数学分析 反常积分
第八章 反常积分
∫ ∫ b
t =1/(b− x) +∞
1) 设函数 f (x) 连续, b 为奇点, 有 f (x)dx =
f (b − 1) dt .
a
1 /( b − a )
t t2
∫ ∫ 2) 设 a > 0 , 有
+∞
t =1/ x
f (x)dx =
1/ a f (1) dt 把无穷区间反常积分化成了无界函数的反常积分.
定义 1 假设函数 f (x) 定义在无限区间 [a,+∞) 上并且在任意有限区间 [a,b] ⊂ [a,+∞) 上可积. 如果极限
b
+∞
b
∫ ∫ ∫ lim f (x)dx = I 存在, 则称 I 为函数 f (x) 在 [a,+∞) 上的反常积分,记作 f (x)dx = lim f (x)dx. 同时,
b
∫ ∫ ∫ 显然, 无界函数的反常积分 f (x)dx 收敛的充分必要条件是无界函数的反常积分 f (x)dx 和 f (x)dx 同
a
a
c
时收敛.
∫ 例 3 计算无界函数的反常积分
1
1/
1 − x 2 dx .
−1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
解
1
0
dx =
1
1
dx +
1
0
dx = lim
1
1− β
dx + lim
h
桶里水面降低的高度为 ∆x ，则有下面关系：π R2∆x = vπ r2∆t ,由此得
∆t =
R2
∆x , x ∈[0, h]
r2 2g(h − x)
1
《数学分析》教案 ---- 反常积分
数学分析报告第七讲反常积分
数学分析报告第七讲反常积分反常积分是对具有无界函数或破碎点的函数进行积分时所遇到的问题。
在数学分析中，我们经常会遇到这样的函数，它们在其中一区间上无界或者在其中一点不连续。
这时，我们需要对这些函数进行反常积分的处理，以得到一个有意义的结果。
反常积分可以分为无界函数的反常积分和破碎点的反常积分两种情况。
无界函数的反常积分是指函数在其中一区间上无界，即函数的极限值为无穷大或无穷小。
破碎点的反常积分是指函数在其中一点上不连续，即函数在该点的极限不存在。
对于无界函数的反常积分，我们需要将积分区间分割成两个部分，使得原函数在每个部分上都是有界的。
然后对每个部分进行积分，再将结果相加。
具体来说，对于函数f(x)在区间[a,b]上无界的情况，我们可以将区间分割成[a,c]和[c,b]，其中c是一个介于a和b之间的值。
然后分别计算函数f(x)在区间[a,c]和[c,b]上的积分，再将这两个积分的结果相加，就得到了原函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分。
对于破碎点的反常积分，我们需要分别计算函数左极限和右极限的积分，再将这两个积分的结果相加。
具体来说，对于函数f(x)在点c处不连续的情况，我们可以计算函数f(x)在区间[a,c)和(c,b]上的积分，然后将两个积分的结果相加，就得到了原函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分。
通过对无界函数和破碎点的反常积分的处理，我们可以得到一个有意义的积分结果。
这样的处理方法可以避免由于函数的无界或破碎点而导致积分的发散或无意义的问题。
反常积分的处理方法对于数学分析的研究和应用具有非常重要的意义。
总结起来，反常积分是对具有无界函数或破碎点的函数进行积分时所遇到的问题。
我们可以通过将积分区间分割成有界的部分，或者分别计算函数左极限和右极限的积分，来处理这些反常积分。
这样的处理方法可以得到一个有意义的积分结果，避免由于函数的无界或破碎点而导致积分的发散或无意义的问题。
反常积分的处理方法在数学分析中具有非常重要的应用价值。
最新数学分析 第七讲 反常积分
第七讲 非黎曼积分（反常积分）一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.1、 一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[]b a ,或有限闭区域D ，如果将积分区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点）或()+∞,a ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点,即函数)(x f 在点x 处无界）.定义1 函数)(x f 在无限区间),[+∞a 连续，则定义⎰⎰+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(，如果极限⎰+∞→AaA dx x f )(lim存在，我们称反常积分⎰+∞adx x f )(收敛.定义2 函数)(x f 在非闭区间],(b a 连续，而在点a 右邻域内无界（a 是被积函数)(x f 的瑕点）即函数在点a 无界，则定义⎰⎰⎰++→+→==b kak ba badx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0εε,如果极限⎰+→+ba dxx f εε)(lim 0存在，我们称反常积分⎰badx x f )(收敛.函数)(x f 在点a 右邻域内无界的意思是：∞=+→)(lim x f ax .注意: 函数在点a 没有定义,但函数)(x f 在点a 右极限)(lim x f ax +→可以存在,这时a 不是被积函数)(x f 的瑕点.例如,函数x x sin 在点0处没有定义,但1sin lim 0=+→xxx ,所以0=x 不是积分⎰10sin dx x x 的瑕点. ⎰10sin dx x x 不是反常积分. 将积分⎰10sin dx xx 看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数)(x f 在闭区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点, 则积分⎰badx x f )(为推广的黎曼积分,它也是收敛的.定义3 函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，b a ,都是函数)(x f 的瑕点，则定义⎰⎰⎰⎰⎰-→+→-++=+=δδεεb cca b cc abadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0,如果极限⎰+→+ca dx x f εε)(lim 0和⎰-→-δδb cdx x f )(lim 0均存在，我们称反常积分⎰badx x f )(收敛.定义4 函数)(x f 在无限区间),(+∞a 连续，a 是函数)(x f 的瑕点，则定义⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+→+∞+∞+=+=+AbA ba bb aadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim)(lim )()()(0εε,如果极限⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0和⎰+∞→AbA dx x f )(lim均存在，我们称反常积分⎰+∞adx x f )(收敛.②积分区域无限且被积函数),(y x f 有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论.例 讨论积分dx x p ⎰101和dx x p ⎰+∞11的敛散性.解 显然dx x ⎰101和dx x⎰+∞11均发散.在区间]1,0(上, 当1<p 时, 函数xx p 11<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数xx p 11>,即前者的图像在后者的图像上方,这时dx xp ⎰101发散(请同学给出证明).