∞) 的无穷限反常积分, 记作
u2
u 1
f (x)d <ε. x
２，比较原则
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
且满足
f (x ≤g(x x∈ a+ ) ) ), [, ∞
定理11.2（比较原则） （比较原则） 定理
设定义在[ a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间上可积，
[, ∞ 且满足 f (x) ≤g(x), x∈ a+ ) 则
若 g(x d 收 ，则 ∫ )x 敛 ∫
a
+ ∞
+ ∞
a
f (x d 收 ; ) x 敛
若 ∫
例1 : 讨论 ∫
+∞ 0
+ ∞
a
f (x d 发 ，则 g(x d 发 . ) x 散 ∫ )x 散
a
+ ∞
sin x dx的收敛性. 2 1+ x
a sin x x +b
3 2
例 2 : 讨论 ∫
+∞
a
+∞
a +∞
[k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) + k 2 f 2 ( x)]dx = k1 ∫
无穷积分的性质与收敛判别
§2 无穷积分的性质与收敛判别1．证明定理11.2及其推论1定理11.2（比较法则）设定义在[),+∞a 上的两个函数f 和g 都在任何区间],[u a 上可积，且满足),[),(|)(|+∞∈≤a x x g x f ，则当∫+∞adx x g )(收敛时，∫+∞adx x f |)(|必收敛（或者，当∫+∞adx x g )(收敛，所以a A >∃，当A u u >>12时，有∫<21)(u u dx x g ε由于)(|)(|x g x f ≤，),[+∞∈∀a x ，因此更有∫∫<≤2121)(|)(|u u u u dx x g dx x f ε，故∫+∞adx x f |)(|收敛。
推论1 若f 和g 都在任何],[u a 上可积，1)(>x g ，且c x g x f x =∞→)(|)(|lim，则有（I ）当+∞<<c 0时，∫+∞adx x f |)(|与dx x g a∫+∞)(同敛态；（ii ）当0=c 时，由∫+∞adx x g )(收敛可推知，dx x f a |)(|∫+∞出收敛；（iii ）当+∞=c 时，由∫+∞adx x g )(发散可推知∫+∞adx x f |)(|也发散。
证：（I ）因为+∞<=<+∞→c x g x f x )(|)(|lim0，所以)(0c <>∀εε存在a A >，使得当Ax >时，有εε+<<−<c x g x f c )(|)(|0，即 dx x g c x f x g g c )()(|)(|)(()(0εε+<<−< （*）从而，若∫+∞adx x g )(收敛，那么∫+∞+Adx x g c )()(ε收敛。
于是由∫∫+∞+=AaAdx x f dx x f dx x f |)(||)(||)(|收敛。
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
2 无穷积分的性质
无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。
无穷级数的定义,性质和及敛散性判别
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1
任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
则加括号后级数成为
记
un n 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散
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§2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。
教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。
教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f ua⎰在u →+∞时是否存在极限。
因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。
定理11.1 无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰。
证明: 由于()lim au f x dx +∞→+∞=⎰()dx x f ua⎰=(),lim u F u →+∞所以()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim u F u →+∞存在⇔0,G ε∀>∃≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()221121|()()|.u u u u aaf x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-<⎰⎰⎰此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。
性质1 (线性性质) 若()dx x f a⎰+∞1与()dx x f a⎰+∞2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211 也收敛，且()()[]dx x f k x f k a ⎰+∞+2211=()()dx x f k dx x f k aa⎰⎰+∞+∞+2211。
（1）证明: 记()()111lim u aau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰, ()()222lim uaau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰,则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211=()()1122lim uau k f x k f x dx →+∞+⎡⎤⎣⎦⎰=1122[()()]lim uuaau k f x dx k f x dx →+∞+⎰⎰=1122()()lim lim uuaau u k f x dx k f x dx →+∞→+∞+⎰⎰=1122k J k J +=1122()().aak f x dx k f x dx +∞+∞+⎰⎰□性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=， （2）其中右边第一项是定积分。
证明: 由于()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim uau f x dx →+∞⎰存在.又()lim uau f x dx →+∞⎰=()()()lim b u abu f x dx f x dx →+∞+⎰⎰=()()lim buabu f x dx f x dx →+∞+⎰⎰, 其中右边第一项是定积分。
所以()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=. □说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性;(2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出()dx x f a⎰+∞收敛的另一充要条件: 任给ε＞0，存在G ≥a ，当u ＞G 时，总有()uf x dx ε+∞<⎰。
