反常积分的收敛判别法

反常积分的收敛判别法

阿文

摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.

关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法

引 言

一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.

一 非负函数反常积分的收敛判别法

1.比较判别法

设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则

（1） 当⎰

+∞a

dx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；

（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.

2.Cauchy 判别法

设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，

（1）若p x

K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p x

x f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法

1.Abel 判别法

dx x f a ⎰

+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；

2.Dirichlet 判别法

F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞

收敛.

三 无界函数反常积分的收敛判别法

1.Cauchy 判别法

设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)

()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p

x b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法

⎰b

a dx x f )(收敛，)(x g 在),[

b a 上单调有界，则⎰b

a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法

⎰

-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰b

a dx x g x f )()(收敛.

总 结

函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.

熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.

参考文献

[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.