四川省成都市高考数学一诊试卷(文科)解析版
A. -l 或 0
B. 0 或 1
C. -l 或 2
D. l 或 2
3. 若
，则 tan2θ=（ ）A. Nhomakorabea-B.
C. -
D.
4. 已知命题 p：∀x∈R，2x-x2≥1，则￢p 为（ ）
A. ∀x∉R，2x-x2＜1
B.
C. ∀x∈R，2x-x2＜1
D.
5. 某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同 学的得分都在[50，100]内，按得分分成 5 组：[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的 中位数为（ ）
3.【答案】C
【解析】解：若
，则 tanθ= ，则 tan2θ=
=- ，
故选：C． 由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：命题为全称命题，则命题 p：∀x∈R，2x-x2≥1，则￢p 为
高考数学一诊试卷（文科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 若复数 z1 与 z2=-3-i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1=（
）
A. -3i
B. -3+i
C. 3+i
D. 3-i
2. 已知集合 A={-l，0，m），B={l，2}，若 A∪B={-l，0，1，2}，则实数 m 的值为（ ）
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考查抛物线的定义的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：∵a= = ，b= = ，∴1＜a＜b．
c=ln ＜1．
∴c＜a＜b． 故选：C． 利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得 a，b 的大小关系，利用对数函数的单调性 即可得出 c＜1． 本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题．
≥0）与曲线 C1，C2 分别相交于
异于极点 O 的 A，B 两点，求△MAB 的面积．
23. 已知函数 f（x）=|x-3|． （Ⅰ）解不等式 f（x）≥4-|2x+l|；
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（Ⅱ）若 =2（m＞0，n＞0），求证：m+n≥|x+ |-f（x）．
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1.【答案】B
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 C1：x2+（y-2）2=4 上的动点，将 OP 绕 点 O 顺时针旋转 90°得到 OQ，设点 Q 的轨迹为曲线 C2 以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标系中，点 M（3， ），射线
属于“追光族” 属于“观望族” 合计
女性员工
男性员工
合计
100
（Ⅱ）已知被抽取的这 l00 名员工中有 6 名是人事部的员工，这 6 名中有 3 名属于 “追光族”现从这 6 名中随机抽取 3 名，求抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族 ”的概率．
附：K2=
，其中 n=a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.15
70+
=72.5．
故选：A． 由频率分布直方图求出[50，70）的频率为 0.4，[70，80）的频率为 0.4，由此能求出这 100 名同学的得分的中位数． 本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，
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是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意， =
D. （-e，0）∪（e，+∞）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知实数 x，y 满足约束条件
，则 z=x+2y 的最大值为______．
14. 设正项等比数列{an}满足 a4=81，a2+a3=36，则 an=______．
15. 已知平面向量 ， 满足| |=2，| |= ，且 ⊥（ - ），则向量 与 的夹角的大小为______
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8. 将函数 y=sin（4x- ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再
把所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 f（x）的图象，则函数 f（x）的解析
式为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，M，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5， 则线段 MN 的中点到 y 轴的距离为（ ）
（Ⅱ）点 Q 在棱 PB 上，且 ，证明：PD∥平面 QAF．
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20. 已知函数 f（x）=（a-1）lnx+x+ ，a∈R，f'（x）为函数 f（x）的导函数． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 a=2 时，证明 f（x）-f'（x）≤x+ 对任意的 x∈[1，2]都成立．
A. 3
B.
C. 5
D.
10. 已知
A. a＞b＞c
，则（ ）
B. a＞c＞b
C. b＞a＞c
D. b＞c＞a
11. 已知直线 y=kx 与双曲线 C：
（a＞0，b＞0）相交于不同的两点 A，B，F
为双曲线 C 的左焦点，且满足|AF|=3|BF|，|OA|=b（O 为坐标原点），则双曲线 C
的离心率为（ ）
． 16. 如图，在边长为 2 的正方形 AP1P2P3 中，边 P1P2，P2P3 的中点分别为 B，C 现将
△AP1B，△BP2C，△CP3A 分别沿 AB，BC，CA 折起使点 P1，P2，P3 重合，重合后 记为点 P，得到三棱锥 P-ABC．则三棱锥 P-ABC 的外接球体积为______
=，
又 =3，
∴ = ×3= ，
故选：D． 将 S9，S5 转化为用 a5，a3 表达的算式即可得到结论． 本题考查了等差数列的前 n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由 m∥α，n∥β，且 α∥β，得 m∥n 或 m 与 n 异面，故 A 错误； 由 m∥α，n∥β，且 α⊥β，得 m∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 B 错误； 由 m⊥α，α∥β，得 m⊥β，又 n∥β，则 m⊥n，故 C 正确； 由 m⊥α，n∥β 且 α⊥β，得 m∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误． 故选：C． 由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案 ． 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位 置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
21. 已知椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过点 F 的直线（不与 x 轴重合）与椭圆 C 相
交于 A，B 两点，直线 l：x=2 与 x 轴相交于点 H，E 为线段 FH 的中点，直线 BF 与直线 l 的交点为 D． （Ⅰ）求四边形 OAHB（O 为坐标原点）面积的取值范围； （Ⅱ）证明直线 AD 与 x 轴平行．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
（Ⅰ）求 sinA 的值；
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（Ⅱ）若△ABC 的面积为 ，且 sinB=3sinC，求△ABC 的周长
18. 某公司有 l000 名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为“追 光族”，计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发 现抽取的这 100 名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人． （Ⅰ）完成下列 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该公司员工属于“追光 族”与“性别”有关；
A.
B.
C. 2
D.