在区间),1[+∞上, 当1<p 时, 函数xx p 11>, 即前者的图像在后者的图像上方,这时dx xp ⎰+∞11发散(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数xx p 11<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明).结论:⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰时当时，当，1,11111p p p dx x p和⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰∞+.1,11111时当时，当，p p p dx x p (1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a)若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞收敛, 则dx x f k x f k a)]()([2211±⎰+∞也收敛, 且dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa)()()]()([22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞±=±.(b)若)(x f 在任何有限闭区间],[u a 上可积,b a <, 则dx x f a)(⎰+∞与dx x f b )(⎰+∞同敛态(同时收敛或同时发散),并且dx x f dx x f dx x f bba a)()()(⎰⎰⎰+∞+∞+=.(c) 若)(x f 在任何有限闭区间],[u a 上可积, 且有dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a)(⎰+∞收敛，且dx x f dx x f aa⎰⎰+∞+∞≤)()(.当dx x f a⎰+∞)(收敛时, 称dx x f a)(⎰+∞绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.②无穷积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对无穷积分dx x f dx x f uau a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 无穷积分dx x f a)(⎰+∞收敛的充要条件是: 对0>∀ε, 0>∃U , )(εU U =, 当Uu u >21,时, 有ε<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f u u u au a)()()(2121.无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在),[+∞a 上的两个函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积,且满足)()(x g x f ≤,),[+∞∈a x ,则当dx x g a)(⎰+∞收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛; 当dx x f a⎰+∞)(发散时dxx g a)(⎰+∞必发散.考虑当dx x g a)(⎰+∞收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛是否正确? 当dxx f a⎰+∞)(发散时dx x g a)(⎰+∞必发散是否正确?推论1设定义在),[+∞a 上的两个函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积,0)(>x g , 且c x g x f x =+∞→)()(lim, 则有①当+∞<<c 0时, dx x f a⎰+∞)(与dx x g a)(⎰+∞同敛态;②当0=c 时, 由dx x g a)(⎰+∞收敛可推知dx x f a⎰+∞)(也收敛;③当+∞=c 时, 由dx x g a)(⎰+∞发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.推论2 设)(x f 是定义在),[+∞a (0>a )的函数,且在任何有限区间],[u a 上可积,则有:①当p xx f 1)(≤,),[+∞∈a x ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; ②当p xx f 1)(≥,),[+∞∈a x ,且1≤p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.利用结论⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰∞+时当时，当，1,11111p p p dx x p 可证上述结论. 推论3设)(x f 是定义在),[+∞a (0>a )的函数,在任何有限区间],[u a 上可积,且()c x f x p x =+∞→)(lim , 则有:①当+∞<≤>c p 0,1时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; ②当+∞≤<≤c p 0,1时,dx x f a⎰+∞)(发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.(c) 狄利克雷判别法定理3(狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在),[+∞a 上有界,)(x g 在),[+∞a 上当+∞→x 时单调趋于0,则dx x g x f a)()(⎰+∞收敛(了解).(d) 阿贝尔(Abel)判别法 定理4(阿贝尔(Abel)判别法) 若dx x f a⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 上单调有界,则dx x g x f a)()(⎰+∞收敛(了解).(2) 瑕积分的性质与收敛判别 ① 瑕积分的性质(a) 若)(1x f 与)(2x f 都以a x =为瑕点，21,k k 为常数，则当瑕积分dx x f ba)(1⎰与dx x f b a)(2⎰收敛时, 瑕积分dx x f k x f k ba)]()([2211±⎰必定收敛,且dx x f k dx x f k dx x f k x f k bababa )()()]()([22112211⎰⎰⎰±=±.(b) 设函数)(x f 以a x =为瑕点，),(b a c ∈为任一常数，则瑕积分dx x f ba )(⎰与dx x f ca)(⎰同敛态(同时收敛或同时发散),并且dx x f dx x f dx x f bcc aba)()()(⎰⎰⎰+=，其中)(x f bc⎰为定积分.(c) 设函数)(x f 以a x =为瑕点， 若)(x f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积,则当dx x f ba⎰)(收敛时，dx x f ba)(⎰也必收敛，且dx x f dx x f baba⎰⎰≤)()(.当dx x f ba⎰)(收敛时, 称dx x f ba)(⎰绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.