角平分线辅助线专题练习

DABC角平分线专题1、 轴对称性:内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法:边角等 造全等,也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图,2、 角平分线的性质定理：注意两点(1)距离相等 （2）一对全等三角形3、 定义：带来角相等。

4、 补充性质：如图，在△AB Ｃ中,AD 平分∠BAC ，则有ＡB:ＡC=BD:DC针对性例题:例题1：如图，AB=2ＡC ,∠ＢＡＤ＝∠ＤAC ，DA ＝ＤB求证：DC ⊥ACB例题2：如图,在△ＡB Ｃ中，∠Ａ等于60°,BE 平分∠ＡBC,C Ｄ平分∠ACB 求证:ＤH=E Ｈ例题3:如图1，B Ｃ>A Ｂ,BD 平分∠A ＢC,且∠A+∠Ｃ=18０0， 求证:AD=D Ｃ．:思路一:利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴，因此,题中若有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.证法1:如图１，在ＢC 上取B Ｅ=ＡB,连结DE ，∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠A ＢＤ=∠D ＢE ，又BD=BD,∴△ABD ≌△EBD （S ＡＳ),∴∠A ＝∠DB Ｅ,ＡＤ＝D Ｅ,又∠A+∠C=1８00，∠D ＥＢ+∠DE Ｃ=1８０0,∴∠Ｃ=∠D ＥC,D Ｅ=ＤC ，则AD ＝DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、B Ｄ于E 、F ，连结DE,由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△ＥBF,则ＡB=B Ｅ,ＢD 平分∠A ＢC,BD ＝ＢD ，∴△ＡBD ≌△E ＢＤ(SA Ｓ）,∴AD ＝ED ，∠ＢAD ＝∠DEB,又∠BA Ｄ+∠Ｃ=1８０0, ∠BED+∠CE Ｄ=180０,∴∠C=∠DEC ，则ＤE=DC,∴AD=DC ． 说明:证法１,2，都可以看作将△ＡB Ｄ沿角平分线BD 折向B Ｃ而构成 全等三角形的．证法3:如图３，延长BA 至E ，使BE=B Ｃ，连结D Ｅ, ∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又BD=BD ，∴△CB Ｄ≌△EBD （SAS)， ∴∠C=∠E ，ＣD=ＤＥ，又∠BA Ｄ+∠C=１８00,∠DA Ｂ+∠D ＡＥ=１800, ∴∠E=∠D ＡＥ，DE ＝ＤA ，则AD=ＤC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线B Ｄ折向B Ａ而构成全等三角形的．B AC D E 图1B ACDEF 图2B ACD E图3思路二:利用“角平分线的性质”来构造由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以 过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.证法4:如图4,从D 分别作ＢC 、BA 的垂线,垂足为Ｅ、F ，∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝D Ｆ，又∠B ＡD ＋∠Ｃ=180０，∠BAD+∠FAD=1８00， ∴∠FAD=∠Ｃ,∴△FAD ≌△E ＣＤ(AA Ｓ）,则AD=DC ．例题4 已知:如图５,在△ABC 中，∠C =90°,ＡC =ＢＣ，AD 平分∠CAB .求证：ＡC +CD ＝ＡB证明：在AB 上截取A Ｅ=ＡC,∵A Ｄ平分∠CAB ，∴∠ＣAD = ∠DAB ,ＡＤ＝AD ， ∴△CA Ｄ≌△EAD ,∴∠DEA =９0°,∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠Ｂ=４5°, ∴∠B =∠ＢDE =4５°∴DE =B Ｅ,∴AC +CD =AE +DE =AE ＋BE ＝AB ，即AC +CD =ＡＢ．例题5.已知：如图6,在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过B 点的一条 直线BE 折叠这个三角形,使C 点与AB 边上的一点D 重合, 当∠A 满足什么条件时，点D 恰为ＡB 中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.解:当∠A =30°时,点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°，∠Ｃ=90°(已知）,∴∠CBA =６0°(直角三角形两锐角互余）.又△ＢEC ≌△B ＥD (已知)，∴∠CBE =∠DBE =30°,且∠E ＤB =∠C ＝９0°(全等三角形对应角相等)，∴∠ＤＢE =∠Ａ(等量代换).∵ＢE =A Ｅ(等角对等边）,又∠EDB ＝90°，即ED ⊥A Ｂ,∴Ｄ是A Ｂ的中点(三线合一)．B ACD FE 图4角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ＡＢC 中,∠A ＢＣ=3∠C ，ＡD 是∠BAC 的平分线,ＢE ⊥ＡD 于F 。