12. 已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（2-x）=f（2+x），当 x≤2 时，f（x）=xex．若 关于 x 的方程 f（x）=k（x-2）+2 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（
）
A. （-1，0）∪（0，1）
B. （-1，0）∪（1，+∞）
C. （-e，0）∪（0，e）
A. 72.5
B. 75
C. 77.5
D. 80
6. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an≠0，若 a5=3a3，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知 α，β 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法 正确的是（ ）
A. 若 m∥α，n∥β，且 α∥β，则 m∥n B. 若 m∥α，n∥β，且 α⊥β，则 m∥n C. 若 m⊥α，n∥β，且 α∥β，则 m⊥n D. 若 m⊥α，n∥β 且 α⊥β，则 m⊥n
9.【答案】B
【解析】解：由抛物线方程得，准线方程为：x=-1， 设 M（x，y），N（x'，y'）， 由抛物线的性质得，MF+NF=x+x'+p=x+x'+2=5， 中点的横坐标为 ，
线段 MN 的中点到 y 轴的距离为： ， 故选：B． 抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标 ，求出结果即可．
四川省成都市高第一次诊断性测试文科数学试题及答案
四川省成都市高第一次诊断性测试文科数学试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x² - 2x + 3，那么下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在区间(-∞, 1)上单调递减B. 函数f(x)在区间(1, +∞)上单调递增C. 函数f(x)在区间(-∞, 1)上单调递增D. 函数f(x)在区间(1, +∞)上单调递减答案：B2. 若函数g(x) = x² - 4x + 3在区间(a, b)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a ≤ 1B. a ≥ 2C. a ≤ 2D. a ≥ 1答案：C3. 若函数h(x) = 2x - 3 与直线y = kx + 1 平行，则k的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -3答案：A4. 已知函数p(x) = x² - 2x + 1，那么下列结论正确的是（）A. 函数p(x)在区间(-∞, 1)上单调递减B. 函数p(x)在区间(1, +∞)上单调递增C. 函数p(x)在区间(-∞, 1)上单调递增D. 函数p(x)在区间(1, +∞)上单调递减答案：B5. 已知函数q(x) = x² - 4x + 4，那么下列结论正确的是（）A. 函数q(x)在区间(-∞, 2)上单调递减B. 函数q(x)在区间(2, +∞)上单调递增C. 函数q(x)在区间(-∞, 2)上单调递增D. 函数q(x)在区间(2, +∞)上单调递减答案：A6. 若函数m(x) = x² - 2x + 5 在区间(c, d)上单调递增，则实数c的取值范围是（）A. c ≤ 1B. c ≥ 2C. c ≤ 2D. c ≥ 1答案：C7. 已知函数n(x) = 3x - 2 与直线y = 4x - 1 垂直，则n(x)的斜率为（）A. 3B. -3C. 1/3D. -1/3答案：B8. 若函数f(x) = x² - 4x + 6 在区间(e, f)上单调递减，则实数e的取值范围是（）A. e ≤ 2B. e ≥ 3C. e ≤ 3D. e ≥ 2答案：C二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，求f(-1)的值。
2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷(文科)-教师用卷
2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b，则Im(3+i1+i)=()A. −2B. −1C. 1D. 2【答案】B【解析】解：∵3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，又复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b，∴Im(3+i1+i)=−1．故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简3+i1+i，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A. 3B. −6C. 10D. −15【答案】C【解析】解：由程序框图知，程序的运行功能是求S=−12+22−32+42−⋯可得：当i=5时，不满足条件i<5，程序运行终止，输出S═−12+22−32+42=10．故选：C．根据程序框图判断，程序的运行功能是求S=−12+22−32+42，计算可得答案．本题考查了循环结构的程序框图，解答此类问题的关键是判断程序框图的功能．3.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是()A. f(x)的最小正周期为π2B. f(x)是偶函数C. f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称D. f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增【答案】A【解析】【分析】本题考查了正切函数的图象与性质，是基础题．根据正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对选项中的结论进行判断即可．【解答】解：对于函数f(x)=|tanx|，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为π，A错误；又f(−x)=|tan(−x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象与性质知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象与性质知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．故选：A．4.已知a>0，b>0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．故选：A．a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 36+12πB. 36+16πC. 40+12πD. 40+16π【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=12π×22×2+12×π×4×4+2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选：C．几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6.在约束条件：{x≤1y≤2x+y−1≥0下，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于()A. 12B. 38C. 14D. 18【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)，由z=ax+by(a>0,b>0)，则y=−ab x+zb，平移直线y=−ab x+zb，由图象可知当直线y=−abx+zb经过点A(1,2)时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z=ax+by得a+2b=1．则1=a+2b≥2√2ab，则ab≤18当且仅当a=2b=12时取等号，∴ab 的最大值等于18，故选：D ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7. 已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=( )A. 152B. 314C. 334D. 172【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的前5项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】解：由已知得： {a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，解得a 1=4，q =12， ∴S 5=a 1(1−q 5) 1−q=4(1−125)1−12=314．故选：B ．8. 双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x −3)2+y 2=r 2(r >0)相切，则r =( )A. √3B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，属于基础题．求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =√2，即x ±√2y =0， 圆心(3,0)到直线的距离d =√(√2)2+1=√3，∴r =√3． 故选：A ．9. 已知函数f(x)对∀x ∈R 都有f(x)=f(4−x)，且其导函数f′(x)满足当x ≠2时，(x −2)f′(x)>0，则当2<a <4时，有( )A. f(2a)<f(2)<f(log2a)B. f(2)<f(2a)<f(log2a)C. f(log2a)<f(2a)<f(2)D. f(2)<f(log2a)<f(2a)【答案】D【解析】解：∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4−x)，∴f(x)关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)⇔f′(x)(x−2)>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)上的单调递增；同理可得，当x<2时，f(x)在(−∞,2)单调递减；f(x)的最小值为f(2)∵2<a<4，∴1<log2a<2，∴2<4−log2a<3，又4<2a<16，f(log2a)=f(4−log2a)，f(x)在(2,+∞)上的单调递增；∴f(log2a)<f(2a)，∴f(2)<f(log2a)<f(2a)，故选：D．由f(x)=f(4−x)，可知函数f(x)关于直线x=2对称，由(x−2)f′(x)>0，可知f(x)在(−∞,2)与(2,+∞)上的单调性，从而可得答案．本题综合考查了导数的运用，函数的对称性，单调性的运用，综合运用对数解决问题的能力，属于中档题．10.对圆(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点P(x,y)，若点P到直线l1：3x−4y−9=0和l2：3x−4y+a=0的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为()A. [6,+∞)B. [−4,6]C. (−4,6)D. (−∞,−4]【答案】A【解析】解：设z=|3x−4y+a|+|3x−4y−9|=5(|3x−4y−9|+5|3x−4y+a|)，5故|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P(x,y)到直线l2：3x−4y+a=0与直线l1：3x−4y−9=0距离之和的5倍，∵|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线l1平移时，P点与直线l1，l2的距离之和均为l1，l2的距离，即此时圆在两直线内部，=1，当直线l2的与圆相切时，|3−4+a|5化简得|a−1|=5，解得a=6或a=−4(舍去)，∴a≥6．故选：A．由题意可得|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P到直线m：3x−4y+a=0与直线l：3x−4y−9=0距离之和的5倍，根据点到直线的距离公式解得即可．本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题．11. 若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2|c ⃗ |=2，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )的最大值为( ) A. 10 B. 12 C. 5√3 D. 6√2 【答案】B【解析】解：a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2|c ⃗ |=2， 则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ ⋅c ⃗ −a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ 2=2cos <a ⃗ ,c ⃗ >−4cos <a ⃗ ,b⃗ >−2cos <b ⃗ ,c ⃗ >+4≤12， 当且仅当a ⃗ ,c ⃗ 同向，a ⃗ ,b ⃗ ，反向，b ⃗ ,c ⃗ 反向时，取得最大值．故选：B ．利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可．本题考查了向量的数量积的运算，数量积的模的最值的求法，属于基础题．12. 