空间两条直线的位置关系
必修2-2.1.2空间两条直线之间的位置关系
β
a
b
α
α
a
思考2：分别在不同平面内的直线是异面直线吗？
2018/10/27
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3
思考1:空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？ 相交直线: 同一平面内，1个公共点； 共面直线 平行直线: 同一平面内，0个公共点；
异面直线: 不同在任何一个平面内，0个公共点。
2018/10/27
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2．异面直线 (1)定义：把不同在__________ 任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)
2018/10/27
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平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是__________． 答案：相交或异面
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知识探究（三）：等角定理
思考5:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角的大小有什么关系？
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （两角相等：方向相同或相反）
2018/10/27 欢迎加微信交流:pzyandong 7
思考6:如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明∠BAC与 ∠B′A′C′ 相等吗？
A´ C A B C´ B´
2018/10/27
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知识探究（四）：异面直线所成的角
b
bˊ
( 0,
o
2
]
aˊ
a
相对倾斜度改变没有？ 没改变
同一空间内两条直线的位置关系
同一空间内两条直线的位置关系
在同一空间内，两条直线的位置关系主要有三种：
1.平行：如果两条直线在同一平面内不相交，那么这两条直线就是平行的。
平行线在三维空间中不会相交，无论它们延伸到多远。
2.相交：如果两条直线在同一平面内有且仅有一个交点，那么这两条直线就
是相交的。
这意味着它们在某一点处相交，但在那一点之外，它们将继续沿各自的方向延伸。
3.异面：如果两条直线不在同一个平面内，那么它们就被称为异面直线。
异
面直线既不相交也不平行，它们处于不同的平面内，永远不会相交。
总结来说，两条直线的位置关系在三维空间中可以是平行的、相交的或异面的。
这些关系取决于它们是否在同一平面内以及是否有交点。
空间中两直线的位置关系
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
B. 2个
D. 一个也不正确
5、空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α＝600, 则β等（ ） D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 6、若空间四边形的对角线相等,则以它的四 条边的中点为顶点的四边形是（ B ） A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
空间中两条直线的位置关系
高一数学 王培花
复习引入 平面内两条直线的位置关系
相交直线
a
平行直线
b
平行直线 （无公共点）
o
a b
相交直线 （有一个公共点）
四通八 达、错 落有致 的立交 桥
一、异面直线定义
讲授新知
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
A E B F G C H D
1 2
巩固练习
1. (1)一条直线与两条异面直线中的一条相交， D ） 那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ.平行 Ｃ.异面 Ｂ.相交 Ｄ.可能平行、可能相交、可能异面
D ） (2)两条异面直线指的是（ Ａ.没有公共点的两条直线
Ｂ.分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
BF
与GH
D1 A1
D
C1 （2）如图，已知四棱柱ABCDB1
C B
A1B1C1D1，底面ABCD是平行四 边形，则与棱AB所在直线异面 的棱共有4 条?
A
分别是 ：A1D1、DD1、 B1C1、CC1
五、平行直线
初中所学平行公里：过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行
高一年级数学知识重点：空间两直线的位置关系
2019年高一年级数学学问重点：空间两直线的位置关系学习是一个边学新学问边巩固的过程，对学学问肯定要多加安排，这样才能进步。
因此，为大家整理了2019年高一年级数学学问重点，供大家参考。
空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面重视复习和总结：1、刚好做好复习. 听完课的当天，必需做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是实行回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时老师讲的内容，分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写一写)，尽量想得完整些。
然后打开笔记与书本，比照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。
学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同刚好复习一样，实行回忆式复习，而后与书、笔记相比照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
3、做好单元小结。
单元小结内容应包括以下部分：(1)本单元(章)的学问网络;(2)本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);(3)自我体会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其缘由及正确答案，应记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
做适量的有不少同学把提高数学成果的希望寄予在大量做题上，这是不妥当的。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
第63课 空间两条直线
9.在四面体ABCD中，AB＝８，CD＝６，M、N分别是BC、AD的中点，且MN＝５，则AB
A.1 B.2 C.3 D.4
6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( )
A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则异面直线CM与D1N所成的角的正弦值为 ( )
第2课 空间两条直线习题解答
1.D 解这种题简单、省时的方法是在草稿纸上作如下记录，然后对照选项判断①√②×③×④×⑤√.