求证:1()2BE AC AB =- 证明:延长BE 交AC 于点Ｆ。

因为角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线，所以A Ｄ为∠B ＡＣ的对称轴, 又因为BE ⊥ＡＤ于Ｆ,所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE ＝12B Ｆ,AB=A Ｆ,∠ＡBF=∠AF Ｂ。

因为∠ABF+∠ＦBC ＝∠AB Ｃ=３∠C ，∠AB Ｆ＝∠ＡFB=∠F ＢC+∠C ， 所以∠FBC ＋∠C+∠F ＢC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，所以BE ＝12ＦＣ=12(A Ｃ－A Ｆ）=12（ＡC －AB)， 所以1()2BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1＝∠２,Ｐ为ＢN 上的一点，并且P Ｄ⊥BC 于D ，A Ｂ+BC=２BD 。

求证:∠BAP+∠ＢＣＰ=18０°。

证明：经过点Ｐ作ＰE ⊥AB 于点E 。

因为PE ⊥ＡB,P Ｄ⊥BC ，∠1＝∠2， 所以P Ｅ＝P Ｄ。

在R ｔ△PBE 和Rt △ＰBC 中BP BPPE PD=⎧⎨=⎩ 所以Ｒｔ△PBE ≌Rt △PB Ｃ(ＨL ）, 所以BE=BD 。

因为AB+BC=2BD,B Ｃ=ＣD ＋BD,A Ｂ=B Ｅ-AE, 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB,P Ｄ⊥ＢC, 所以∠PE Ｂ=∠PDB=９０°. 在△ＰＡE 和Rt △PCD 中21F EDCBANPE DCBAPE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAE ≌R ｔ△ＰCD, 所以∠PCB=∠E ＡP 。

因为∠ＢAP+∠EAP ＝１8０°， 所以∠ＢAP+∠B ＣP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示,在△ABC 中,PB 、PC 分别是∠A ＢＣ的外角的平分线，求证：∠１＝∠2证明:过点P 作PE ⊥AB 于点E,ＰＧ⊥AC 于点G ，ＰF ⊥BC 于点F ．因为Ｐ在∠EBC 的平分线上，ＰE ⊥ＡB ，ＰH ⊥ＢC, 所以PE=PF 。

同理可证PF=PG 。

所以PG=PE,又PE ⊥AB,ＰG ⊥ＡC,所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1＝∠2。

与三角形的角平分线有关的结论的探究三角形的内角和等于18０0,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。

应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。

从结论的探究过程中,希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中，要学会运用所学知识去探索新的结论,学会探究,从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力，提高数学学习水平。

探究一:在ABC ∆中,∠A ，∠Ｂ的平分线交于点P,试探究 ∠BPC 与∠A 的关系?探究：因为∠BPC 在ΔBPC 中，由三角形的内角和定理,有:()PCB PBC BPC ∠+∠-=∠0180而由ＢＰ,CP 分别是∠ABC 和∠AC Ｂ的角平分线 知：∠PBC ＝ABC ∠21，∠PCB ＝ACB ∠21所以()ACB ABC ACB ABC BPC ∠+∠-=⎪⎭⎫⎝⎛∠+∠-=∠21180212118000而在在ABC ∆中，A ACB ABC ∠-=∠+∠0180 所以()A A BPC ∠+=∠--=∠219018021180000G21PFECB ACBA故有结论一:在ABC ∆中，∠Ａ，∠Ｂ的平分线交于点P ，则有A BPC ∠+=∠21900。

