高三数学微专题--数列与不等式
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)数列与不等式结合的问题在数学中，数列和不等式是常见的概念。
数列是按照一定规律排列的数的序列，而不等式是数与数之间的大小关系。
本文将探讨数列与不等式结合的问题，并给出相关解析。
一、等差数列与不等式等差数列是一种数列，其中相邻项之间的差值都相同。
一般表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
在等差数列中，不等式也起到重要作用。
在等差数列an = a1 + (n-1)d中，假设首项为a1，公差为d，项数为n，若满足a1 < an，即首项小于末项，那么根据等差数列的性质可知，d > 0。
反之，若a1 > an，则d < 0。
二、等比数列与不等式等比数列是一种数列，其中相邻项之间的比值都相同。
一般表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
在等比数列中，不等式也有其独特的应用。
在等比数列an = a1 * r^(n-1)中，假设首项为a1，公比为r，项数为n，若满足a1 < an，则根据等比数列的性质可知，r > 1。
反之，若a1 > an，则r < 1。
三、综合运用数列和不等式在实际问题中，数列和不等式可以结合起来，解决更为复杂的数学难题。
下面以一个具体的例子来说明。
【例】已知数列an满足an = 2^n - 1，求n满足不等式an > 1000。
解析：首先，根据已知条件an = 2^n - 1，我们可列出部分项如下：a1 = 2^1 - 1 = 1a2 = 2^2 - 1 = 3a3 = 2^3 - 1 = 7a4 = 2^4 - 1 = 15...我们发现随着n的增大，an的值呈指数增长。
接下来，我们需要找到满足an > 1000的n。
我们尝试逐项计算，直至找到满足条件的n。
当n = 1时，a1 = 1，不满足条件；当n = 2时，a2 = 3，不满足条件；当n = 3时，a3 = 7，不满足条件；当n = 4时，a4 = 15，不满足条件；...随着n的增大，我们发现在n = 10时，a10 = 1023，刚好满足条件an > 1000。
高三数学复习专题四数列与不等式
高三数学专题四 （数列与不等式）第一讲 递推公式与通项公式数列是高中数学很重要的内容之一，是高考的热点和重点。
数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推公式的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点。
类型1（已归纳常见题型） （1）1()n n a a f n +=+； （2）1()n n a a f n +=⋅； （3）1n n a pa q +=+； （4）1n n n a pa r q +=+⋅；（5）1n n n a pa r p +=+⋅; （6）1()()r n n a q p a q ++=⋅+； （7）21(1)n n n a a ua u λλ++=++=类型2：1()()()nn n f n a ag n a n n +=+这种类型一般是等式两取倒数后转化为类型（3）例1．已知数列{n a }满足132a =，且113(2)21n nn na a n a n --=+-≥，求数列{n a }的通项公式.【解析】由已知，得112133n n n a n na --=+， 即1112(2)33n n n n n a a --=⋅+≥.设111()(2)3n n n n n a a λλ--+=+≥， 则1112(2)33n n n n n a a λ--=⋅-≥， ∴1λ=-，∴{1n n a -}是首项为13-，公比为13的等比数列， ∴1111()33n n n a --=-⋅. 解得11()3nnn a =-.类型3：周期型这种类型与函数的周期性相类似，应推导对任意*n N ∈有*()n k n a a k N +=∈，则k 为数列的周期.例2．已知数列{n a }满足10a =，*1)n an N +∈，则20a ＝（ ）A ．0B ．CD【解析】选B. ∵10a =，2a ==3a 40a ，……至此可知：数列{n a }的各项的值依次为0，，0，0，……周而复始.∵2036÷=余2 ∴202a a ==类型4：1n n n pa q ara s++=+这种类型一般通过构造方程，利用“不动点”知识处理. 例3．已知数列{n a }满足17a =-，1261n n n a aa ++=+，求数列{na }的通项公式.【解析】设方程261x x x +=+，则2603x x x --=⇒=或2x =-∴1133n n n a aa ++-+-=， 14821n n n a a a +++=+ 两式相除，得：11331()242n n n n a a a a ++--=-++令32n n n a b a -=+，则114n n b b +=-，111322a b a -==+ ∴11112()4n n n b b q x --==-∴1111114()33143(4)42()124(4)212()4n n n n n n n n a a a -----⨯-+-+⨯-=⨯-⇒==+---⨯- 类型5：1n n a a pn q ++=+或1n n n a a p q +=⋅这种类型一般可转化为{21n a -}与{2n a }是等差或等比数列求解. 例4．（1）在数列{n a }中，11a =，16n n a n a +=-，求n a ; （2）在数列{n a }中，11a =，13n n n a a +=，求n a .【解析】（1）∵16n n a a n ++=，∴126(1)n n a a n +++=+， 两式相减，得26n n a a +-=.