基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式及其应用砀山中学郑永超2011.11.15高考命题趋势：基本不等式是每年地高考热点，主要考察命题地判定，不等式地证明以及 求最值问题.特别是求最值问题往往在基本不等式地使用条件上设置一些问题 . 考察学生恒等变形地能力，运用基本不等式地和与积转化作用地能力 .教学目标1 .知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式地“和”、“积”放缩 作用.会运用基本不等式解决相关地问题•2. 过程与方法通过师生互动、学生主动地探究过程，让学生体会研究数学问题地基本思 想方法，学会学习，学会探究•3. 情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生地信心，获得探索问题地成功情感体验 •逐步 养成学生严谨地科学态度及良好地思维习惯•重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式地条件 教学过程：一、 要点梳理1、基本不等式若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” 若a 、b € R f ；则号、.ab ，当且仅当a=b 时取“=”2、常用变形形式：① vab -_b $ ——a 0,b 0 ④ a 2 b 22 v 2 ②abb 2（a 、b 同号） a3、求最大值、最小值问题(1) 如果x 、y € (0,+ x ),且xy=p (定值)，那么当x=y 时，x+y 有.(2) 如果x 、y € (0,+ x ),且x+y=s (定值)，那么当x=y 时，xy 有.2ab a 2 b 2 概括为:例题精讲例1若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 地取值范围.1 9例2、已知x>0、y>0,且--1，求x+y 地最小值.x y 变式训练：设x >0, y >0,且2x + 8y = xy ,求x + y 地最小值练习：设 x>-1求函数 y x 5 x __2 地最值.x 1二、基础巩固11、 函数 f(x)=x+ 4(X>2),贝U f(x)有()x 2 A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-2 D. 最小值-22、 下列各式中最小值是2地是()2 ,-A. -B. -x -C.tan +cotD. 2x 2 xy x x 2 43、已知2a 为1-b 、1+b 地等比中项，贝U ab 地最大值是; a+b 地最大值是.2四、［考题印证］(1)［2010安徽卷］若a>0, b>0, a + b = 2,则下列不等式对一切满足条件地a ,b 恒成立地是________ 写出所有正确命题地编号①ab <1②需+丽国2:③a 2 + b 2>2④a 3+ b 3>3⑤寸+討2.⑵已知实数a , b , c 满足a + b + c = 1,贝U a 2+ b 2 + c 2, 1ab + bc + ca 、3地大小关系是 __________ .x(3) (2010 •山东高考)若对任意x>0, -7—< a 恒成立，则a 地取值范围x 十3—十1是 _________ ・五、小结 例3、已知a>0,求函数y x 2 a 1、x 2 a 地最小值.1、基本不等式及其常见变形形式；2、利用基本不等式地放缩作用求函数地最值，要特别注意使用地条件六、作业活页练习P242。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.3 基本不等式教案
基本不等式2a bab 上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．．基本不等式的变形公式： 2ab22(,)2a b a bR ； 2(,)bab a bR ；2()(,)2a baba bR 。
．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若0(i=1,2,…,n), 则1212nn na a a a a n(n>1,n例题序列题目涉及核心知识点设计意图1 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=________,4个直角三角形面积的和为S2=________,则S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a______b时,直角三角形变为________时,S1=S2.（2）已知0,0a b>>，求证：2a bab，你能解释2a bab+≤（,a b R+∈）的几何意义吗？师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师为什么？生因为不等式中的a、b∈R.师很好，我们来看一下代替后的结果.板书：abba≥+2即2baab+≤(a＞0,b＞0).本题涉及的内容及水平为：2.4.1B本题涉及的数学核心能力：数学表达能力师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解） 师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab ba ≥+2，① 只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）2 ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，A C=a,B C=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结A D、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）［合作探究］师同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生可证△A CD ∽△B CD,所以可得abCD=.生由射影定理也可得abCD=.师这两位同学回答得都很好，那ab与2ba+分别又有什么几何意义呢？生ab表示半弦长，2ba+表示半径长.师半径和半弦又有什么关系呢？生由半径大于半弦可得abba≥+2.师这位同学回答得是否很严密？本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2ba ab +≤ (a ＞0,b ＞0).