② 瑕积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对瑕积分dx x f dx x f buau ba)(lim )(⎰⎰+→=的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 瑕积分dx x f ba)(⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是: 对0>∀ε, 0>∃δ, )(εδδ=, 当δδ<-<<-<a u a u 210,0时, 有ε<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f u u bu bu )()()(2121.瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在],(b a 上的两个函数)(x f 和)(x g ，瑕点同为a x =，)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积,且满足)()(x g x f ≤,],(b a x ∈,则当dx x g b a )(⎰收敛时dx x f ba ⎰)(必收敛; 当dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba)(⎰必发散.考虑当dx x g ba)(⎰收敛时dx x f b a⎰)(必收敛是否正确? 当dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba)(⎰必发散是否正确?推论1又若 0)(>x g , 且c x g x f ax =+→)()(lim , 则有①当+∞<<c 0时, dx x f ba⎰)(与dx x g ba)(⎰同敛态;②当0=c 时, 由dx x g ba)(⎰收敛可推知dx x f b a⎰)(也收敛;③当+∞=c 时, 由dx x g ba)(⎰发散可推知dx x f b a⎰)(也发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.推论2 设)(x f 是定义在],(b a 的函数,瑕点为a x =， 且在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积，则有:①当()pa x x f -≤1)(,且10<<p 时, dx x fb a ⎰)(收敛;②当()p a x x f -≥1)(,且1≥p 时, dx x f b a ⎰)(发散. 利用结论⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰时当时，当，1,11111p p p dx x p 可证上述结论. 推论3设)(x f 是定义在],(b a 的函数,瑕点为a x =， 且在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积，且()[]λ=-+→)(lim x f a x pax , 则有:①当+∞<≤<<λ0,10p 时, dx x f ba⎰)(收敛;②当+∞≤<≥λ0,1p 时, dx x f ba⎰)(发散.2、多元函数的反常积分(1)积分区域无限且被积函数),(y x f 没有瑕点①函数),(y x f z =在无限区域:D ),[),[+∞⨯+∞c a 上的反常积分定义 5 函数),(y x f z =在无限区域:D ),[),[+∞⨯+∞c a 连续，则定义⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞+∞==Aa BcB A acDdy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f ),(lim),(),(,如果极限存在， 我们称反常积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(收敛.② 函数),(y x f z =在无限区域:D ],(],(y x -∞⨯-∞上的反常积分 定义6 函数),(y x f z =在无限区域:D ],(],(y x -∞⨯-∞连续，则定义⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞-∞-==xA yBB A x yDdy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f ),(lim),(),(,如果极限存在， 我们称反常积分⎰⎰∞-∞-xydy y x f dx ),(收敛.由于式中⎰⎰∞-∞-xydy y x f dx ),(的积分上限中的y x ,与被积函数中的yx ,不同,所以⎰⎰∞-∞-xy dy y x f dx ),(经常表示为⎰⎰∞-∞-xydt t u f du ),(. 这种积分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数),(y x F 的积分, 即⎰⎰∞-∞-=x ydy y x f dx y x F ),(),(,其中),(y x f .③ 函数),(y x f z =在无限区域),(),(+∞-∞⨯+∞-∞上的反常积分 (请同学给出其定义).④ 函数),(y x f z =在无限区域),(),[+∞-∞⨯+∞a 上的反常积分(请同学给出其定义).⑤ 函数),(y x f z =在无限区域),[),[+∞⨯+∞c a 上的反常积分(请同学给出其定义).上述积分在概率中经常用到.已知随机变量Y X ,,函数),(y x f 是随机变量Y X ,的概率密度函数,),(y x F 表示随机变量Y X ,的分布函数,则概率⎰⎰∞-∞-==≤≤x ydy y x f dx y x F y Y x X P ),(),(),(,⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-===+∞=+∞<≤x X x X dxy x f dy y x f dx x F x F Y x X P ),(),()(),(),(,⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-===+∞=≤+∞<yY y Y dyy x f dx y x f dy y F y F y Y X P ),(),()(),(),(,其中),(y x f X ,),(y x f Y 分别称为Y X ,边缘概率密度函数,),(y x F X ,),(y x F Y 分别称为Y X ,边缘分布函数.例如(考研2010年数学一)设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为2222),(y xy xAe y x f -+-=,+∞<<∞-x ,+∞<<∞-y ,求常数A 及条件概率密度)(x y f X Y .解: 因为1),(=+∞+∞F ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞-+∞∞-++-+∞∞-+∞∞-+∞∞-====dyAedx dyAe dx dy y x f dx y x F y y x y xy x2222)(22),(),(1作变量替换⎩⎨⎧==-θθsin cos r y r y x ，+∞<<r 0，πθ20≤≤，即⎩⎨⎧=+=θθθsin sin cos r y r r x . 则()r r r y ry xrx r J -=-+=∂∂∂∂∂∂∂∂=θθθθθθθθθcos sin sin cos sin cos ),(.