微分方程的幂级数解法
原方程的通解
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程用幂级数解法.
微分方程的幂级数解法
一、问题的提出
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
雅卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、
问题
特解求法
例1 解
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
小结: 无初始条件求解
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理
作法
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 解
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高阶微分方程的降阶和幂级数解法
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程
d 2x p(t) dx q(t)x 0,
dt 2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1 y' x1' y
代入(4.69)得
x'' x1 y'' 2x1' y' x1'' y
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' [x1'' p(t)x1' q(t)x1]y 0
k 1, 2,
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n
k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
k 0
k 0
(x2 n2 ) ak xk 0 k 0
比较x的同次幂系数得
a0 ( 2 n2 ) 0
a1[( 1)2 n2 ] 0
(4.76)
ak [( k)2 n2 ] ak2 0, k 2, 3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
ui
( zi )', i zk 1
1, 2,
,k 2
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
幂级数展开的微分方程法
，…的函数都可采用这种方法求解・
从例 １２ － 可以看出，这种幂级数展开的微分方程法能够解决难以找到可利用 的展开式 ， 而其导数又保 留原来函数因式的一些初等函数的幂级数展开 ， 此方法的优点在于将被展开函数幂级数的系数求解问题转 化 为求解 方程 系数 问题 ，这 种求解 方 式既简 单盲观 ．又佰 千学 毕弹解
考虑上述方法的局限性的前提下 ，给出了幂级数展开的微分方程法 ，可使此类问题 的解决简单直观 ，易于
理解 ．
利用微分方程将 函数 ｆ ｚ 在 Ｚ ０ （） ＝ 展开成幂级数可以按如下步骤进行 ： Ｓｅ １ 利用被展开函数的导数与函数的关系建立关于函数的微分方程 ， ｔｐ 使得函数 ｆ ｚ 是这个方程满 （）
＝
１
＋
詈 １ ２（ １于， 函八的克林开ｃ （ ） ） ～ 是 到数 迈劳展式ｓ ＋ （ ． ） 得 ＋． ‘ ・ ０ 薹 罢 ）－２ ２ － Ｉｌ （ （ｎ） ＋１ 詈 ＋ ｎ ｚ． … （＜ ｌ
例 ２ 将函数 ， ｚ ＝ １ 展开成麦克劳林级数． （） ｅ ｚ 一
（一Ｚ ） ｚ＋ （） 厂 ｚ ＝０ １ ２， （） ｚ ＋ （）
满足初始条件 ｆ Ｏ ＝ ， ） ． （） １ ｆ（ ＝０ ０
将，ｚ ： 以 Ｚ ，，（ ＝ ２ａ －，，（） ∑ ２（ｎ １ ２ 代入式 （ ）得 （ ∑ ２ ） ） ∑ ｎ２ ２１ ｚ＝ ｎ２ 一 ） ｚ Ｚ ｎ 口ｚ ２，
例 １ 将函数 ｆ ｚ ＝ＣＳ ｒｓ Ｚ 其中： ∈ ） （） Ｏ（ ｃｉ ）（ ａａ ｎ Ｒ 展成麦克劳林级数．
解 显然 ｚ １ 函数 ｆ ｚ ＝ｃ ｓ ￣ｒｓ ｚ 的奇点 ， ＝± 是 （） ｏ （ ａｃｉ ） ｏ ｎ 所以 Ｒ＝ ． １ 因为 ｆ（） 一 了 ＝ ＿ ｚ
利用解微分方程求幂级数的和函数_孙艾明
(
)
[ ∫Q（ x） e
∫ P （ x） dx
dx + C ．
]
2. 二阶常系数线性微分方程的解法 形如 y″ + py' + qy = f（ x） 的方程我们称之为二阶常系数 q 为已知常数． 当 f （ x ） = 0 时称为齐 其中 p， 线性微分方程， 次方程； 当 f（ x） ≠0 时称为非齐次方程． y″ + py' + qy = 0 的 通解可用如下方法得到： 2 第一步： 写出微分方程的特征方程 r + pr + q = 0 ． r2 ． 第二步： 求出特征方程的两个根 r1 ， 第三步： 根据特征方程的两个根的不同情况， 写出微分 方程的通解， 即 r x r r1 ， r2 为实根， 若 r1 ≠ r2 ， 则通解为 y = C1 e 1 + C2 e 2 ； 若 r1 x r1 = r2 ， r2 = α － 则通解为 y = （ C1 + C2 x ） e ． ； 若 r1 = α + iβ， x iβ， 则通解为 y = e α （ C1 cosβx + C2 sinβx） ． y″ + py' + qy = f（ x） ， 当 f （ x） 为指数函数、 多项式函数和 sinβx， cosβx 或它们的乘积形式时， 可以根据这种函数形式 来推断出特解的形式， 再把形式解带入方程， 确定解中所含 的常数值， 这种方法称为待定系数法 ． x k x 当 f（ x） = e λ P m （ x ） 特解具有形式 x Q m （ x ） e λ 时， 其中 Q m （ x） 是与 P m （ x） 同次的多项式， k 按 λ 不是特征根、 是单 1， 2． 