陕西省榆林市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
陕西省榆林市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合A ={x|x >0}，B ={x|−1<x <1}，则(∁R A)∩B =( )A. {x|0<x <1}B. {x|x <1}C. {x|−1<x <0}D. {x|−1<x ⩽0}2. 函数f (x )=1lgx +√2−x 的定义域为( ) A. (−∞,2] B. (0,2] C. (0,1)∪(1,2] D. (−1,2]3. 若直线ax +3y +3=0和直线x +(a −2)y +1=0平行，则a =( )A. −1或3B. 3C. −1D. −3或1 4. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b5. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)6. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π10. 若x 0是方程x +lgx =2的解，则x 0属于区间( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．12. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．13. 定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2−x +x ，则g(2)= ______ ．14. 在等边△ABC 中，M ，N 分别为AB ，AC 上的点，满足AM =AN =2，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为60°，则A 点到平面MNCB 的距离为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15. 把直线l 的方程x −2y +6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距并画图．16. 计算：(1)823−(78)0+√(3−π)44+[(−2)6]12.(2)lg2−lg 14+3lg5−log32⋅log49.17.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点．(1)求证：DE//平面ACC1A1;(2)若△ABC的面积为√3，三棱柱ABC−A1B1C1的高为3，求三棱锥D−BCE的体积．19.已知函数f(x)=x2−1，g(x)=a|x−1|．(1)若|f(x)|=g(x)有两个不同的解，求a的值；(2)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围；(3)求ℎ(x)=|f(x)|+g(x)在[−2,2]上的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的补集与交集运算，属于基础题．根据补集、交集定义求解即可．解：∵A={x|x>0}，∁R A={x|x≤0}，又∵B={x|−1<x<1}，故(∁R A)∩B={x|−1<x≤0}．故选D．2.答案：C解析：本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解：由题意可得解得：0<x≤2且x≠1，即该函数定义域为：x∈(0,1)∪(1,2]．故选C．3.答案：C解析：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，属于基础题．直接由两直线平行得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．解：直线ax+3y+3=0和直线x+(a−2)y+1=0平行，则a(a−2)−3=0，解得a=−1或a=3，当a=3时，直线方程分别为3x+3y+3=0和直线x+y+1=0，两直线重合，故舍去；当a=−1时，直线方程分别为−x+3y+3=0和直线x−3y+1=0，两直线平行，满足题意．故选C．4.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b，c与√3的大小得答案．解：∵b=12516=√5>√3，c=log47=12log27<32<√3，∴c<a<b，故选：D．5.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案． 解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：C解析：由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体，∴其体积V =12×43π×33+13π×32×4=30π． 10.答案：C解析：本题考查零点存在性定理的运用，属于简单题．利用函数零点的判定定理即可得出．解：令f(x)=x+lgx−2，∵f(1)=1+lg1−2=−1<0，f(2)=2+lg2−2=lg2>0，∴f(1)f(2)<0，根据函数零点的判定定理可知：函数f(x)在区间(1,2)内存在一个零点，即方程x+lgx=2的解x0∈(1,2)．故选C．11.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．12.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．13.答案：18解析：根据函数奇偶性的性质建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键，属基础题．解：∵定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2−x+x，∴f(2)+g(2)=2−2+2，①f(−2)+g(−2)=22−2=2，∵f(−2)=f(2)，g(−2)=−g(2)∴f(2)−g(2)=2，②①−②得2g(2)=2−2=14，则g(2)=18，故答案为：18．14.答案：32解析：解：取MN的中点O，连接AO，OP，则∠AOP=60°∵AM=AN=2，∴AO=√3∴A点到平面MNCB的距离为AOsin60°=32．