所以πθπA dr r Ae d dy Aedx r y y x =-=⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞----+∞∞-020)()(222, 进而π1=A .22222222222211(,)()1()(,)x xy y x xy y Y X x xy y X eef x y f y x f x f x y dyedyπππ-+--+-+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰222222222222222222()20111(,)1112xxy y xxy y xxy y x y x x t x t e e e y x t dy dt e e dye e dte e dtππππππ-+--+--+-+∞+∞+∞--------∞-∞===-==⋅⋅⋅⎰⎰⎰222222222222222211122111(,)11112xxy y xxy y x xy y xxuxu e e e t u dt e e u e due u e duππππππ-+--+--+-+∞+∞-------=====⎛⎫⋅Γ ⎪⎝⎭⎰⎰222222221,.1x xy y xxy y xe y π-+--+--==-∞<<+∞注: 由余元公式)10(sin )1()(<<=-ΓΓs s s s ππ得: π=⎪⎭⎫⎝⎛Γ21. 还可以用以下方法计算π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21.余元公式)10(sin )1()(<<=-ΓΓs ss s ππ的证明过程很繁杂,在此证明略. 先计算dxdy e Dy x ⎰⎰+-)(22, 其中区域D : a y a x ≤≤≤≤0,0.因为222:a y x D a ≤+, 22222:a y x Da≤+. 则dxdy e dxdy e dxdy e aaDy xDy xD y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+-≤≤2222222)()()(,即dxdy e dx e dy edx edxdy eaaD y x ax aay x D y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤22222222)(200)(. 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,20,0πθ≤≤≤≤a r . 则()22214)(a D y x e dxdy ea-+--=⎰⎰π.令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,20,20πθ≤≤≤≤a r . 则()22222)(14a Dy x e dxdy e a-+--=⎰⎰π.所以()()2222201414a a x a e dx e e ----≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-⎰ππ. 因为()414lim2ππ=--+∞→a a e , ()414lim 22ππ=--+∞→a a e , 所以22π=⎰∞+-dx e x ,进而π==⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎰∞+-dx e x 02221.上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这种方法.(2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握） (1) 含参量反常积分的概念和定义 (2) 含参量反常积分性质与收敛性判别 二、解证题方法 1、反常积分的计算反常积分的计算题在考研中很少出现, 如果出现, 一般用变量替换法求解.例1(南京农业大学2004年)求dx xx ⎰-1ln 1. 解 令te x =,则dt e dx t=. 进而021211ln 1000000202010=-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-dt t e du u e dt t e du u e dtt e dt t e dt t e e dt e t e dx x x t u t u t t t t tt . 例2(南京大学2000年)求dt ttx x ⎰→1120cos lim. 解 令x t 1=,则dx xdt 21-=,所以 1sin 1sin 1sin lim 11sin lim 11cos lim cos lim 121120=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→→⎰⎰t t x dt x x dt t tt t t t xx . 例3(南京农业大学2004年)求dx x⎰+∞+0411. 解 作变量替换xt 1=,则 dt t tdx x dx x dx x dx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞+20141041410404111111111111 ()()dx x x x x x dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰⎰-++++=++=+++=102221042104210421******** dx xx dx x x ⎰⎰-++++=1021022112121121()()dxx dx x ⎰⎰-++++=121212111211()()π420112arctan 210112arctan 21=-++=x x .例4(上海理工大学2003年)已知积分2sin 0π=⎰+∞dx x x ,计算dx x x ⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛02sin . 解dx x x x x x x d x dx x x ⎰⎰⎰∞+-∞+∞++∞+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛0210202cos sin 20sin )(sin sin 2sin sin lim )2(22sin sin lim 220020π+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→→∞++∞→→++⎰a a b b x d x x a b x x b a b a 22sin sin lim 2220ππ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→→+a a a b b b a . 例5(兰州大学2005年)求⎰1ln xdx .解 首先判断积分⎰1ln xdx 反常性。
数学分析第七讲反常积分
a第七讲 非黎曼积分(反常积分)知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间(闭区域) . 下 面研究积分区间无限 ,或积分区间不是闭区间的积分 ,我们称这样的积分为反常积分 ,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常 .对正常积分 ,我们主要研究它的计算问题 , 而对反常积分 , 主要研究它的收敛问题 .一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义 我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间 a,b 或有限闭区域 D ，如果将a,b 换成无限区间[a,)或非闭区间(a,b]( a 是被积函数的瑕点)b在，我们称反常积分f(x)dx 收敛.积分区间 或 a,，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的， 反常”指将黎曼积分中的有限闭区间 a,b 换成无限区间 [a, ) 或非闭区间(a,b] ( a 是被积函数的瑕点，即函数f (x)在点x 处无界). 