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1//面AMN ，则PA 1的长度范围为( )A. [1,√52]B. [3√24,√52]C. [3√24,32]D. [1,32]【答案】B【解析】解：取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ， ∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM//A 1E ，MN//EF ，∵AM ∩MN =M ，A 1E ∩EF =E ， ∴平面AMN//平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1//面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ， ∵A 1E =A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值：A 1O =√(√52)2+(√24)2=3√24，当P 与E(或F)重合时，PA 1的长度取最大值：A 1E =A 1F =√52．∴PA 1的长度范围为[3√24,√52]. 故选：B ．取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ，推导出平面AMN//平面A 1EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出PA 1的长度范围． 本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈N，x2>1”的否定为______ ．【答案】∃x0∈N，x02≤1【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2>1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组(即第五组)的频数为______．【答案】360【解析】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1解得d=0.8216，∴中间一组的频数为：1600×(0.02+4d)=360．故答案为：360．设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．15.设O、F分别是抛物线y2=2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为______．【答案】2√33．【解析】解：焦点F(12,0)，设M(m,n)，则n2=2m，m>0，设M到准线x=−12的距离等于d，则由抛物线的定义得|MO||MF|=√m2+n2m+12=√1+m−14m2+m+14，令m−14=t，依题意知，m>0，若t>0，则m−14m2+m+14=tt2+32t+916=1t+916t+32≤13，∴t max =13，此时(|MO||MF|)max =√1+13=2√33；若−14<t <0，y =t +916t+32单调递减，故y <−1，1y ∈(−1,0)； 综上所述，(|MO||MF|)max =2√33． 故答案为：2√33． 设M(m,n)到抛物线y 2=2x 的准线x =−12的距离等于d ，由抛物线的定义可得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ，利用基本不等式可求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，属于难题．16. 若实数a ，b ∈(0,1)且ab =14，则11−a +21−b 的最小值为______． 【答案】4+4√23【解析】解：因为ab =14，所以b =14a ， 因此11−a +21−b =11−a +21−14a，=11−a +8a4a−1， =11−a +2(4a−1)+24a−1，=11−a +24a−1+2，=2(14a−1+24−4a )+2，=23(14a−1+24−4a )[(4a −1)+(4−4a)]+2， =23[1+2+4−4a4a−1+2(4a−1)4−4a]+2，≥23(3+2√2)+2=4+4√23， 当且仅当a =√24+22，取“=”， 及11−a +21−b 的最小值为4+4√23， 故答案为：4+4√23， 先根据条件消掉b ，将b =14a 代入原式得11−a +8a4a−1，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不等式求其最小值．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=3，且sin(C−π6)⋅cosC=14．(1)求角C的大小；(2)若向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，求a、b的值．【答案】解：(1)sin(C−π6)⋅cosC=(sinCcosπ6−cosCsinπ6)⋅cosC =√32sinCcosC−12cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)=1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；(2)向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，∴2sinA−sinB=0，∴sinB=2sinA，即b=2a①；又c=3，C=π3，∴c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab=9②；由①②联立解得a=√3，b=2√3．【解析】(1)利用三角恒等变换化简sin(C−π6)⋅cosC=14，即可求出C的值；(2)根据向量m⃗⃗⃗ 、n⃗共线，得出sinB=2sinA，即b=2a①；由余弦定理得出a2+b2−ab=9②，①②联立解得a、b的值．本题考查了三角恒等变换以及向量共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．参考数据：P(K2≥k0)0.500.400.250.050.0250.010 k00.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】解：(Ⅰ)由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人，(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ=1)=C31C22C53=310，P(ξ=2)=C32C21C53=35，P(ξ=3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为ξ123P 31035110于是Eξ=1×310+2×35+3×110=95．【解析】本题考查独立性检验知识的运用，考查随机变量ξ的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论；(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；(Ⅲ)ξ的所有取值为1，2，3.求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．(1)求证：CD//平面A1EB；(2)求证：AB1⊥平面A1EB；(3)若AB=2，求三棱锥A1−B1BE的体积．【答案】解：(1)证明：设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为A1B的中点，D为AB的中点，所以OD//BB1且OD=12BB1.又E是CC1中点，所以EC//BB1，且EC=12BB1，所以EC//OD且EC=OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO//CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，所以CD//平面A1BE．(2)证明：因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ．所以BB 1⊥平面ABC.因为CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD ． 由已知得AB =BC =AC ，所以CD ⊥AB ， 所以CD ⊥平面A 1ABB 1.由(1)可知EO//CD ， 所以EO ⊥平面A 1ABB 1．所以EO ⊥AB 1.因为侧面是正方形，所以AB 1⊥A 1B .又EO ∩A 1B =O ，EO ⊂平面A 1EB ，A 1B ⊂平面A 1EB ， 所以AB 1⊥平面A 1BE ．(3)解：由条件求得BE =√5=A 1E ，A 1B =2√2， 所以S △A 1BE =√6，所以三棱锥A 1−B 1BE 的体积为：V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|=13×√6×√2=2√33． 【解析】(1)设AB 1和A 1B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，推导出四边形ECOD 为平行四边形．从而EO//CD.由此能证明CD//平面A 1BE ．(2)推导出BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC.从而BB 1⊥平面ABC ，BB 1⊥CD ，推导出CD ⊥AB ，从而CD ⊥平面A 1ABB 1.由EO//CD ，得EO ⊥平面A 1ABB 1.从而EO ⊥AB 1.因为侧面是正方形，得AB 1⊥A 1B .由此能证明AB 1⊥平面A 1BE ．(3)三棱锥A 1−B 1BE 的体积为V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|，由此能求出结果． 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N(3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论． 【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)， ∴{c =√2b =1a 2=b 2+c 2，解得a =√3，b =1，∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．(2)k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y =k(x −1)=kx −k 或者x =1 ①x =1时，代入椭圆，y =±√63，∴令A(1,√63)，B(1,−√63)， k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴k 1+k 2=2． ②y =kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y1+y2=6k33k3+1−2k=−2k3k3+1，y1y2=k2x1x2−k2(x1+x2)+k2=−2k23k2+1，k1=2−y13−x1，k2=2−y23−x2，∴k1+k2=6−3y1−2x2+x2y1+6−3y2−2x1+x1x2(3−x1)(3−x2)=2．【解析】(1)由椭圆的两个焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)，列出方程组，能求出椭圆C的方程．(2)设过M的直线：y=k(x−1)=kx−k或者x=1，x=1时，代入椭圆，能求出k1+ k2=2；把y=kx−k代入椭圆，得(3k2+1)x2−6k2x+(3k2−3)=0，由此利用韦达定理能求出k1+k2=2．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.已知函数f(x)=tx+lnx(t∈R)．(1)当t=−1时，证明：f(x)≤−1；(2)若对于定义域内任意x，f(x)≤x⋅e x−1恒成立，求t的范围？【答案】解：(1)证明：即是证明lnx−x≤−1，设g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−xx，当0<x<1，0'/>，g(x)单调递增；当x>1，，g(x)单调递减；所以g(x)在x=1处取到最大值，即g(x)≤g(1)=0，所以lnx−x≤−1得证；(2)解法一：原式子恒成立即t≤e x−lnx+1x在(0,+∞)恒成立，由(1)可以得到x≥lnx+1，所以x⋅e x≥ln(x⋅e x)+1=lnx+x+1，所以e x≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x−lnx+1x≥1，当且仅当x⋅e x=1时取=，于是t的取值范围是(−∞,1]．解法二：设ℎ(x)=xe x−tx−lnx(x>0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立，因为ℎ′(x)=(x+1)e x−t−1x ，而ℎ″(x)=(x+2)e x+1x2>0，所以单调递增，又因为x→0时，，当x→+∞时，，所以在(0,+∞)存在唯一零点，设为x0.所以ℎ′(x0)=(x0+1)e x0−t−1x=0，所以t=(x0+1)e x0−1x，且ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)=x0e x0−tx0−lnx0=−x02⋅e x0−lnx0+1，原题即−x02⋅e x0−lnx0+1≥1，即x02⋅e x0+lnx0≤0，由此式子必然0<x0<1，x02⋅e x0≤−lnx0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x0+lnx0≤ln(−lnx0)+(−lnx0)，易证明函数y=x+lnx是增函数，所以得x0≤−lnx0，所以e x0≤1x，故由t=(x0+1)e x0−1x0，得到t≤(x0+1)1x−1x0=1，于是t的取值范围是(−∞,1]．解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)=x 2e x +lnx ，Q′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0=ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y =x +lnx 是增函数，所以得x 0=−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)事实上，只需证明函数g(x)=lnx −x +1的最大值小于等于0即可； (2)解法一，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，结合(1)的结论即可得证；解法二，直接构造函数ℎ(x)=xe x −tx −lnx(x >0)，证明其大于等于1恒成立即可；解法三，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，求其最小值即可．