课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？ 生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2ba ab +≤(a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式. （此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.[来源:]3问题1.已知x 、y 都是正数，求证： (1)2≥+yxx y ； 本题涉及的内容及水平为：13.1.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？ （思考两分钟） 生 不可以证明.师 是否可以用基本不等式证明呢？ 生 可以.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵x 、y都是正数，∴0＞yx，0＞x y .∴22=•≥+xyy x x y y x ，即2≥+x y y x .师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？ （齐声：完成） ［合作探究］师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？ （引导同学们积极思考）生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质. 师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·222y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到. （在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视） 师 在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证. (此时，老师用投影仪给出下列问题)问题3.求证：2)2(222b a b a +≤+. （此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2.不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2(b a +，即2)2(222b a b a +≤+. 师 下面同学都是用这种思路解答的吗？ 生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成. ［课堂练习］1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.[来源学科网]分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. ∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞0. ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab c, 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.4［合作探究］2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx ba b a y x . （老师先分析，再让学生完成）师 本题结论中，注意y x ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故本题涉及的内容及水平为：2.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力课堂小结师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求） 师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab ba ≥+证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题. (在教师引导下，学生积极参与下列证题过程) 生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）,∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx . ∴ax －ay ＋by －bx ＞0. ∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0. ∴（a －b ）（x －y ）＞0, 即a －b 与x －y 同号. ∴yx ba b a y x ----与均为正数. ∴22=--•--≥----yx ba b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当yx b a b a y x --=--时取“＝”). ∴2≥--+--yx ba b a y x . 师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“2ba +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤，2)2(b a ab +≤. 师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.2x (x>45x 的最大值且5x+7y=20 ,(4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求11x y的最小值.【解】答案：（1）y 的最小值为6（x=2）．（２）y 的最大值为２(x=1)．（３）xy 的最大值为720(x=2,y=710)． （4）11x y的最小值为223+ (221,12-=-=y x )． 32.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力 4 ：本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力。
沪教版高一数学上册《不等式的基本性质》说课稿
沪教版高一数学上册《不等式的基本性质》说课稿一、引入大家好，我是XX，今天我将向大家介绍沪教版高中数学《不等式的基本性质》这一部分的教学内容。