∴{21n a -}与{2n a }均为公差为6的等差数列，易求得 {323 1 n n n a n n -=- （为奇数）（为偶数）（2）类似（1）的方法易求 12233 n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩ （为奇数）（为偶数）.类型6：归纳猜想法例5．设数列{n a }的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1,2,3,n =⋅⋅⋅.（1）求1a ，2a ； （2）求{n a }的通项公式.【解析】（1）当1n =时，2110x a x a --=有一根为1111S a -=-，于是21111(1)(1)0a a a a ----=.解得112a =.当2n =时，2220x a x a --=有一根为22112S a -=-，于是2222211()()022a a a a ----=，解得216a =.（2）由题设2(1)(1)0n n n n S a S a ----=， 即2210n n n n S S a S -+-=.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，代入上式得：1210n n n S S S --+= （*）由（1）知1112S a ==. 212112263S a a =+=+=.由（*）可得334S =.由此猜想1nn S n =+，1,2,3,n =⋅⋅⋅.下面用数学归纳法证明这个结论. ①1n =时已知结论成立.②假设n k =时结论成立，即1k k S k =+.当1n k =+时，则（*）得112k kSS +=-.即112k k S k ++=+. 故1n k =+时结论也成立.综上，由①、②可知1n n S n =+对所有正整数n 都成立.于是当2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++.又当1n =时，111212a ==⨯，所以{n a }的通项*1()(1)na n N n n =∈+. 练习：1．已知数列{n a }中，114a =，1332n n a a +=+，则使20n n a a +<成立的n 是（ D ）A ．21或22B ．22或23C ．22D ．212．若数列{n a }中，13a =，且对任意的正整数m 、n 者有m n m n a a a +=，则n a 等于（ C ）A ．13n - B ．123n -⨯ C ．3nD ．33．给定正整数n （2n ≥）按下图方式构成三角 形数表：第一行依次写上数1，2，3，……，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少1个数）， 依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数，例如 n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2009时最后一行的 数是（ C ）A ．251×22009B ．251×22008C ．2010×22007D ．2009×22007 4．数列{n a }满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧<⎪=⎨⎪-<⎩ ≤ ≤若167a =，则20a 的值是 . 575．设数列{n a }的前n 项和14122,1,2,3,333n n nS a n +=-⨯+=⋅⋅⋅.求数列{n a }的通项公式. （42n n n a =-） 6．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对任意的,x y 有()()()f xy f x f y =+且f 12=；定义数列{n a }满足：125a a ==，11()()1(2,)n n n f a a f a n n N +--=+∈≥，若{1n n a a λ++}为等比数列.（1）求λ的所有值及{n a }的通项公式； （2）当k 为奇数时，求证：111143k k k a a +++<； （3）求证：1211112n a a a ++⋅⋅⋅+<.（23,λλ==-或 3(2)n n n a =--）第二讲 数列的通项与前n 项和（教师用）例1．设正项等比数列{n a }的首项112a =，前n 项和为n S ，且10103020102(21)0S S S -++=.（1）求{n a }的通项；（2）求{n nS }的前n 项和T en .【解析】（1）由10103020102(21)0S S S -++=，得10302020102()S S S S -=-，即102122301112202()a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，得10101112201112202()q a a a a a a ⋅++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+， 因为0n a >，所以101021q =，解得12q =， 因而111(1,2,)2n n n a a q n -===⋅⋅⋅.（2）因为{n a }是首项112a =，公比12q =的等比数列，故11(1)12211212n n nS -==--，2n n n nS n =-. 则数列{n nS }的前n 项和212(12)()222nn n T n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ①2311121(12)()222222n n n T n nn +-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++ ②11248 6420 28 368 12 16 203 5 7 9 11 12 3456①－②得：1111(1)1111(1)22(12)()12222224212n n n n n n T n n n n n ++-+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=-+-，. 