定义1 函 数 f (x) 在 无 限 区[a,) 连 续 , 则 定 义 Af (x)dx limf(x)dx ，如果极限 AaA lim aAf (x)dx 存在，我们称反常积分af (x)dx 收敛.定义 2 函数 f ( x )在非闭区间 (a,b ］连续, 而在点 a 右邻域内无界( a 是被积函数f(x) 的 瑕 点 )即函数在点a 无界则定义b af(x)dx lim 0 a bf (x)dxbkm k f(x)dx ,如果极限lim 0f (x)dx 存b af (x)dx 收敛.定义4函数f (x)在无限区间(a,)连续，a 是函数f(x)的瑕点，则定义bAb f (x)dx 叫 a f (x)dx Jim b f (x)dx ,b如果极限叫a f(x)dx 和WA bf (x)dx 均存在，我们称反常积分f (x)dx 收敛.②积分区域无限且被积函数f (x, y)有瑕点(了解)2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论 .11 1例讨论积分-dx 和 一dx 的敛散性. 0x p 1 xp 函数f (x)在点a 右邻域内无界的意思是: lim f (x).注意：函数在点ax a没有定义，但函数f (x)在点a 右极限limx af (x)可以存在，这时a 不是被积函数f (x)的瑕点.sin x例如，函数在点 xsin x0处没有定义，但lim1,所以x 0不是积分x 0x1sinx dx 0x的瑕点.1sin x1sin x dx 不是反常积分.将积分dx 看作推广xx的黎曼积分. 因为，如果被积函数 f(x)在闭区间a,b 上仅有有限个第一类间断点，则积分bf (x)dx 为推广的黎曼积分，它也是收敛的.a定义3函数 f (x)在开区间(a,b)内连续,a,b 都是函数 f (x)的瑕点，则定义ba f(x)dxc bf (x)dx f (x)dxaclim 0ca f(x)dxblim f (x)dx ,0 c''如果极限lim f (x)dx 和lim0a'，f (x)dx 均存在，我们称反常积分bf(x)dx f(x)dxaaa解显然Tdx 和-dx 均发散.x 1 x11在区间(0,1］上，当p 1时，函数 r -,即前者的图像在后者的图像下方x p x收敛(请同学给岀证明).当p 1时，函数 丄x p1像在后者的图像上方,这时1 1在区间［1,)上，当p 1时，函数二 ,即前者的图像在后者的图像上方 x p x 这时J_dx 发散(请同学给岀证明).当p 1时，函数1x pbf (x)dx a f (x)dx © f (x)dx .(c )若f(x)在任何有限闭区间［a,u ］上可积，且有 f (x)dx 收敛，f(x)dx 收敛，且f (x)dx af (x)dx .丄，即前者的图x丄，即前者的图x像在后者的图像下方 +dx x当p 1时, 当p 1时.无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质(1) f 1(x)dx 与f 2(x)dx 收敛[k 1f1(X)k 2f 2(x)]dx 也收敛,且[k j f'x) k 2 f 2(x)]dx k 1f 1(x)dxk 2af 2(x)dx .(b)若f(x)在任何有限闭区间［a, u ］上可积f(x)dxaf (x) dx 同敛态(同时收敛或散),并1这时发散(请同学给岀证明)，这时).1时,a当a为条件收敛.②无穷积分的收敛判别 (a)柯西收敛准则uif (x)dxaU2f (x)dxaU2f (x)dxU1无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到 (b)比较法则对无穷积分 a f (x)dx lim u u af (X)dX 的敛散性用以下准则可以作岀判断定理 1(柯西收敛准则)无穷积分 f(x)dx 收敛的充要条件是：对0,U U()U i , U 2 U 时f(x)dx 收敛时, f (x)dx 绝对收敛.我们称收敛而不绝对收敛者定理2(比较法则)设定义在［a,)上的两个函数 f(x) 和g(x)都在任何有限 区间［a,u ］上可积，且满足 f (x) g(x) ,x [a,)，则当.g(x)dx 收敛时f (x) dx 必收敛；当f (x)dx 发散时° g(x)dx 必发散. 考虑当 g(x)dx 收敛时f (x)dx 必收敛是否正确当 f (x)dx 发散时g(x)dx 必发散是否正确推论1设定义在［a,)上的两个函数 f(x) 和g(x)都在任何有限区间［a,u ］上可积,g(x) 0,且 lim f (x) c ,xg(x)则有①当f(x)dx 与ag(x)dx 同敛态;②当0时，由ag(x)dx 收敛可推知f (x) dx 也收敛； ③当g(x)dx 发散可推知f (x)dx 也发散.［a,)上当x 时单调趋于0,则f (x)g(x)dx 收敛(了解).a(d)阿贝尔(Abel)判别法定理4(阿贝尔(Abel)判别法)若 f (x)dx 收敛，g(x)在［a,)上单调有界a则f (x)g(x)dx 收敛(了解).alim x pxf(x) c ,则有：①当p 1,0 c时， a f (x )dx 收敛;②当p 1,0 c时，af(x)dx 发散.利用不等式c f(x)| c g(x) ，即 c g(x) f(x) c 证上述结论 .(c)狄利克雷判别法且g(x)可定理3(狄利克雷判别法 )若F(u) ua利用不等式cfX)c，即 c g(x) f(x) c g(x)可证上述结论推论2设f (X )是定义在［a, )(a 0)的函数，且在任何有限区间［a,u ］上可积,则有： 1① 当 f(x) —,x [a, X 1 ② 当 f(x) J ，x [a,)，且 p 1 时，& f (x)dx 收敛；)，且 p 1 时，a f (x)dx 发散.利用结论 11 -pdx x，当p 1时，1 当p 借寸可证上述结论 P 1 ' 推论3设f (x)是定义在［a, )(a 0)的函数，在任何有限区间［a,u ］上可积,)上有界，g(x)在f (x)dx 在[a,定理2(比较法则)设定义在(a,b ］上的两个函数f (x)和g(x)，瑕点同为瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质f (x)dx f (x) dxbf(x)dxU2U 2f(x)dxui瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到 (b)比较法则b 当 a条件收敛. ②瑕积分的收敛判别 (a)柯西收敛准则 b 对瑕积分 f (x)dxa f (x )dx 收敛时，称 bf (x)dx 绝对收敛.我们称收敛而不绝对收敛者为定理1(柯西收敛准则 limu abf (x)dx 的敛散性用以下准则可以作岀判断U)瑕积分a f (X)dX (瑕点为a )收敛的充要条件是：对 (),当 0 U i a,0 U 2 a 时，有若f 1(x)与f 2(x)都以x a 为瑕点，k i ,k 2为常数，则当瑕积分bf 1(x)dxaba f 2(X)dX 收敛时,b瑕积分［时匸区)k 2 f 2(x)］dx 必定收敛，且aba [k i f i (x) k 2 f 2(x)]dxb b k i f i (x)dx k 2f 2(x)dx .aa(b)设函数f (x)以x a 为瑕点，c (a,b)为任一常数，则瑕积分ba f(x)dxc与 f(x )dx 同敛态(同时收敛或同时发散a ),并且b f(x)dxac bb f (x)dx f (x)dx ，其中f (x)为定积分.acc(C)设函数f (x)以x a 为瑕点， 若f (x)在(a, b ］的任一内闭区间[u,b]上f (x)dx 收敛时，ba f (x)dx也必收bf (x) dxuix a , f(x)和g(x)都在任何有限区间［u,b ］(a,b ］上可积,且满足bbf (x) g(x) , x (a,b],则当 a g(x)dx 收敛时 a f (x)dx 必收敛；当bf (x)dx 发散时a g(x)dx 必发散.bf (x)dx 必收敛是否正确当abg(x)dx 必发散是否正确［u,b ］ (a,b ］上可积，则有① 当 f(x) -------- 1一，且 0 p 1 时， f(x)dx 收敛；x aa② 当f(x) —，且p 1时，"f (x)dx 发散.x aa1时，可证上述结论1时b考虑当 g( x)dx 收敛时ab f (x)dx 发散时a推论 1又若g(x) 0,且limfx) c ,则有 x ag(x)①当②当bc 时，a b0时，由 g(x)dx 收敛可推知f (x)dx 与 a g(x)dx 同敛态;bf (x)dx 也收敛；③当b由g g(x)dx 发散可推知:f(x)dx 也发散利用不等式c g(x) f(x) c g(x)可证上述结论 . 