故答案为：32．取MN的中点O，连接AO，OP，则∠AOP=60°，求出AO，即可求出A点到平面MNCB的距离．本题考查空间角，考查点到平面的距离，考查学生的计算能力，确定空间角是关键．15.答案：见解析解析：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2，得斜截式y=x2+3，因此，直线l的斜率k=12，它在y轴上的截距是3，在上面的方程中令y=0，可得x=−6，即直线l在x轴上的截距是−6，可得直线l与x轴、y轴的交点为A(−6,0)、B(0,3)，过点A、B作直线，就得直线l(如图)．16.答案：解：(1)823−(78)0+√(3−π)44+[(−2)6]12.=4−1+π−3+8=8+π．(2)lg2−lg 14+3lg5−log 32⋅log 49 =lg(2×4×125)−lg2lg3×lg9lg4=3−1=2．解析：本题考查对数式、对数式求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用指数的性质、运算法则直接求解．(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．17.答案：解：由圆C ：x 2+y 2−6x +4y =0，即(x −3)2+(y +2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r =√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d ，由|MN|=4√2=2√r 2−d 2，得d =√5．①当l 的斜率k 存在时，设直线方程为y −0=k(x −2)．又圆C 的圆心为(3,−2)，半径r =√13， 由√1+k 2=√5，解得k =12． 所以直线方程为y =12(x −2)，即x −2y −2=0．②当l 的斜率不存在时，l 的方程为x =2，经验证x =2不满足条件．综上所述，直线l 的方程为：x −2y −2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．18.答案：(1)证明：如图，连接AB1，AC1．∵点D是A1B的中点，∴点D是AB1的中点，又点E是B1C1的中点，∴DE//AC1．∵DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，∴DE//平面ACC1A1．(2)解：∵点D是AB1的中点，∴D到平面BCE的距离是A到平面BCE的距离的一半．连接BC1，∵S△BCE=S△BCC1，∴三棱锥D−BCE的体积V=12V A−BCC1=12V C1−ABC=12×13×√3×3=√32．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(1)连接AB1，AC1.可得DE//AC1..再由线面平行的判定可得：DE//平面ACC1A1;(2)连接BC1，结合三棱锥D−BCE的体积V=12V A−BCC1，求解三棱锥D−BCE的体积19.答案：解：(1)方程|f(x)|=g(x)，即|x2−1|=a|x−1|，变形得|x−1|(|x+1|−a)=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”，得a =0或a =2．(2)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2−1≥a |x −1|(∗)对x ∈R 恒成立，①当x =1时，(∗)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(∗)可变形为a ≤x 2−1|x−1|，令φ(x )=x 2−1|x−1|={x +1 ,x >1−(x +1),x <1, 因为当x >1时，φ(x )>2，而当x <1时，φ(x )>−2，所以φ(x )>−2，故此时a ≤−2．综合①②，得所求a 的取值范围是a ≤−2．(3)因为ℎ(x)=|f(x)|+g(x)=|x 2−1|+a|x −1|={x 2+ax −a −1(x ≥1),−x 2−ax +a +1(−1≤x <1),x 2−ax +a −1(x <−1).①当a 2>1，即a >2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,1]上递减，在[1,2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3，ℎ(2)=a +3，经比较，此时ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为3a +3．②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,−1]，[−a 2,1]上递减，在[−1,−a 2]，[1,2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3，ℎ(2)=a +3，ℎ(−a 2)=a 24+a +1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为3a +3．③当−1≤a 2<0，即−2≤a <0时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,−1]，[−a 2,1]上递减，在[−1,−a 2]，[1,2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3，ℎ(2)=a +3，ℎ(−a 2)=a 24+a +1，经比较，知此时ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为a +3．④当−32≤a 2<−1，即−3≤a <−2时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,a 2]，[1,−a 2]上递减，在[a 2,1]，[−a 2,2]上递增，且ℎ(−2)=3a +3<0，ℎ(2)=a +3≥0，经比较，知此时ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为a +3．⑤当a 2<−32时，即a <−3时，结合图形可知ℎ(x)在[−2,1]上递减，在[1,2]上递增，故此时ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为ℎ(1)=0．综上所述，当a≥0时，ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为3a+3；当−3≤a<0时，ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为a+3；当a<−3时，ℎ(x)在[−2,2]上的最大值为0．解析：本题考查不等式恒成立以及分段函数的最值问题，属于难题．(1)原方程变形得|x−1|(|x+1|−a)=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”结合图象解决；(2)不等式f(x)≥g(x)恒成立，即x2−1≥a|x−1|(∗)对x∈R恒成立，分离参数转化为函数的最值解决；(3)把函数写为分段函数求最值即可．。
