共顶点的等腰三角形与旋转 公开课课件
【解题过程】 解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，∠DAF ＝360°－∠DAE－∠EAF＝135°， ∴ △ DAF≌△DAE ， ∴ DF ＝ DE.∵∠FCD ＝ 90° ， ∴ CD2 ＋CF2＝DF2，∴CD2＋BE2＝DE2，故以BE，CD，DE为边 的三角形是直角三角形．
第24章 圆
微专题7 共顶点的等腰三角形与旋转
1．如图，△ABC中，分别以AB，AC为 直 角 边 向 外 作 等 腰 直 角 三 角 形 ， △ ABD 和 △ACE.求证：(导学号：49854069)
(1)CD＝EB；
【解题过程】 证明：(1)∵等腰直角△ABD和△ACE，∴AD＝AB，AC ＝ AE ， ∠ ADB ＝ ∠ ABD ＝ 45°.∵∠DAB ＝ ∠ EAC ＝ 90° ， ∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴CD＝EB；
(2)CD⊥EB. 【解题过程】 证 明 ： (2) 由 △ DAC≌△BAE 得 ， ∠ ADC ＝ ∠ ABE.∵∠ADB ＝ ∠ ABD ＝ 45° ， ∴ ∠ CDB ＋ ∠ DBA ＋ ∠ABE＝90°，∴CD⊥EB.
2．如图，在四边形ABCD中，AD＝4， CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°， 求BD的长．(导学号：49854070)
∴∠BFM＝∠BAC＝∠MGC，∴∠BFM＋90°＝∠MGC ＋90°，即∠DFM＝∠MGE.∵∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠CAE＋∠AEG＝90°，∴∠BAD＝∠AEG，∴tan∠BAD ＝tan∠AEG，∴DAFF＝AGGE，即MDFG＝FGME .又∵∠DFM＝∠MGE， ∴△DFM∽△MGE游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
【解题过程】 解：将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ACE，连接 DE，易证等腰直角△ADE，∴DE＝ 2AD＝4 2，∴∠CDE＝ 90°，∴BD＝CE＝ CD2＋DE2＝ 41.
3．(2017·哈尔滨模拟)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，点D，E在直线BC上，若∠DAE＝135°，请探究：以 线段BE，CD，DE的长度为三边长的三角形是何种三角形？ 并说明理由．(导学号：49854071)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
①试判断△DFM和△MGE是否满足(1)中的关系？若满 足，请说明理由；若不满足，请写出△DFM和△MGE之间 存在的一种关系，并加以说明；
②若AD＝5，AB＝6，△DFM的面积为32，求△MGE 的面积．(导学号：49854072)
【解题过程】 解：(2)① 否，△DFM 和△MGE 相似； 理由：∵△ADB 和△ACE 都是等腰三角形，且 F，G 为 AB，AC 的中点，∴∠DFB＝∠EGC＝90°. ∵点 F，M，G 分别为 AB，BC，AC 边的中点， ∴FM∥AC，MG∥AB，FM＝12AC＝AG，MG＝12AB＝AF，
②∵AD＝5，AB＝6，∴AF＝3，MG＝AF＝3， ∴在 Rt△ADF 中，DF＝ AD2－AF2＝ 52－32＝4. ∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM 的面积为 32， ∴SS△ △MDFGME＝MDFG2＝342＝196， ∴S△MGE＝32×196＝18.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
4．(1)如图1 ，在△ABC中，分别 以AB，AC为斜边，向△ABC外作等腰 直角三角形，直角的顶点分别为D，E， 点F，M，G分别为AB，BC，AC边的 中点．
问：△DFM和△MGE________全 等(选填“是”或“否”，不用说理)；
【解题过程】 解：(1)是；
(2) 如 图 2 ， 在 △ ABC 中 ， 分 别 以 AB，AC为底边，向△ABC外作等腰三 角形，顶角的顶点分别为D，E，且 ∠BAD＋∠CAE＝90°.点F，M，G分 别为AB，BC，AC边的中点．
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中考专题复习--等腰三角形中的旋转(课件)-2023-2024学年北师大版数学九年级下册+
拓展延伸：（3）直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角的度数.
