四川省眉山市东坡区东坡区苏辙中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题

四川省眉山市东坡区东坡区苏辙中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1）A．B．C．2 D．42．方程x2﹣4＝0的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝43．如图，河坝横断面的迎水坡AB的坡比为3：4，BC＝6m，则坡面AB的长为（）A．6m B．8m C．10m D．12m4．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是14，则袋中球的总个数是（）A．2B．4C．6D．8 5．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（）A．32xy=B．23xy=C．23xy=D．23x y=6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()4,3，那么sinα的值是（）A ．34B ．43C ．45D ．357．若关于x 的一元二次方程(k+2)x 2﹣3x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜14且k≠﹣2 B ．k≤14 C ．k≤14且k≠﹣2 D ．k≥148．已知：m +1，n ﹣1＝（ ）A ．±3B ．﹣3C ．3D 9．a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式a 3+2a 2+2018的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 10．对于二次函数()212y x =--+的图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线1x =，最大值是2B ．对称轴是直线1x =，最小值是2C ．对称轴是直线1x =-，最大值是2D ．对称轴是直线1x =-，最小值是2 11．如图，直线12l l ，:1:2AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 的值为（ ）A ．2:1B ．1:2C ．2:3D ．3:212．如图，已知第一象限的点A 在反比例函数y ＝x上，过点A 作AB ⊥AO 交x 轴于点B ，∠AOB ＝30°，将△AOB 绕点O 逆时针旋转120°，点B 的对应点B 恰好落在反比例函数y ＝k x上，则k 的值为（ ）A ．﹣B ．﹣3C ．﹣D ．﹣3二、填空题13x 的取值范围为_____．14．如图，点P 在ABC 的边AC 上，要使ABP ACB ∽，添加一个条件________．15．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小茗同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上).若飞镖板中的直角三角形的两条直角边长为1和2，则投掷飞镖一次扎在小正方形的概率是______.16．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.17．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点P ，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且PE ⊥PF ．若AB ＝3，BC ＝4，那么PE PF的值为_____．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc ＞0； ②4ac ＜b 2； ③3a +c ＞0；④2a +b ＝0； ⑤当x ＜1时，y 随x 增大而增大，其中正确有_____．三、解答题19．解方程：2x 2+x ﹣6＝0．20212cos30|12-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 21．如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A 的坐标为（﹣2，4），B 的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C 的坐标是 ，△ABC 的周长是 （结果保留根号）；（3）把△ABC 以点C 为位似中心向右放大后得到△A 1B 1C ，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A 1B 1C 的图形并写出点A 1的坐标．22．某区域为响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如下不完整统计图请结合图中信息，解决下列问题：（1）此次调查中接受调查的人数为 人，其中“一般”的人数为 人； （2）补全条形统计图；（3）兴趣小组准备从“不满意”的5位群众中随机选择2位进行回访，已知这5位群众中有2位来自甲片区，另3位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众来自甲、乙两片区各一人的概率．23．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，BP＝．（1）求A、B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向前行，求观测站B与小船的最短距离．24．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2021年该市投入基础教育经费5000万元，2021年投入基础教育经费7200万元．（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？25．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE 于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．26．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中点.