陕西高一高中数学期末考试带答案解析
陕西高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．；B．；C．；D．2.正方体中，直线与所成的角为（）A．30o B．45o C．60o D．90o3.在空间直角坐标系中，点A(1，－2，3)与点B(－1，－2，－3)关于( )对称A．x轴B．y轴C．z轴D．原点4.圆：与圆：的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离5.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为()A．4B．8C．8D．86.一个圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．7.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④8.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A．B．2C．D．29.入射光线沿直线射向直线：，被直线反射后的光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．10.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．B．C．D．二、填空题1.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．2.已知三点A（3，1），B（-2，m），C（8，11）在同一条直线上，则实数m等于______．3.为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为________．4.如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于________．5.当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝有公共点时，实数k的取值范围是________．三、解答题1.已知直线和直线,分别求满足下列条件的的值.(1) 直线过点,并且直线和垂直；(2)直线和平行, 且直线在轴上的截距为 -3．2.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2，EF=. 求该多面体的体积.3.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．求证：（1）DN// 平面PMB；（2）平面PMB平面PAD．4.已知以点A（m，）（m∈R且m>0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．（1）当m=2时，求圆A的标准方程；（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设直线与圆A相交于P，Q两点，且 |OP|=|OQ|，求 |PQ| 的值．陕西高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角为（）A．；B．；C．；D．【答案】C【解析】由直线方程可知直线的斜率，选C.2.正方体中，直线与所成的角为（）A．30o B．45o C．60o D．90o【答案】C【解析】连结，由正方体的性质可得，所以直线与所成的角为,在中由正方体的性质可知，，选C.点睛：由异面直线所成角的定义可知求异面直线所成角的步骤：第一步，通过空间平行的直线将异面直线平移为相交直线；第二步，确定相交直线所成的角；第三步，通过解相交直线所成角所在的三角形，可求得角的大小.最后要注意异面直线所成角的范围是.3.在空间直角坐标系中，点A(1，－2，3)与点B(－1，－2，－3)关于( )对称A．x轴B．y轴C．z轴D．原点【答案】B【解析】由两点坐标可知线段的中点坐标为，该点在轴上，所以两点关于轴对称，选B.4.圆：与圆：的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离【答案】A【解析】圆方程变形为，圆心，圆方程变形为，圆心，，所以两圆内切，选A.点睛：判断两圆的位置关系需要通过判断圆心距与半径的大小关系来确定，如：圆的半径为，圆的半径为，两圆心的距离为，若有，则两圆相离；若有，则两圆外切；若有，则两圆相交；若有，则两圆内切；若有，则两圆内含.5.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为()A．4B．8C．8D．8【答案】D【解析】由斜二测画法可知原图形为平行四边形，平行四边形在轴上的边长为2，平行四边形的高为直观图中对角线长的2倍，所以原平面图形的面积为，选D.6.一个圆锥的底面圆半径为，高为，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为底面圆的周长，所以面积为，选C.7.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【答案】D【解析】①对这两条直线缺少“相交”这一限制条件，故错误；③中缺少“平面内”这一前提条件，故错误．【考点】空间中线面的位置关系的判定．8.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A．B．2C．D．