应用基本不等式求最值教案资料
高考基本不等式求最值教案
高考基本不等式求最值教案一、教学目标1.理解基本不等式的定义和性质。
2.熟练掌握常见的基本不等式及其证明方法。
3.学会灵活运用基本不等式求解最值的方法。
二、教学内容1.基本不等式的概念和性质。
2.常见的基本不等式及其证明方法。
3.利用基本不等式求解最值问题。
三、教学步骤第一步：导入新知1.通过举例子或是提问的方式，引发学生对不等式最值问题的思考。
2.提出问题：如何通过基础不等式求解最值问题？第二步：学习基本不等式的定义和性质1.讲解基本不等式的定义和性质。
2.写出常见的基本不等式的形式，并讲解其证明方法。
第三步：实例分析1.分析并讲解一些常见的基础不等式的实例。
2.引导学生思考如何通过基础不等式求解最值问题。
第四步：练习和巩固1.教师出示一些基础不等式的练习题，可以分组抢答或是个人作答。
2.针对不同的题型，提供不同的解题思路和方法。
第五步：拓展1.提供一些拓展题目，要求学生通过灵活运用基础不等式来求解最值问题。
2.鼓励学生多思考、多尝试，加强解题的技巧和策略。
第六步：总结与归纳1.和学生一起总结基本不等式的性质和求最值的方法。
2.强调对基础不等式的熟练掌握和灵活运用的重要性。
四、教学重难点1.教学重点：基本不等式的定义和性质。
2.教学难点：灵活运用基本不等式求解最值问题。
五、教学方法1.演示法：通过例子的演示，引导学生掌握基本不等式的性质和求解最值的方法。
2.提问法：通过提问的方式，激发学生的思考和解题的兴趣。
六、教学工具1.教学PPT。
2.黑板、粉笔。
七、教学评价1.教师可以通过观察学生的课堂表现和解题情况来进行评价。
2.学生可以通过课堂练习和作业完成情况来进行自我评价。
通过以上教学设计，学生可以在课堂上系统地学习和巩固基本不等式的概念、性质和求解最值的方法。
在教学过程中，充分发挥学生的主体性，通过提问和解题活动，激发学生的思考和兴趣，确保学生能够真正理解和掌握基本不等式的相关知识，并能够熟练运用解题技巧解决最值问题。
高中数学利用基本不等式求最值(一)教案
利用基本不等式求最值（一）【教学目标】知识与技能：2a b +≤≤会应用此不等式求某些函数的最值,理解“一正二定三取等”在解题中的应用，掌握一些简单的综合问题；过程与方法：结合具体问题，体会基本不等式的应用，并能在应用过程中发现和总结容易出现的错误，进而体会基本不等式与三角函数等知识的综合应用，真正理解和掌握基本不等式的应用条件；情感、态度与价值观：进一步提高反思和总结能力，体会解决数学问题过程中的严谨性和灵活性，培养学生的探究精神。
【教学重点】2a b +≤≤ 【教学难点】利用基本不等式求函数的最值【授课类型】：复习课【教学过程】一.知识回顾（1）基本不等式：22,,2()a b R a b ab a b ∈+≥=当且仅当时等号成立;,0,)a b a b a b >+≥=当且仅当时等号成立；如果b a ,)2a b a b +≤=当且仅当时等号成立 （2）基本不等式的常见变形和推广 ： ①2(,b a a b a b+≥同号） ② 2()4(,)a b ab a b R +≥∈ 二.基本不等式的简单应用形如(,b y ax a b x=+同号）例1 (1) 若0>x ,求9()4f x x x =+的最小值;（2）若0<x ,求9()4f x x x=+的最大值.变式题：（1）若2>x ，则421-+x x 的最小值为 _________（2的最小值为 _________（3）若2>x 则2332-+-x x x 的最小值为 _____ 若2<x 则2332-+-x x x 的最大值为 _____.总结：（12a b +≤≤取等（2）已知b a ,都是正数，则有：①如果积ab 是定值P ，那么当且仅当a b ==b a +有最小值p 2;②如果和b a +是定值S ，那么当且仅当2s a b ==时，积ab 有最大值24s （3）形如(,0b y ax a b x=+>）当0x y >≥=时，当且仅当x ；当0x y =<≤-当且仅当x 时，注意：等号取不到时就要利用双勾函数的单调性常值代换例2 （1）已知0,0>>y x 且281x y+=，求y x +的最小值； （2）若0,0>>y x 且22x y +=，求yx 21+的最小值. 变式题： （1）已知0,0>>y x 且082=-+xy y x ，求y x +的最小值；（2）已知)(2z k k x ∈≠π，求xx y 22cos 9sin 4+=的最小值. 总结：已知两个正数的倒数和为定值，求两个正数和的最值这类问题如果用常规的消元代换计算很是复杂，但是采用“1”的代换这个技巧，利用基本不等式大大降低了解题的难度，体现了基本不等式的价值。
基本不等式教学案
基本不等式赣榆县城头高级中学 刘家兴教学三维目标：1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.教学重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。
在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.一、基础梳理1、 基本不等式：如果a,b 是正数，a b 时取""=号 ）代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。