2.D 若射影为两个点，则两条直线与平面垂直，可知两直线平行，与异面相矛盾．
3.B 在a,b所确定的平面外作与a,b都成60°角的直线有两条.
4.D 12×2=24.
∴∠A1BC1(或它的补角)是异面直线A1B与AD1所成的角.
设AA1=a,∵∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°
∴在△AA1D1与△A1AB中，AB=AA1=a,A1B= EMBED Equation.3 a,AD1=BC1=2a,A1D1= EMBED Equation.3 a,
【解前点津】 判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一
平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找，
可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行
的性质定理、向量知识等)实施证明.
【规范解答】 证明：连结BC1、AD1，因为ABCD-A1B1C1D1是正
空间两直线的位置关系
其中 l 和 m 是不全为零的实数,且
A1 B1 C1 m （否则左端恒为零）
A2 B2 C2
l
（2）由平面 : Ax By Cz d 0
所决定的平面束的方程是 Ax By Cz 0
其中 为任意实数。（这是常用的形式）
空间“有轴平面束”和“平行平面束”这两个概念，退 化到平面上，有“中心直线束”和“平行直线束”的概 念中：心直线束： 如果给定了平面上的两条直线，
因此，所求直线的方程为：
32 6
x9
y
2 9
z
39
8
7
1
P。133
9。（2）解：
L1
:
x
y
2t 3t
3 5,
L2
:
x
y
5t 4t
10 7
z t
z t
设所求直线L与 L1 的交点为P，它所对应的参数为 t1
L与 L2 的交点为Q，它所对应的参数为 t2
由 1 1 1 0 1 2
1 2 3 0, 2 1 4 0
XYZ X Y Z
即
X X
2Y 2Y
Z Z
0 0
可得：X：Y：Z=0：1：2 所求直线的方程为：
x 1 y 1 z 1 012
例2。已知两直线
L1 :
x 1
y 1
z 1 0 , L2
解： 过直线L的平面束方程为：
l(2x y 2z 1) m(x 2y z 2) 0
即： (2l m)x (l 2m) y (2l m)z (l 2m) 0 （1）
空间两条直线的位置关系ppt 人教课标版
C A
例9. 如图，设E、F、G、H分别是空间四
边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,
CF CG AE AH ， 且 CB CD AB AD
求证：（1）当μ ≠λ时，四边形EFGH是梯 形；
（2）当μ=λ且AC=BD时，EG⊥FH.
A H
E
D G B F C
例10. 已知平面α∩平求证：b, c是异面直线
例3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中, E为AB的中点，F为AA1的中点，求证： （1）E、C、D1、F四点共面； （2）CE、D1F、DA三线交于同一点
P
例4．两个全等的正方形ABCD和ABEF所 在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且 AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
D M C P
空间两条直线的位置关系
中国人民大学附属中学
一．平面概述： 1. 平面的两个特征： ①无限延展 ②平的（没有厚度） 2. 平面的画法：通常画平行四边形来表示 平面 3. 平面的表示：用一个小写的希腊字母α、 β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示 平行四边形的两个相对顶点的字母表示， 如平面AC。
二．三个公理和三个推论: 公理1：若一条直线上有两个点在一个平 面内，则该直线上所有的点都在这个平面 内：A∈l, B∈l, A∈α, B∈α l 公理2：如果两个平面有一个公共点，那
V
B
O
C A
例7．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1 C1D1中，E、F、G、H分别为A1D1，A1B1, BC，CD的中点，求证：EF⊥GF.
M
例8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点， 证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线.