2【答案】D【解析】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2-4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，再由：d2+(l /2 )2=r2，得：l=2，故选D．9.入射光线沿直线射向直线：，被直线反射后的光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线上取一点，该点关于直线的对称点为，直线与直线交点坐标为，所以反射光线过点，由两点可知斜率为，∴所求的直线方程为,即.选B.点睛：本题通过光线的反射考察直线关于直线的对称问题，对称问题的中心点是点的对称，因此可求入射光线上的点关于直线的对称点，其对称点必在反射光线上，进而通过反射光线过的点求得直线方程，此外还可利用入射光线，反射光线与直线的夹角相同，通过直线的夹角公式求解反射光线所在直线的斜率.10.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为，所以球心到截面圆的距离为，所以截面圆的半径为，所以截面圆的面积为，球的表面积为，因此面积比为，选A.二、填空题1.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．【答案】【解析】已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.2.已知三点A（3，1），B（-2，m），C（8，11）在同一条直线上，则实数m等于______．【答案】【解析】由三点共线可知直线的斜率相等，结合斜率公式可得.点睛：关于三点共线问题有以下求解方法：方法一：三点共线，则由三点确定的直线中，任意两直线的斜率相等，由此可建立关于的等式关系；方法二：三点共线，则由三点确定的向量共线，因此得到向量坐标间的关系式，可求得的值；方法三：由点的坐标可求得直线的方程，将点的坐标代入直线方程可求得的值.3.为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为________．【答案】【解析】由圆的方程可知圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，结合圆的对称性可求得圆上的动点到直线的最大距离为.点睛：本题中当直线与圆相离时求解圆上的动点到直线的距离是直线与圆的章节中常考的知识点，求解时可结合圆的对称性可先求圆心到直线的距离，进而得到所求距离的最大值为，距离的最小值为.4.如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于________．【答案】【解析】由正方体的表面积为24可知边长为2，所以正方体的体对角线为，即球的直径为，所以.点睛：球与正方体的结合考查，常见的结合形式有三种：形式一：球与正方体六个面都相切，即球为正方体的内切球，此时球的直径等于正方体的边长；形式二：球与正方体的12条棱都相切，此时球的直径为正方体的面对角线；形式三：球过正方体的8个顶点，即球为正方体的外接球，此时球的直径为正方体的体对角线.5.当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝有公共点时，实数k的取值范围是________．【答案】【解析】曲线变形为，直线为过定点的直线，结合图形可知直线与圆相切（切点在第二象限）时，斜率取得最小值，此时的满足到的距离为圆的半径，所以，所以实数的取值范围是.三、解答题1.已知直线和直线,分别求满足下列条件的的值.(1) 直线过点,并且直线和垂直；(2)直线和平行, 且直线在轴上的截距为 -3．【答案】(1);(2)【解析】(1)由直线过点，可将点的坐标代入直线方程得到的关系式，由垂直可得到两直线方程系数的关系，即的关系式，解方程组可求得的值； (2)由平行可得到系数满足，由的截距可得到，解方程组可求得的值.(1)由已知得,解得；(2)由已知得，解得．2.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD.△FBC中BC边上的高FH=2，EF=. 求该多面体的体积.【答案】【解析】由已知多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，将几何体补成三棱柱,我们易求出三棱柱的体积，然后由三棱柱的体积减去三棱锥的体积即可.将几何体补成三棱柱,如图所示：多面体中，平面FBC⊥平面ABCD，且AB⊥BC，故AB⊥平面FBC.∵EF∥AB，∴EF⊥平面FBC，即GF⊥平面FBC.∵△FBC中BC边上的高FH=2，平面ABCD是边长为3的正方形，EF=，∴三棱锥E-ADG的体积为，∴原几何体的体积为.3.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N 分别是棱AD、PC的中点．求证：（1）DN// 平面PMB；（2）平面PMB平面PAD．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】（1）要证明DN//平面PMB，只要证明DN// MQ；（2）要证明平面PMB平面PAD，只要证明MB平面PAD.（1）证明：取中点，连结、，因为分别是棱中点，所以////，且，所以四边形是平行四边形，于是//．.（2），又因为底面是,边长为的菱形，且为中点，所以.又，所以.4.已知以点A（m，）（m∈R且m>0）为圆心的圆与x轴相交于O，B两点，与y轴相交于O，C两点，其中O为坐标原点．（1）当m=2时，求圆A的标准方程；（2）当m变化时，△OBC的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设直线与圆A相交于P，Q两点，且 |OP|=|OQ|，求 |PQ| 的值．【答案】（1）；（2）的面积为定值;(3)【解析】（1）由可求得圆心坐标，由的值可求得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）由圆的方程可求得两点坐标，将面积转化为用两点坐标表示，可得其为定值；（3）由|OP|=|OQ|可得点O在线段PQ的垂直平分线上，结合圆心也在线段PQ的垂直平分线上，从而可得，由此可求得的值，即求得圆心坐标，结合直线与圆相交的弦长问题可求得的值.（1）当时，圆心的坐标为，∵圆过原点，∴，则圆的方程是；（2）∵圆过原点，∴=，则圆的方程是，令，得，∴；令，得，∴，∴, 即：的面积为定值；（3）∵，∴垂直平分线段，∵，∴，∴，解得 .∵已知，∴，∴圆的方程为．，此圆与直线相交于两点，.。