2、 常见变形： （1）ab 222a b + （2）222a b + 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）b a a b+ 2（,a b 同号且不为零） 3、算术平均数与几何平均数如果a ，b 是正数，我们称 为a ，b 的算术平均数，称 的a ，b 几何平均数.4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）问题：（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：已知0,0x y >>,则（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ；（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .二、课前热身1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）A. 22a b +B.C. 2abD. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若xx x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+x x x x 21的最小值是xx +∴ （2）2121,2=⋅≥+≥x x x x x 则 21,2的最小值是时xx x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+>a a a 三、课堂探究1、答疑解惑方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和应用。
2. 培养学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新思维和合作精神。
二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质。
2. 基本不等式在求最值问题中的应用。
3. 典型例题解析。
三、教学重点与难点1. 基本不等式的性质和推导。
2. 运用基本不等式求解最值问题的方法和技巧。
四、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段的不等式知识，引导学生回顾不等式的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 基本不等式的定义和性质：讲解基本不等式的定义，引导学生理解基本不等式的意义，并通过图形、实例等方式展示基本不等式的性质。
3. 基本不等式在求最值问题中的应用：讲解如何运用基本不等式解决最值问题，引导学生掌握解题思路和方法。
4. 典型例题解析：分析典型例题，引导学生运用基本不等式求解最值问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高运用基本不等式求解最值问题的能力。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对基本不等式定义和性质的理解。
2. 练习题：评估学生运用基本不等式求解最值问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在合作中的参与程度和创新思维。
教学课件和资料：1. 基本不等式的定义和性质PPT。
2. 基本不等式求最值问题案例PPT。
3. 典型例题解析PPT。
4. 课堂练习题PDF。
教学建议：1. 注重引导学生主动探究，培养学生的创新思维。
2. 加强课堂练习，及时巩固所学知识。
3. 鼓励学生参与小组讨论，提高合作能力。
4. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导。
六、教学策略1. 案例教学：通过具体案例的分析和讨论，使学生理解和掌握基本不等式的应用。
2. 问题驱动：设计一系列问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
3. 合作学习：组织学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
基本不等式求最值教案
【解析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
【例题4】注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。
【题干】求函数 的值域
【解析】令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
解析：： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当 时取等号。
【拔高】
已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
解析：令 ，
。 ，
课程小结
基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难
下面将x， 分别看成两个因式：
x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
【例题2】凑系数
【题干】当 时，求 的最大值
【解析】由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
当 ，即x＝2时取等号当x＝2时， 的最大值为8。
【例题3】分离
例1、设 求函数 的最大值.
例2、
变式1：将条件改为
变式2：去掉条件
变式3：将条件改为
例3、若正数 .
变式：求 的取值范围.
例4、已知 求 的最小值.
变式：已知 若 恒成立，求实数 的取值范围.