事实上，()dx x f a⎰+∞收敛⇔J=()lim u au f x dx →+∞⎰存在⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()ua f x dx Jε-<⎰⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()()()()u uaauf x dx f x dx f x dx ε+∞-+<⎰⎰⎰⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()uf x dx ε+∞<⎰性质3 若f 在任何有限区间[a ，u] 上可积，且有()dx x f a⎰+∞收敛，则()dx x f a⎰+∞亦必收敛，并有()dx x f a⎰+∞≤()dx x f a⎰+∞。
（3）证明: 由()dx x f a⎰+∞收敛，根据柯西准则（必要性），任给ε＞0，存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，总有()()2211||,u u u u f x dx f x dx ε=<⎰⎰利用定积分的绝对值不等式，又有()21u u f x dx ≤⎰()21u u f x dx ε<⎰.再由柯西准则（充分性），证得()dx x f a⎰+∞收敛又因()()()u uaaf x dx f x dx u a ≤>⎰⎰，令u →+∞取极限，立刻得到不等式(3). □当()dx x f a⎰+∞收敛时，称()dx x f a⎰+∞为绝对收敛, 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。
性质3指出：绝对收敛⇒收敛。
但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p ≤1时dx x xp⎰+∞1sin 条件收敛)。
二 比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。
由于()⎰uadx x f 关于上限u 是单调递增的，因此()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是()⎰uadx x f 存在上界。
根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理11.2（比较法则）设定义在[a ，+∞]上的两个函数f 和g 都在任何有限区G(u)间[a ，u] 可积，且满足()()),[,+∞∈≤a x x g x f ，则当()ag x dx +∞⎰收敛时()dx x f a⎰+∞必收敛（或者，当()dx x f a⎰+∞发散时，()ag x dx +∞⎰发散）。
证明 法一[ 根据P 55 习题2结论: 设f 为定义在[,)a +∞上的增(减)函数. 则()lim x f x →+∞存在的充要条件为f 在[,)a +∞上有上(下)界 ]. 当()ag x dx +∞⎰收敛时,()()lim lim uau u g x dx G u →+∞→+∞=⎰存在. 又G(u)单增, 从而存在M>0, 使得F(u)=()()(),[,),uu aaf x dxg x dx G u M u a ≤=≤∀∈+∞⎰⎰即F(u)有上界M. 又显然F(u)单增. 故|()|()lim lim uau u f x dx F u →+∞→+∞=⎰存在, 从而()dx x f a⎰+∞必收敛.法二 由于()ag x dx +∞⎰收敛, 根据柯西准则（必要性）, 对任意0,ε>存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，总有()21.u u g x dx ε<⎰又()||(),[,).f x g x x a ≤∀∈+∞ 因此有()()2211||.u u u u f x dx g x dx ε≤<⎰⎰根据柯西准则（充分性）,|()|af x dx +∞⎰收敛. □例1 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性。
解 由于21sin x x +≤211x +，x ∈[0,)+∞，以及2102π=+⎰+∞xdx 为收敛（§1例4），根据比较法则，dx xx⎰+∞+021sin 为绝对收敛。
□ 上述比较法极限形式如下：推论1若f 和g 都在任何[a ，u]上可积，g(x)＞0, 且()(),lim x f x c g x →+∞=，则有（ⅰ）当0＜c ＜+∞时，()dx x f a⎰+∞与()ag x dx +∞⎰同敛态；（ⅱ）当c=0时，由()ag x dx +∞⎰收敛可推知()dx x f a⎰+∞也收敛； （ⅲ）当c=+∞时，由()ag x dx +∞⎰发散可推知()dx x f a⎰+∞也发散。
证明 (i)()(),(0,).limx f x c c g x →+∞=∈+∞ 对0,,2cM a ε=∃>当x M >时, |()|||,()2f x c c g x -< 即|()|3,2()2c f x cg x << 从而由比较法则结合性质2知,()dx x f a⎰+∞与()ag x dx +∞⎰同敛态.(ii) 由()()0,lim x f x g x →+∞=对0,,M a ε∀>∃>当x M >时,|()|,()f xg x ε<从而|()|(),f x g x ε< 从而由比较法则结合性质2知, 由()ag x dx +∞⎰收敛可推知()dx x f a⎰+∞也收敛.(iii) 由()(),lim x f x g x →+∞=+∞对0,,G M a ∀>∃≥当x M >时,|()|,()f x Gg x ≥从而|()|(),f x Gg x ≥ 从而由比较法则结合性质2知, 由()ag x dx +∞⎰发散可推知()dx x f a⎰+∞也发散. □当选用p adxx+∞⎰作为比较对象()a g x dx +∞⎰时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判别法）。
推论2 设f 定义于[,)a +∞(a ＞0)，且在任何有限区间[a ，u]上可积，则有： （ⅰ）当()p xx f 1≤，x ∈[,)a +∞，且p ＞1时()dx x f a ⎰+∞收敛； （ⅱ）当()p xx f 1≥，x ∈[,)a +∞，且p ≤1时()dx x f a ⎰+∞发散。
推论3 设f 定义于[,)a +∞，在任何有限区间[a ，u]上可积，且()lim px xf x λ→+∞=,则有：（ⅰ）当p ＞1，0≤λ＜+∞时，()dx x f a ⎰+∞收敛； （ⅱ）当p ≤1，0＜λ≤+∞时，()dx x f a⎰+∞发散。
例2 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1）1xx e dx α+∞-⎰； 2）20+∞⎰.解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。
1）由于对任何实数α都有220lim lim xx x x x xx eeαα+-→+∞→+∞⋅==. 因此根据上述推论3（P=2，λ=0），推知1）对任何实数α都是收敛的。
2）由于122lim x x→+∞=1，因此根据上述推论3（P=21，λ=1），推知2）是发散的。