必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案

§3.1不等式与不等关系
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。

【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。

如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：
40v ≤
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2.5%2.3%
f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售
量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1
x x --
⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1
x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。

按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。

根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。

2、课本P74的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。

5.作业
课本P75习题3.1[A 组]第4、5题
(第2课时)
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若a b a c b c >⇒±>±
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若,0a b c ac bc >>⇒>
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b ＋c)
＝a －b ＞0，
∴a＋c ＞b ＋c
2）()()0a c b c a b +-+=->，
∴a c b c +>+．
实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a＞b ，b ＞c ，
∴a－b ＞0，b －c ＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a －b)＋(b －c)＞0，
即a －c ＞0，
∴a＞c ．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）,a b b c a c >>⇒>
（2）a b a c b c >⇒+>+
（3）,0a b c ac bc >>⇒>
（4）,0a b c ac bc ><⇒<
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；
（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；
（3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>
证明：
1）∵a＞b ，
∴a＋c ＞b ＋c ．
① ∵c＞d ，
∴b＋c ＞b ＋d ．
②
由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．
2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭
⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 3）反证法）假设n n b a ≤，
则：若a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．
[范例讲解]：
例1、已知0,0,a b c >><求证
c c a b
>。

证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab
>。

于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a
> 由c<0 ，得c c a b > 3.随堂练习1
1、课本P74的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（3＋2）2 ６＋26；
（2）（3－2）2 （6－1）2；
（3
； (4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之
后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。

根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：由题意可知：
（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）
＝（a 2－2a －1５）－（a 2
－2a －８）
＝－７＜0
∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）
随堂练习2
1、 比较大小：
（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2
（2）2256259x x x x ++++与
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5. 作业
课本P75习题3.1[A 组]第2、3题；[B 组]第1题。