本题考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，以及不等式的恒成立问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．22. 在极坐标系下，知圆O ：ρ=cosθ+sinθ和直线l ：ρsin(θ−π4)=√22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O 与直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．【答案】解：(1)圆O ：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y =0， 直线l ：ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1=0．(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0，解得{x =0y =1．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,π2)．【解析】(1)圆O 的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为ρsinθ−ρcosθ=1，由此能求出直线l 的直角坐标方程． (2)圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查圆与直线的公共点的极坐标的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数f(x)=|2x +3|+|2x −1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)<|m −1|的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12； 当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．(Ⅱ)由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12，可得函数y =f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3．【解析】(Ⅰ)零点分段求解不等式即可；(Ⅱ)由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果．本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
四川省成都市高中数学第一次诊断性检测试题 文(含解析)
数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x，集合{1}=P，则U P=ð（A）[0,1)(1,)+∞U（B）(,1)-∞（C）(,1)(1,)-∞+∞U（D）(1,)+∞【知识点】集合的补集 A1【答案】【解析】A解析：因为{|0}=≥U x x，{1}=P，所以U P=ð[0,1)(1,)+∞U故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（）（A）（B）（C）（D）【知识点】三视图 G2【答案】【解析】C解析：由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C.【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断.【题文】3．命题“若22≥+x a b，则2≥x ab”的逆命题是（A）若22<+x a b，则2<x ab（B）若22≥+x a b，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【知识点】四种命题 A2 【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【知识点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A. 【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i 3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【知识点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]【知识点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：因为240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【知识点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6【答案】【解析】D 解析：因为53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再根据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【知识点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅u u u r u u u r224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是注意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊情况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅u u u r u u u r 1212x x y y =+进行求解.【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n（C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C 的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）7（B ）27-（C ）51-（D ）14-【知识点】点、线、面间的距离计算 G11【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B ，再过H引1BB 的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：3，所以2HP 的最小值为：2234(72+-＝，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH V中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【知识点】频率分布直方图 I2 【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可. 【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【知识点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：Q a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-r r r r ，即0a b =r r g ，所以a b ⊥r r，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =r rg，所以夹角为090. 【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【知识点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【知识点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）【知识点】命题的真假判断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k ==①'11(1)1,1k f y ===-Q ,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-Q ，112()1n n<=--，且11a ==，12111111)2231n n S a a a n n =+++<+-+-++--L L1)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行判断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ． （Ⅰ）求“5+=m n ”的概率； （Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【知识点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为事件A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为事件B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出所有的基本事件，再去求符合题意的基本事件有几个，即可求解.【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．【知识点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面I ECBD 平面=ABC BC ， ∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH ．∴1(21)23332-+⨯=⨯⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 的体积为3．……………………………………………6分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和nT ．【知识点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S当2≥n 时，122-=-n n S-得，2=nn a （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅L n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅L n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅L n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B，且AB =．若点0(,2)P x 满足=u u u r u u u rPA PB，求x 的值．【知识点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，因为=u u u r u u u rPA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分情况讨论即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证：101e a b c <<<<<．【知识点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ，下面讨论()ln 2mf x x x =+的零点情况，∵2212()22m x m f x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数判断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。
2024届成都市高三数学(文)上学期一诊联考试卷附答案解析
