反常积分
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
反常积分
x arcsin a 0
t
lim t a
t arcsin a 0 π arcsin 1 2
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例5.20 求 (1) 0
1
3 dx dx dx (2) (3) 2 2 1 x 0 1 x ( x 1) 3 1
当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.
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例5.19
a
dx a2 x 2
0
(a 0)
解：
lim x a
1
a2 x 2
x a为被积
函数的无穷间断点，于是
a
dx a x
2 2
0
lim a
t
t
dx a2 x 2
0
lim t a
b
lim ln( x a ) b q1 t , t a , q 1 1 q ( x a) b 1 q lim (b-a) t t a 1 q 1 q ,q 1
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则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b] 上的反常积分, 记作
b a
f ( x )dx, 即
b a
f ( x )dx lim f ( x)dx
Aa A
b
此时也称反常积分
b a
b a
f ( x )dx 收敛, 否则就称反常积分
f ( x )dx 发散. a称为瑕点 .
反常积分
∫a
+∞
+ f (x)dx=[F(x)]a∞ = lim F(x)−F(a) . x→+∞
+∞
例3 计算反常积分 ∫ 解
1
dx . 2 x( x + 1)
∫
+∞
1
2 2 +∞ x + 1 − x dx =∫ dx 2 2 1 x( x + 1) x( x + 1)
=∫
18
1
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铃
三、Γ−函数
• Γ−函数
Γ(s) = ∫ e−x xs−1dx (s > 0)
0
+∞
(1) Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n !
+∞
(2) Γ( s ) = 2∫ e u 2 s −1du.
−u2 0
+∞
1 dx (a>0)的敛散 性. p x +∞ 1 +∞ 1 解 当 p=1 时 ∫ , a p dx=∫a dx =[ln x] +∞ =+∞ . a x x +∞ 1 当 p<1 时, ∫ dx=[ 1 x1− p] +∞ =+∞ . a a xp 1− p +∞ 1 1 x1− p] +∞ = a1− p . 当 p>1 时, ∫ dx=[ a p a x 1− p p−1 a1− p ; 因此, 当 p>1 时, 此 反常积 分收 , 其 敛 值为 p−1 当p≤1时, 此反常积分发散.
反常积分
反常积分定义1. 设函数 f (x )定义在无穷区间[a ,∞) 上，且在任何有限区间[a ,u ]上可积，如果存在极限lim u→+∞ f x dx =J ua （1）则称此极限J 为函数 f (x )在[a ,∞) 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作J = f x dx +∞a,并称 f x dx +∞a收敛。
如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称 f x dx +∞a发散。
定义2. 设函数 f (x )定义在(a ,b ] 上，在点a 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间[u ,b ]⊂(a ,b ] 上有界且可积，如果存在极lim u→a + f x dx =J ba 则称此极限为无界函数 f (x )在 (a ,b ]上的反常积分，记作 J = f x dx b a 。
并称反常积分 f x dx ba 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 f x dxb a 发散。
一、无穷积分的性质⑴ f (x ) 在区间 [a ,+∞)上可积 , 则函数k f (x ) 在区间[a ,+∞) 上可积 , 且 kf x dx =+∞ak f x dx +∞a。
⑵ f (x ) 和g (x ) 在区间[a ,+∞) 上可积 , f (x )±g (x ) 在区间 [a ,+∞)上可积 , 且 [f x ±g (x )]dx =+∞a f x dx +∞a± g x dx +∞a。
⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: 积分 f x dx +∞a收敛⟺∀ε>0,∃A ,∀a ,b >A ,⟹ f x dx ba <ε 。
⑷ 绝对收敛与条件收敛:绝对收敛 ⟹ 收敛,但反之不正确。
二、比较判别法⑴ 比较判敛法:设在区间[a,∞) 上函数 f(x) 和g(x)非负且f(x)≤g(x)，又对任何A >a , f(x) 和g(x)在区间 [a,A]上可积,则 g x dx +∞a<+∞ ,⟹ f x dx +∞a<+∞； f x dx +∞a=+∞, ⟹ g x dx =+∞+∞a.推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间 [a,∞)上函数f x >0,g x >0, lim x →+∞f(x)g(x)=c . 则ⅰ> 0<c <+∞ , ⟹ f x 与 g x 共敛散; ⅱ> c =0 , ⟹ g x dx <+∞+∞a时, f x dx +∞a<+∞; ⅲ> c =+∞ , ⟹ g x dx =+∞+∞a时, f x dx +∞a=+∞。