陕西省榆林高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合，则（ ） {|0},{|||2}A x x B x Z x =≤=∈≤()R A B = ðA ． B ． C ． D ．{2,1,0}--{2,1}--{1,2}{0,1,2}【答案】C【分析】先根据集合补集的定义求出，再解绝对值不等式得到集合，最后求即可. R A ðB ()R A B ⋂ð【详解】集合，， {|0}A x x =≤∴{|0}R A x x =>ð又因为， {}{|||2}=2,1,0,1,2B x Z x =∈≤--所以. (){1,2}R A B ⋂=ð故选：C.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算，属于基础题.2．已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为（ ）A ．B ．C ．8D ．2【答案】A【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用扇形的弧长和面积公式，求得r =的周长.【详解】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 已知扇形的圆心角为2 rad ，则， 2l r =扇形面积，112822S lr r r r ==⨯⋅=⇒=所以扇形的周长， 244C l r r =+==⨯=故选：A.3．下列说法不正确的是（ ）A ．若“且”为假,则,至少有一个是假命题.p q p q B ．命题“”的否定是“”. 2,10x R x x ∃∈--<2,10x R x x ∀∈--≥C ．设是两个集合,则“”是“”的充分不必要条件. ,A B A B ⊆A B A = D ．当时,幂函数在上单调递减.0α<y x α=()0,+∞【分析】对于A 中，根据复合命题的真假判定方法，可判定为真命题；对于B 中，根据全称命题的否定，可得是正确的；对于C 中，根据充要条件的判定可得应为充要条件，所以不正确；对于D 中，根据幂函数的性质，可得是正确的，即可得到答案.【详解】对于A 中，根据复合命题的真假判定方法，可知若“且”为假，则至少有一个是假p q ,p q 命题，故A 正确；对于B 中，根据全称命题的否定，可得命题“”的否定是“”，2,10x R x x ∃∈--<2,10x R x x ∀∈--≥故B 正确；对于C 中，设是两个集合，则“”是“”的充要条件，故C 不正确；,A B A B ⊆A B A = 对于D 中，根据幂函数的性质，可知当时，幂函数在上单调递减是正确的，故0α<a y x =(0,)+∞D 正确. 故选：C.4．若函数(且)的图像恒过定点，且点在角θ的终边上，则243x y a +=+0a >1a ≠A A 3πsin 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A B C D 【答案】C【分析】求出点的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值.A 3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】当，即时，，所以， 240x +=2x =-4y =()2,4A -所以θ==cos 3πsin cos 2θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：.C 5．2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。
陕西省榆林市玉林实验中学2019年高一数学理上学期期末试题含解析
陕西省榆林市玉林实验中学2019年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的函数满足下列三个条件：①对于任意的；②对于任意的；③函数则下列结论正确的是（）A、 B、C、 D、参考答案：A略2. 函数f(x)=sin2x·cos2x是 ( )A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数.参考答案：D略3. 直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．【解答】解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2 +a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故选：B．4. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A.①④ B．②③ C．②④D．①②参考答案：A5. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（）A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．1参考答案：C【分析】利用向量的运算法则和数量积的计算公式即可得出．【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴==2．又E为BC中点，∴．∴=====﹣1，故选C．6. 如果可分解因式为则A、B的值是（）A.-6，-9B.6，9C.-6，9D.6，-9参考答案：B略7. 原点到直线的距离是 ( )A． B．C． D．参考答案：B8. 若的图像恒过点P，则点P的坐标为（）A． B．C． D．参考答案：D略9. （多选题）已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.参考答案：AC【分析】先通过终边上点的坐标求出然后代入分段函数中求值即可.【详解】因为角的终边经过点,所以,所以,,所以,.故选AC.【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义,分段函数的计算求值,难度较易.10. 已知，以下三个结论：①，②③，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若,则的最大值为；参考答案：12. 已知正实数满足条件，则的最小值是________________参考答案：13. 已知且与的夹角为，则参考答案：114. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值，其中= .参考答案：14略15. 给出以下命题：①存在两个不等实数，使得等式成立；②若数列是等差数列，且，则；③若是等比数列的前n项和，则成等比数列；④若是等比数列的前n项和，且，则为零；⑤已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定是锐角三角形。
