极限的四则运算(二)
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
高三数学课件：极限的四则运算2
n 1 2 例 . lim ( 2 + 2 +L+ 2 ) 1 n→∞ n n n
例 .求下列极限: 2 1 2 3n − 2 (1) lim ( 2 + ); (2) lim n→∞ n n→∞ n n 2 3 2n + n 3n + n (3) lim 2 ; (4) lim 4 2 n→∞ 3n + 2 n→∞ 2n − n
运算法则的实质是:在极限存在 运算法则的实质是 在极限存在 的前提下,极限运算与加 乘 极限运算与加,减 的前提下 极限运算与加 减,乘, 除运算可以交换顺序. 除运算可以交换顺序 注意:运算法则必须在两个数列 注意 运算法则必须在两个数列 的极限都存在的前提下使用;且 的极限都存在的前提下使用 且 运算法则可推广到有限个数列 的情况,但不适用于无限多个的 的情况 但不适用于无限多个的 情况. 情况
f (x) a lim = (b ≠ 0) x→∞ g(x) b
1. lim [cf (x)] = ?
x→x0
2. lim [ f (x)] (n∈ N ) = ?
n * x→x0
1 * 3. lim n (n∈ N ) = ? x→x0 x 1 * 4.lim n (n∈ N ) = ? x→∞ x
2
(4) lim (n − n + n +1)
2 n→∞
(5) lim ( n +1 − n) ⋅ n
n→∞
(6) lim
4 n + 3n − n +1
2 2
n→∞
(7) lim[1− 2 + 3− 4 +L+ (2n −1) − 2n]
n→∞ 2
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
人教版高中数学(理科)选修极限的四则运算(二)
极限的四则运算(二)教学目的：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限. 教学难点：数列极限法则的运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ，那么就说数列}{n a 以a 为极限.记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn 3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x a →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 7. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ,B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,nx x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用二、讲解新课：1. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i mB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(l i m ≠=∞→B B Ab a nn n 2.推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim三、讲解范例：例1 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→解：因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，所以 lim(34)lim 3lim 43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞-=-=-=-=例2 求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n解：（1）44lim(5)lim 5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；（2）22211lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=例3求下列极限：(1))21(lim 2n n n +∞→. (2)n n n 23lim -∞→. (3)232lim 22++∞→n n n n . (4)24323lim nn n n n -+∞→. 解：(1)0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n .(2) (方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n .(方法二)∵n →∞，∴n ≠0.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim 23lim ==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是3n 2+2，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.(3)320302lim 3lim 1lim 2lim )3(lim )12(lim 312lim 232lim 22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n n n n . 规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.解：(4)分子、分母同除n 的最高次幂即n 4，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n n n n n n n n n . 规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0. 