探究二:在ABC ∆中，ＢP 是∠AB Ｃ的平分线，C Ｐ是ΔAB Ｃ的外角∠ＡCE 的平分线， 试探究:∠ＢPC 与∠A 的关系？探究:由CP 是ΔA ＢＣ的外角∠A ＣＥ的平分线， 所以有:∠BPC=∠PCE －∠BP Ｃ又BP 是∠ABC 的平分线,CP 是∠AC Ｅ的平线所以:∠PBC=ABC ∠21，∠P ＣＥ＝ACE ∠21所以∠B ＰC=ACE ∠21－ABC ∠21()A ABC ACE ∠=∠-∠=2121 故有结论二：在ABC ∆中，BP 是∠ABC 的平分线,CP 是ΔABC 的外角∠ACE 的平分线,则有：A BPC ∠=∠21。

探究三：在ABC ∆中,B Ｐ， CP 分别是ΔA ＢC 的两个外角的平分线,试探究：∠ＢPC 与∠A 的关系?探究：因为∠B ＰC 在ΔB ＰC 中,由三角形的内角和定理，有：()PCB PBC BPC ∠+∠-=∠0180由BP ， CP 分别是ΔABC 的两个外角的平分线,有: ∠ＰＢC=EBC ∠21，∠PCB=BCF ∠21而∠ABC+∠CBE ＝1８０0，∠AC Ｂ+∠B ＣF ＝1８00，所以∠ＡＢC+∠CB Ｅ+∠ACB+∠B ＣＦ=36０0所以∠EBC+∠FCB=３６00-(∠AC Ｂ+∠AB Ｃ)()A A ∠+=∠--=0180180360所以()()A A FCB EBC BPC ∠-=∠+-=∠+∠-=∠219018021180211800000故有结论三：在ABC ∆中，ＢP ， CP 分别是ΔABC 的两个外角的平分线，则有A BPC ∠-=∠21900。