2024届成都市高三数学（文）上学期一诊联考试卷2023.12（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()11f f -+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为12000~，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）A ．52B ．82C ．162D ．2523．已知复数41i i i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 4．若数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，则234a a a ++=（）A ．6B ．14C ．22D ．375．已知向量((),2,0a b =-= ，则cos ,a b =（）A ．32B ．12C ．12-D．6．若实数,x y 满足2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最小值为（）A ．0B ．37C ．35D ．17．已知函数()f x 的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（）A ．()22e e 1x x x f x =-B ．()22e e 1xxx f x =+C ．()()()241ln 2xf x x x -=++D ．()()24ln 11x f x x +=+8．已知平面,,,,a b αβγαβγβ⋂=⋂=，则α γ是a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若11ln 22a =，22ln 33b =，1e c =-，则（）A ．c b a <<B ．b<c<a C ．c<a<bD ．b a c<<10．已知()0,πα∈，且sin 2αα=，则tan α=（）A ．B ．33C D 11．若[)20,,1e xx x ax ∞∈+++≤恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．eB ．2C ．1D ．e 2-12．已知圆22:40C x y +--=经过椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为12,24N NF NF ⋅=，则椭圆Ω的离心率为（）A ．B ．63C ．22D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知集合{2},{lg }A x xB x y x =<==∣∣，则A B =．14．曲线()321f x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为．15．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和.若714S =，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则2024a 的值为.16．已知侧面积为的圆锥内接于球O ，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则球O 的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =.(1)求证：1C M ⊥平面BDM ；(2)求三棱锥1M BC D-的体积.18．某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：男生女生总计参加篮球模块课程人数602080参加羽毛球模块课程人数4080120总计100100200(1)根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0250.0100.0050.0010k 5.0246.6357.87910.82819．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()1f A =.(1)求A 的值；(2)若1b =，求a c +的取值范围.20．在平面直角坐标系中，动点C 到点()1,0F 的距离与到直线=1x -的距离相等.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)若直线:l y x m =+与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，当PQF △的面积为2时，求直线l 的方程.21．已知函数()2e e x f x x=-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：()()e ln cosf x x x >+.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=．(1)当π3α=时，求直线1C 的普通方程；(2)已知点()2,0P ，若直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，且4PA PB ⋅=，求α的值．选修4—5：不等式选讲23．已知函数()21,f x x a x a =-++∈R．(1)当4a =时，求不等式()7f x ≥的解集；(2)若()2f x a>，求a 的取值范围．1．B【分析】根据分段函数分段求值即可.【详解】由于函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()()()2π1sin1,11212f f ==-=--=-，则()()11110f f -+=-+=.故选：B.2．C【分析】根据系统抽样的特点确定第三个号码段中抽出的号码即可．【详解】采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为20008025=，第一个号码是2，那么第三个号码段中抽出的号码是2280162+⨯=．故选：C.3．A【分析】利用虚数单位的幂的运算及除法运算法则计算化简后，根据虚部的定义得到答案.【详解】∵()()()22421i 1i 1i 12i i 12i 1i i i i 11i 1i 1i 1(1)z ----+--======-+++----，∴z 的虚部为-1，故选：A.4．D【分析】根据条件求出234,,a a a ，即可得出结果.【详解】∵113,21n n a a a n +==-+，∴212116a a =-+=，3222111a a =-+=，4323120a a =-+=，∴2346112037a a a ++=++=.故选：D.5．C【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为((),2,0a b =-=，所以1cos ,2a b a b a b-⨯⋅===-.故选：C.6．B【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后令x y z +=，当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，观察图象可得答案.【详解】作出不等式2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域如图：令x y z +=，则y x z =-+，即当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，即y x z =-+过点21,77A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，x y +取最小值213777+=.故选：B.7．B【分析】由图可知，函数的定义域为R ，是奇函数，当0x >时()0f x >，由此判断各选项可得出结果.【详解】对于A ，当0x =时，02e 1e 10x -=-=，()22e e 1xxx f x =-无意义，故A 错误；对于B ，()22e ,e 1x x x f x x =∈+R ，()()()222122e 2e e 1e 1e 11e xx x x x x x x x f x f x ---⋅--===-=-+++，则()f x 是奇函数，当0x >时，20e 0,e x x >>，则()0f x >；对于C ，当0x >时，()210,ln 2ln10x x +>+>=，则()0f x <，故C 错误；对于D ，()()24ln 1,1x f x x x +=∈+R，则()()()()224ln 14ln 1()11x x f x f x x x -++-===-++，则()f x 是偶函数，故D 错误，综上，B 正确.故选：B.8．A【分析】结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断.【详解】因为α γ，,a b αβγβ⋂=⋂=，所以由面面平行的性质定理可得a b ，则充分性成立；因为a b ，,a b αβγβ⋂=⋂=可知，所以a b γγ⊄⎧⎨⊂⎩，则a γ∥，又b a αα⊄⎧⎨⊂⎩，则b αP ，当l αγ= 时，由线面平行的性质定理可知a l b ，则必要性不成立；综上所述，α γ是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．C【分析】根据,,a b c 的特征可构造函数()ln f x x x=，利用导数求得函数单调性即可比较它们的大小.【详解】易知111lne e e c =-=，构造函数()()ln ,0,f x x x x =∈+∞，则()ln 1f x x '=+；令()0f x '=，解得1e x =，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；又易知112e 23<<，所以112e 23c f a f b f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c<a<b .故选：C10．B【分析】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.【详解】由题设222(sin )sin cos 3cos 4αααααα=-+=，所以4=，且()0,πα∈，故22tan 34tan 4ααα-+=+，即223tan 11)0ααα++=+=，所以tan α=.故选：B 11．D【分析】先确定0x =时的情况，在当0x >时，参变分离可得2e 1x x a x --≤，构造函数()2e 1x f x x x -=-，求出函数()f x 的最小值即可.【详解】当0x =时，01e ≤，不等式成立；当0x >时，2e 1x x a x --≤恒成立，即min 2e 1x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-，令()2e 1x f x x x -=-，则()()()()()2222e e 1e 11x x x x x f x x x x x x -------'==，因为0x >时，e 10xx -->（后证）所以当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递减，故()()1mine 1e 2111f x f --===-，所以e 2a ≤-，即实数a 的最大值为e 2-.证明当0x >时，e 10xx -->，令()=e 1--x g x x ，0x >，则()=e 10x g x '->，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10xx -->.故选：D.12．C【分析】先根据圆与x 轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出12cos F NF ∠，进而根据余弦定理及椭圆的定义可求出a ，则离心率可得.【详解】对于圆22:40C x y +--=，即(2216x y +-=，圆心为(0,，半径为4当0y =时，2x =±，当0x =时，124,4y y ==，即如图点()0,4B 即椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为()()122,0,2,0F F -，即2c =，又圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为N ，由圆周角的性质可得1212F NF F BF ∠=∠，则2212121cos cos 2cos 1212F NF F BF F BO ⎛⎫⎪∠=∠=∠-=⨯-=又由121122124cos 2N NF NF F NF F NF NF ⋅==∠=得1232NF NF =-，又()(()22212121212326c 22o 224s 1NF NF NF NF F NF NF NF +-∠=---=-+得(()2422163224a -=--，解得a =所以离心率c ea ==.故选：C.13．{}|02x x <<【分析】求出集合,A B 中元素范围，再求交集即可.【详解】{}{}|2|22A x x x x =<=-<<，{}{}lg |0B x y x x x ===>∣，则{}|02A B x x ⋂=<<.故答案为：{}|02x x <<.14．52y x =-【分析】首先求()1f 和()1f '，代入()()()111y f f x '-=-.【详解】因为2()32f x x x '=+，所以所求切线的斜率(1)325k f '==+=，而(1)1113f =++=，故所求的切线方程为35(1)y x -=-，即52y x =-.故答案为：52y x =-.15．2022【分析】根据等差数列的性质可得42a =，结合等比中项可得1d =，结合等差数列的定义分析求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则74714S a ==，可得42a =，设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，则2436a a a =，即()()4222=-+d d ，解得1d =或0d =（舍去），所以4202420202022=+=a a d .故答案为：2022.16．100π【分析】结合圆锥的几何性质求出圆锥的底面半径，作出轴截面结合勾股定理即可求解.【详解】设底面半径为r，因为圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则圆锥的高为2rh =，母线为2l r==，则其侧面积为1(2π)2r r =，解得4r =，作出圆锥的轴截面，如下图所示：则球的半径为2222()4(2)2rR r R R =+-=+-，解得5R =则球O 的表面积为224π4π(5)100πR =⋅=.故答案为：100π17．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得1C M DM⊥，1C M BM⊥，再根据线面垂直判定定理即可证得结论；（2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可.【详解】（1）如图，连接11A C .正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =，∴221111112AC A D D C =+11122A M AM AA ===，222DM AD AM ∴=+=又22115C D DC CC =+22111123MC AC A M=+.22211C M DM DC +=，∴1C M DM ⊥.同理可得1C M BM⊥.DM BM M = ，DM ⊂平面BDM ，BM ⊂平面BDM ，∴1C M ⊥平面BDM .（2）由（1）知，BM DM BD ===1C M ⊥平面BDM .∴(112111433M BC D C BDM BDM V V S C M --==⋅=⨯⨯=△.三棱锥1C BDM-的体积为4.18．(1)有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)35.【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论即可；（2）由古典概型中的列举法求概率即可.【详解】（1）由列联表数据可得，()222006080402010033.33310.828100100120803K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.