数学竞赛论-5组合

2-5 数学竞赛中的组合问题数学竞赛中的组合数学不是一个严格的概念，它离中学教材最远，通常指中学代数、几何、算术（数论）之外的内容（俗称杂题）．对中学生而言，这类问题的基本特点是不需要专门的数学语言就可以表述明白，解决起来也没有固定的程式（非常规），常需精巧的构思．从内容上可以归结为两大类：组合计数问题，组合设计问题．（1）组合计数问题这包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明．知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等．（2）组合设计问题其基本含义是，对有限集合A，按照性质p来作出安排，有时，只是证实具有性质p的安排是否存在、或者验证作出的安排是否具有性质p（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则需把具体安排（或具体性质）找出来（称为构造型问题）；进一步，还要找出较好的安排（称为最优化问题）．值得注意的一个新趋势是组合与几何、数论的结合，产生组合几何、组合数论，它们与集合分拆一起组成IMO试题的三个热点，突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决”特征．这三方面之所以成为热点，从思维方式、解题技巧上分析，是因为其更适宜数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系；从技术层面上分析，还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目．链接资料组合数学又称组合分析或组合学．研究将有限个元素安排到适合（服从）某些限制条件的集合．有三个基本问题：（1）组态问题，解决存在这种安排的条件，给出明确的结论；（2）组态存在时，确定其数目或将它们进行分类；（3）研究安排的性质和结构，包括最优化问题．组合数学最早出现的是神话传说：大禹时代（公元前2200年）的神龟背上驮着的幻方，古代称为"九宫"，即4 9 23 5 78 1 6一般是将2放到n n 格子中，使每行每列各数之和1,2,,n相等，称为n阶幻方．还有缺角棋盘的覆盖问题、柯克曼１５女生散步问题、欧拉３６名军官问题都是著名的组合学例子．现代科学技术中，又提出离散性问题及关系结构分析，图论、信息论、编码、实验设计、线性规定划等领域也提了一系列问题，促进了组合学的发展．一．IMO 中的组合题（智力题） 1．数量统计从6465,IMO IMO --开始，占20% 2．基本类型（1）组合计数问题： ①问题类型有限集合元素的计算， 子集的计算， 集合分拆的计算 ②解题方法： 代数恒等变形 二项式定理 组合等式 递推 组合分析 容斥原理 数学归纳法．（2）组合设计问题：对集合A ，按照某种性质P 来作出安排． ①问题类型存在性问题， 构造性问题， 最优化问题． ②解题方法： 构造法、 反证法 抽屉原理 染色方法 递推方法更多的解题技巧 见 §2-7 3．发展特点以组合计数、组合设计为基础，与数论、几何交叉，形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热点．二、基础知识（与基本类型相一致） 有７个定义、9条定理：定义１ 从n 个不同的元素中取出m 个()m n ≤，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列．相异元素排列数的计算公式为：()()()11!11!!mm mn n n n p n n n m np m C n m --=--+===- ． 定义２ 从n 个不同的元素中取出m 个()m n ≤，并成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合．相异元素组合数的计算公式为：()()()1111!!!!mm n mm n nn n m m n n n m p n n C C C p m m n m m -----+=====- ． 定理１ （加法原理）做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法， ，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．定理2 （乘法原理）做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法， ，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法． 定理3 组合恒等式 （1）()0m n m n n C C m n -=≤≤ （2）()1111m m m n n n C C C m n ---=+≤≤ （3）02.nk n n k C ==∑（4）()010.nk k n k C =-=∑定理4 （二项式定理）().nnk n k kn k a b C a b -=+=∑ 定义３ 从n 个不同的元素中取出m 个，按照一定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列（或循环排列、圆排列）． 相异元素的 圆排列数公式为：()(),1!.mmn n p f n m m C m==-定义４ 从n 个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n 个相异元素允许重复的m 元排列．相异元素的可重复排列数计算公式为：(),.m U n m n =定义５ 从n 个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n 个相异元素允许重复的m 元组合．相异元素的可重复组合数计算公式为：()1,.mn m f n m C +-=定义６ 若n 个元素中，有1n 个1a ，2n 个2,,a m n 个m a ，且12m n n n n +++= ，则这n 个元素的全排列，称为不尽相异元素的全排列．