即1(1)12222n n n n n nT -+=++- 例2．已知数列{n a }满足：11a =，22a =，22[3(1)]2[(1)1]n n n n a a +=+----，*n N ∈. （1）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列{n a }的通项公式；（2）设212n n n b a a -=⋅，求数列{n b }的前n 项和n S .【思路点拔】（1）先令1,2,3,4n =，再讨论n 的奇偶.（2）用错位相减法. 【解析】（1）33a =，44a =，55a =，68a =， 当n 为奇数时，2224n n a a +=+， ∴22n n a a +=+，∴1a ，3a ，5a ，7a ，…是公差为2的等差数列， ∴n a n =. 当n 为偶数时，224n n a a +=，∴22n a a +=，∴2a ，4a ，6a ，8a ，…是公比为2的等比数列，∴122222n nn a a -=⋅=.∴数列{n a }的通项公式为2,2,n nn n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数. （2）212(21)2n n n n b a a n -=⋅=-⋅，∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， 两式相减，得：2312222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⋅3112(12)2(21)212n n n -+-=+---=1(32)26n n +-⋅-，∴1(23)26n n S n +=-⋅+.例3．数列{n a }满足11a =且11816250(1)n n n n a a a a n ++-++=≥，记1(1)12nn b n a =-≥.（1）求1b 、2b 、3b 、4b 的值；（2）求数列{n b }的通项公式及数列{n n a b }的前n 项和S n【解析】方法一：（1）由112nn b a =-，得：112nn a b =+，代入递推关系式11816250n n n n a a a a ++-++=，整理得114630n n n n b b b b ++-+=，即1423n n b b +=-，由11a =，得12b =，所以283b =，34b =，4203b =.（2）由1423n n b b +=-，1442()33n n b b +-=-， 142033b -=≠，所以{43n b -}是首项为23，公比2q =的等比数列，故41233n n b -=⋅，即142(1)33n nb n =⋅+≥.由112nn b a =-， 得112n n na b b =+，故1122121(12)1513()(251)21233n n n n n n S a b a b a b b b b n n n -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=+=+--.方法二：∵125816n n n a aa +--=- 设方程：25816x x x --=-，则21814502x x x -+=⇒=或54x =∴16312816n n n a a a +-+-=-，1121554816n n n a a a +-+-=-， 两式相除得111112255244n n n n a a a a ++--=⋅--令：1254n n n a c a -=-，则：112n n c c +=，11112254a c a -==--∴1211()2n n n c c q --=⋅=-.∴1211252()52244n n n nn n a a a ---+=-⇒=+- ∴124132n nn b a +==- ∴12b =，283b =，34b =，4203b =， 1253n n n a b -+=∴1112215251(122)333nn n n n n n S a b a b a b -+-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=例4．已知各项均为正数的数列{n a }满足：13a =，且11122n nn n n n a a a a a a +++-=-，*n N ∈. (1)求数列{n a }的通项公式； (2)设22212n nS a a a =++⋅⋅⋅+，22212111n nT a a a =++⋅⋅⋅+，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使n n S T +为整数. 【解析】(1)条件化为11112()n n n n aa a a ++-=-，因此{1n na a -}为一个等比数列，其公比为2，首项为11183a a -=.所以21*1822()33n n nn a n N a +--=⋅=∈.因0n a >由，由①解出11(23n n a +=(2)由(1)有2221212111()()()2n n nn S T a a a n a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-+34522222*222264()()()()2(41)2()333327n n n n n N +=+++⋅⋅⋅++=-+∈， 为使64(41)227n n nS T n +=-+为整数，当且仅当4127n-为整数.