（2）设篮球模块课程的前3名为1A ，2A ，3A ，羽毛球模块课程的前3名为1B ，2B ，3B .从这6人中随机选2人的基本事件有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共15个.其中选出的这2人来自不同模块化课程的基本事件有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共9个.故所求概率为93155P ==.19．(1)π3A =(2)1,22⎛ ⎝【分析】（1）由三角函数的诱导公式和辅助角公式计算可得；（2）首先由正弦定理和（1）求出122tan2a c B+=+，然后用锐角三角形和（1）求出B 的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.【详解】（1）()2πcos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭.由()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 22π6A ⎛⎫+=⎪⎝⎭.ABC 为锐角三角形，ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π5π266A +=.∴π3A =.（2）由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==.∴32sin a B =，2πsin sin 3sin sin B C c B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.)22πsin cos 111132sin 2sin 2224sin cos 2tan 222B B B a c B B B B B ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+++==++，.ABC 是锐角三角形，∴π02B <<，且2ππ32C B =-<.∴ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,2124B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⨯，()22Btan∈.∴322tan 2B ⎝.∴31,22a c ⎛+∈+ ⎝.综上，a c +的取值范围为1,22⎛+ ⎝.20．(1)24y x =(2)y x =或y x =或y x =.【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由题知，动点C 的轨迹是以F 为焦点，=1x -为准线的抛物线.∴动点C 的轨迹方程为24y x =.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y由24y x m y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y y m -+=.由16160m ∆=->，得1m <.∴124y y +=，124y y m =.由FPQ △的面积121122S PQ d y y =⋅⋅=⋅-∴14+=.∴14+=，即()210m m m +-=.1m <，∴0m =或m =.∴直线l 的方程为y x =或152y x -=+或152y x -=+.21．(1)单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）构造函数()()2e e e ln 1x h x x x =--+，利用导数判推得()0h x >，进而得证.【详解】（1）因为()2e e x f x x=-，所以()2e ex f x =-'，当(),1ln 2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1ln 2,x ∈-+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以()f x 的单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.（2）设函数()()2e e e ln 1xh x x x =--+，则()e2e e x h x x '=--，0x >，易得()h x '在()0,∞+上单调递增，且()10h '=，所以当()0,1x ∈，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()()min 10h x h ==，故()2e e e ln 10x x x --+≥，当且仅当1x =时等号成立，即()()e ln 1f x x ≥+，当且仅当1x =时等号成立，因为1cos x ≥，所以()()()e ln 1e ln cosf x x x x ≥+≥+，由于上述不等式取等条件不能同时成立，所以()()e ln cosf x x x >+，得证.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用中间函数()e ln 1y x =+作为桥梁，简化了证明过程，从而得证.22．0y --=(2)π6α=或π3【分析】（1）将π3α=代入参数方程，然后把参数方程转化为普通方程即可；（2）先求2C 的普通方程，再把1C 代入2C 得到一元二次方程，从而根据t 的几何意义得到α的值.【详解】（1）当π3α=时，求直线1C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简得直线1C0y --=.（2）因为曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=，所以()2222cos2cos sin 2ρθρθθ=-=.又因为=cos ,=sin x y ρθρθ，所以曲线2C 的普通方程为222x y -=.将直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）代入222x y -=，得()()2222cos sin t t αα+-=，化简得2222cos sin 244cos t t t ααα+-+=，即2cos 24cos 20t t αα++=.因为直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，所以cos20α≠，即π4≠α，又()2Δ16cos 8cos 281cos 28cos 280.αααα=-=+-=>设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12124cos 2,cos 2cos 2t t t t ααα+=-=.因为点()2,0P 在直线1C 上，所以1224cos 2PA PB t t α⋅===，即1cos 22α=，又π02α<<，所以π6α=或π3.23．(1)410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ (2)2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）代入4a =，分类讨论去绝对值解不等式即可；（2）分2a <-，2a >-，2a >-讨论，通过单调性求出()f x 的最小值，然后利用()min 2f x a>解不等式求出a 的取值范围．【详解】（1）当4a =时，()33,22415,1233,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪-+<-⎩，因为()7f x ≥，所以3372x x -≥⎧⎨>⎩或5712x x -+≥⎧⎨-≤≤⎩或3371x x -+≥⎧⎨<-⎩，解得43x ≤-或103x ≥，故不等式()7f x ≥的解集为410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；（2）当2a <-时，12a<-，此时()31,1211,1231,2x a x a f x x a x x a x a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=-++=--≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩，明显函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 2122a a a f x f a ⎫- -==⎪⎭>⎛⎝，解得25a <-，又2a <-，所以2a <-，当2a >-时，12a>-，此时()31,2211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧-+>⎪⎪⎪=-++=---≤≤⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩，明显函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，故()()min 1121f ax f =--=>--，解得23a <-，又2a >-，所以223a -<<-；当2a =-时，此时()312f x x a=+>，综上所述，a 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测文科数学试卷及答案
四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测文科数学试题一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B =（）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =i2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（ ） AB ．15C ．125D3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ） A ．3π B ．2π C ．π D ．2π4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ） A ．2πB ．C ．πD ．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ） A ．12a b <<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<8．从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）A ．15B ．13C ．310 D ．259．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（ ）A．BC．D10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.811．已知函数2ln ,0()3,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若函数()()()g x f x m m R =-∈有三个不同的零点123,,x x x ．则123x x x 的值为（ ）A ．0B ．13-C ．0或13-D ．0或16-12．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AMm n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形； ③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1. 其中假命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题13．曲线()3f x x x =-在点（2，6）处的切线方程为_______．14．已知向量a ，b 满足()1,1a =，()23,1a b +=-，则向量a 与b 的夹角为________． 15．已知斜率为13-且不经过坐标原点O 的直线与椭圆22+97x y ＝1相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为 ________． 16．在三角形ABC 中，已知角A =56π，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2．则AB +AC 的最小值为________．三、解答题17．已知等差数列{a n }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2. （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =2n a ，求数列{b n }的前n 项和.18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x (单位：百万元）与该项目的经济回报y (单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 补贴额x (单位：百万元） 2 3 4 5 6 经济回报y (单位：千万元） 2．5344．56（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测当补贴额达到8百万元时该项目的经济回报.参考公式：121()()ˆˆ,.()==--==--∑∑niii nii x x y y bay bx x x 19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB ⊥BC ，BC =4，AB =8，D ，E 分别是AB ，AC 的中点.将ADE 沿DE 折起，使点A 到达点1A 的位置，且1A D ⊥BD ，连接1A B ，1A C ，得到如图乙所示的四棱锥1A DBCE -，M 为线段1A D 上一点.图 甲 图乙（1）证明：平面1A DB ⊥平面DBCE ；（2）过B ，C ，M 三点的平面与线段1A E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求三棱锥1A BCN -的体积．