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 角平分线的性质定理及其逆定理 水平测试一、选择题１．下列说法,错误的是（ )EC BAFPE AA.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部2.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ﻩ) A ．锐角三角形ﻩﻩB.钝角三角形ﻩ Ｃ.直角三角形 ﻩD ．不能确定3.如图所示，在R t ABC △中,90ACB ∠=,BC 的中垂线交斜边AB 于D ，7.8AB =，3.9AC =，则图中有多少个角等于60（ﻩ)Ａ.2个ﻩ Ｂ．３个 C ．4个ﻩ D ．5个4．等腰△ABC 两腰AB ，AC 的垂直平分线交于点O ，下列各式不正确的是( ） A ．OA BC ⊥ﻩﻩＢ.OA 平分BAC ∠ﻩ C.OB OC =ﻩ D .OA BC =5.已知△ABC 中，AB AC =,AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是６０ｃm 和３8cm ，则△ABC 的腰长和底边BC 的长分别是（ ）A.24cm 和12cmB.1６cm 和22c ｍ Ｃ．２0c ｍ和16cm Ｄ．2２cm 和1６ｃm ６.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC ，BD 为折痕，则∠ＣBD 的度数为( ） A.60° B.7５° C ．90° D.９5°7.若△ABC 三条角平分线的交点到三顶点的距离相等，则该三角形一定为（ ）A ．等腰三角形，但不一定是等边三角形.B ．直角三角形． Ｃ．等腰直角三角形． D.等边三角形.8. 如图，△ＡBC 中，AD 为∠ＢAC 的平分线，DE ⊥ＡB ，DF ⊥A Ｃ,E 、F 为垂足,在以下结论中：①△A ＤＥ≌△ADF;②△ＢDE ≌△ＣD Ｆ;③△A ＢD ≌△A ＣD;④AE ＝A Ｆ；⑤BE=CF ；⑥ＢD=ＣD ．其中正确结论的个数是( ) A.１ﻩＢ.2ﻩC.3ﻩD.49.已知P 点在AOB ∠的平分线上，60AOB ∠=，10OP =cm ，那么P 点到边OA ，OB 的距离分别是( ）A ．5c ｍ,53cm Ｂ．4cm,５ｃm C ．5cm,5cm D ．5ｃm ，10ｃm１0．如图，△AB Ｃ中，∠Ｃ＝9０º,BD 平分∠A ＢC 交ＡC 于Ｄ，ＤＥ是AB 的垂直平分线,DE=21B Ｄ,且DE ＝1.5cm,则ＡC 等于（ ） A.3cm ﻩB.7.5ｃｍ C.6cm D ．4.５cmＡＣ ＤＢ BEA BCD EF二、填空题1.已知线段AB 和它外一点Ｐ,若ＰA=PB,则点Ｐ在A Ｂ的___＿_＿_＿___________＿；若点P 在ＡＢ的____＿＿_____________＿，则P Ａ=P Ｂ.2.如图,△ABC 中,EF 是AB 的垂直平分线交于D ,12BF =,3CF =,则AC = ．3． 如图,50ABC AD ∠=，垂直平分线段BC 于点D ABC ∠，的平分线BE 交AD 于点E ,连结EC ，则AEC ∠的度数是 ．4．如图所示，在ABC △中,90C ∠=,DE 是AB 的垂直平分线，2AB AC =，18cm BC =，则BE 的长度为 ﻩﻩ ．5.在锐角三角形ABC 中，60A ∠=,AB ，AC的度数是ﻩﻩ．6.△ABC 中,90C ∠=,AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若7DC =，则D 到AB 的距离是 .7.△ABC的三边长分别为3cm 、4cm 、5cm ，若O 为△ABC 三内角平分线交点,则点O 到斜边AB 的距离等于 ．8．如图，已知BO 平分CBA ∠,CO 平分ACB ∠,MN BC ∥,且过点O ，若12AB =，14AC =,则AMN △的周长是 ﻩﻩ.ＢＥ9．如图，BD 是ABC ∠的平分线,DE AB ⊥于E ,236m ABC S =△，18cm AB =，12cm BC =,则DE 的长是．１０.如图,ABC △中,90C ∠=,AC BC =,AD 平分BAC ∠交BC 于D ,DE AB ⊥于E ，且10cm AB =，则DEB △的周长是ﻩ ﻩﻩ.三、解答题１.如图所示,直线OA ，OB 表示两条相互交叉的公路．点M ,N 表示两个蔬菜基地．现要建立一个蔬菜批发市场，要求它到两个基地的距离相等,并且到公路OA ，OB 的距离相等，请你作图说明此批发市场应建在什么地方?2． 如图△ABC 中,BA BC =,120B ∠=，AB 的垂直平分线交AC 于D ,求证:12AD DC =．3.用三角尺画角平分线:如图,∠ＡOBM 、N 作OA,OB 的垂线，交点为P ，画射线OP,线.