当n =1，2时，显然n n S T +不为整数，当3n ≥时，∵12233341(13)1333(3)n n n n n n n n C C C C --=+-=⋅+⋅++⋅⋅⋅+.∴只需12233312792n n C C n n ⋅+⋅-=⋅为整数，∵31n -与3互质，∴n 为9的整数倍.当n=9时, 311392n n -⋅=为整数,故n 的最小正整数为9.练习：1．数列{n a }是公差不为零的等差数列，并且5a ，8a ，13a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b 等于( D ) A ．155()3n -⋅B ．135()5n -⋅C ．133()5n -⋅D ．153()3n -⋅2．数列{}n a 的前n 项和1n n S q =-(q ＞0且q 是常数)，某同学研究此数列后，得出如下三个结论：①{}n a 的通项公式是1(1)n n a q q -=-⋅；②{}n a 是等比数列； ③当q ≠1时，221n n n S S S ++⋅<.其中正确结论的个数是( C ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，如［0.32］=0，［5.68］=5.若n 为正整数，[]3nn a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则32n S += . 3(1)2n n +4．某资料室在计算机使用中，如下表所示， 编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为 ；编码100共出现 次. 222n n -+；65．对正整数n ，设抛物线22(21)y n x =+，过(2,0)P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，则数列{}2(1)n n OA OB n ⋅+的前n 项和为(1)n n -+6．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有121212224n nn S S S S a a a ++⋅⋅⋅+=+++成立.(1)求证：2*11()42n n nS a a n N =+∈；(2)求数列{}n S 的通项公式；(3)记数列1{}nS 的前n 项和为n T ，求证1n T <. ((1))n S n n =+ 7．已知数列{n a }的通项公式为{65()4()n nn n a n -= 为奇数 为偶数，求数列{n a }的前n 项的和S n . 【解析】当n 为偶数2(*)k k N ∈时，有21321242()()k k k S a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+16(161)(6(1))15kk k k -=+-+216(161)6515k k k -=-+，将2n k =代入，得23516(41)2215n n n n S =-+-，当n 为奇数*21()k k N -∈时，有222212216(161)1616654651515k k k k k k S S a k k k k ---=-=-+-=-+ 将12n k +=代入得2132416215n n n n S -+--=+.1 1 1 1 1 1 … 123456 … 1 3 57 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … …………………。
高三数列不等式知识点总结
高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。
在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。
下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。
一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。
2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。
学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。
二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。
2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。
3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。
4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。
5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。
三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。
2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。
例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。
3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。
综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。
学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。
高三第二轮复习：数列与不等式(学生版)