点E从A 出发，以acm/s(a＞0)的速度沿AC匀速向点C运动；点F同时以1cm/s的速度从点C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG，设它们运动的时间为t秒(t≥t0).(1)若t=2，△CEF∽△ABC，求a的值；(2)当a=1时，以点E、F、D、G为顶点点四边形时平行四边形，求t的值；2(3)若a=2，是否存在实数t，使得点△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义进行化简即可.【详解】==故选：A.【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.2．C【解析】【分析】先移项，然后利用数的开方解答．【详解】解：移项得x2＝4，开方得x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0），ax2＝b（a，b同号且a≠0），（x+a）2＝b（b≥0），a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．C【分析】迎水坡AB的坡比为3：4得出3tan4BAC∠=，再根据BC＝6m得出AC的值，再根据勾股定理求解即可. 【详解】由题意得3 tan4BAC∠=∴468tan3BCAC mBAC==⨯=∠∴10AB m==故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，把坡比转化为三角函数值是关键. 4．D【解析】试题解析：袋中球的总个数是：2÷14=8（个）．故选D．5．A 【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得32xy=，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得32xy=，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．6．D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3)∴OB=4，AB=3，在Rt △AOB 中， ∴AB 3sin ==OA 5α 故选：D ．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．7．C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程（k+2）x 2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，解得：k≤14且k≠-2， 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k 的不等式是解此题的关键． 8．C【分析】先根据题意得出m n -和mn 的值，再把式子化成含m n -与mn 的形式，最后代入求值即可.【详解】由题得：2m n -=、1mn =3====故选：C.【点睛】本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.9．B【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：a2＋a−1＝0，∴a2＋a＝1，∴原式＝a3＋a2＋a2＋2018＝a（a2＋a）＋a2＋2018＝a＋a2＋2018，＝1＋2018＝2019，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用方程的解的定义．10．A【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【详解】解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，可知：对称轴x=1，开口方向向下，所以有最大值y=2，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．11．C【分析】设AF=x，BF=2x，BC=2y，CD=y，利用l1∥l2，，可得△AGF∽△BDF，从而可求出AG，再利用△AGE∽△CDE，就可求出AE：EC的值．【详解】解：∵AF：FB=1：2，BC：CD=2：1,∴设AF=x，BF=2x，BC=2y，CD=y,∵l1∥l2，∴△AGF∽△BDF，∴AG AF BD BF= , ∴132AG y =， ∴AG=32y ， ∵l 1∥l 2，∴△AGE ∽△CDE ，∴AE ：EC=AG ：CD=32y ：y=3：2. 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．12．B【分析】过点B D '作x 轴的垂线垂足为C ，过点A 作x 轴的垂线垂足为D ，设点A 的坐标为(,)a b 根据反比例函数的解析式和含30角的直角三角形Rt AOD ∆得出点A 的坐标，再通过解特殊角度直角三角形得出OA AB 、的值，再根据旋转得出60COB '∠=︒，然后证明()AOB CB O AAS '∆∆≌，根据全等得出CO CB '、的值，即可得出点B D '的坐标，把点B D '的坐标代入反比例函数解析式即可求得k 的值.【详解】过点B D '作x 轴的垂线垂足为C ，过点A 作x 轴的垂线垂足为D ，如下图所示：设点A 的坐标为(,)a b ，∵30AOB ∠︒＝∴tan AD b AOB OD a ∠=== ∴3a b又∵b =∴解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∵点A 在第一象限∴1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩不符合题意舍去， ∴点A的坐标为，∴22OA AD ==∴tan 30AB OA =︒= ∵△AOB 绕点O 逆时针旋转120°∴120BOB '∠=︒∴60COB '∠=︒∴30CB O '∠=︒∴O C B B O A '∠=∠在AOB ∆和CB O '∆中90AOB CB O OAB B CO BO OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒'='⎨'⎪⎩∴()AOB CB O AAS '∆∆≌∴2CO AB CB AO '==== ∵点B D '旋转后落在第二象限∴点B D '的坐标为(2)∴2=解得：k = 故选：B.