①BM =BE ；②直线EM 与BC 所成角的大小为45°；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥1E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C相交于P ，Q 两点.（1）设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2f x x ax =-，R a ∈． （1）12a ≥时，求函数()f x 在区间[0,π]上的最值； （2）若关于x 的不等式()cos 1≤-f x x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|. （1）求不等式()f x <5的解集；（2）设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.参考答案1．C解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.解：{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞. 故选：C. 2．A化简得2i5z -+=，即得解. 解：解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．C将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.解：因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期22T ππ==. 故选：C 4．D画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 解：解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值， 即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=． 故选：D ．5．D由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．解：解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径2R =22242S ππ∴=⨯=故选：D ． 6．B根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得. 解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为2y x =，所以2ba=故可得：221123b e a a c ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 7．B利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解. 解：21log log a a a >=，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅ 又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >，lg lg 0b a -∴>，即lg0b a >，1ba∴>，b a ∴>，12a b ∴<<< 故选：B 8．C列举出所有情况，然后根据两边之和大于第三边数出能构成三角形的情况，进而得到答案. 解：5个数取3个数的所有情况如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10种情况，而能构成三角形的情况有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3种情况，故所求概率310P =. 故选：C. 9．B先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解.解：解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=， 所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以7sin sin sin cos 750=sin 31tan cos sin 501cos ααααααααα===---. 故选：B 10．C根据题意举出反例，即可得出正确选项．解：解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确； 对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误． 故选：C ． 11．D画出()f x 的图象，结合图象可得答案. 解：()f x 的图象如下：其中11612f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若函数()()()g x f x m m R =-∈有三个不同的零点123,,x x x ． 则0m =或112m =当0m =时，三个零点为1,0,13-，故1230x x x =当112m =时，小于0的零点为16-，大于0的两个零点之积为1，所以12316x x x =-故选：D 12．A①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确； ③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确； ④截面MNPQ 的面积为24(1)nn +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.解：解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当ACm BD=时，,22AC AC m m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AMm m m n MN BM MB=∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11nMN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确； ④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为2244411(1)212n n n n n n n ==≤=+++++，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A13．11160x y --= 求出()f x '，()2f '即可.解：因为()3f x x x =-，所以()231f x x '=-，()211f '=所以切线方程为()6112y x -=-，即11160x y --= 故答案为：11160x y --= 14．2π## 根据条件求出b 的坐标，然后可得答案.解：因为()1,1a =，()23,1a b +=-，所以()1,1b =- 所以()11110a b ⋅=⨯+⨯-= 所以向量a 与b 的夹角为2π 故答案为：2π 15．73##先设出直线AB 的方程，联立直线和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式得到点M 的坐标，再利用斜率公式进行求解. 解：设直线AB 的方程为13y x b =-+，联立2213197y x b x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得221()3197x b x -++=， 即22869630x bx b -+-=，由22=3632(963)0b b ∆-->，得b -<< 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则120328x x b x +==，0011373388b by x b b =-+=-⨯+=， 即37(,)88b b M ，则直线OM 的斜率为0073y k x ==. 故答案为:73.16．依题意可得ABCABDADCSSS=+，则()152sin212AB AC AB AC π⋅=+⋅，再利用基本不等式及解一元二次不等式得到516sin12AB AC π+≥，最后利用两角和的正弦公式求出5sin 12π，即可得解； 解：解：因为AD 是A ∠的角平分线，且2AD =，由ABCABDADCSSS=+，可得111sin sin sin 222AB AC BAC AB AD BAD AD AC DAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠， 即151515sin2sin 2sin 26212212AB AC AB AC πππ⋅⋅=⨯⋅⋅+⨯⋅⋅ 即()152sin212AB AC AB AC π⋅=+⋅ 所以()21512sin 21222AB AC AB AC AB AC π+⎛⎫⋅=+⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当AB AC =时取等号，解得516sin12AB AC π+≥或0AB AC +≤（舍去），因为51sinsin sin cos cos sin 124646462πππππππ⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭16AB AC +≥故答案为：17．（1）3n a n =-+；（2）3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.（1）解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.（2）解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++. 1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822n n -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18．（1）0.850.6y x =+（2）7.4千万元（1）根据所给数据和公式算出答案即可；（2）当8x =时，算出ˆy的值即可. （1） ∵2345645x ++++==， 2.534 4.5645y ++++==．()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5i ii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑， ()5214101410ii x x =-=++++=∑． ∴()()()31321ˆˆ0.85,40.8540.6i ii ii x x y y b ax x ==--===-⨯=-∑∑ ∴0.850.6y x =+；（2）当8x =时，ˆ0.8580.67.4=⨯+=y． ∴当补贴额达到8百万元时，该项日的经济回报为7.4千万元．19．（1）证明见解析（2）条件选择见解析，163（1）先根据折叠前后的变化得到线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明；（2）先分别选择条件得到M 为1A D 的中点，再利用等体积法合理转化顶点进行求解. （1）解：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥．∵AD BC ⊥，∴AD DE ⊥，∴1A D DE ⊥．∵1A D BD ⊥，DE ⊂平面BDEC ，DB ⊂平面BDEC ，DE DB D ⋂=，∴1A D ⊥平面BDEC ．又1A D ⊂平面1A DB ，∴平面1A DB ⊥平面BDEC ．（2）解：选①：∵BM BE =，90BDM BDE ∠=∠=︒， ∴≌BDM BDE ．∴2==DE DM ．∴M 为1A D 的中点，选②：∵BC DE ．∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠．又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒．∴45∠=︒MED ．∵1A D DE ⊥．∴2==DE DM ．∴M 为1A D 的中点．选③： ∵1113E A DC N EBC EDC V V S A D --==⋅△, 13M BDC BDE V S MD -=⋅△，114M BDE E A BC V V --= 又12DE BC =，即12BDE EBC S S =∴12A D MD =．∴M 为1A D 的中点．∵过B ，C ，M 三点的平面与线段1A E 相交于点N ，DE BC ∥，BC ⊄平面1A DE ，∴BC 平面1A DE ，又平面BMNC ⋂平面1A DE MN =，∴∥BC MN ，∴N 为1A E 的中点．∵11A BCN N A BC V V --=，又MN 平面A BC '，∴111N A BC M A BC C A BM V V V ---==，易知BC ⊥平面1A BD ．∴11111116843663C A BM A BM A BD V S BC S BD -=⋅=⋅=⨯⨯=△△．∴三棱锥1A BCN -的体积为163．20．（1）(2,0)-（2）12（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标； （2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知2sin 1k k θ=+12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解. （1）由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立2(2)2y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=. 21212242160,,4p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-. 120k k +=，122212022y y y y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=. 4202p p m p k⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0p m k +⋅=. 