本节课主要讲述了不等式的概念和性质，通过学习，学生可以更深入地理解不等式的基本规律和解题方法，打下扎实的数学基础。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：•理解不等式的概念和符号表示；•掌握不等式的基本性质；•掌握不等式的运算性质；•运用不等式的基本性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点•不等式的概念和符号表示；•不等式的基本性质；•不等式的运算性质。
2. 教学难点•运用不等式的基本性质解决实际问题。
四、教学内容1. 不等式的概念和符号表示不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数之间的大小关系。
在不等式中，会用到一些特殊的符号来表示不同的关系，例如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
学生需要通过例题来理解这些符号的含义，并能够正确地进行运用。
2. 不等式的基本性质不等式有一些基本性质，了解这些性质对于后续的学习和解题是非常重要的。
这些基本性质包括：•不等式两边加减同一个数，不等号方向不变；•不等式两边乘除同一个正数，不等号方向不变；•不等式两边乘除同一个负数，不等号方向改变。
学生需要通过书本上的例题和练习题来加深对这些基本性质的理解，掌握正确的应用方法。
3. 不等式的运算性质不等式与等式一样，也具有乘法性质和加法性质。
但在运算中，需要注意不等式符号的改变问题。
例如，在两个不等式相加时，需要根据不等式的符号来确定结果的大小关系。
学生需要通过实际的例题来熟悉和掌握这些运算性质。
4. 运用不等式的基本性质解决实际问题不等式的基本性质在解决实际问题时起到关键作用。
本节课将通过一些实例，教导学生如何将实际问题转化为数学不等式，并通过解不等式来得到问题的解。
这部分内容较为抽象，需要学生进行多次的实践和思考。
五、教学方法•导入法：通过引入一个生活实例，并提出引发学生思考的问题，激发学生的兴趣，引起学生对不等式概念的思考；•形象法：通过图示不等式、图像分析等方式，直观地展示不等式的性质和特点，帮助学生更好地理解；•实践法：通过大量的例题和练习题，引导学生运用不等式的基本性质解决实际问题，加深对概念和性质的理解。
沪教版高一上册数学高一上册教案不等式的基本性质(1)
2.1不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。
渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。
三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。
在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。
而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。
二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a <b 的充分必要条件是a-b <0。
引出等式的性质： a=b ，b=c ⇒a=c ； a=b ⇒ac=bc ； a=b ，c=d ⇒a+c=b+d 。
1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论： 结论1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
结论2 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。
结论3 如果a >b ，那么ac >bc 。
[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。
利用举反例是证明命题错误的主要方法。
继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。
得出不等式的三个性质：性质1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。
性质2 如果a >b ，那么a+c >b+c 。
性质3 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc 。
高中数学论文：谈《基本不等式及其应用(一)》的教学 沪教版
谈《基本不等式及其应用（一）》的教学一、引言《基本不等式及其应用（一）》这节课要学会代两个公式：222,a b ab +≥2a b ab +≥。
看起来，这并不是很难的事。
但我在第一个班级上课的效果不太理想，上课学生听得懂，可课后作业不会做。
备课组的其他老师也有同样的感叹：“现在的学生怎么了，公式都不会代！”究其原因，主要有二：第一，以前学的公式基本上是恒等式。
而此处的公式是恒不等式，不仅要学生瞻前：关注公式中字母存在的条件；还要顾后：不等式中等号成立的条件。
就是说代这个公式要关注的问题比较多。
第二，不用这个公式，也能用过去熟悉的方法——做差比较法求解。
学生没有体会到代公式的方便，对新学的知识有潜在的排斥。
二、授课过程第二次上这节课时，我作了改进。
1．一见而钟情引入时提出问题：直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边与正方形的边长相等。
问：四个这样的直角三角形能否填满这个正方形？（图1、图2、图3）图2是我国古代用于证明勾股定理的弦图的一个局部，也是在我国召开的国际数学家大会的会标。
以弦图引入新课，让学生对基本不等式从形上加以认识，一见而钟情。
2．从哪里来，到哪里去在理解公式的过程中，让学生逐渐明白公式的来龙去脉。
（1）逐步展示图4中的内容，通过知识的梳理，让学生进一步明确基本不等式1和基本不等式2是怎么来的，可有哪些用处，怎么用基本不等式。
图中虚线为学生给出了用好基本不等式的方向――用不同的量代换公式中的字母,得到新的恒不等式。
（2）与学生讨论基本不等式1中“当且仅当a =b 时ba ba ba (图1) (图2) (图3)x 2≥0用a -b 代换x a 2+b 2≥2ab用|a|代换a用|b|代换b用a 代换a 用b 代换b等号成立”的含义。
问题：“当a =b 时等号成立”指的是什么？(222a b a b ab =⇒+=) “仅当a =b 时等号成立” 指的是什么？(222a b a b ab ≠⇒+>) “当且仅当a =b 时等号成立” 指的是什么？(222a b a b ab =⇔+=)此处把“当”和“仅当”分开提问，将难点分散，有助于学生对“等号成立条件”的理解。