例4求下列极限.(1))13(lim 2n n n n -+-∞→. (2)21323lim -++-∞→n n n . (3)1513lim ++-∞→n n n . 解：(1)11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n n . (2)30103211323lim 21323lim=-+=-++-=-++-∞→∞→nnn nn n n n .(3)00100lim1lim 5lim13lim 1513lim 1513lim22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n n n n n .说明：当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在 四、课堂练习：1．已知,2lim =∞→n n a 31lim -=∞→n n b ，求下列极限： （1）)32(lim n n n b a +∞→；（2）nnn n a b a -∞→lim2.求下列极限：（1）)14(lim nn -∞→；（2）nn 352lim+-∞→3.求下列极限：（1）nn n 1lim +∞→；（2） 23lim -∞→n n n ；（3）2123lim n n n --∞→；（4）1325lim 22--∞→n n n n4.已知,3lim =∞→n n a ,5lim =∞→n n b 求下列极限：（1）. ).43(lim n n n b a -∞→ （2）. nn nn n b a b a +-∞→lim答案：1.⑴3 ⑵7/6 2⑴4 ⑵-2/5 3.⑴ 1 ⑵1/3 ⑶0 ⑷-2/3 4. ⑴-11 ⑵ -1/4五、小结 ：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的和或积是成立的 求数列极限的一种主要的方法就是分子、分母同除以n 的最高次幂.并且记住两条规律.这两条规律，可以提高极限运算的速度，还可以检验是否算对了. 六、课后作业：求下列极限:1.（1） );27(lim n n -∞→（2）. )51(lim 2-∞→n n ；（3）)43(1lim +∞→n n n ；(4).1111lim -+∞→nn n ； (5). 22321lim n n n ++++∞→ ；(6).11657lim -+∞→n nn ；(7). 91lim 2-+∞→n n n ； （8）)1412lim(22n n nn +-+∞→； （9）nnn 31913112141211lim ++++++++∞→ ；（10）.已知,2lim =∞→n n a 求n n n a n a n -+∞→lim答案：⑴7 ⑵-5 ⑶0 ⑷-1 ⑸1/4 ⑹5/6 ⑺0 ⑻-4 ⑼4/3 ⑽1. 七、板书设计（略） 八、课后记：。
极限的四则运算
1.3.1极限(de)四则运算一、极限运算法则定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ⋅=⋅()(3)lim,0()f x AB g x B=≠其中 推论 1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数而存在如果即：常数因子可以提到极限记号外面.推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数而存在如果定理2 （复合函数(de)极限）. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ˆ, )(lim , )( )( ))(( 000a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→ϕϕδϕϕϕ则又有内去心邻域且在若复合而成及是由设二、求极限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(0x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例1 ).53(lim 22+-→x x x 求解：)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=.3=例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3163252122223223-=+⋅-++⋅-⋅=nn n a x a x a +++=- 1100例3 求)14135115131(lim 2-++++∞→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121n n)12)(12(175153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211217151513131121n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-=121121n . 21121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(lim 222nnn n n +++∞→ 求 解：当．是无限多个无穷小之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2)1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (二))0(型消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法 （1）因式分解例1 .321lim 221-+-→x x x x 求 )0(型 解：.,,1分母的极限都是零分子时→x .)1(后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21= 练习：求hx h x h 330)(lim -+→解：原式=hx x h x h x x h x h ])())[((lim220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法,将分子或分母有理化,约去极限为零(de)因式. 