陕西省榆林市高一上学期期末数学试题(解析版)
高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知，则下列四个角中与角终边相同的是（ ） 30α= αA ． B ． C ． D ．390 210 150 330 【答案】A【分析】根据终边相同的角的表示即可求解.【详解】与终边相同的角的集合为：，令，得；30α= {}30360,k k Z αα︒=+⋅∈ 1k =390α= 故选：A.2．命题“，的否定是（ ） 0x ∀≠2x x+≥A ．，B ．，0x ∀≠2x x +<0x ∃=2x x+≥C ．，D ．， 0x ∃≠2x x+<0x ∃=2x x+<【答案】C【分析】全称命题的否定是特称命题，按规则否定即可【详解】命题“，的否定是： 0x ∀≠2x x+≥， 0x ∃≠2x x+<故选：C3．如果角，那么下列结论中正确的是（ ） 98πα=A ．B ． sin cos 0αα<<cos 0sin αα>>C ．D ．sin 0cos αα>>cos sin 0αα<<【答案】D【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】由题知，，sin sin sin 088ππαπ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，cos cos cos 088ππαπ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭又， cossin88ππ>，∴cossin88ππ-<-.∴cos sin 0αα<<故选：D.4．“”是“”的（ ） 22log log a b >a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由的单调性可知即有，而反过来不一定成立，即可判断是否为充2log x 22log log a b >a b >要条件【详解】根据对数函数单调性知：，但 22log log a b a b >⇒>22log log a b a b >>¿∴“” 是“”的充分不必要条件 22log log a b >a b >故选：A【点睛】本题考查了充分条件，应用两个结论将其中一个作为条件推导出的结论是否为另一个来判断是否为充分、必要条件5．著名的Dirichlet 函数，则等于（ ）1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数(())D D x A ．0B ．1C ．D ．10x x ⎧⎨⎩，为无理数，为有理数10x x ⎧⎨⎩，为有理数，为无理数【答案】B【分析】由题意可知为有理数，从而可求出的值.()D x (())D D x 【详解】解：∵，即D (x )∈{0，1}，1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数∴D (x )为有理数， ∴＝1. (())D D x 故选：B ，【点睛】此题考查分段函数求值问题，对于定义域不同的区间上，函数表达式不同的分段函数，在求值时一定要代入对应的自变量的范围内求解，属于基础题.6．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为y x ()2log 1y a x =+180只，则15年后它们发展到（ ） A ．300只 B ．400只C ．600只D ．720只【答案】D【分析】根据题意求得，当时即可求解.()2180log 1y x =+ 15x =【详解】由题知，该动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为， y x ()2log 1y a x =+当代入得，，得， 1,180x y ==()2log 1y a x =+()2180log 11a =+180a =所以，()2180log 1y x =+ 所以当时，， 15x =()2180log 1511804720y =+=⋅= 所以15年后它们发展到720只. 故选：D7．已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭3π()g x 象， 若的图象关于原点对称， 则 （ ） ()g x ϕ=A ．B ．C ．D ．3π4π6π12π【答案】C【分析】根据函数平移关系求出，再由的对称性，即得.()g x ()g x 【详解】由题可知图象关于原点对称， 2()2cos 22cos 233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，因为，2,Z 32k k ππϕπ-=+∈02πϕ<<所以．6πϕ=故选：C.8．已知函数为R 上的偶函数，若对于时，都有，且当()y f x =0x ≥()()2f x f x +=-[)0,2x ∈时，，则等于（ ） ()()2log 1f x x =+()()20212022f f -+A ．1 B ．-1C ．D ． 2log 623log 2【答案】A【分析】由已知确定函数的递推式，利用递推式与奇偶性计算即可． 【详解】当时，，则， 0x ≥(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以当时，，所以0x ≥(4)()f x f x +=(2021)(2017)(1)f f f ===又是偶函数，，()f x (2)(0)f f =-所以． ()()20212022(2021)(2022)(1)(2)f f f f f f -+=+=+22log (11)(0)1log (01)1f =+-=-+=故选：A ．二、多选题9．若，，则函数的图象一定过（ ）象限． 