沪教版(上海)数学高一上册-2.4.2 基本不等式及其应用 教学设计
师：今天由我来和大家共同学习两个基本不等式及其简单的应用，那么，在前一阶段我们已经学习了这样的一个不等式： ，当时是怎么得到的这个不等式呢？
生：
师：那么之前我们是利用它去证明其他不等式，今天我们就这个不等式本身进行更为细致的学习。首先，当 在什么范围的时候这个不等式才成立？
生：全体实数
因此本节课主要是要让学生理解并掌握基本不等式以及它的成立条件，并通过例题的学习，让学生初步学习用基本不等式去解决问题的方法。
鉴于此，本节课的教学重点确定为：
（1）掌握两个基本不等式；（2）通过数形结来自以及学科交叉，证明两个基本不等式；
（3）让学生初步体会如何将一些实际问题以及代数证明题转化成基本不等式的证明，以及掌握建立基本不等式模型解决实际问题的一般步骤。
（二）基本不等式二
师：基本不等式一中体现的是两个数的平方和和他们积的2倍的不等关系，但是，在现实生活中，两个数的平方和是不太常见的，更为常见的是两个数的和，因此就衍生了基本不等式一的兄弟版本——基本不等式二。我们先来看一下这样的几何图形:
由此得到 ，那有可能相等吗？（等腰直角三角形）有可能小于吗？（不可能）即
当且仅当 时等号成立
的最小值为3，此时 。
【小结】：如果积不是定值则和不一定在等号成立的条件下出现最小值，所以必须要满足正定等三条才可以。而积为定值可以有很多种不同的呈现形式：直接作为已知条件或者隐藏在要求最值的式子里甚至于需要进行更为复杂的变形
【变式】若 ，则 的最小值为________。 +
例三：(1)已知 都是正数，若 ，则 的最大值为_______。
【小结】：和为定值，积有最大值，和为定值也有很多不同的呈现形式。
课堂总结：
沪教版 高一上册数学2.4 基本不等式的应用 讲义 (无答案)
第八讲：基本不等式及其应用1 已知a b R +∈、，试比较2a b+ (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 取等号，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab②仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 取等号，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .2什么是基本不等式？（基本不等式又称为“均值．．不等式”或“均值定理．．．．”）并给出基本不等式的一个几何解释.设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．问3基本不等式有哪些推论？a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ) 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P42(简记：和定积最大)．3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.例1下列结论中，哪些错用了基本不等式，并指出错误依据：（1）,x y R ∈，则2x yy x+≥；（2）a 为正数，则1(1)(1)4a a++≥；（3）1||2||x x +≥；（422≥.例2已知0ab >，求证：2b aa b+≥.[思考]如果0ab <，结果又会是怎么样的？ 练习1（1）已知0m >，求证：62424m m+≥；（2）已知ab 为正数，比较211a b +. 例3 求证：当3x >时，473x x +≥-. 练习4已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值 （2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 练习2已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P42(简记：和定积最大)．课堂练习1. 若1ab =，则22__________a b +≥.2. 若221a b +=，则____________ab ≤≤____________.3. 若a b R +∈、，且1ab =，则_________a b +≥.4. 若2x >，当__________x =时，12x x +-有最小值____________. 5. 若2x >，当__________x =时，122x x +-有最小值____________.6. 有以下命题① 若a b R ∈、，则222a b ab +≥；② 若a b R ∈、，则a b +≥③ 若a b R +∈、，则222a b ab +≥；④ 若a b R +∈、，则a b +≥其中真命题个数为 （） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4. 7. 设0x y >>，则下列各式中正确的是（）A ．2x yx y +>>>； B ．2x yx y +>>>；C ．2x yx y +>>> D ．2x yx y +>>>.8. 设a b R ∈、且0ab ≠，有下面四个不等式其中恒成立的个数为 （）A ．4；B ．3；C ．2；D ．11.9. 若01x <<，01y <<，下列各式中，最大一个是（）A ．22x y +；B ．x y +；C ．2xy ；D ．.10.“任意两个同号的数的算数平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？ 11. 求函数1(0)y x x x=+>的值域. 12. 求函数223()(0)x x f x x x-+=>的最小值及取得最小值时x 的值. 13. 已知5x >，求9()45f x x x =+-的最小值. 知识点二利用基本不等式求最值1．掌握用基本不等式求函数最值的方法，会灵活地创造利用基本不等式的条件求最值； 2．熟练应用基本不等式解决一些简单的实际问题.问1（复习）试总结“重要不等式表” 知识点一 用基本不等式求最值例1若0x >，求1y x x=+的最小值.[思考]如果改成0x <呢？练习求函数223()(0)x x f x x x -+-=>的最大值，以及此时x 的值. 总结：（1）当0x >时，求函数()bf x ax x =+（,a b R +∈）的最小值；（2）当0x <时，求函数()bf x ax x=+（,a b R +∈）的最大值.例2 判断下列解法是否正确？（1）当0x ≠时，求函数1y x x=+的值域.（2）已知3a >，求3a a +-的最小值.解：3a > ，∴a ，43a -均为正实数.43a a ∴+≥-43a a =-，即4a =时，取得最小值8==. （3）求函数2y =的最小值.