《基本不等式与最大值》 教学设计
《基本不等式与最大值》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解基本不等式的定义和形式。
掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标通过推导和证明基本不等式，培养学生的逻辑推理能力。
引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在数学学习中体验成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。
培养学生严谨的思维习惯和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点基本不等式的推导和证明。
运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点理解基本不等式中等号成立的条件。
运用基本不等式解决实际问题时条件的判断和转化。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些实际生活中的优化问题，如面积一定的矩形，怎样围周长最小；周长一定的矩形，怎样围面积最大等，引发学生的思考和兴趣，从而引出本节课的主题——基本不等式与最大值。
2、讲解基本不等式推导基本不等式：对于任意两个正实数 a，b，有\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
通过几何方法和代数方法进行推导，让学生理解其本质。
解释不等式的含义：让学生理解\（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）表示的是 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）表示的是 a，b 的几何平均数，并通过具体的数值例子加深理解。
3、探究基本不等式的应用求最值问题：给出一些简单的求最值问题，如求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（x ＞0）的最小值，引导学生运用基本不等式求解，并强调等号成立的条件。
条件判断：通过一些错误的运用案例，让学生讨论并指出错误的原因，强调运用基本不等式求最值时，一正、二定、三相等的条件缺一不可。
4、小组讨论与练习小组讨论：给出一些较为复杂的实际问题，如某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为 4800m³，深为 3m，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？让学生分组讨论，运用基本不等式解决问题。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料第一章：基本不等式概念及性质1.1 基本不等式的定义介绍基本不等式的概念，例如算术平均数不小于几何平均数（AM-GM不等式）通过具体例子让学生理解基本不等式的含义和应用1.2 基本不等式的性质讲解基本不等式的性质，如对称性、可加性、可乘性等通过示例展示基本不等式的性质在解决问题中的应用第二章：一元二次不等式的解法2.1 一元二次不等式的标准形式介绍一元二次不等式的标准形式，如ax^2 + bx + c > 0解释一元二次不等式的解与判别式的关系2.2 一元二次不等式的解法讲解一元二次不等式的解法，包括因式分解法、配方法、判别式法等通过例题展示一元二次不等式解法的应用第三章：分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义介绍分式不等式的概念，如a/x > b 或者(ax + b)(cx + d) > 0解释分式不等式的解与分母、分子的关系3.2 分式不等式的解法讲解分式不等式的解法，包括通分法、交叉相乘法、不等式转换法等通过例题展示分式不等式解法的应用第四章：绝对值不等式的解法4.1 绝对值不等式的定义介绍绝对值不等式的概念，如|x| > a 或者|x b| ≤c解释绝对值不等式的解与绝对值的关系4.2 绝对值不等式的解法讲解绝对值不等式的解法，包括绝对值性质法、分段法、图像法等通过例题展示绝对值不等式解法的应用第五章：不等式的应用与拓展5.1 不等式的应用介绍不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等通过具体例子展示不等式在解决问题中的应用5.2 不等式的拓展讲解不等式的拓展知识，如柯西不等式、赫尔德不等式等介绍不等式在高等数学中的应用和研究方向第六章：利用基本不等式求最值6.1 基本不等式求最值的基本步骤介绍利用基本不等式求最值的基本步骤：构造、变形、应用不等式通过具体例子让学生理解并掌握基本步骤6.2 基本不等式在求最值中的应用讲解基本不等式在求最值中的应用，如求函数的最值、求解不等式组的最解等通过例题展示基本不等式在求最值中的应用第七章：利用导数求最值7.1 导数与最值的关系介绍导数与最值的关系，如函数在某点取得最值的必要条件是导数为0解释利用导数求最值的基本思路和方法7.2 利用导数求最值的方法与步骤讲解利用导数求最值的方法与步骤，如求导数、找临界点、判断最值等通过例题展示利用导数求最值的方法与步骤第八章：利用函数性质求最值8.1 函数的单调性与最值介绍函数的单调性与最值的关系，如单调递增函数在定义域内取得最小值解释利用函数单调性求最值的基本思路和方法8.2 利用函数性质求最值的例子讲解利用函数性质求最值的例子，如利用函数的单调性、周期性、奇偶性等通过例题展示利用函数性质求最值的方法与步骤第九章：不等式求最值的综合应用9.1 不等式求最值的综合应用例子介绍不等式求最值的综合应用，如求解多元不等式组的最解、最值问题与实际问题的结合等通过具体例子展示不等式求最值的综合应用9.2 不等式求最值的综合应用技巧讲解不等式求最值的综合应用技巧，如合理运用不等式性质、转化思想等通过例题展示不等式求最值的综合应用技巧第十章：复习与拓展10.1 不等式求最值的复习通过练习题帮助学生巩固所学知识10.2 不等式求最值的拓展介绍不等式求最值的拓展知识，如不等式的推广、最值问题的研究现状等激发学生对不等式求最值问题的研究兴趣，引导学生进行深入探究重点和难点解析第六章：利用基本不等式求最值。
专题训练：基本不等式求最值(原卷版)公开课教案教学设计课件资料
专题训练：基本不等式求最值（原卷版）公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生掌握基本不等式的性质和运用，能够运用基本不等式求解最值问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 通过对基本不等式的学习，激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的团队协作和表达能力。
二、教学内容1. 基本不等式的概念和性质。
2. 基本不等式的运用，求解最值问题。
3. 典型例题解析和练习。
三、教学重点与难点1. 重点：基本不等式的概念和性质，基本不等式的运用。
2. 难点：如何灵活运用基本不等式求解实际问题，解决最值问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解基本不等式的概念和性质，引导学生理解并掌握基本不等式的运用。
2. 采用案例分析法，分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
3. 采用练习法，布置课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
1. 导入：通过生活中的实例，引入基本不等式的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解基本不等式的性质和运用，引导学生掌握基本不等式的求解方法。
3. 例题解析：分析典型例题，让学生通过实例学会解决最值问题。
4. 课堂练习：布置课堂练习，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调基本不等式的运用和解决实际问题的方法。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对基本不等式的理解和运用情况，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。
2. 课后作业：布置与本节课内容相关的课后作业，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握程度。
3. 学生互评：组织学生进行小组讨论，互相评价解题过程和结果，提高学生的团队协作和沟通能力。
七、教学反思1. 教师应在课后对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，不断优化教学方法，提高教学效果。
2. 学生应对自己的学习过程进行反思，找出自己在学习中的薄弱环节，调整学习方法，提高学习效率。
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（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y 时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
和定积最大，积定和最小
例4 设x, y为正实数，且2x 5y 20, 求 u lg x lg y 的最大值.