1a >10b -<<x y a b =+A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四【答案】ABC【分析】根据指数函数的图像与性质，再利用函数图像平移变换即可得解. 【详解】当时，函数单调递增，过一二象限， 1a >x y a =由，则函数向下平移个单位， 10b -<<x y a b =+b 由所以经过一二三象限， 01b <<x y a b =+故选：ABC10．下列命题中错误的有（ ） A ．若且，则B ．若且，则a b >0ab ≠11a b<a b >0ab ≠b a a b>C ．若，则D ．若，则 a b >()()2222a ab b a b +>+0a b >>11a b a b+>+【答案】ABD【分析】利用特殊值法及不等式运算法则即可求解. 【详解】对于A ：取，时，1a =1b =-，，此时：不成立，故错误；11a =11b =-11a b <对于B ：取，时，1a =1b =-，此时：不成立，故错误；1b a a b==-b aa b >对于C ：，a b >∴220a b +>，故正确；∴()()2222a a b b a b +>+对于D ：取，时， 2a =12b =，此时：不成立，故错误； 1152a b a b +=+=11a b a b+>+故选：ABD.11．若方程的实根在区间上，则的值可能为（ ） ()lg 21x x +=(),1k k +()k ∈Z k A ． B ．1 C ．2 D ．02-【答案】AB【分析】依据方程的根与零点的对应关系转化为函数的零点来证明，可构造函数1()lg(2)f x x x=+-，由零点的存在性定理验证．【详解】不是方程的实根,所以方程即方程， 0x =()lg 21x x +=lg(2)1x x +=1lg(2)x x+=分别作出函数和的图像 ，lg(2)y x =+1y x=从图像上可得出：方程在区间和内各有一个实根． 1lg(2)x x+=(2,1)--(1,2)下面证明：方程在区间和内各有一个实根， 1lg(2)x x+=(2,1)--(1,2)即证函数在区间和内各有一个零点，1()lg(2)f x x x =+-(2,1)--(1,2)函数在区间是增函数，又， ，即1()lg(2)f x x x=+-(1,2)()lg310f =-<1()12lg 4lg 402f =-=->，()()120f f ⋅<由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，即方程在区1()lg(2)f x x x=+-(1,2)1lg(2)x x+=间内有且仅有一个实根，(1,2)同理得函数在区间是增函数，当x 趋近于-2时，，， 1()lg(2)f x x x=+-(2,1)--()0f x <(1)0f ->则有函数在区间内仅有一个零点， 即方程在区间内有1()lg(2)f x x x=+-(2,1)--1lg(2)x x+=(2,1)--且仅有一个实根.所以方程在区间和内各有一个实根，则的值可能为-2或1. lg(2)1x x +=(2,1)--(1,2)k 故选：AB ．12．已知函数，则下列命题中正确的有（ ）()πtan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x π2B ．的定义域为 ()f x ()ππ|,28k x x R x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．图象的对称中心为，()f x ππ,048k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z D ．的单调递增区间为，()f x πππ3π,2828k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z 【答案】ACD【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可. 【详解】由题知，函数，()πtan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，故A 正确； ()f x ππ2T ω==的定义域满足，即 ()f x ππ2π42x k -≠+()3ππ,82k x k ≠+∈Z 所以的定义域为，故B 错误； ()f x ()π3π|,28k x x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z 图象的对称中心应满足，即， ()f x ππ242k x -=ππ48k x =+k ∈Z 所以图象的对称中心为，，故C 正确；()f x ππ,048k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ∈Z 的单调递增区间应满足，即，,()f x ππππ2π242k x k -+<-<+πππ3π2828k k x -<<+k ∈Z 所以的单调递增区间为，，故D 正确；()f x πππ3π,2828k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z 故选：ACD三、填空题13．计算：______．232lg42lg5log 88+++=【答案】9【分析】由指数、对数运算公式可得结果.【详解】222332223322lg 42lg 5log 88lg 4lg 5log 2(2)lg(45)32lg107279+++=+++=⨯++=+=+=故答案为：9.14．函数的定义域为______．()()lg tan 1f x x =-【答案】，πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 【分析】根据对数函数真数大于0，正切函数图象性质解决即可.【详解】由题知，，()()lg tan 1f x x =-所以，即，解得， tan 10ππ2x x k ->⎧⎪⎨≠+⎪⎩ππππ42ππ2k x k x k ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩πππ,42k x k k π+<<+∈Z 所以函数的定义域为，()()lg tan 1f x x =-πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 故答案为：，πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 15．