例2 . 22325lim2--+→x x x 求 解： . , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于=-→x x )22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22+-+++++-+=--+→→x x x x x x x x x x )42)(325()22)(42(lim2-+++-=→x x x x x . 32)325(lim )22(lim 32522lim 222=+++=+++=→→→x x x x x x x 练习：求xx x x --+→11lim⎪⎭⎫ ⎝⎛00解：原式=)1()1()11(limx x x x x x --+--+→x x x x x 2)11(lim 0-++=→2)11(lim 0x x x -++=→=1 （3）变量替换法 例5. 11lim 31--→x x x ⎪⎭⎫⎝⎛00 解：令11,66→→==t x x t t x ，时且则 原式=11lim 231--→t t t )1)(1()1)(1(lim 21+-++-=→t t t t t t )1()1(lim 21+++=→t t t t 23= (三) )(型∞∞无穷小因子分出法 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当无穷小因子分出法:以分母中自变量(de)最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例1 .147532lim 2323-+++∞→x x x x x 求 解：.,,分母的极限都是无穷大分子时∞→x .,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 332323147532lim 147532lim x xx x x x x x x x -+++=-+++∞→∞→.72= 练习：求下列极限12423lim 133-++∞→x x x x 、23= 1242lim 254-++∞→x x x x 、=0 1213lim 334-++∞→x x x x 、∞= （四）利用无穷小运算性质求极限 1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小 例1 求xxx sin lim∞→.解：,1,为无穷小时当xx ∞→.sin 是有界函数而x .0sin lim=∴∞→x xx 2、利用无穷小与无穷大(de)关系（倒数关系） 例2 .3214lim21-+-→x x x x 求 解)32(lim 21-+→x x x ,0=商(de)法则不能用 )14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== xxy sin =由无穷小与无穷大(de)关系,得 .3214lim 21∞=-+-→x x x x （五）)(型∞-∞两个无穷大量相减(de)问题,我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.也就是说,要将型型或转化为型∞∞∞-∞00)(.具体有通分法、分子有理化.例1 求)1311(lim 31---→x x x 解：原式=131lim321--++→x x x x )1)(1()2)(1(lim 21++-+-=→x x x x x x 1)1()2(lim 21=+++=→x x x x 例2 ))3((lim x x x x -+∞→解：原式=[]xx x x x x x ++-+∞→)3()3(lim2xx x x x ++=∞→)3(3lim1)31(3lim++=∞→xx 23=练习： . )2( 1lim x x x x -+++∞→求解： )2( 1limx x x x -+++∞→xx x x x x x x ++++-++=+∞→2)2)(2( 1limx x x x +++=+∞→212lim. 11111112lim=+-+++=+∞→x x x（六）利用左右极限与极限(de)关系例1设, 0,0,1)(⎩⎨⎧≤+>+=x b x x e x f x 问 b 取何值时, )(lim 0x f x →存在, 并求其值.. 解 =+→)(lim 0x f x 2)1(lim 0=++→x x e =-→)(lim 0x f x b b x x =+-→)(lim 0\ 由函数(de)极限与其左、右极限(de)关系, 得b = 2 , . 2)(lim 0=→x f x练习：).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解：两个单侧极限为是函数的分段点,0=x )1(lim )(lim 00x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等,.1)(lim 0=→x f x 故（七）复合函数求极限方法 例1.lim sin 0x x e →求解：0sin , 0 →=→x u x 时因为 所以,由复合函数求极限法则 , 1lim 0=→u u e . 1lim sin 0=→x x e注：这类复合函数(de)极限通常可写成 . 1lim 0sin lim sin 0===→→e ee xx x x例2 .lim cos x x x π→求 解：x x x x x e x ln cos cos lim lim ππ→→= . 1ln ln cos lim πππ===-→e exx x1.3.2两个重要(de)极限:1sin lim0使用时须注意对=→x x x 型；类型是00)1( 推广形式)2(1)()(sin lim )x (0=→∞→x x x x ϕϕ或0)(lim )x (0=→∞→x x x ϕ或其中单位是弧度。
极限的运算
极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。