特征根或二重特征根依次取 0 ， x P l （ x） cosωx + P n （ x） sinωx］ 当 f（ x） = e λ ［ 特解具有形式 k λx 1 1 x e ［ R m （ x） cosωx + R2 （ x ） sin x ］ R （ R2 ω 时， 其中 m m x） ， m （ x） 是 m 次多项式， m = max（ l， n） ， k 按 λ + iω （ λ － iω ） 不是特征根 或是特征根分别取 0 或 1 ． 3. n 阶常系数线性齐次微分方程的解法 （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的方程， 形如 y + p1 y 我们 p2 ， …， p n 为已知 称之为 n 阶常系数线性微分方程， 其中 p1 ， （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的特征方程为 常数． y + p1 y n n －1 r + p1 r + … + pn － 1 r + pn = 0， 根据特征方程的根 （ 特征 1］ ． 写出微分方程的通解． 详见［ 根） 的各种不同情况， 二、 利用解微分方程求函数项级数的和函数 例1 解 xn 的和函数 S（ x） ． n = 0 n！ 易求得级数的收敛半径 R = + ∞ ， 当－∞ ＜x ＜ +∞ 求无穷级数 ∑∞ ∞ ຫໍສະໝຸດ ∞[][
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
函数的幂级数展开式的应用
常用方法: 常用方法 1.若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数,则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决; 2.若不是交错级数 则放大余项中的各项 使之成 若不是交错级数,则放大余项中的各项 若不是交错级数 则放大余项中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 从而求出其和. 为等比级数或其它易求和的级数 从而求出其和 例1 计算 的近似值 使其误差不超过 −5. e , 10 解
1 2 1 n ∵ e = 1 + x + x + ⋯ + x + ⋯, 2! n!
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余项: 余项
rn +1 1 1 1 1 = + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
−5
欲使 rn + 1 ≤ 10
即 n ⋅ n! ≥ 10 5 ,
1 ≤ 10 − 5 , ,只要 n ⋅ n!
而 8 ⋅ 8! = 322560 > 10 5 ,
1 1 1 ∴e ≈ 1+ 1+ + +⋯+ ≈ 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x ≈ x − 计算sin90的近似值 , 3! . 并估计误差 π 1 π 3 π 0 解
微分方程的经典解法
非线性变量代换法的关键在于选择适当的函数 (g(x, y)) 和 (f(u))。
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
利用微分方程将函数展开为幂级数
将初等复变函数)(z f 展开为Taylor级数的方式通常有两类,即直接法和间接法。
直接法需要计算)(z f 的各阶导数,而其n 阶导数的一般表达式)()(z f n 往往很复杂,不易直接表示出来,因此,人们总是避免用直接法而采用间接法。
因为函数展开式是唯一的,所以两种方法所得结果一样。
常用的间接法有:通过变形或变换,利用已知的Taylor展开式;利用级数的逐项积分或逐项求导;利用两个已知级数的相乘或相除;等等。
这些方法在文后所列的许多专著中都有比较详细的说明。
但是,如果难以找到可以利用的已知展开式,上述方法就难以实现了。
本文将针对研究利用微分方程将其展开为幂级数的方法。
1 本方法的思路以0 z 处的展开式为例。
先对函数)(z f w 求导,因为导数中含有原来函数因式,将其还原为原来函数,得到一个微分方程0)()()( z r w z q w z p 。
(1)假设332210)(z a z a z a a z f , (2)求导,得342321432)(z a z a z a a z f , (3)将(2)式和(3)式代入(1)式,得恒等式)())(()432)((332210342321z r z a z a z a a z q z a z a z a a z p 。
当)(z p 、)(z q 和)(z r 都为已知展开式的函数时,通过比较系数法确定 ,,,,3210a a a a 的值后,代入⑵式,即可得到函数)(z f w 的Taylor展开式。
2 应用类型本方法可以应用于以下三种类型的函数:类型I:)()(z ez f 型函数求导,得)()()(z e z f z ,因为)()(z f e z ,得微分方程)()()(z f z z f 。
当)(z 为多项式函数或已知展开式的初等复变函数时,将(2)式和(3)式代入上式,通过比较系数法确定 ,,,,3210a a a a ,便可以得到函数)()(z e z f 的Taylor展开式。
微分方程的幂级数解法
§13.8 微分方程的幂级数解法 一、问题的提出
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式