不尽相异元素的全排列公式为： ()1212!,,.!!!m m n V n n n n n n =定义７ 如果A 是一个n 元有限集合，那么，它的子集12,,,m A A A 组成的集合{}12,,,m R A A A = 叫做A 的一个子集系．定理5 n 元集合A 中含有()0k k n ≤≤个元素的子集有k n C 个；集合A 的所有子集共2n 个． 定理6 （抽屉原理）（1）若把1mn +元素放进n 个集合，则必存在一个集合至少放有1m +个元素．（2）若把()01211m n ++++--⎡⎤⎣⎦ 个元素放进mn 个集合，则至少有1m +个集合的元素一样多．（3）若把1mn -元素放进n 个集合，则必有一个集合至多含有1m -个元素．定理7 （容斥原理）设集合{}12,,,,n A a a a = 12,,,m A A A A ⊆ ，记i A 为i A 对于全集A 的补集，则 (1) 12m A A A()1111121.mi i j i j ki i j m i j k nm m A A A A A A A A A =≤≤≤≤<<≤-=-+-+-∑∑∑(2) 1212.mm A A A A A A A =-定理8 （自然数的良序性）自然数的任一非空子集中，必有一个元素是最小的．定理9 设,A B 是两个有限元集合，,A B 分别是两集合的元素个数，f 是A 到B 的一个映射． （１）若f 是单射，则A B≤；特别的，f 是单射而非满射，则A B<．（２）若f 是满射，则A B≥．（３）若f 是一一映射（双射），则A B=．２．主要类型（1）排列、组合的知识． （2）集合、影射的知识． （3）抽屉原理． （4）容斥原理． （5）组合恒等式． 三、例题讲解例1 （1）将10个苹果分给3个人，每人至少1个，问有几种不同的分法？（10的有序分拆）（2）将10个苹果分成3堆，每堆至少1个，问有几种不同的分法？（10的无序分拆）解（1）设第i 个人分得i x 个苹果，则有()123101i x x x x ++=≥11110+++=对应9个加号取2个的取法，得2936C =．相当于10个苹果一字排开两手拿隔板往里一插，得一种分法．（2）10的3项分拆：每堆先放1个苹果，剩下的7个苹果可以拆开放到3堆，也可以放到2堆，或全放到1堆，故得10的3项分拆=7的3项分拆+7的2项分拆+7的1项分拆=4的3项分拆+4的2项分拆+4的1项分拆+3+1=1+2+1+3+1=8．一般地m的n项分拆=m n-的n项分拆+m n-的1n-项分拆+…+m n-的2项分拆+m n-的1项分拆．数字小时可以列举10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共8种例2（1988，高中联赛，例2-104）甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？（P ．205）解法１12345671234567,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B B B B B B B ——714C解法２ 设i A 胜 i x 场，甲胜等价于方程12345677x x x x x x x ++++++=，非负整数解的个数，令1i i y x =+，方程123456714y y y y y y y ++++++=，正整数解的个数1111111111111114+++++++++++++=，从13个加号取6个的方法数613C 种． 同理，乙胜也有613C 种． 得2613C =714C 种．2613C =714C =3432种．例2-1 联欢晚会准备了2n 个礼物，平分为两串公开吊挂在墙上，每个获奖者可以（也只能）从两串的最下方任选一个礼物，则2n 个获奖者选这2n 个礼物，共有 种不同的选法．（2n n C ）例3（1989，306IMO -，例2-105）设n 是正整数，我们说集合{}n 2,,2,1 的一个排列()122,,,n x x x 具有性质p，是指在{}12,,2,1-n 当中至少有一个i ，使得n x x i i =-+||1，求证对于任何n，具有性质p的排列比不具有性质p的排列的个数多．（P ．85）解 1n =显然成立．对2n ≥设不具有性质p 的排列组成集合A ，设恰有一个元素具有性质p 的排列组成集合B ，取()122,,,n X x x x A =∈ ，则存在2k >，使1||k x x n -=，作对应()122112:,,,,,,,k k k k n f X Y x x x x x x x --+→= ，则Y B ∈，且A 中不同的元素在B 中有不同的像，得 A B ≤<具有性质p 的排列个数．例4（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足 21323, 3a a a a -≥-≥那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？ 解 由已知得121323 10, 30 30, 140,a a a a a a -≥--≥--≥-≥4项均为非负数，相加得()()()()121323133 147a a a a a a -+--+--+-=，于是123,,a a a 的取法数就是不定方程 12347x x x x +++=的非负整数解的个数，作一一对应11i y x =+问题又等价于不定方程 123411y y y y +++= 的正整数解．由11111+++=得310C 个解，即符合要求的不同取法有310C 种．（P ．240）例5 （1992高中联赛） 设集合{}1,2,,n S n = ，若X 是nS 的子集，把X 中的所有数的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶数），则称X 为n S 的奇（偶）子集．（1）求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等．