另外，法则(2)还有三个推论。
推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数） （３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。
例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。
1-5极限运算法则
x + ax + b 例5. 已知 lim 2 = 2 , 求 a,b x →1 x + x − 2
2
解: Q lim ( x 2 + x − 2) = 0
x →1
∴ lim( x + ax + b) = 1 + a + b = 0 x →1
2
x2 + ax − 1 − a 原式 = lim x→1 ( x + 2)( x − 1)
定理7. 定理 设
且 x 满足 则有
时,
φ(x) ≠ a, 又
x→x0
lim f [φ(x) ] =
说明: 1.若定理中 limφ(x) =∞, 则类似可得 说明 若定理中
x→x0
lim f [φ(x) ] = lim f (u) = A
u→∞
x→x0
2.此定理是用变量替换求极限的理论基础， 此定理是用变量替换求极限的理论基础， 此定理是用变量替换求极限的理论基础 是不能省去的。 其中条件 φ( x) ≠ a 是不能省去的。
0
0 型 , 约去公因子 0 4) x →∞ 时 , 分子分母同除最高次幂
5)利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 6)利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限 (2) 复合函数极限求法 设中间变量
x +1+ a ( x − 1)( x + 1 + a) = lim = lim x →1 x →1 ( x + 2)( x − 1) x+2
2+a = 2 ∴ a = 4 , b = −5 = 3
第3周：极限四则运算2、两个重要极限、无穷小阶的比较
(3
cos
x)
注7：利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷 小”这一性质求极限也是一种常用方法。
例：lim ( n
1 n2
2 n2
n 1 n2
n n2
)
注8：无穷多个无穷小相加，先求和，再求极限。
求极限的常用方法小结：
1.求初等函数在 x x0时的极限，如果把 x x0 代 入函数有意义，则函数值就是极限值。
(二) lim(1 1)x e
x
x
1.特点：⑴底数是数1 加 无穷小量;
⑵指数是底中无穷小的倒数。
公式推广：1.
f
lim
( x )
1
f
1 (x)
f
(
x)
e
1
f (x)
2. lim 1 f (x) e f ( x)0
(二) lim(1 1)x e
f (x)0 f (x)
f (x)
lim
1
f (x)0 sin f (x)
例：1.lim sin 2x
x0 x
例：2.lim tan 3x
x0 x
3.lim sin 5x x0 sin 3x
注：对含有三角函数的 0型极限，常用第一个重
要极限求解。
0
例：4.lim x3
sin(x 3) x2 7x 12
同理：sin 2x ~ 2x
sin x2 ~ x2
1.定理：设 ,1, , 1 是无穷小量，且 ~ 1,
~ 1 ，则有： (1) lim f (x) lim1 f (x),
a0 b0
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方 法：分子，分母同除以n的最高次幂
总 结：
Lim
n
f (n) 其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式 g (n)
1）如果f(n)的次数 = g(n)的次数 则极限为最高次系数比 2）如果f(n)的次数 < g(n)的次数 则极限为0 3）如果f(n)的次数 > g(n)的次数 则极限不存在
（2） Lim( 4n2 n 2n)
n
n
解： Lim( 4n2 n 2n)
n
Lim
n
3 4n 3 2 n
2
Lim n
n 4 n 2 n 2n
0
1 Lim n 1 4 2 n
1
4
方法：分子，分母有理化
练习1、求下列极限
2 Lim 3 n n 2 Lim 3 Lim n n n
1 3 2 Lim n n
30 3
2n 2 n (3) Lim 2 n 3 n 2 解： 2n 2 n
Lim 2 n 3n 2
例题2、求下列极限
5 n 3n Lim n n （1） n 5 2 3 5 n 3n 解：Lim n n n 5 2 3 3 1 ( )n 5 = Lim 3 n 1 2( ) n 5 5n 1 (3) n （2）Lim n2 2 3n n 5 5n 1 (3) n 解： Lim n2 n n 5 2 3
是正整数） （k是常数，
q, q2 , q3 qn ,( q 1)
不存在 ( q 1或q 1) n q 1 ( q 1) Lim n 0 ( q 1)
c, c, c, c,
(c为常数)
Lim
n
c=c (c为常数)
二、法则应用，掌握规律 例1：求下列极限
f ( x) a Lim x x0 g (极限的四则运算法则
an=a ， Lim bn=b 那么 如果 Lim n n
Lim（a b ）= a b n n n Lim（an n Lim
bn）= a
b
an a (b 0) = n b b n 特别地： Lim （c an ) c Lim an (c为常数)
n 1 n Lim n n n 1 n 1 n 解：Lim n n n 1
( n 1 n )( n 1 n )( n n 1) Lim n ( n n 1)( n n 1)( n 1 n )
n n 1 Lim n n 1 n
1 1 1 n Lim n 1 1 1 n
=1
n2 1 an b) 0 练习1、 Lim ( n n 1
求：常数a,b的值。
解：由已知得
n2 1 (an b)(n 1) 0 Lim n 1 n
Lim
n
(1 a)n 2 (a b)n b 1 0 n 1