并说明这种做法的道理．Ｄ4.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线,DE AB ⊥，DF AC ⊥,垂足分别是E ，F . 求证:AD 垂直平分EF .四、探索题１.如图,在ABC △中,90A ∠=，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性（证明你的猜想需要用题中所有的条件）.2．如图所示,在等腰ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=．(1）请你作出两腰的垂直平分线．（2)若AB 边的垂直平分线与AB ,BC 分别交于点D ，E ，AC 边上的垂直平分线与AC ,BC 分别相交于点G ，F ，则AEF △是什么形状?你能证明吗? （３)连结DG ，DG 与BC 有什么关系?（4）若5cm DG =，试求AEF △的周长．答案：一、１Ｄ;２Ｃ;３D ；４D ；5Ｄ；6C;7D;8Ｂ;9C;10D ．二、１. 垂直平分线上；垂直平分线上;2．15；3.115°；4.12cm ；５.120；６．７;７.1ｃm;8.26；9.12cm 5;10．10cm.Ｄ三、1.解:分别作AOB ∠的平分线OC 和线段MN 的垂直平分线DE ,则射线OC 与直线DE 的交点P 即为批发市场应建的地方.2.证明:连接BD ．AB 的垂直平分线交AC 于D ,DA DB =∴ 又BA BC =，120B ∠=，30A C ∠=∠=∴30A ABD ∠=∠=∴,90DBC ∠=∴Rt △DBC 中,有12BD DC =，12AD DC =∴. 3.解：∵OM=ＯN ，O Ｐ=OP,∴Ｒt △ＯMP ≌Ｒt △ＯNP(HL ）,∴∠ＭO Ｐ=∠NOP ，∴射线O Ｐ是∠AOB 的平分线．4.证明:AD ∵是ABC △的角平分线, DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF =∴(角平分线上的点到角的两边距离相等）. ∴DEF DFE ∠=∠(等角对等边）.90AED AFD ∠=∠=∵(垂直定义)，AEF AFE ∠=∠∴(等角的余角相等)． AE AF =∴（等角对等边）∴A ，D 在EF 的中垂线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．即AD 是EF 的中垂线．四、１.解：猜想结论：AB AD BC +=,过D 作DE BC ⊥于E ．BD ∵平分ABC ∠，90A ∠=，AD DE =∴. ABD EBD ∴△≌△,AB BE =∴． AB AC =∵,45C ∠=∴,DE EC =∴. AD EC =∴，AB AD BC +=．2.解：（1)如图所示．（2）AEF △是等边三角形.证明:AB AC =∵，120BAC ∠=,30B C ∠=∠=∴．DE ∵垂直平分线AB ,EB EA =∴,30BAE B ∠=∠=∴，60AEF ∠=∴.Ｄ同理可证60AFE ∠=．AEF ∴△是等边三角形．(3)因为点D 、G 分别是ＡＢ、AC 的中点,所以DG 是中位线，则12DG BC =． (4)AE BE =∵,AF FC =,AEF ∴△的周长为:AE EF AF BE EF FC BC ++=++=. 又210cm BC DG ==∵．AEF ∴△的周长为10cm .选做题1．ABC △中,22.5B ∠=,60C ∠=,AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于F,BD =AE BC ⊥于E ,求EC 的长.解:连结AD ．DF ∵是AB 的垂直平分线,AD BD =∴=线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)122.5B ∠=∠=∴(等边对等角） 2145B ∠=∠+∠=∴．又AE BC ∵⊥，3902904545∠=-∠=-=∴,∠∴AE DE ∴=(等角对等边） 222DE AE AD +=∵（勾股定理)222AE =∴,6AE =∴．在R t ACE △中，60C ∠=,430∠=∴2AC CE =∴(30所对的直角边等于斜边的一半）222AC EC AE -=∵(勾股定理)222(2)CE CE AE -=∴,223CE AE =∴，212CE =∴,CE =∴.2.如图,90A AD BC =︒，∠∥，P 是ＡＢ的中点，ＰＤ平分∠ADC. 求证：ＣP 平分∠DCＢ.证明:过点P 作P Ｅ⊥ＤC,垂足于E, ∴3490A ===︒∠∠∠,AD 21∵PＤ平分∠AD Ｃ，∴12=∠∠, ∴PA PE =，∵Ｐ为ＡB 的中点, ∴PA PB PE PB ==，, ∵90AD BC A =︒，∥∠, ∴P 点在∠ＤＣB 的平分线上. ∴CP 平分∠DＣB.3． CE BF ，分别是锐角三角形AB Ｃ的ACB ∠,ABC ∠的平分线,AF BF ⊥于F ,AE CE ⊥于E ,试说明:（1）EF BC ∥;（2)1()2EF AB AC BC =+-.