0p >，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.（2）由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk ，θ为倾斜角，则sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-∴== 2122224114sin 1y y p AP AQ p k k k θ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+ 设322344,,,22y y M y N y p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=. 222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.342112MN y p k ⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭. 21．（1）当0x =时，()f x 取得最大值为0；当πx =时，()f x 取得最小值为2πa -（2）2,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值； （2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造sin cos 1()-+=x x g x x，通过二次求导研究函数的单调性求其最值.（1）解：由题意，()cos 2f x x a '=-．因为21a ≥，所以当[0,π]x ∈时，()0f x '≤恒成立．所以()f x 在[]0,π上单调递减，所以当0x =时，()f x 取得最大值为0；当πx =时，()f x 取得最小值为2πa -.解：不等式()cos 1≤-f x x 在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， 即sin cos 12-+≥x x a x 在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， 设sin cos 1()-+=x x g x x ，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 则2cos sin sin cos 1()'+-+-=x x x x x x g x x ． 设()cos sin sin cos 1=+-+-h x x x x x x x ，则()sin cos (cos sin )=-+=-'h x x x x x x x x ． ∵π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0cos 0>+<x x ，即()0h x '<． ∴函数()h x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∵ππ2022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x <，即()0g x '<． ∴函数()g x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∵当π2x =时，π42πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有4()πg x <． ∴2πa ≥． ∴a 的取值范围是2,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 22．（1）20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=；（2）7.（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解. （1）解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos()4πρθ-=cos sin ρθθ=cos sin 2ρθρθ+= cos ,sin x y ρθρθ==，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.解：设直线l的参数方程为1,23x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上， 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（*）24740∆=-⨯=>.设12,t t 是方程（*）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=.12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）617. （1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解； （2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解. （1）解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+. 由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<； ②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+. 由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--. 由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-. 综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩. 当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. 22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立. 22232a b c ∴++的最小值为617.。
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷(文科)(解析版)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥1}2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．16D．244．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．28B．14C．7D．27．（5分）下列判断正确的是（）A．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题D．命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”8．（5分）已知函数f（x）＝3x+2cos x，若，b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）在各棱长均相等的四面体A﹣BCD中，已知M是棱AD的中点，则异面直线BM 与AC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，且当x≥a 时，．过点P（a，0）作曲线y＝f（x）的两条切线，若这两条切线互相垂直，则该函数f（x）的最小值为（）A．B．e﹣1C．D．e﹣212．（5分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届四川省成都市一诊数学(文科)试卷及答案
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，且 b2 c2 a2 4 2 bc ．
3 （Ⅰ）求 sin A 的值；
（Ⅱ）若 ABC 的面积为 2 ，且 2 sin B 3sin C ，求 ABC 的周长
18．（12 分）某公司有 1000 名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为“追光族”， 计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这 100 名 员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人． （Ⅰ）完成下列 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为该公司员工属于“追光族”与 “性别”有关；
值为 ( )
A． 1 或 0
B．0 或 1
C． 1 或 2
D．1 或 2
【解答】解：集合 A {1，0， m}， B {1 ， 2} ， A B {1 ，0，1， 2} ，
因为 A ， B 本身含有元素 1 ，0，1，2，所以根据元素的互异性， m 1，0 即可， 故 m 1或 2， 故选： D ．
y2 b2
1(a 0,b 0) 相交于不同的两点
A ，B
，F
为双曲线 C 的左焦点，且满足 | AF | 3 | BF | ， | OA | b(O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心
率为 ( )
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
12．（5 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2 x) f (2 x) ，当 x2 时， f (x) xex ．若
四川省成都市高考数学一诊试卷(文科)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合＝，＝，则＝（）A.B.C.D.2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A.B.C.D.4. 设实数，满足约束条件，则＝的最小值为（）A.B.C.D.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A.B.C.D.6. 设为等差数列的前项和，且＝，则＝（）A.B.C.D.7. 下列判断正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.函数的最小值为C.当，时，命题“若＝，则＝”的逆否命题为真命题D.命题“，”的否定是“，”8. 已知函数＝，若，＝，＝，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.9. 在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.10. 齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A.B.C.D.11. 已知定义在上的函数的图象关于直线＝对称，且当时，．过点作曲线＝的两条切线，若这两条切线互相垂直，则该函数的最小值为（）A.B.C.D.12. 设椭圆的左，右顶点为，．是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡上。
13. 已知双曲线________：________________＝的右焦点为________，则点________到双曲线________的一条渐近线的距离为________．14. 已知函数是奇函数，则实数________的值为________．15. 设________为数列的前________项和，且________＝，，则________＝________．16. 已知________为________的重心，过点________的直线与边________，________分别相交于点________，________．若，则________与________的面积之比为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。
四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）含答案解析
四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。
四川省成都市2019届高三第一次诊断性检测数学(文)参考解答
a b １ , 由正弦定理 可得 s ＝ i n B＝ ． s i n A s i n B ２
ȵ a＞ b, ʑB ＝
１ ３ ʑSәABC ＝ a b s i n C＝ ． ２ ２ ( 解: 如图 , 连接 A 连接 MO ． １ ８． Ⅰ) C 交B D 于点 O , , , , 分别为 中点 ȵM O P CA C ʑP A ʊMO ． ȵP A ⊄ 平面 BMD , MO ⊂ 平面 BMD ,
π ʑC ＝ π－A －B ＝ ． ２
π ． ６
������������������６ 分 ʑP A ʊ 平面 BMD ． ( 如图 , 取线段 B 连结 AH ． Ⅱ) C 的中点 H , ȵA B C D 是菱形 , øA B C＝ ȵP A ʅ 平面 A B C D, ʑAH ʅP A． π , ʑAH ʅAD ． ３
������������������７ 分
上恒成立 , 则 h( 在[ 上单调递减������ ʑ h ᶄ( x) ɤ０ 在 [ １, ＋ ¥) x) １, ＋ ¥) ) 又 h( 上恒成立������ １ ＝０, ʑ h( x) ＜０ 在 ( １, ＋ ¥) ② 当 ０＜ b＜
１ １ １ b ＜０ ) 时, h ᶄ( １ ＝１－ b e ＞０, h ᶄ( ) ＝ b－e ������ e b
数学 ( 文科 ) 参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分)
成都市 ２ ０ １ ６ 级高中毕业班第一次诊断性检测
第 Ⅰ 卷 ㊀( 选择题 , 共６ ０ 分)
１． A; ２． D; ３． B; ４． A; ５． C; ６． B; ７． C; ８． D; ９． C; １ ０． C; １ １． B; １ ２． D． ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分)