【点睛】本题主要考察反比例函数、解直角三角形、三角函数、全等三角形的判定及性质，本题综合性比较强，运用数形结合思想是关键.13．12x ≥ 【分析】根据二次根式有意义的条件得出210x -≥即可求解.【详解】则210x -≥， 解得：12x ≥， 即实数x 的取值范围为12x ≥. 故填：12x ≥【点睛】 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义即根号内的式子要大于等于零是关键.14．ABP C ∠=∠或APB ABC ∠=∠或2AB AP AC =⋅【分析】利用相似三角形的判定方法，结合图形即可解答．【详解】当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ；当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ；当AB 2=AP•AC 时，则AB AP AC AB= ，又∵∠A=∠A ，∴△ABP ∽△ACB ． 故答案为ABP C ∠=∠或APB ABC ∠=∠或2AB AP AC =⋅．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定方法判定三角形相似是解决问题的关键．15．15【解析】【分析】根据投掷飞镖一次扎在小正方形的概率等于小正方形的面积比上大正方形的面积进行求解.【详解】S 小正方形=（2-1）⨯ （2-1）=1；S 大正方形⨯ =5；所以投掷飞镖一次扎在小正方形的概率为15 . 【点睛】本题考查了图形面积与事件概率的关系，熟练掌握图形面积与事件概率的关系是本题解题关键.16．20【解析】因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线．解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，∴大三角形的周长：小三角形的周长是3：5，∵小三角形一边上的中线长是12cm ，∴12÷35=20cm ，∴大三角形对应边上的中线长是20cm ．“点睛”本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．3【分析】过点P 分别作PM AB ⊥垂足为M ，PN BC ⊥垂足为N ，先证出EPM FPN ∠=∠，再证明PME PNF ∆∆∽，再根据点P 是矩形ABCD 的对角线交点得出P 是中点，进而得出PM 、PN 的值，最后根据相似三角形的性质即可求解.【详解】过点P 分别作PM AB ⊥垂足为M ，PN BC ⊥垂足为N ，如下图所示：∵PM AB ⊥、PN BC ⊥，矩形ABCD∴90PMB PNB ABC ∠=∠=∠=︒∴90MPN ∠=︒∵PE PF ⊥∴90EPF ∠=︒∴EPM FPN ∠=∠又∵90PME PNF ∠=∠=︒∴PME PNF ∆∆∽ ∴PE PM =PF PN∵点P 是矩形ABCD 的对角线交点∴P 是AC 的中点∴PM 是ABC ∆的中位线 ∴1=22PM BC =同理可得：13=22PN AB = ∴PM 4=PN 3，即PE 3=PF 43【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定及性质，准确作出辅助线是关键.18．②④⑤ ．【分析】根据开口方向、图像与y 轴的交点位置、对称轴判断出a b c 、、的正负性即可判断结论①；根据图像跟x 轴有两个交点判断结论②；把坐标(1,0)-代入解析式得出0a b c -+=，再结合对称轴公式判断结论③；根据对称轴公式判断结论④；根据开口方向和对称轴判断结论⑤.【详解】∵图像开口向下∴0a <∵图像与y 轴正半轴相交∴0c >∵对称轴为直线1x ＝ ∴12b a-= ∴0b >∴0abc <故结论①错误；由图像可知抛物线与x 轴有两个交点∴240b ac ->∴24ac b <故结论②正确；把坐标(1,0)-代入解析式得0a b c -+=⑥ ∵12b a-= ∴20a b +=⑦ 由⑥+⑦得：30a c +=故结论③错误；故结论④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝1∴当x ＜1时， y 随x 增大而增大故结论⑤正确.故填：②④⑤.【点睛】本题主要考察二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握图像与系数的关系是关键.19．x 1＝1.5，x 2＝﹣2．【分析】利用因式分解法进行解方程即可.【详解】解：因式分解得：(23)(2)0x x -+=，可得230x -=或20x +=，解得：1 1.5x =，22x =-【点睛】本题主要考察因式分解法解方程，熟练运用因式分解是关键.20．5【分析】先根据算术平方根、特殊角三角函数值、负指数幂、去绝对值对各项进行计算，再根据实数的加减混合运算法则进行计算即可.【详解】解：原式241415=-== 【点睛】本题考查算术平方根、特殊角三角函数值、负指数幂、去绝对值，熟练掌握各运算法则是关键.21．（1）详见解析；（2）C 点坐标为（﹣1，1），周长为；（3）点A 1的坐标为（1，﹣5）．【分析】（1）根据A 点的坐标找出对应的原点即可画出平面直角坐标系；（2）根据题意中的点在第二象限内、以AB 为底的等腰三角形、腰长是无理数来确定点即可，然后再根据勾股定理算出各边边长即可求解；（3）根据位似中心的定义及以1：2进行放大后利用格点找出11,A B 进行作图即可.【详解】解：（1）把点A 向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点，建立相应的平面直角坐标系，如下图所示：（2）作线段AB 的垂直平分线，在第二象限内寻找满足腰长是无理数的点C ，如下图所示：C 点的坐标为(1,1)-，利用图中格点的三角形可得：AB ==AC BC ===∴△ABC 的周长是（3）根据题意得：点1A 在AC 的延长线上，且12AC AC =, ∵AC 是一个13⨯格子的对角线∴1A C 是一个26⨯格子的对角线利用格点找出点1A ，同理找出1B ，连接11A B C ，如下图所示：∴点A 1的坐标为(1,5)-【点睛】本题主要考察平面直角坐标系、等腰三角形、位似中心、图形的变换，利用格点计算线段的长度是关键.22．（1）120，19；（2）详见解析；（3）35． 【分析】（1）根据条形图和扇形图中非常满意的人数和占比得出总数，再根据不满意和一般的占比得出不满意和一般的总人数，最后即可解得一般的人数；（2）先根据满意的占比得出满意的人数，再补全条形统计图即可；（3）先列出树状图，再数出总的可能的结果，再从树状图中得出来自甲、乙两片区各一人的可能性有几种即可求解.