提示:由于BF 是角平分线，且AF BF ⊥，所以延长AF 交BC 于N ,则有ABN △是等腰三角形,从而F 是AN 的中点,且AB BN =，同理E 是AM 的中点,且AC CM =，所以EF BC ∥,且11()()22EF BN CM CB AB AC BC =+-=+-.备用题1．如果三角形内的一点到三边的距离相等,则这点是( )CA ．是三条边中垂线的交点B.是三角形三条边的中线的交点C.是三角形三个内角平分线的交点D.是三角形三条边上的高的交点2．如图，△ABC 中,∠ＣＡB ＝120º，A Ｂ,AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、Ｆ,则∠EAF 等于（ ）ＣA ．4０º B.50º C.60º D.８0º3.如果ABC △的边BC 的垂直平分线经过顶点A ,与BC 相交于点D ，且2AB AD =,则ABC △中必有一个内角的度数为（ )D Ａ．45ﻩＢ.60ﻩ C ．90ﻩ Ｄ.120４．如图，Rt △ACB ,90C ∠=,AD 平分CAB ∠,DE AB ⊥于E ，则下列结论中不正确的是（ ）BA BA ．BD ED BC += Ｂ．DE 平分ADB ∠ Ｃ.AD 平分EDC ∠ D.ED AC AD +>5.等腰三角形内有一点P 到底边的两端点距离相等,则连结顶点和P 的直线一定把底边 .垂直平分5.如图，在R t ABC △中,90B ∠=,ED 垂直平分AC 交AC 于点D ，交BC 于点E ，已知:2:5EAB BAC ∠∠=，求C ∠的度数.解：设2EAB x ∠=,则5BAC x ∠=，3C EAC x ∠=∠=∴.而90C BAC ∠+∠=，5390x x +=∴，11.25x =，33.75C ∠=∴.６.如图所示,AD 是BAC ∠的平分线,DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ,且BD CD =． 求证:BE CF =．证明：AD ∵是BAC ∠的平分线,DE AB ⊥，DF AC ⊥ DE DF =∴．(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)又BD CD =∵,Rt Rt HL DBE DCF ∴△≌△（）BE CF =∴.7．如图,已知在△ABC 中,90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥交AC 于E .求证：BE 平分ABC ∠.ＢＡＣ证明：D ∵是AB 的中点，12BD AB =∴, 2AB BC =∵，12BC AB =∴,BD BC =∴． 又∵DE AB ⊥,90C ∠=,90C BDE ∠=∠=∴, 又BE BE =，∴Rt △BDE ≌Ｒt △BCE (HL ）, DBE EBC ∠=∠∴,BE ∴平分ABC ∠.角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢?下面举例说明. 一、由角平分线的性质联想两线段相等例1 如图1，A Ｂ>ＡＣ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于Ｄ，自D 作DE ⊥ＡB ，D Ｆ⊥AC ，垂足分别为Ｅ，F.求证：Ｂ证明 连结DB ，DC.∵D 在∠A 的平分线上，∴D Ｅ＝DF ．∵Ｄ在BC 的垂直平分线上,∴BD ＝ 又∠BED ＝∠CFD ＝90°， ∴Rt △BDE ≌Ｒt △CD Ｆ，∴BE=CF.例2 如图2,BC ＞AB ，B Ｄ平分∠AB Ｃ, 求证：∠A+∠C=１８0°．证明 延长BA 至F ，使BF ＝ＢC ．由ＢD 在△ＦＢD 与△CBD 中,BF=B Ｃ ∠ABD=∠ＣBD BD=ＢＤ ∴△FBD ≌△CB Ｄ，∴∠C=∠Ｆ，D Ｆ=ＣD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠Ａ+∠Ｃ＝∠B ＡD+∠DA Ｆ=1８0°.三、过角平分线上一点作一边的平行线,构成等腰三角形例３ 已知：如图３，∠ＡBC 的平分线B Ｆ与∠ＡＣB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥B Ｃ，交A Ｂ于D,交A Ｃ于E,求证：BD+CE=DE ．证明：∵BF 是∠ＡBC 的平分线 ∴∠ＤBF=∠C ＢF ∴∠ＤFB=∠CBF∴∠DBF=∠DFB ∴BD=FD,同理ＣＥ=ＦＥ．