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
J
谢谢！
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，“求真” 小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
等腰三角形中的旋转
旋转
旧知回顾：
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动 一个角度，这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心。
2.旋转角：转动的角度为旋转角。一般用对应边的夹角来表示。
3.旋转不改变图形的形状和大小，属于全等变换。
如图，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°， PA=3，PC=4，求PB的长.
数.
C
P
A
B
已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC。
2.如图，点D是BC上的一点（不与B、C重合），连接AD，过点D做 BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，若∠BAD=α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）。
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
J
谢谢！
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，“求真” 小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论；
综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转 的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°，将△ABC从图1 的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D、E分别是点B、C的对 点)，旋转角为α(0<α＜100°)，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别 交BC，AC于点O、N
等腰三角形中的旋转
旋转
旧知回顾：
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动 一个角度，这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心。
2.旋转角：转动的角度为旋转角。一般用对应边的夹角来表示。
3.旋转不改变图形的形状和大小，属于全等变换。
如图，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°， PA=3，PC=4，求PB的长.
数.
C
P
A
B
已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC。
2.如图，点D是BC上的一点（不与B、C重合），连接AD，过点D做 BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE，若∠BAD=α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）。
共顶点的等腰直角三角形
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
2
证明方法： 延长OM 至点K，使得OM KM，连结BK
OA OB AOD KBO OD BK AOD OBK (SAS)
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
AOC BOD(SAS)
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论二（线的角度）： AC BD, AC BD(8字形)
证明方法：AOC BOD AC BDA 在APQ与BPO中 PAQ PBO, APQ BPO AQP BOP 90 即AC BD
或同理证明DQC DOC 90也可
OD BI OC
OI AD
1 2 90
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论三： 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线)
2
BMI CMO IBM OCM BI OC IBM OCM（AAS）
OM IM 1 OI 1 AD 22
结论三：过点O作ON AD与点N，延长NO交BC于点M，
则M 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线) 2
过点B作BI // OC，交OM的延长线于点I
BI // OC IBO COB 180 AOD COB 180 IBO AOD AOB 90 3 2 90 ON AD
1 3 OA OB AOD IBO AOD OBI（ASA）
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论三（角的角度）： QO平分BQC，即BQO CQO 45
证明方法：
过点O作OM BD于点M 过点O作ON AC于点N AOC BOD SAOC SBOD，AC BD OM ON 点O在BQC的角平分线上 即QO是BQC的角平分线
等腰三角形复习公开课课件
2023
PART 02
等腰三角形周长与面积计 算
REPORTING
周长计算公式
等腰三角形周长的计算公式为：周长 = 2 × 腰长 + 底边长。
若仅知道等腰三角形的一条腰长和底 边长，以及一个角度（如顶角或底 角），则需要通过三角函数计算出另 一条腰长，再套用周长公式。
在已知等腰三角形两条腰长和底边长 的情况下，可以直接套用此公式计算 周长。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形可用于工程测量中的角度测量，通过观测和计算等腰三角形的顶角 和底角，可以推算出其他相关角度。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以利用等腰三角形的性质，通过测量 其他相关距离间接求得目标距离。
其他领域应用
航海与航空
在航海和航空领域，等腰三角形可用于定位和导航，如通过观测两个已知位置的夹 角来确定自身位置。
解析
设腰长为x，底边长为y，根据题意列 方程组求解，注意分两种情况讨论。
填空题选讲
题目一
等腰三角形的一个外角等于100°， 则它的顶角等于____。
解析
外角与相邻内角互补，故内角为 80°，若80°为顶角则不合题意， 故80°为底角，顶角为180°2×80°=20°。
题目二
已知等腰三角形的周长为21cm， 若有一边长为9cm，则其他两边 长为____。
2023
PART 03
等腰三角形在生活中的应 用
REPORTING
建筑领域应用
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中经常出现，如尖顶建筑、拱门等，其 对称性和稳定性为建筑物增添了美感和结构强度。
结构工程
在桥梁、塔楼等建筑结构中，等腰三角形可用于构建稳定的支 撑结构，如斜拉桥的主塔和拉索构成的等腰三角形。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课件(共28张PPT)
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
的高互相重合，简称“三线合一”
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、 角相等。
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°,
则∠B =
；
（2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B,
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
等腰三角形的性质
性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成等边对等角）
性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
几何语言：
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD 作BC边上的中线AD 作顶角的平分线 AD
归纳总结
A等腰三角形常见辅助线A NhomakorabeaA
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC 的中线AD
等腰三角形解题方法ppt课件
∴∠D＝∠AED，在△DEF 中，∵∠D＋∠AED
＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠DEA＋∠AEF ＝180°×12＝90°，∴DE⊥EF，∵EF∥BC，∴ DE⊥BC
五、构造30°的直角三角形 3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°， 求证：AB＝2BC.