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在学习平面几何时，我们已经知道，不重合的 两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 在空间图形中，不重合的两条直线的位置关 系又是怎样的呢？
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系 （1）AB和C1D1； （2）A1C1和AC； （3）A1C和D1B： （4）AB和B1C1； 平行 平行 相交 D 既不相交又不平行 B A1 D1 B1 C
.
M
点o常取在两条异面直线中的一条上
相交直线所成角的 大小，就是异面直线 所成角的大小 b
﹤0 ≤ 90° 0°
o
a
M
如果两条两条异面直线所成的角是直角， 那么称这两条异面直线互相垂直。 记作 a b
例：正方体ABCD-A1B1C1D1，求：
①A1B与CC1所成的角是多少度？
②A1B1与CC1所成的角是多少度？
C1
A 对于（4）这类直线关系，给出下面的定义：
定义1 不能同在一个平面内的两条直线叫做 异面直线。
因此，空间两条不重合的直线的位置关系有三种。
空间两直线的位置关系：
（1）从公共点的数目来看可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A
l2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
记作：l1 l2 A
l1
两直线平行 ②没有公共点
l2
记作： l1 // l2 , 则l1 l2
两直线为异面直线
（2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内两直线平行 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线。 结论：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线 异面直线的画法：
b a a α b
b a
α
一、空间的平行直线
平行四边形
A H
E
D
B
G
C
F
二、异面直线及其所成的角
一、复习提问
1、空间两条直线的位置关系
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线
平行直线
没有公共点--------异面直线 ②从是否共面的角度 不在同一平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
2、基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相平行 设a，b，c为直线
a∥b c∥b
a∥c
3、异面直线的画法
b
α
a
b
β
b
α
a
α
a
二、两条异面直线所成的角 定义2 经过空间任意一点分别作与两条异面直 线平行的直线，这两条直线相交所成的锐角（或 直角）叫做两条异面直线所成的角。
b b b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 111 b 1 b b b b b b b b b b b b b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b b b 1b 1b 1b 1b 1b 11111 b 1 b b a a b 11 b a 1111 1 a 1 a b a1 1 a 1 a a1 1 a 1 a 1 a o 1 a 1 a a 11 a 1 a a11 a 1 a a1 1 a
D
M
C P D1 B B1
N
A
A1
C1
图（1）
练习：2. 如 图 （ 2 ） ， 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 平行且等于 E1F1. AE=A1E1，AF=A1F1，则 EF_________
B F A E D B1 E1
图2
C
F1
A1
C1
D1
例2.已知：四边形ABCD空间四边形（四顶点不共面 的四边形），E、H分别是边AB，AD的中点，F、G CF CG 2 分别是边CB，CD上的点，且 CB CD 3 求证：四边形EFGH是梯形。
45 90 45
③ A1C1与BC所成的角是多少度？ ④在正方体ABCD-A1B1C1D1棱中， 8条 与棱B1B垂直的棱有几条？
⑤图中哪些棱所在的直线与BA1成 异面直线 A1
D1
C1
B1
D C B
DD1 、D1C1 、C1C、CD、 AD、B1C1.
A
A
H
E
D B F
G
C
证明：如图，连结BD ∵EH是三角形ABD的中位线 1 ∴EH∥BD，EH= BD 2 CF CG 2 又在△BCD中， CB CD 3 2 ∴FG∥BD，FG= BD E 3
根据基本性质4， ∴ EH∥FG，
A H
D
G
C
又∵FG＞EH ∴四边形EFGH是梯形
B
F
思考：若点F、G也分别是CB，CD的中点，则四边 形EFGH是什么形状？
在平面几何中，“如果两 条直线都和第三 条直线平行，那么这两条直线也平行”。在空 间图形中也具有同样的性质。 基本性质4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
即： 对于直线a、 b、、c 若a // b, b // c, 则a // c.
练习1. 如图，是一块长方体形状的木块，平面AC上 有一点P，过点P画一条直线和棱 C1D1平行，说明应 该怎么画。 解： 如图（1），过点P作直线 MN∥CD，分别交AD，BC于M、N， 则由基本性质4得，MN∥C 1D1.