推论2设f (x)是定义在(a, b ］的函数，瑕点为x a ，且在任何有限区间利用结论+dx0 P 0 x推论3设f(x)是定义在(a, b]的函数，瑕点为x a ,且在任何有限区间p[u,b] (a,b]上可积，且 lim x a f (x)，则有:x ab① 当0 p 1,0 时，a f(X)dX 收敛；b② 当p 1,0时，a f (x)dx 发散.2、多元函数的反常积分 (1)积分区域无限且被积函数f (x, y)没有瑕点①函数z f (x,y)在无限区域 D ：[a,) [c,定义5函数z f(x, y)在无限区域D : [a, 存在， 我们称反常积分 dx f (x, y)dy 收敛.ac与数理统计中常用求概率分布函数F(x,y)的积分，即x yF(x, y) dx f (x, y)dy ,其中 f (x, y).定义6函数zf (x, y)在无限区域D :(,x] (,y]连续，则定义xyx yf(x,y)dxdydx f (x, y)dy limdx AD f (x, y)dy ,如果极限存 BDxy在， 我们称反常积分dx f(x, y)dy 收敛②函数z f (x, y)在无限区域D :( ,x] ( , y]上的反常积分 x y由于式中dx f (x, y)dy 的积分上限中的 x,y 与被积函数中的 x, y 不同，xyxy所以 dx f (x, y)dy 经常表示为 du f (u,t)dt .这种积分是概率论 )上的反常积分 )[c,)连续，则定义f(x,y)dxdyDdxacf (x, y)dy A Blim dx f (x, y)dy ,如果极限A acB③函数z f(x, y)在无限区域()( )上的反常积分(请同学上述积分在概率中经常用到.已知随机变量 X,Y ,函数f (x,y)是随机变量X ，丫的概率密度函数，F (x, y)表示随机变量 X ，丫的分布函数，则概率x yP(X x,Y y) F (x, y) dx f(x,y)dy5P(X x,Y)F(x,)xF X (X )dxf(x, y)dyxf x (x, y)dxP(X,Y y) F( ,y) yF Y W)dy f (x, y)dxyf Y (x, y)dyF x (x, y), F Y (x, y)分别称为X ,Y 边缘分布函数f (x, y) Ae 2x 2xy y求常数 A 及条件概率密度 f Y |X (yx). 解：因为F( ,)1，所以2 2dx Ae(x y ydy给岀其定义).④ 函数z f (x, y)在无限区域［a, 岀其定义).⑤ 函数z f (x, y)在无限区域［a, 定义).)(,)上的反常积分(请同学给)［c,)上的反常积分(请同学给岀其其中 f x (x, y) f y (x, y)X,Y 边缘概率密度函数 例如(考研2010年数学一)设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为1 F (x, y) dx f (x, y)dydxAe 2x22xy y 2 dyx 作变量替换r cos rsinx r cos rsinr sin则J(r,cos sinsincos sin dx Ae (x y)2y dyr cos2Ae r( r)drf Yx(y x) f (x, y)f x(x)1e2x22xy y21e2x2 2xy y2f(x,y)dy -e2x2 2xy y2dy1 2x22xy y2—e 1 2x22xy y2—e1 2x22xy y2—e1e x2 e (y x)2dy !e x2 e "dt 丄e^ 2 eSt(y t,dy dt) !e2x22xy y21e2x2 2xy y2■1e2x22xyy2丄e" u2e0 u du11u2e u dux2f(t22u, dt12x 22xy y2ee x2x22xy y2注：由余元公式(s) (s 1) ——(0 ssin s1)得:.还可以用以下方法计算1、.余元公式（s）（s1）2 1）的证明过程很繁杂，在此证明略.2 2先计算 e (x y )dxdy ,其中区域Dr cos r sin2xdx上面的积分给岀了反常积分计算的一个重要方法 这种方法.(2)多元函数反常积分性质与收敛性判别 含参量的反常积分(考数学专业的同学需要掌握) 含参量反常积分的概念和定义含参量反常积分性质与收敛性判别 、解证题方法 1、反常积分的计算 反常积分的计算题在考研中很少岀现 ，如果岀现，一般用变量替换法求解x2)dxdy D 2a 匸12 a2所以一1 4 a2o ex2dx2 a2因为lim — 114a2lim —a 42a2x2dxa,0 y因为 D a :x 2 y 2a 2,D2a:x 22 2y 2aD aD a/ 2 2、(x y)dxdy22(x y )dxdyr cos r sine (x2、y )dxdyx2dxy2dya,0(x2D a)dxdy ,2x2dxe (x2y 2)e (x22y )dxdy .dxdy 一4■. 2a,0:夹逼方法.同学们应切记 (1) ⑵1111x 1 1（南京农业大学 2004年）求dx . In xe t ,贝U dx e t dt . 进而x 1 . dx 0ln x0 e u 1 du 1 2 u 2jdt tt edt t2t te e dt tuedu u例2（南京大学 2000 年）求x m 0cosidt tdtdx ,所以xt im1 lim 1 x 0 —x1 1 cos- §dtt im.1 sin x例3（南京农业大学2004 解作变量替换 1 -,则 x 年）求 —dx .x0 r J ?dx 01 —dxx —dx x04 —dx x11 01 2x . —dx x11 x 2----- d x 、• 2x1 1x 2、2x2dx1 2x 1 2dx1 2x 1dt tt edt t1 t im1~4xsin 1dx.1 sin tsin 1.* dt1 x2 2x 1 x 22xdxdx21 ―——arctan . 2x 121 -一 arctan . 2x 10 2 例4（上海理工大学 2003年）已知积分sin x , dx .x2沁dx sin 2 xd(x 1)sin 2 x2sinxcosx ,dx xlima 0 b.2sin xsin 2Xj2x (2x) limsin 2 b・2sin alima 0 bsin 2 bsin 2 a例5（兰州大学2005 年）求 1 ln xdx . 0解首先判断积分 1ln xdx 反常性。
数学分析之反常积分
第十一章反常积分教学目的：1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。
教学时数：8学时§ 1 反常积分概念（2学时）教学目的：深刻理解反常积分的概念。