【详解】解：（1）由图可知：非常满意的人数是72人，占总的60%∴调查中接受调查的人数为：7260%120÷=（人）∴不满意和一般的人数为：120(160%20%)12020%24⨯--=⨯=∴一般的人数为：24519-=（人）故填：120，19；（2）满意的人数有：120×20%＝24（人），补全条形统计图如图所示（3）树状图如图所示，∵共有20种等可能的结果，选择的市民均来自甲、乙两片区各一人的的有12种情况，∴选择的市民均来自甲、乙两片区各一人的的概率为：123 205=.【点睛】本题主要考察条形统计图和扇形图统计的结合、画条形统计图、概率计算，结合条形统计图和扇形图统计进行解题是关键.23．（1）6(1km；（2）3(1+km．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，根据特殊角度得出BD与AD的长度即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，根据点到直线之间的距离是垂线段最短进行计算即可. 【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，∵从B 测得小船在北偏东45°的方向∴∠PBD ＝90°﹣45°=45°，即6BD PD km === ∵从A 测得小船在北偏西60°的方向∴∠P AD ＝90°﹣60°＝30°，∴tan PD AD PAD==∠∴A 、B 观测站距离：AB AD BD 6(1=+=km（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵小船往北偏西60°的方向前行，∴∠F AB ＝30°∴观测站B 与小船的最短距离为1AB 3(12BF ==km ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.24．（1）该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.（2）最多可购买电脑880台．【解析】试题分析：（1）根据2021年基础教育经费额×（1+平均年增长率）2=2021年基础教育经费额，列出方程即可求得；（2）先求出2021年基础教育经费投入额，设购买电脑m 台，根据购买电脑的费用+购买投影仪的费用≤投入基础教育经费×5%，列出不等式，即可求得 .试题解析：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ，根据题意得：5000（1+x ）2=7200，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．（2）2021年投入基础教育经费为7200×（1+20%）=8640（万元），设购买电脑m 台，则购买实物投影仪（1500﹣m ）台，根据题意得：3500m +2000（1500﹣m ）≤86400000×5%，解得：m ≤880．答：2021年最多可购买电脑880台．25．（1）证明见解析；（2）35． 【分析】（1）由于AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB ，进而可证明△ADE ∽△ABC ；（2）△ADE ∽△ABC ，AD AE AB AC =，又易证△EAF ∽△CAG ，所以AF AE AG AC =，从而可求解．【详解】（1）∵AG ⊥BC ，AF ⊥DE ，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC ，∴∠AED=∠ACB ，∵∠EAD=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，（2）由（1）可知：△ADE ∽△ABC ， ∴35AD AE AB AC == 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC ，∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AE AG AC=， ∴AF AG =35 考点：相似三角形的判定26．(1)a =12；(2)t =2411或t =245；(3)t=3219，△DFG 是直角三角形． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，建立比例关系，进而求解.（2）根据相似三角形的定义证明△AEG∽△ACD，进而得到EGCD =AEAC，求得EG的值，再根据题意求出t的取值.（3）根据题意及勾股定理，再结合（2）中△AEG∽△ACD，得到AEAC =AGAD=EGCD，最后分情况讨论，得出t=3219，△DFG是直角三角形. 【详解】(1)∵t=2，∴CF=2厘米，AE=2a厘米，∴EC=(4﹣2a ) 厘米，∵△ECF∽△BCA．∴ECCB =CFAC．∴4−2a6=24∴a=12．(2)由题意，AE=12t厘米，CD=3厘米，CF=t厘米．∵EG∥CD∴△AEG∽△ACD．∴EGCD =AEAC，EG3=12t4∴EG=38t．∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形∴EG=DF．当0≤t＜3时，38t=3−t∴t=2411．当3＜t≤6时，38t=t−3∴t=245．综上，t=2411或t=245.(3)∵点D是BC中点∴CD=12BC=3，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得，AD=5，由题意，AE=2t 厘米，CF=t 厘米，由(2)知，△AEG ∽△ACD ，∴AE AC =AG AD =EG CD ，∴2t 4=AG 5=EG 3 ∴AG=52t 厘米，EG=32t ，DF=3﹣t 厘米，DG=5﹣52t (厘米)．若∠GFD=90°，则EG=CF ，32t =t ．∴t=0，(舍去)(11分)若∠FGD =90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD CD =FD GD ，∴53=3−t5−52t ．∴t=3219．综上：t=3219，△DFG 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及运用，熟练掌握相似三角形的性质及运用是本题解题关键.。