第十一章 反常积分
[
]
=
p 1 +¥ - 2 k p e + 1 - ( 2 k +1 ) p - ( 2 k + 2 ) p e + 2 e + e = . å p 2 k = 0 2 ( e - 1 )
[
]
（3）此为瑕积分，瑕点为 0。令 x = 2t ，化为
x 0
p
+ u ®0 u
亦收敛。而这与 ò f ( x ) dx 为条件收敛的假设相矛盾，所以这两个无穷积分都是发散的，且
ò [ f ( x ) + f ( x ) ]dx = +¥ = ò [ f ( x ) - f ( x ) ]dx ,
a a
+¥
+¥
意即它们都是无穷大量。 （2）这里是要证明（1）中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察
p
1 n 2 . 2
设 ò f ( x ) dx 为条件收敛。证明：
a +¥ a
（1） ò 都为发散；
[ f ( x ) + f ( x ) ]dx 与 ò [ f ( x ) - f ( x ) ]dx
a
+¥
ò [ f ( t ) + f ( t ) ]dt = 1 . （2） lim ò [ f ( t ) - f ( t ) ]dt
( 2 k + 2 ) p
( 2 k +1 ) p
- x e sin xdx ö ÷ ø
( 2 k + 2 ) p 1 +¥ - x k p - x e (sin x + cos x ) 2 ) å ( 2 k +1 ) p + e (sin x + cos x ( 2 k +1 ) p 2 k = 0
反常积分
1 x
b 1
y
1 x2
A
1b
lim 1 b
1 b
1
2
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
12
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
11
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
1 0
1 dx 。 1 x2
y
y 1 1 x2
解：∵ lim 1 ， x1 1 x2
(0, 1)
o ∴ 1
1
1
反常积分
若 f ( x )dx 满足条件：
a b
（1） [a , b] 是有限闭区间， （2） f ( x ) 是 [a ,b ] 上的有界函数， 则称此积分为常义积分。
若两个条件之一不被满足，则称此积分为反常积分。
一、无穷区间的反常积分
例 1．求曲线 y 2 ， x 轴 及 直 线x 1 的右边所围成的 x “开口曲边梯形”的 面 积S 。 y
xc
c
b
a
c
[a,b] 敛，则称这两个反常积分之和为函数 f ( x ) 在区间
上的反常积分，记为 f ( x )dx ，即
a b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
b
c
b
⑥
这时也称反常积分收敛；否则称反常积分发散。
上述各反常积分统称为无界函数的反常积分， 又称为瑕积分。
, q 1 1 1q 1q b ( b a ) lim ( x a) , q 1 a 1 q 0 1 q
故反常积分
b
dx
(q 积分)
a ( x a )q
当 q 1 时 收敛；当 q 1 时 发散。
例 8．计算
解：∵ lim
1
它的几何解释是：由曲线 y
1
1 x 2
， x 轴 , y 轴及
直线 x 1 所 围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。
例 6.讨论
1 1 dx 的敛散性。 2 1
x
解：∵ lim
∵
1
x0 x 2
，∴ x 0 是瑕点。
0 1 lim dx 1 x 2 0
（1）只有当③式右端两个积分都收敛时，广义积分
第四节 反常积分
f ( x )dx 都收敛，则称
+∞
上述两反常积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的反常积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim f ( x )dx + lim ∫0 ∫ a a → −∞ b→ +∞
高等数学
17/17
1 1 1 Q e ⋅ x = 1− s ⋅ x < 1− s , x e x 而 1 − s < 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛 .
−x s −1 s +1 x ( 2) Q lim x 2 ⋅ ( e − x x s −1 ) = lim x = 0, x → +∞ x → +∞ e
+∞
f ( x )dx .
b b→ +∞
∫a
+∞
f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
高等数学
3/17
类似地，设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ , b] 上连续，取
a < b ，如果极限 lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极 ∫ a a → −∞
b
限 为函数 f ( x ) 在 无穷区间 ( −∞ , b] 上 的反 常积 分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx .
∫−∞ f ( x )dx
b
= lim
f ( x )dx ∫ a a → −∞
b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
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第十一章反常积分
教学要点：
反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学内容：
§1 反常积分的概念（4学时）
反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。
§2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时）
无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别
瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。
教学要求：
掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点.
2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。
§1 反常积分概念
教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法．
教学内容：无穷积分；瑕积分．
教学建议：
讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出
1、为什么要推广Riemann 积分
定积分()b
a f x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；
其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。
这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。
例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？
解： 设地球半径为
，火箭质量为
，地面重力加速度为，有万有引
力定理，在距地心处火箭受到的引理为
于是火箭上升到距地心处需要做到功为
当
时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使
例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？
解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为
时，水从小孔里流出的速度为
设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：
由此得
所以流完一桶水所需的时间应为
但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取
相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。
2、怎么推广
通过极限工具，把常规积分向两个方向推广：1、无穷区间；2、无界函数。
这两种情形可统一在下面的定义中。
二、反常积分的定义
1、无穷限反常积分的定
义
，.
无穷限反常积分几何意义
例1、⑴讨论积分, , 的敛散性 .
⑵计算积分.
例 2 、讨论以下积分的敛散性 :
⑴; ⑵.
例3、讨论积分的敛散性 .
2、瑕积分的定义:以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点
为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.
例4、判断积分的敛散性 .
例5、讨论瑕积分的敛散性 , 并讨论积分的敛散性 .
瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;
设, 有，把无穷积分化成了瑕积分
作业： P-269： 1，2.
§2 无穷积分的性质与收敛判别
教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．
教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．
(1) 基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议：
(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性．
(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．
(3)举例说明：当⎰∞
a
dx x f |)(|收敛时，不一定有lim ()0x f x →+∞
=，由此使学生
对柯西准则有进一步的理解． 教学过程：
一、无穷积分的性质:
⑴ 在区间
上可积 , — Const , 则函数
在区
间
上可积 ,
且
.
⑵
和
在区间
上可积 ,
在区间
上可积 , 且.
⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)
定理积分收敛
.
⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分。
二、无穷积分收敛判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.
⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且
，又对任何>, 和在区间上可积 . 则
< , < ；, . ( 证 )
例1、判断积分的敛散
性.
比较原则的极限形式 : 设在区间上函数
,. 则
ⅰ> < < , 与共敛
散 :
ⅱ> , < 时, < ；
ⅲ> , 时,
. ( 证 )
⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )
对任何>, , 且, < ；
且, .
Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.
且. 则
ⅰ> < ；
ⅱ>
. ( 证 )
例2、讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6
⑶其他判敛法:
Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分
收敛.
Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在
上单调，且当时，. 则积分收敛.
例3、讨论无穷积分与的敛散
性. [1]P325 E7
例4、证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :
, ,
.
[1]P326 E8
例5、 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,
积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )
作业： P275：1，2，3，4，5.
§3 瑕积分的性质与收敛判别
教学目标：掌握瑕积分的性质与收敛判别准则．
教学内容：瑕积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．
(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性．
(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．
教学建议：
(1) 本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别瑕积分的敛散性．
(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．
教学过程：
一、瑕积分与无穷积分的比较
瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .
例1、证明瑕积分当时收敛.
证：, 该积分当时收敛.
二、瑕积分判敛法
定理( 比较原则 ) [1]P329 Th10-23.
推论1 ( Cauchy判别法 ) [1]P329 推论1.
推论2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) [1]P330 推论2.
例2、判别下列瑕积分的敛散性 :
⑴( 注意被积函数非
正 ). ⑵. [1]P330 E12
例3、讨论非正常积分的敛散性.
三、C—R积分与R积分的差异
1. R, 在上; 但在区间
上可积 ,
在区间上有界 . 例如函数
2. R,||R,但反之不确. R积分是绝对型积分.
||在区间上可积 , 在区间上可积 , 但反之不确. C—R积分是非绝对型积分.
3. ,R, R;
但和在区间上可积 , 在区间
上可积. 可见, 在区
间上可积 , 在区间上可积.
作业： P279：1，2，3，4.。