空间中两直线位置关系

a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
（0，90] 异面直线所成角θ的取值范围： 不积蹞步，无以致千里；不积小流
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探究：
1、在右图正方体中， （1）有没有两条棱所在直线是互相垂直的异面直线？ （2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直， 那么，另一条是否也与这条直线垂直？ （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_相__交__、__异__面_____。
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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判断对错：
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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确定平面的条件：
经过不共线三点
经过一条直线和直线外的一点 经过两条相交直线
有且只有一个平面
经过两条平行直线
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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不积蹞步，无以致千里；不积小流
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这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：
β
l
α
P
符号语言：
P 且P l且P l
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
A C
αB
推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
A
l
a
α
B
C
α
b
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
练习：2、求直线AD1与B1C所成的夹角；
3、与直线BB1垂直的棱有多少条？
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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D1
2）直线AD1与B1C所成的夹角 9 0°A1
C1 B1
D
3）与棱BB1垂直的棱有：
相交：A1B1、 AB、B1C1、BC、
A
异面：A1D1、AD、D1C1、 DC、
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定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
平行
异面
只有一个 没有 没有
共面 共面 不共面
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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空间线线位置关系 空间两条直线的位置关系： ⑴ 相交直线 —— 有且仅有一个公共点；
A1
D1
B1 C1
D A
C B
你知道寻找异面直线的方法了吗？
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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探究: C A
G DB
A D
HE
H
F(B)
G(C)
F E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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不积蹞步，无以致千里；不积小流
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观察实例
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
不积蹞步，无以致千里；不积小流
( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定
与另一条直线垂直。
( )
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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请完成课本P48 的练习
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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珍今1、惜天空所间时中讲两间的直知线,尽的识位力你置学关而系会为了吗, ? 祝如如3成2、、的愿果 果异空角面间所你 你直直学还线线有的的会没定平的了学义行同及关会,请两系学,条及完请异相学成通面关直定习下过线理列下所愉作列快业作!业!
A1 D1
B1 C1
D
不积蹞步，无以致千里；不积小流
A ，无以成江海 欢迎收藏●▂●
C
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B
典型例题
例3、如图表示一个正方体
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线
(2)求直线BA1与CC1的夹角 D1 的度数
A1
(3)哪些棱所在的直线与直
线AA1垂直
D
A
C1 B1
C B
不积蹞步，无以致千里；不积小流
如图所示：正方体的棱所在 的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？
D1
C 1 答案：
A1
B 1 D1C1、C1C、CD
D
C D1D、AD、 B1C1
A
B
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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如:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB 与哪些棱是异面直线,为什么
具有这样的关系?
H
D G
∴EH ∥FG且EH =FG
B FC
∴EFGH是一个平行四边形
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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变边式形：E如F果GH再是加什上么条图件形A？C=BD，那么A四
H E
D G
B FC
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2、D等1 角定理 C1
把它学会!
作业:
1.P51 A组 1-3 B组 1 (做在书上)
2.P51 A组 6(做在作业本上)
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二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性 若a∥b，b∥c,则a//c
探究：在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
D1 A1
D A
C1 B1
C B
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空间中两直线的位置关系
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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复习：公理1
公理1.如果一条直线上两点在一个平面
内，那么这条直线在此平面内（即这条
直线上的所有的点都在这个平面内）。
图形语言：
l
α
A
B
符号语言：符号表示：
Al, B l,且A , B l
不积蹞步，无以致千里；不积小流
A空1 间中如果两B个1 角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
D
C
A
B
观察正方体ABCD A1B1C1D1
ADC与A1D1C1，ADC与A1B1C1
的两边怎样的位置关系，大小如何？
不积蹞步，无以致千里；不积小流
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两直线的夹角：
两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
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练习题1、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线 段所成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的
空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA的中点，连结E个平行四边形。
A
解证明题：思想连：结BD
把所∵要解EH的是立△体AB几D的何中问位题线转化为平面几何 —的—问解∴同题立E理体H，几∥F何GB时D∥且最BE主DH且要=F、G12最=B常1D2 用BD的一种方法。E
D1
A1
垂直
相交垂直
异面垂直
D
A
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C B
C1 B1
C B
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填空： 1、空间两条不重合的直线的位置关系有__平__行____、 _相__交_____、 ____异__面__三种。
2、没有公共点的两条直线可能是___平__行___直线，也有可能是 __异___面___直线。
的角叫做两直线的夹角
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三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角。
b a′ ？ OP a
b′
平
2
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公理2 ：
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面.
图形语言：
B
αA
C
符号语言：
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C