解：Q x 0, y 0, 2x 5y 2x 5y 10xy 2
Q 0 x 1,
log2 x 0.
5 log2 x log2 x 2
5.
f
x
2 log2
x
5 log2
x
2 ( log2
x
5 log2
) x
2
2
5.
当且仅当log2
x
5 log2
, x
即 x 2
5
时，等号成立.
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例3 函数 y x 1 (x 0) 的最小值为
2
2 2
ymin 3 2 2
辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方.
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
x
三相等
当且仅当 12 3x 即 x 2 时，等号成立. x
二、应用基本不等式求最值
例2 求函数
错解：
f
(x)
2 log2
x
5 log2
(0 x
x
1) 的范围.
f
x
2
log2
x
5 log2
x
2
2
log2
x 5 log2
x
22
5.
一不正, a 0,b 0时常用a b 2 ab
正解:
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值.
x2 4
三不等,常用单调性
正解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 1
x2 4 x2 4
x2 4
令 t x2 4, 则y t 1 (t 2) t
当 t
2,即
x
0 时,
ymin
5. 2
下面题中的解法正确吗？为什么？
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab
1 1
6.
9
正确解法
“1”代换法
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值.
ab
正确解法
10xy 10, xy 10. 当且仅当2x 5y时，等号成立.
2x2x5y5y20 解得：x 5, y 2.
u lg x lg y lg(xy) lg10 1.
例5 已知 y x 1 (x 0), 证明：y 2. x
证明：(1)当x 0时，y x 1 2, x
当且仅当x 1 ，即x 1时，等号成立. x
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值.
xy
正解： 1 1 2x y 2x y
xy x
y
“1”代换
3 y 2x 3 2 2
xy
法
当且仅当 y 2x 即 y 2x 时，等号成立. xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
2 2
1
(2)当x
0时，
x
0,
y
x
1 x
(x)
1 (x)
由(1)可知( x) 1 2,当且仅当x 1时等号成立. (x)
(
x)
1 (x)
2,即y
2.
二、应用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数值取到 = 号.
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1, 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
应用基本不等式求最值
江西师大附中 黄润华
一、复习回顾
基本不等式：
a,b R, a2 b2 2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
a 0,b 0, a b ab 2
(当且仅当a=b时取“=”
号)
2ab ab a b
ab
2
a2 b2 2
极值定理
已知 x, y 都是正数，
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2、已知x 3,求x 4 的最小值. x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立.
一正,二定,三相等
二、应用基本不等式求最值
例1 若x 0, f (x) 12 3x 的最小值为 12 ；
x
此时 x 2 .
若x 0, f (x) 12 3x 的最大值为 -12 ；
x
此时 x -2 .
一正
解：Q x 0
二定
f (x) 12 3x 2 12 3x 12
x
x 1
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值. x2 4
错解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 x2 4
x2 4
1
x2 4 2
当且仅当 x2 4 1 时，等号成立. x2 4
二、应用基本不等式求最值
x
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
解：1 2x y 2 2xy
xy 1 即 1 2 2
2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即 1 1 的最小值为4 2. xy
错因：解答中两次运用基本不等式中取“=”号过 渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错.
，此时x
.
x 1
解:
二不定,需变形
Q x 0, x 1 0.
y x 1 (x 1) 1 1 2 1 1.
1 x
1 x
当且仅当 x 1 1 即 x 0 时，等号成立. 1 x
练习 1. 求函数 f x (x 1)2 4 (x 1)的最小值.
x 1
2. 求函数 f x x2 3x 1 (x 1)的最小值.