∴BD+ＣＥ＝DF+F Ｅ=D Ｅ.ADBCE图1-1四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站,是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址?这样的位置有几种选择？解析：分别作△A ＢC 两内角的平分线,它们相交于一点,根据角平分线的性质知,这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线,它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个,所以建加油站的位置共有4种选择..角平分线携“截长补短”显精彩角的平分线具有其特有的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1 如图1-1,A Ｄ∥B Ｃ，点E 在线段AB 上，∠A ＤE =∠CDE ,∠D ＣE =∠ＥＣB ．求证:ＣD ＝AD ＋BC . 分析：结论是ＣD ＝AD +BC ,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在C Ｄ上截取CF =CB ,只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明:在CD 上截取C Ｆ=BC ，如图1－2 在△FC Ｅ与△BCE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠A ＤC +∠BCD =１8０°,∴∠DCE ＋∠ＣＤE =９0°， ∴∠2+∠３=９0°,∠１+∠4=９0°，∴∠3＝∠4. 在△FDE 与△ADE 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ＡDE (ASA ）,∴DF =ＤA , ∵CD ＝ＤＦ+ＣF ,∴CD =AD +ＢC ．图4 ADB CE F1234图1-2例2 已知,如图２-1，∠1＝∠２,P 为ＢN 上一点,且P Ｄ⊥BC 于点D ,ＡＢ+ＢC =２BD .求证:∠ＢAP +∠B ＣＰ=180°．分析:证两个角的和是180°,可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠B ＣP =∠EAP ,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明:过点P 作ＰE 垂直B Ａ的延长线于点E ,如图2-2 ∵∠1＝∠２,且P Ｄ⊥ＢC ,∴P Ｅ＝PD ， 在Rt △B ＰＥ与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PDPE ∴Rt △BPE ≌Ｒt △BPD (HL ),∴BE =BD ．∵AB +B Ｃ=2BD ,∴AB ＋B Ｄ+DC =ＢD +BE ,∴AB +DC ＝BE 即DC ＝ＢE -A Ｂ=AE ．在Rt △ＡPE 与Rt △C ＰＤ中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △C ＰD (SAS),∴∠P ＡE =∠ＰCD又∵∠B ＡP +∠PAE ＝180°,∴∠ＢA Ｐ+∠B ＣＰ=180° 例3 已知:如图3-1,在△ABC 中，∠C =2∠B ，∠1＝∠2.求证:AB =ＡＣ＋ＣD .分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使C Ｅ=CD ，或在A Ｂ上截取AF =ＡC .证明:方法一(补短法）延长ＡC 到E ，使ＤC =C Ｅ,则∠C ＤＥ=∠C ＥＤ，如图3-２ ∴∠AC Ｂ=2∠E ,∵∠A ＣＢ=2∠Ｂ，∴∠B ＝∠Ｅ, 在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△AB Ｄ≌△ＡE Ｄ（A ＡS ）,∴A Ｂ＝AE ． 又A Ｅ=AC+CE =AC ＋D Ｃ，∴ＡB =AC ＋ＤC . 方法二（截长法)在AB 上截取AF =A Ｃ,如图3－３ 在△AF Ｄ与△ＡＣD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD (SA Ｓ）,∴DF ＝DC ,∠ＡＦD =∠ＡＣD . 又∵∠AC Ｂ＝2∠B ,∴∠FDB =∠B ，∴FD ＝ＦB .ABCDP12N图2-1DCB A 12图3-1EDCB A 12图3-2FDCBA 12图3-3P12NABCDE 图3-22-2∵A Ｂ＝AF +ＦＢ＝AC +FD ，∴ＡB =AC +C Ｄ. 上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充,但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。