（2）求证：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等．（3）当3n ≥时，求n S 的所有奇子集的容量之和． 证明1 分别求解3问．（1）对n X S ⊆，我们取/n X S ⊆与X 对应：当1X ∈时，就从X 中取出1得/X ；当1X ∉时，就从X 中添上1得/X ．于是，X 与/X 一一对应，且一个为奇（偶）子集时，另一个便为偶（奇）子集，故n S 中的奇子集与偶子集一一对应，个数相等．（2）设n S 中的奇子集个数有n a 个，偶子集个数有n b 个，所有奇子集的容量之和为()n f a ，所有偶子集的容量之和为()n f b ，由第（1）问及n S 中有2n 个子集知12n n n a b -==．1）当3n ≥且n 为奇数时，n S 中的奇（偶）子集由两部分组成，其一是1n S -的奇（偶）子集，其二是1n S -的每一个偶（奇）子集与{}n 的并集，有()()()()()()()()111111111.n n n n n n n n n n n f a f a f b nb f a f b na f b f a na f b ---------=++⎡⎤⎣⎦=++=++⎡⎤⎣⎦=2）当3n ≥且n 为偶数时，则1n -为奇数，由上证，有()()1111n n n n a b f a f b ----==且．此时，n S 中的奇（偶）子集由两部分组成，其一是1n S -的奇（偶）子集，其二是1n S -的每一个奇（偶）子集与{}n 的并集，有()()()111n n n n f a f a f a na ---=++⎡⎤⎣⎦ ()()111n n n f a f a nb ---=++⎡⎤⎣⎦()()()111.n n n n f b f b nb f b ---=++⎡⎤⎣⎦=综上得，当3n ≥时()()n n f a f b =．（3）由于n S 中每个元素都出现在12n -个子集中，所以n S 的所有子集的容量为()()n n f a f b +=()1122n n -+++ =()212n n n -+．得 ()()()12n n n f a f a f b =+=⎡⎤⎣⎦()312n n n -+． 证明2 同时求解3问设n S 中的奇子集个数有n a 个，偶子集个数有n b 个，所有奇子集的容量之和为()n f a ，所有偶子集的容量之和为()n f b ，有11221,2.a b a b ====对3n ≥，用数学归纳法证明命题()()()3,:12.n n n n n a b P f a f b n n -=⎧⎪⎨==+⎪⎩ （1）当3n =时，{}31,2,3S =的奇子集有{}{}{}{}1,3,1,2,2,3，偶子集有{}{},2,1,3,∅{}1,2,3，得()()()3333334,123312.a b f a f b -==⎧⎪⎨===+⎪⎩ 命题P 成立．（2）现假设n k =时，命题P 成立．即()()()3,12.k k k k k a b f a f b k k -=⎧⎪⎨==+⎪⎩ 对1k S +的子集可以分成两部分，一部分是k S 的子集，有12k k k a b -==；另一部分是k S 的子集与{}1k +的并集，其奇子集的个数与偶子集的个数也是相等的．有1122k k k k a a b b ++===．并且，()()()11k k f a f b ++或等于()()()k k f a f b 或的2倍，再加上12k -个1k +，即()()()()()()()()()1113113212212121112,k k k k k k k f a f b f a k k k k k k -++--+-==++=⋅+++=+++⎡⎤⎣⎦这说明1n k =+时，命题P 成立．由数学归纳法知，题目中的3问均已成立． 作业１．从n 个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n 个相异元素允许重复的m 元组合．证明：相异元素的可重复组合数计算公式为：()1,.m n m f n m C +-=2.凸n 边形（4n ≥）玫瑰园的n 个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数()f n 的表达式． ⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．作业处理1.求方程3222009x x y +=的整数解. 解：由2009的分解式，有 ()222212009741x x y +=⨯=⨯，有 21,1,1,1004,1005,22009,x x x y y x y ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩227,7,717,24.241,x x x y y x y ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩2、2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．证明：由111220090908m n =+++1111111200909082200909071004545410045455200909092009090920090909120090908220090907100454541004545520090909,122009090720090908p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 其中p 为正整数，有20090909122009090720090908n p m ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ，这表明，20090909整除122009090720090908m ⨯⨯⨯⨯⨯ ，但20090909为素数，不能整除122009090720090908⨯⨯⨯⨯ ，所以20090909整除m ，得m 是吉祥数．。