解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，又∵BD＝AD，∴∠BAD＝ x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°，∵AC＝DC，∴∠DAC＝2x°，在△ADC中，2x ＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3＝108°
二、分类讨论在等腰三角形中的应用
5．已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角
证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝ ∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF (2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM＋∠MFE＋∠AEF＝90°， ∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
度数．
①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ABD ＋ ∠A ＝ 90 ° ， 又 ∵∠ABD ＝ 50 ° ， ∴ ∠ A ＝ 90 ° － 50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)＝70°， 即这个三角形的三个内角分别为40°，70°，70°； ②当△ABC为钝角三角形时，如图所示：∵BD⊥AC， ∠ DBA ＝ 50 ° ， ∴ ∠ BAC ＝ 90 ° ＋ 50 ° ＝ 140 ° ， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－140°)＝20°.即这个三角形 的三个内角分别为140°，20°，20°.综上所述，这个 三角形的三个内角分别为40°，70°，70°或140°， 20°，20°
＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠DEA＋∠AEF ＝180°×12＝90°，∴DE⊥EF，∵EF∥BC，∴ DE⊥BC
五、构造30°的直角三角形 3．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°， 求证：AB＝2BC.
解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，又∵BD＝AD，∴∠BAD＝ x°，∴∠ADC＝x°＋x°＝2x°，∵AC＝DC，∴∠DAC＝2x°，在△ADC中，2x ＋2x＋x＝180，x＝36，∴∠BAC＝36°×3＝108°
二、分类讨论在等腰三角形中的应用
5．已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角
证明：(1)∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，即∠BAE＝ ∠CAF，又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF (2)由(1)得△BAE≌△CAF，∴∠AFC＝∠AEB，∵∠AFM＋∠MFE＋∠AEF＝90°， ∴∠MEA＋∠AEF＋∠EFM＝90°，∴∠EMF＝90°，即BE⊥CF
度数．
①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ABD ＋ ∠A ＝ 90 ° ， 又 ∵∠ABD ＝ 50 ° ， ∴ ∠ A ＝ 90 ° － 50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－40°)＝70°， 即这个三角形的三个内角分别为40°，70°，70°； ②当△ABC为钝角三角形时，如图所示：∵BD⊥AC， ∠ DBA ＝ 50 ° ， ∴ ∠ BAC ＝ 90 ° ＋ 50 ° ＝ 140 ° ， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－140°)＝20°.即这个三角形 的三个内角分别为140°，20°，20°.综上所述，这个 三角形的三个内角分别为40°，70°，70°或140°， 20°，20°
最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT
系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2： 证明：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
等腰三角形及其性质课件
因为$BD$平分$angle ABC$，$CE$平分$angle ACB$，所以$angle ABD = angle ACE$。
20
等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
28
构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
36
THANKS
20
等腰三角形两底角平分线相等定理证明
• 在三角形$ABD$和三角形$ACE$中，由于$\angle ABD = \angle ACE$且$\angle A = \angle A$，根据三角形的全等判 定——角角边（AAS）全等定理，得到$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
2024/1/26
等腰三角形在建筑结构中的应用
许多古代建筑和现代建筑都采用了等腰三角形的结构形式，如埃及金字塔、古希 腊神庙等。这种结构形式能够提供很好的稳定性和承重能力。
稳定性原理
等腰三角形的两条等边和对应的两个等角使得其具有很好的平衡性和稳定性。在 建筑结构中，利用等腰三角形的这一特性，可以有效地分散荷载并减小结构的变 形。
利用对称轴求未知元素
在等腰三角形中，对称轴是底边的垂直平分线。因此，可以 通过对称轴来求出未知的顶点或边长。
28
构造辅助线解决问题
2024/1/26
作底边的垂线
通过等腰三角形的顶点作底边的 垂线，可以将等腰三角形划分为 两个直角三角形，从而利用直角 三角形的性质来解决问题。
作底边的中线
通过等腰三角形的顶点作底边的 中线，可以得到一个与底边平行 且等于底边一半的线段，从而简 化问题。
非等腰三角形的性质
05
不具有等腰三角形三线合一的性质。
03
三个内角之和等于180°。
2024/1/26
06
非等腰三角形的判定：一个三角形若不满足等腰三角形的 判定条件，即为非等腰三角形。