教学重点难点：反常积分的含义与性质一问题的提出:例（P264）.二两类反常积分的定义定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积，如果存在极限（1）则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作,并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在极则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分发散.例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 .⑵计算积分.例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴; ⑵.例3 讨论积分的敛散性 .例4判断积分的敛散性 .例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有，把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。
教学重点难点：反常积分敛散性的判别。
一无穷积分的性质⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:Th 积分收敛 .⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .二比较判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则 < , < ；, .例6判断积分的敛散性.推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 : ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时, . ( 证 )推论2 （Cauchy判敛法）: (以为比较对象, 即取.以下> 0 )设对任何>, , 且, < ；若且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间可积的正值函数. 且. 则ⅰ> < ；ⅱ> . ( 证 )例7讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ>三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:1.Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.2.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，.则积分收敛.例8 讨论无穷积分与的敛散性.例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, , .例10 ( 乘积不可积的例 ) 设, 。
数学分析(下)11-1反常积分概念
§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件在讨论定积分时有两个最基本的条件：：积分区积分区间间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题第二宇宙速度问题））在地球表面垂直发射火的有穷性; 被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0至少要多大至少要多大？？于是流完一桶水所需时间为二、两类反常积分的定义区间[a, u ]上可积. 若存在极限lim()d ,uau f x x J ®+¥=ò则称此极限J 为函数 f 在上的无穷限无穷限反反[)¥+,a ()d ,aJ f x x +¥=ò()d ,af x x +¥ò并称收敛()d .af x x +¥ò否则称发散定义1设函数f 定义在[a, +¥)上, 且在任何有限常积分(简称无穷积分),记作类似定义()d lim()d ,bbuu f x x f x x -¥®-¥=òò()d ()d ()d .a af x x f x x f x x +¥+¥-¥-¥=+òòò).a -¥+¥其中是(，内任意一点域内无内无界界, 但在任何内闭区间[u ,b ] 上有界且可积. 如果存果存在极限在极限lim ()d ,buu af x x J +®=ò定义2 设函数f 定义在(a , b ] 上, 在a 的任意右邻则称此极限为无界函数 f 在(a , b ] 上的反常积分, ()d ,baJ f x x =ò()d baf x x 则称发散.ò()d ba f x x 并称收敛.òlim ()d ,buu a f x x 若极限不存在+®ò类似定义瑕点为b 时的瑕积分()d lim ()d .buaau bf x x f x x -®=òò()d ba f x x 又称为瑕积分,ò通常称a 为f 的瑕点.记作其中f 在[a , b ) 有定义, 在b 的任一左邻域内无界, ()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+òòòlim ()d lim ()d .u bavu cv cf x x f x x -+®®=+òò若f 的瑕点, 定义(,)c a b Î()d ()d ,()d cbbacaf x x f x x f x xòòò若和都收敛则称.收敛[,][,]a u a b Ì在任何上可积.d x+¥1茨公式写作11æö是否必有lim ()0?x f x ®+¥=2.()[,)f x a +¥在上非负连续, ,0)(lim =+¥®x f x 是否可推得()d a f x x +¥ò收敛?3.()[,)f x a +¥在上定义, 且.)(lim A x f x =+¥®复习思考题()d 0?af x x A +¥=ò当收敛时,是否必有1.()[,)f x a +¥在上非负连续, 且收敛, ()d a f x x +¥ò作业P276：1（1）、（3）、（5）、（7）2（2）、（4）、（6）、（8）。
含参量反常积分
contents
目录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的计算 • 含参量反常积分在数学物理中的应用 • 总结与展望
01 反常积分简介
反常积分的定义
反常积分分为两种：无穷积分和瑕积 分。无穷积分是指积分区间为无穷的 积分，而瑕积分是指被积函数在积分 区间内存在无界点的积分。
含参量反常积分是反常积分的一种， 其中包含一个或多个参数，这些参数 在积分的计算过程中起到关键作用。
反常积分的性质
反常积分具有连续性、可微性和可积性等性质。连续性是指反常积分的结果是一个连续函数；可微性 是指反常积分的结果是可微的；可积性是指反常积分的结果是有限的。
含参量反常积分在参数变化时，其性质也会发生变化，如从瑕积分变为正常积分，或者从收敛变为发 散。
含参量反常积分在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。通过含参量反常积分，可 以解决许多实际问题中的积分计算问题。
展望
理论发展
应用拓展
计算方法的改进
随着数学理论的不断发展和完善， 含参量反常积分理论也将得到进 一步深化和完善。未来，含参量 反常积分理论可能会在更广泛的 领域得到应用和发展。
变量替换法
利用变量替换技巧，将含参量反常积分转化为容易计算的形式，再 进行积分计算。
计算步骤
确定积分上下限
根据题目要求，确定反常积分的积分上下限。
确定被积函数
根据题目要求，确定反常积分的被积函数。
计算积分值
根据计算方法，计算出含参量反常积分的值。
计算实例
要点一
计算 $int_{0}^{1} frac{1}{x…
04 含参量反常积分在数学物 理中的应用
在数学物理中的重要性
《数学分析》第十一章反常积分
《数学分析》第十一章反常积分首先，我们来讨论无界函数的积分。
对于一个在区间[a,b)上定义的无界函数f(x)，其积分可以表示为：∫f(x)dx = lim(ξ→b-)∫f(x)dx，其中ξ是趋于b的数列。