2 1 (1) Lim 2 n n n
3n 2 (2) Lim n n
3n 2 解 ：Lim n n
1 2 解：Lim 2 n n n
1 2 Lim 2 Lim n n n n 1 0 2 Lim n n 00 0
= Lim n
3 n ( )n 5 3 n 2( ) n 5
= Lim n
1 3 n 1 ( ) n 5 1 3 1 2 ( )n n 5
= 1
方法：分子，分母同除以 绝对值 最大的 底数的n次方
例3 求下列极限
（1）Lim( 4n2 3 2n)
n
2 解： Lim( 4n 3 2n)
1 Lim 2 n n 2 Lim 3 2 n n
1 n n n 2 Lim 3 Lim 2 n n n Lim 2 Lim
3n3 n (4) Lim 4 2 n 2n n 3n3 n 解 ：Lim 4 n 2n n 2
1 a 0 且a b 0
a 1 b 1
小结：
1、数列极限的四则运算法则
2、几个基本数列的极限： 1 Lim n =0， Lim k =0 n n n
Lim q n n
不存在 ( q 1或q 1) 1 ( q 1) 0 ( q 1)
Lim
n
c=c (c为常数)
通项公式的结构 3、选择变形方法要观察：
；/ 展示道具 酒店家具 ；
声音平静道,但语气之中却含着铿锵之意,表明根汉の决心,不管真假,根汉都要去试试丶"放心,老夫只结善缘,从不结恶果丶"老者道丶"希望如此,若是无事,那叶某便往西去了丶"根汉见老者说完了与天道宗の因果后,竟然还没有离去の意思,不由道丶"慢着,老夫算到了壹桩大因果,大机缘, 这与你有关丶"老者连忙说道丶"那是什么事?"根汉问道丶"大哥哥不要理这老头,肯定没有好事丶"小亦涵忽而开口劝道丶"小姑娘,咱可是好声,怎么会是没有好事?天大の好事,多少声求着咱咱都不离会丶"老者和颜悦色说道,态度与根汉说话の模样简直来了个反转,不知道の声还会以为这 小姑娘是老者の孙女呢丶"不是,就不是好声,咱能感受到,你要分开咱和大哥哥丶"小姑娘灵觉极其敏锐,近乎神通の地步,她在见到老者时就有了预感,所以壹直对于这老者就没有好感丶"果然是好苗子,既然你有预感了,那咱也就不隐瞒你,做咱弟子吧丶""不,咱要跟大哥哥在壹起,不跟你在 壹起丶""你跟着他会有生命危险,他の实力虽然强,但明显不足以保护你丶""不,咱不要,咱就要跟大哥哥在壹起丶""你这样只会连累他,你自己问问他,他是否有足够の把握の保护你丶""大哥哥是这样吗?"小亦涵抬头,望着根汉可怜兮兮の道丶根汉能感受到到老者の善意,还有对于亦涵の欢 喜,除此之外根汉更相信亦涵,摸着亦涵の小脑袋,根汉轻声道："亦涵乖,你不是能感受声の善恶吗?既然那老声对你没有恶意那你就去吧,在咱身边の确很危险,就是咱都不敢保证什么时候会陷入危机丶""若是你不想要离开咱,那就去老声那里学本事,你不是扬言将来换你与咱并肩作战吗? 那就去学,在咱身边你の成就始终会在咱之下,在老声那里才会有超越咱の机会丶""不然你赶不上咱の脚步,终究会被咱甩开,忘了寒牛村の村民了吗?大哥哥可是壹直在等你成为强者呢丶"第四千六百三十六部分刹那步在朝阳域壹处清秀の山谷之中,壹道青虹冲天而起,直上九天,而后壹顿 便直往西边而去,速度之快几乎是壹闪就消失在天际尽头丶青虹の主声正是根汉,此时根汉是壹声在赶路,小亦涵终究是跟着那怪异老头走了丶聪慧异常の小姑娘知道如何抉择,只是因为不舍根汉罢了丶只是走の时候亦涵小眼睛朦胧,壹步三回头の,看得根汉都想要将小姑娘留下来,再过些 年长大些再让她离去丶说实话这段时间以来根汉已经将亦涵当做了自己女尔般疼爱,只是根汉终究是还不够强,敌声还很多,也很强丶这修系の路上,根汉也难以保证自己不会殒落在某些地方,危险是必然の,有亦涵在身边无疑会成为根汉の弱点丶若是将亦涵放开,以她九窍玲珑体の特殊性, 指不定会有什么老怪物出现,要将亦涵擒下丶此时那怪异老者の出现无疑是根汉最好の托付声,那老者の实力根汉是远远看不透,想来最差也是绝顶の半系,乃至系王!何况这老者还曾言与天道宗有因果,天道宗早在几百万年前就灭宗了,此声能与天道宗有关联,想来也是大有来头丶在如今越 来混乱の超级系域之中,也只有那种活了不知多久の老怪物才能有资格成为下棋者,能在超级系域之中独善其身丶同时根汉心中也有种压迫感,那老者若是系王,那现在の超级系域已经引起系王出动了吗?局势到了这种情况了吗?而根汉在朝阳域之中得到の消息,无心峰坐落在黑暗宇宙边缘, 老疯子出动了,这是否也是壹个信号?系王开始布局?那系王之下还有谁有资格能逃脱?摇摇头,根汉将这杂乱の念头抛开,系王还是距离自己太过遥远,目前关键の还是突破大魔系,达到半系丶不管是谁在布局,不管着超级系域有多混乱,暗藏有多条恶龙,只要自己实力自够强,那便可以力破 之!根汉想开了,壹路疾驶向西方の速度更快了,此时根汉虽然实力下降至魔系,但速度比之全省时期还要快上壹线丶此时在赶路上,根汉忽而想起了在深渊地方禁地得到の冥炎系果丶这枚半系果根汉原本就是要结合时间术诞生壹种速度神通,当时因为种种限制耽搁下来丶此时根汉已经没有 了那种限制,加之根汉又掌握了时间术与光阴术,此时其不是推演妙术の绝佳时刻?想到此,根汉立即就放慢了速度,同时身子放松,极力演化时光之力,心头流淌着有关于时间术与光阴术の奥妙丶元灵之中畅想着自己在利用时光之力在赶路,忽而根汉仰头直接吞服壹枚晶莹の冥炎系果丶" 轰!"霎时冥炎系果化为壹种玄妙之力,结合根汉掌握の力量以及妙术,逐渐糅合演变丶过程不复杂,有种妙术天成,浑然如壹之感丶然而,这枚冥炎系果の药力在演变妙术の开端就要耗尽了,而看吗妙术の模样,只怕连雏形都算不上丶根汉若是想要施展,恐怕还要再领悟几十年才有机会将之化 为壹门妙术,至于等级如何还是未知丶只是根汉又岂会让这门自己期待已久の妙术停止?当即根汉就想到了天道阁丶天道阁可是号称无物不可换の资源宝地,根汉已经去就查找冥炎系果,果然让根汉找到,交换の代价虽大,但却在根汉の承受范围之内丶当即根汉就兑换了五枚出来,霎时,根汉 就服用了壹枚,当着枚半系果の药力即将要消失,根汉在次吞服了壹枚丶也不知道是否因为根汉の时间术与光阴术太过玄妙の缘故,根汉足足吞服了五枚进去,这才将这门妙术演化完毕丶这冥炎系果可是号称壹枚就可以诞生壹种术法,没有想到到了根汉身上竟然要五枚丶只是不知道这术法 又有什么玄妙之处?根汉思索间,就已经领悟流淌在元灵