高三第二轮复习：数列（四）---不等式与数列及放缩法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩奇巧裂项积累:例如：1、求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n2、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .3：已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:.1,)1(2≥-+=n a S nn n(1)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a )1(32是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明：对任意的整数m >4,有.8711154<+++m a a a4、已知曲线C ：)(21:,1*-∈+==N n x y C x y n n ，从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，在从点n P 作y 轴的垂线，交C 与点),(111+++n n n y x Q ，设n n n x x a x -==+11,1，1+-=n n n y y b 。
（1）求21,Q Q 的坐标； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n n b a ⋅的前n 项和为n S ，求证：31<n S ；5、3512111222<+++n ；6、求1421342124211422222-⨯++-⨯+-⨯+-⨯n 的值。
练习.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn（5）求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n（6）.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .一、迭代放缩 例1. 已知1,1411=++=+x x x xn n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑1122|2| 解析:通过迭代的方法得到1212-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论例2 设n nn S 2!sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1n解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(|||21kn n n n kn k n n n S S++++++++++=-kn n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤212121|2)sin(||2)!2sin(||2)!1sin(|2121n k n k n21)211(21)212121(212<-⋅=+++=又n C C C n n n n n n>+++=+= 10)11(2所以nS Sn n kn 121||<<-+【2015奉贤一模】例3：对于正项数列{}n a ，若1n na q a +≥对一切*n N ∈恒成立，则11n n a a q -≥⋅对*n N ∈也恒成立是真命题．（1）若11a =，0n a >，且113(,1)3n n a c c c a +≥≠≠，求证：数列{}n a 前n 项和1(3)13n n c S c-≥-；（2）若14x =，*2,)n x n n N =≥∈，求证：11223()3()33n n n x ---≤≤+．（2009年陕西理科高考压轴题）已知数列{}n x 满足， *1111,21n nx x n N x ∈+＋’＝＝. ()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(Ⅱ)证明：1112|()65n n n x x -+-|≤。
高三数学复习口诀：不等式和数列知识点总结
高三数学复习口诀：不等式和数列知识点总结
眼过千遍不如手写一遍，为了帮助在校高中生，特别整理了高三数学复习口诀：不等式和数列一文，详情如下：
高三数学复习口诀：不等式和数列
《不等式》
解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图建模构造法。
《数列》
等差等比两数列，通项公式N项和。
两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。
数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。
归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。
还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
高三数学复习口诀：不等式和数列由为您整理提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。
高考数学总复习考点知识专题讲解35---数列与不等式
[题型专练]
1．(2019·湖南湘潭一模)已知数列{an}满足Sn＝2an－1(n ∈N*)，{bn}是等差数列，且b1＝a1，b4＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝a1n－bnb2n＋1(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2an－1，∴n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴
f(x)在x＝1处取到极小值，且f(1)＝2a－12.
②当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增，
所以f(x)没有极大值也没有极小值． ③当a>1时，令f′(x)>0，则x>a或0<x<1； 令f′(x)<0，则1<x<a. 所以f(x)在(0,1)，(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单 调递减，
[规范解答]
(1)由f(x)＝(x2－2ax)lnx＋2ax－
1 2
x2，可得
f′(x)＝(2x－2a)lnx(x>0)．
①当0<a<1时，令f′(x)>0，则x>1或0<x<a；令
f′(x)<0，则a<x<1.
所以f(x)在(0，a)，(1，＋∞)上单调递增，在(a,1)上单
调递减，
所以f(x)在x＝a处取到极大值，且f(a)＝－a2lna＋32a2，
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
3．数列{an}满足an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1.
(1)证明：数列a1n是等差数列；
(2)求数列
1 an
的前n项和Sn，并证明
1 S1
＋
1 S2
＋…＋
高三数列不等式知识点归纳
高三数列不等式知识点归纳一、引言高中数学中的数列不等式是一个重要的知识点，它涉及到数列和不等式两个概念的结合与运用。
通过学习数列不等式，不仅可以加深对数列和不等式的理解，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
本文将对高三数列不等式的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一内容。
二、数列不等式的基本概念数列不等式是指数列中的元素之间存在着不等关系的数学命题。
在数列不等式的求解过程中，我们需要运用数列的性质和不等式的性质，以及数学推理的方法。
通常，我们需要通过数列的通项公式求解数列不等式，以便得到数值解。
三、数列不等式的求解方法1. 改变不等式符号当我们求解数列不等式时，有时需改变不等式的方向，例如将不等式由大于等于改为小于等于。
这是因为不等式符号的改变会对不等式的求解产生一定的影响，我们需要根据具体情况进行判断。
2. 利用数列的性质在求解数列不等式时，我们可以运用数列的性质来简化问题。
例如，对于递增数列，我们可以通过数列元素的比较关系来简化不等式的求解过程。
3. 运用数学推理数列不等式的求解过程中，我们需要灵活运用数学推理方法，例如化简、分析、换元等。
通过合理地运用数学推理，我们可以将原复杂的不等式转化为简单的等价不等式，从而得到更方便求解的结果。
四、数列不等式的应用数列不等式的应用范围很广，涉及到很多实际问题和数学证明。
在高中数学中，我们通常会遇到一些典型的数列不等式应用题。
例如，通过推导数列不等式，可以证明某一数列的性质；通过求解数列不等式，可以确定数列的最值、推断数列的收敛性等。
五、数列不等式的扩展除了常见的数列不等式之外，还存在着许多有趣的数列不等式扩展问题。
例如，广义费马不等式、柯西不等式等。
这些扩展问题可以进一步拓展我们的思维，加深对不等式的理解。
六、数列不等式的实践意义与应用前景数列不等式作为数学知识的重要组成部分，具有广泛的实践意义和应用前景。
在实际问题中，我们可以通过研究数列不等式来解决一些实际生活中的优化问题、极值问题等。
各个击破·高中数学：数列与不等式
各个击破·高中数学：数列与不等式高中数学中最基础的概念之一便是数列与不等式。
它们包括许多数学概念，像是数列的基本性质、等差数列、等比数列、递推数列、函数及其概念、不等式及其性质等等。
若掌握此一数学概念便得以更容易地理解及解决后续的数学问题。
一、数列的基本性质所谓数列就是按某个规律排列起来的数，称为有限数列。
它的基本定义为：若有一组数{a1,a2,a3,…,an}，其中a1,a2,a3,…,an一对一对应的，且 n 个数满足某种统一的规律，则称它们构成一个数列，记作：{a1,a2,a3,…,an}（n∈N）；这里n∈N表示n是一个自然数，也即n为正整数。
数列中的每一项可以表示为：an=f（n），其中f（n）是一种规律，也就是说各项a1,a2,a3,…,an的值是由以f（n）这一函数来决定的。
如：数列{1，3，5，7，9，…}，其中每一项a1，a2，a3，…与给定的n值有一一对应关系，且每一项满足f（n）=2n-1这一规律。
二、等差数列等差数列，又称等比数列，是一种特殊的数列，其满足一定的等差规律。
因此，设有等差数列{a1，a2，a3，…，an}，有a1，a2，a3，…，an两两相邻的差都是常数d，即a2-a1=a3-a2=…=dn-1-dn-2=d，此时称这个数列为等差数列，记作：{a1，a1+d，a1+2d，…，an}（n ∈N）。
在等差数列中，一组数的和可以用一个简便的公式来计算。
若设n个连续数之和为S，则S=n*an-（n-1）*d，其中d为等差数列中任意两个连续数之差，an为最后一项数值。
三、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与它的前一项之比是一个常数，叫做公比。
设有等比数列{a1，a2，a3，…，an}，满足公比q（q≠0），即a2/a1=a3/a2=…=q，则称这一数列为等比数列，记作：{a1，a1*q，a1*q^2，…，an}（n∈N）。
等比数列的求和公式为如下：若设等比数列的首项为a1，公比为q，有n项，则等比数列的和为：Sn= a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）。
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1 n2
5 3
1 n2