[构造利用基本不等式的条件] 例3（1）已知12x >，求代数式121x x +-（12x >）的最小值；（2）已知()(22)(01)f x x x x =-<<，求()f x 的最大值.练习（1）已知1x >-，求代数式821x x ++的最小值；（2）已知102x <<，求函数(12)y x x =-的最大值.例4 设0a ≥，0b ≥，2212b a +=，求.练习（1）已知0a b >、，且1a b +=的最大值.（2）求函数y =.例5 求函数2(0)1xy x x x =>++的最大值.练习求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 练习 求下列各式的取值范围：（1）24(1)1x x x x -+>-；（2）233(2)2x x x x -+>-. 规律总结形如2()(0,0)ax bx c f x m a mx n++=≠≠+或者2()(0,0)mx ng x m a ax bx c +=≠≠++的函数，求最值的方法：例6 求函数25y x =+的最大值.例7（1）一个矩形的面积为1002m .问这个矩形的长，宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m .问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 练习求证：（1）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大； （2）在面积相等的矩形中，正方形的周长最短；例8围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x （米），围墙总费用为y （元） （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.课堂练习1. 已知：a b R ∈、，2a b +=，则221,,2a b ab +的大小关系为____________________.2.已知：0x y <<，1x y +=，将221,2,,,2x y xy x y +从小到大排列____________________.3. 若0x >，____________，此时__________x =.4. 已知0x <时，则29x x+有最__________值，是__________，此时__________x =.5. 已知02x <<，则(42)x x -有最__________值，是__________，此时__________x =.6. 已知1x ≠-，则代数式21x x +的取值范围是_______________.7. 2()f x =的最小值是（）A ．4；B ．2；C ．k ；D ．不能确定. 8.已知a b R +∈、，且4a b +=，则下列各式中恒成立．．．的是（）A ．112ab ≥； B ．111a b+≥； C 2≥；D ．221116a b ≤+.9. 有以下三个代数式其最小值为2的代数式个数为（）A ．0；B ．1；C ．2；D ．3.10.（1）已知：a b R +∈、，()1ab a b -+=，求a b +的最小值；（2）已知正数a b 、满足3ab a b =++，求ab 的取值范围.11. 已知：a b R ∈、，221a b +=，求ab 及a b +的取值范围.12. 当6a b +=时，22a b +是否有最大值或最小值？如果有，求这个最大值或最小值及相应的a 与b 的值.13. 建造一个容积为83m ，深为2m 的长方形无盖水池，如池底与池壁每平方米造价分别为120元和80元，求水池的最低造价.知识点一 “1”的代换与基本不等式例1（1）已知0x >，0y >，且21x y +=，求11x y+的最小值；（2）已知0x >，0y >，且111x y+=，求2x y +的最小值.练习（1）若0x >，0y >，且281x y+=，求x y +的最小值； （2）若0x >，0y >，且281x y+=，求xy 的最小值； （3）若a b c R +∈、、，且1a b c ++=，求111a b c++的最小值.练习 若01x <<，求111x x+-的最小值.知识点二 不等式的证明与基本不等式例2求证：对任意实数a b c 、、，有222a b c ab bc ca ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号成立. 例3（1）已知：,,a b c R +∈，求证：444()a b c abc a b c ++≥++；（2）已知：,,a b c R ∈，44444a b c d abcd +++≥（3）已知：,,a b c R +∈)a b c ++.练习（1）已知：,,a b c R +∈，求证：bc ac ab a b c a b c++≥++；（2）已知：,,a b c R +∈，且1a b c ++=（3）已知,,0a b c >，求证：111111222a b c a b b c c a++≥+++++. [若干个互相不独立的基本不等式同时出现时，等号能否同时取到的问题]例4 已知0a >，0b >，且1a b +=，求证：11(1)(1)9a b ++≥.例5 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值.练习已知,a b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.[基本不等式组]例6 已知a ，b ∈R +，试比较下列四个数的大小，并给出证明： 课堂练习1. 已知：,a b R +∈，21a b +=，求11a b +的最小值. 2. 已知：,0a b >，求证：11()()4a b a b ++≥.3.已知,a b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.4. 已知：,0a b >，求证：a b++≥5. 已知：0a >，0b >，1a b +=，求证：()()ax by ay bx xy ++≥.作业6. 设,,a b c R +∈，求证：222(1)(1)(1)8a b c abc +++≥.7. 已知：1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 8. 已知：,,a b c R +∈，求证：6b c a c a ba b c+++++≥. 14.设计一副宣传画，要求画面面积为48402cm ，画面的宽与高的比为(1)a a <，画面的上下各留出8cm 的空白，左右各留5cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ 15.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增.问这种生产设备最多使用多少年报废最合算？(即使用多少年的平均费用最少？) 14. 求函数42(0)y x x x=-->的最大值以及相应的x 的值. 15. （1）把49写成两个正数的积．，当这两个正数各取何值时，它们的和．最小？ （2）把36写成两个正数的和．，当这两个正数各取何值时，它们的积．最小？ 16.若直角三角形面积为24cm ，求此三角形周长最小值.。