36
THANKS
3 等腰三角形(三) 课件 公开课一等奖课件
A
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证形，使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或 作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的 三角形．
等腰三角形的判定定理：
几何的三种语言
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
A
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且
a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于
或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数
的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的
和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证形，使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或 作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的 三角形．
等腰三角形的判定定理：
几何的三种语言
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
A
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且
a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于
或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数
的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的
和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
等腰三角形性质公开课课件
等腰三角形性质公开课课件一、等腰三角形的定义•等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
•等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）也是相等的。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2.等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线。
3.等腰三角形的高也是底边的中线。
4.等腰三角形的对角也是顶角的平分线。
三、等腰三角形的性质证明1. 等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，底边中点为 M，顶点到底边的垂直平分线为 BM。
因为 AM = CM（等腰三角形的性质），且 BM 也是 AM 的垂直平分线，所以BM = AM = CM。
又因为 BM 的定义是顶点到底边的垂直平分线，所以 BM 也是 AC 的垂直平分线。
所以，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2. 等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，中点为 M，角平分线为BK。
由于等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合（性质1），所以BH 是 AC 的垂直平分线。
又因为 BM 是 AC 的中线（三角形中线的性质），所以 BH 也是 BM 的垂直平分线。
又因为 BK 是角 B 的平分线，所以 BH 也是 BK 的垂直平分线。
综上所述，等腰三角形的高 BH 同时是 AC 的中线、角平分线和垂直平分线。
3. 等腰三角形的高也是底边的中线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，底边的中点为 M。
由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
所以，BH 是 AC 的垂直平分线，而 M 是 AC 的中点，所以 BH 也是 AM 的垂直平分线。
所以，BH 也是所有从顶点到底边的线段的垂直平分线。
又因为 BH 与 AC 重合（等腰三角形的性质），所以 BH 也是 AC 的中线。
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形课件
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变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答(jiědá)以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的
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第十八页，共二十三页。
(2018·绍兴(shào xīnɡ))数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
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内容 总结 (nèiróng)
第18讲 等腰三角形。以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易(bù yì),是考查能力的一道好题.。①当点C在线段OB上时,如图1,。②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,。错误鉴定
或5
25
2
或
试真题·练易
命题(mìng tí)点 等腰三角形的性质
1.(2016·山西,15,3分)如图,已知点C为线段(xiànduàn)AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD 于点H,则HG的长为3- .5
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
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