1 n2
1
4 4n2 1
（2 1 2n 1
1) 2n 1
4
课堂小结： 1、数列的单调性（最值）
(1)图像法 (2)做差法 2、数列不等式的证明
(1)寻求通项 (2)放缩法
1、已知数列an中, a1
1，其的前n项和为Sn，且满足an
2Sn2 (n 2Sn 1
2)
(1)求证：数列
cn
n 1 n
bn 1 n 1
bn
n
累乘得：
b1 1 b2 1 bn 1 2 3 n 1 n 1
b1
b2
bn
12
n
总结：
形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作
一个数列的积，先利用bn
f
f (n) (n 1)
求bn，再进一步
探究。
同理：形如a1 a2 an f (n)的不等式的证明，常把f (n)看作 一个数列的和，先利用bn f (n) f (n 1)求bn，再进一步探究。
r 1
a1 b r也适合上式
r 1
题型二：数列不等式的证明
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
证明：对任意的n N*,不等式 b1 1 b2 1 bn 1
b1
b2
bn
由(1)可知：b 2时：an 2n1
bn 1 2n 1
n 1 bn
2n
证明：对任意的n N *,不等式 b1 1 b2 1 bn 1 n 1
解(1)方法一 Sn bn r
解(1)方b1法二b2
a1
bn
b
r, a2
b2
b, a3
b3
b2
Sn1 bn1 r(n 2)
an为等比数列
an bn bn1(n 2)
a22 a1 a3
an 为等比数列
高三数学微专题
数列与不等式
题型一：数列的单调性（最值）问题
例1、(1)已知数列an为递增数列且an n2 n 1，则的范围 3
方法一：
an1 an n 12 n 1 1 n2 n 1 2n 1 0恒成立
分参求最值：2n 1 恒成立
2n 1 3 min
3，即 3 方法二： 函数角度，二次函数的对称轴为n
1 Sn
为等差数列
(2)证明：当n
2时，S1
1 2
S2
1 3
n2
2
2n
n2
2n 2
1
1 2
Sn1
探究：用放缩法证明下列不等式
(1)证明：1 1 1 1 2
12 22 32
n2
11
11
n2
n(n 1)
n 1
n
(2)证明：112
1 22
1 32
1 n2
7 4
1 n2
1 n2 1
1( 1 2 n 1
1) n 1
(3)证明：112
1 22
1 32
bn 2n
解(2)设Tn
n 1则 Tn Tn1
令cn
n 1 (n 2) n
c1 T1 2也适合上式
n 1 (n 2) n
由(1)可知：b 2时：an 2n1 bn 2n
bn 1 n 1 2n 1 n 1 2n 1 2 n 1 n
bn
n 2n
n
2n
4n2 4n 1 4n2 4n 0 2n
但一定要注意定义域的特殊性。 2、做差，通过研究an an1 的正负，来判断最值。
题型二：数列不等式的证明
例1、等比数列an的前n项和为Sn ,已知对任意的n N *,点n, Sn 均在
函数y bx r(b 0且b 1,b、r均为常数)的图像上
(1)求r的值 r 1
(2)当b 2时，记bn 2(log2 an 1) (n N *),
巩固训练：
已知等比数列an,满足an1 an 10 4n1(n N *), 数列bn的
前n项和为Sn , 且bn log2 an (1)求bn , Sn an 22n1 bn 2n 1
Sn n2
(2)设cn
bn
2
1
,
证明：c1c2
c2c3
cncn1
1 2
Sn1
a2 a1 10, a3 a2 40
例2、已知数列an 满足an
(n
2)
7 8
n，则an的最大项为
76 85
an1
an
(n
3)(7)n1 8
(n
2)
7 8
n
7 8
n
5 8
n
n 5时：an1 an即a6 a5
n 4时：an1 an ,即a5 a4 a3 a2 a1
n 6时：an1 an ,即a6 a7 a8 a9
前n项和为Sn , 且bn log2 an
(1)求bn , Sn
(2)设cn
bn
2
1
,
证明：c1c2
c2c3
cncn1
1 2
Sn1
1 2
Sn1
n
12
2
法二：放缩法
cncn1
n(n 1)
n2 n
n2 n 1 n 1
4
2
c1c2 c2c3 cncn1
3 2
5 2
2n 1 2
巩固训练：
4 已知数列an 满足an
n(n
4)
2 3
n
，则an最大时n
an1
an
2 3
n
10 3
n2
n 3时：an1 an ,即a4 a3 a2 a1 n 4时：an1 an ,即a4 a5 a6 a
总结： 数列的单调性（最值）问题解决方案常用两种方法： 1、转化为研究常见函数的单调性问题，
2
3 ,即 3
22
题型一：数列的单调性（最值）问题
例1(2)已知数列an为递减数列且an
n 2 n
, 则的范围
1
2
an
2 2 n
1
2
2
0
题型一：数列的单调性（最值）问题
(3)已知数列an满足an
n2
n
90
，当an取最大值时n
9或10
an
n
1 90
n
9 90 10
a9 a10
a3 a2 a2 a1
4
q, a1
2
cn n, cncn1 n n 1
解(2)
1 2
Sn1
n
12
2
设Tn
1 2
(n
1) 2
则dn
Tn
Tn1
2n 1(n 2
2)
d1 T1 2不适合上式
2
dn
2n
1
2
(n 1) (n 2)
cn
bn 1 2
n
当n 1时：c1c2 2 d1 2成立
当n 2时：cncn1 dn
n(n 1) 2n 1 2
n2 n n2 n 1 0 4
2n 1 cncn1 2
累加得：c1c2 c2c3 cncn1
2
5 2
7 2
2n 1 2Βιβλιοθήκη (n 1)2 21 2
S
n1
巩固训练：
已知等比数列an,满足an1 an 10 4n1(n N *), 数列bn的