这种积分的定义方式是将区间[a,b)划分为有限多个子区间并对每个子区间的积分进行求和，然后再取极限。
如果极限存在且有限，则称该反常积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则称该反常积分发散。
接下来，我们来讨论无界区间上的积分。
对于一个定义在区间(-∞,a)或(a,∞)上的无界函数f(x)，其积分可以表示为：∫f(x)dx = lim(ξ→±∞)∫f(x)dx，其中ξ是趋于±∞的数列。
这种积分的定义方式与上述无界函数的积分类似，即将区间划分为有限多个子区间并对每个子区间的积分进行求和，然后取极限。
同样地，如果极限存在且有限，则该反常积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则该反常积分发散。
在讨论反常积分时，还需考虑奇点的分类。
奇点是指函数在一些点上不满足积分条件的情况。
常见的奇点包括无界点、端点以及间断点。
对于无界点，通常情况下我们可以通过取极限的方式来处理；而对于端点，需要分别对两个方向上的积分进行讨论，并判断两个反常积分是否收敛；对于间断点，要分别对间断点左、右两侧的积分进行求和，并判断两个反常积分是否收敛。
在实际应用中，我们常常需要计算一些函数的反常积分，比如Gaussian函数的积分、Beta函数的积分等。
这些积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在计算这些积分时，我们可以利用换元法、分部积分法等积分技巧来简化计算过程，并帮助判断反常积分的收敛性。
总之，反常积分是对于不满足黎曼积分条件的函数取极限得到的积分。
本章介绍了无界函数的积分、无界区间上的积分以及奇点的分类等内容。
通过学习本章的内容，我们能够更好地理解和应用反常积分的概念和方法。
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q
1，使得
f
(x)
(x
N a)q
(a
x
b),
则广义积分 b f ( x)dx 发散. a
定理７(极限审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间 (a,b] 上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .
xa0
如果存在常数0 q 1，使得 lim ( x a)q f ( x) xa0 存在, 则广义积分 b f ( x)dx 收敛； a
收敛.
a
a
a
定义
满足定理5条件的广义积分
a
f
( x)dx
称为绝对收敛.
绝对收敛的广义积分
f
(
x)dx
必定收敛．
a
例5 判别广义积分 eax sin bxdx (a,b 都是 0
常数a 0) 的收敛性.
解 eax siax sin bx dx 收敛. 所以所给广义积分收敛. 0
根据比较审敛法１，
广义积分 dx 收敛. 1 3 x4 1
定理4 (极限审敛法１) 设函数 f ( x) 在区间[a,)
(a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 p 1，
使得 lim x p f ( x) 存在，则
f
(
x
)dx
收敛
；
x
a
如果 lim xf ( x) d 0 (或 lim xf ( x) ), 则
二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间(a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
常数
M
0及
q
1，使得
f
(x)
M ( x a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0及
三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛
．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
1
lim ( x 1)
x 1 0
ln x
1
lim
x 1 0
1
1 0,
x
根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
1
sin
例7 判别广义积分 3 xdx 的收敛性. 1x
1
解
sin x
1 ,而
1 dx 收敛，
x
x ０x
根据比较审敛原理,
1 sin
1 x dx 收敛，
0x
1 sin
从而 1 xdx 也收敛． 0x
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
定理5 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
如果
f ( x) dx 收敛；则
f
(
x
)dx
也收敛．
a
a
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
由定理１知
f
(
x
)dx
收
敛．
a
如果 0 g( x) f ( x), 且
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
a
a
即
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx.
g(
x
)dx发散,
a
则
f
(
x
)dx
必定
发
散.
a
如果
f
(
x
)dx
收
敛，
由第
一
部分
知
a
g(
x
)dx
也收
，这与
假设
矛盾．
a
例如，广义积分
a
dx xp
(a
当 0)当
p P
1时收敛； 1时发散．
定理3 (比较审敛法１) 设函数 f ( x) 在区间
[a,) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果
定理2 (比较审敛原理) 设函数 f ( x)、g( x) 在
区间[a,) 上连续，如果0 f ( x) g( x) (a
x ),并且
g
(
x
)dx
收敛
，则
f ( x)dx
a
a
也收敛；如果0 g( x) f ( x) (a x ),并
且
g(
x
)dx
发
散，
则
f
(
x)dx
也发散．
x
x
f
(
x
)dx
发
散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
例３
判别广义积分
1
x3 1
/2
x
2
dx
的收
敛性.
解
lim
x
x
x3/2 1 x2
lim x2 x1
x x2
,
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x1s ,
而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
(2)
lim
x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
(s)
根据极限审敛法1, I2 也收敛.
如果存在常数q 1，使得 lim ( x a)q f ( x) xa0
d 0 (或 lim ( x a)q f ( x) ), 则广义积 xa0
分 b f ( x)dx 发散． a
例6 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x
解 被积函数在点 x 1的左邻域内无界．
由洛必达法则知
存在常数 M
0及
p
1，使得
f (x)
M xp
(a
x
),则
a
f
( x)dx收敛；如果存在
常数 N 0 ，使得 f ( x) N (a x )， x
则
a
f
( x)dx
发散．
例１ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 3 x4 1
解
0
3
1 x4 1
3
1 x4
1 x4/
3
,
p 4 1, 3