高中数学高一第一学期2.4基本不等式及其应用_教案1-沪教版
基本不等式及其应用【教学目标】1．通过集体讨论发现容易出现的问题，师生共同探究弄清两个基本不等式的应用及其等号成立的条件；2．在集体探究过程中，培养学生分类讨论思想、代换思想等；3．通过一题多解培养学生的发展性思维。
【教学重点】1．基本不等式的应用；2．不等式等号成立条件【教学过程】一、创设问题情景已知面积为2的矩形ABCD 的边长为y x ,，求矩形ABCD 的对角线AC 长的取值范围。
——引出基本不等式的应用。
基本不等式1：对于任意实数b a ,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
基本不等式2：对于任意正数b a ,，有ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。
基本不等式揭示了两数和)(b a +，两数积)(ab ，两数平方和)(22b a +之间的不等关系。
二、问题探究问题一：（1）已知R y x ∈,，且2-=xy ，求22y x +的取值范围。
（2）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求xy 的取值范围。
问题二：已知0,>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值。
三、课堂小结1．利用基本不等式——注意等号成立的条件；2．思考问题时体现数学思想——分类讨论思想、代换思想等。
【作业布置】1．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。
2．已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。
3．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。
4．已知0,>y x ，且211=+yx ，求y x 2+的最小值。
5．已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。
6．（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。
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基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。
特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。
考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。
教学目标
1. 知识与技能
理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。
会运用基本不等式解决相关的问题。
2. 过程与方法
通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。
3. 情感态度与价值观
鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程：
一、 要点梳理
1、基本不等式
若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=”
b 2（a 、b 同号） a
3、求最大值、最小值问题
(1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________
(2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲
例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9
例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值
x y
2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式：
宁,ab ，当且仅当a=b 时取
■- ab
2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2
2 概括为:
变式训练：设x >0, y >0,且2x + 8y = xy ，求x + y 的最小值
2 1
x a 」的最小值。
\ x 2 a
x 5 x 2 切
的最值。
①ab w 1;②.a + b w 』2；③a + b 》2；④a + b 》3;⑤占+ b 》2. (2)已知实数 a , b , c 满足 a + b + c = 1,则 a 2+ b 2 + c 2,
1
ab + bc + ca 、3的大小关系是
x
(3) (2010 •山东高考)若对任意x>0, x 2+ 3x +〔 w a 恒成立，则a 的取值范围 是 _________ •
五、 小结
1、 基本不等式及其常见变形形式；
2、 利用基本不等式的放缩作用求函数的最值，要特别注意使用的条件。
六、 作业
活页练习P242 例3、已知a>0,求函数
练习：设x>-1求函数y
三、基础巩固 1、函数 f(x)=x+
1 ^~
2 B.最小值0 4(x>2), 则f(x)有() A.最大值0 2、下列各式中最小值是2的是
x 2 5
.x 2 C. 最大值-2 D. 最小值-2
() A . x y B . y x
x 2 4 3、已知2a 为1-b 、1+b 的等比中项，贝U a+ b 的最大值是
2
四、［考题印证］
(1)［2010 •安徽卷］
若a>0, b>0, a + b = 2，则下列不等式对一切满足条件的
a ,
b 恒成立的是
_______ (写出所有正确命题的编旦
+cot D. 2x 2 x ab 的最大值是。