已知，，则______． sin 2sin 1cos 2ααα+=-()0,πα∈sin 2α=【答案】##0.75 34【分析】已知等式用倍角公式化简得，两边同时平方可求得.1sin cos =2αα-sin 2α【详解】已知，由倍角公式可得sin 2sin 1cos 2ααα+=-，()222sin cos sin 112sin 2sin ααααα+=--=，∴，有，即，()0,πα∈sin 0α≠2cos 12sin αα+=1sin cos =2αα-两边同时平方得，即，所以.221sin 2sin cos +cos =4αααα-11sin 2=4α-3sin24α=故答案为：3416．已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所()()2cos f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ<()f x 有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），π12所得函数图象的解析式为______．【答案】2cos y x =【分析】根据图象求得，将函数图象上所有的点向左平移个单位长()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π12度，得，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐ππ2cos 22cos 2126y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭标不变），得，即可解决.2cos y x =【详解】由题知，函数（，）的部分图象如图所示， ()()2cos f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ<所以，即1πππ43124T =-=πT =所以，2ω=所以，()()2cos 2f x x ϕ=+因为图象经过点，π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，ππ2cos 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， π02π,6k k ϕ+=+∈Z 因为， π2ϕ<所以， π6ϕ=-所以，()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数图象上所有的点向左平移个单位长度， ()f x π12得，ππ2cos 22cos 2126y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得，2cos y x =所以所得函数图象的解析式为， 2cos y x =故答案为：2cos y x =四、解答题17．已知全集为R ，集合，或. {}12A x x =≤≤{B x x m =<}21,0x m m >+>(1)当时，求；2m =A B ⋂(2)若，求实数的取值范围. R A B ⊆ðm 【答案】(1){}12x x ≤<(2) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；2m =B （2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可. R B ðRA B ⊆ð1221m m ≤⎧⎨≤+⎩【详解】（1）解：当时，或， 2m ={2B x x =<}5x >又，所以；{}12A x x =≤≤{}12A B x x ⋂=≤<（2）因为或，所以，{B x x m =<}21,0x m m >+>{}R 21B x m x m =≤≤+ð又，所以，解得，即.R A B ⊆ð1221m m ≤⎧⎨≤+⎩112m ≤≤1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以实数m 的取值范围.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．已知．()()()()()()sin πcos 2πtan tan πsin πf αααααα---=+--(1)化简；()f α(2)若是第三象限角，且，求的值．α3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f α【答案】(1) ()cos f αα=-(2)()f α=【分析】（1）利用诱导公式直接化简；（2）利用诱导公式化简，利用同角三角函数的关系求值. 【详解】（1）．()()()()()()sin πcos 2πtan sin cos tan =cos tan πsin πtan sin f αααααααααααα----⋅⋅==-+--⋅（2）∵，∴，31cos sin 25παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭1sin 5α=-又是第三象限角，∴， αcos α==故． ()cos f αα=-19．已知函数是（且）的反函数，且的图象过点．()g x ()xf x a =0a >1a ≠()g x 32⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求与的解析式；()f x ()g x (2)比较，，的大小．()0.3f ()0.2g ()1.5g 【答案】(1)，()2xf x =()2log g x x =(2) ()()()0.3 1.50.2f g g >>【分析】（1）利用反函数的定义即可求解； （2）代入数值，与中间变量“1”、“0”作比较即可.【详解】（1）∵函数是（且）的反函数，()g x ()x f x a =0a >1a ≠∴（且）．()log a g x x =0a >1a ≠∵的图象过点，()g x 32⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，3log 2a =∴，解得．32a =2a =∴，．()2xf x =()2log g x x =（2）∵，()0.300.3221f =>=，()20.2log 0.20g =<又， ()221.5log 1.5log 21g =<=且， ()221.5log 1.5log 10g =>=∴，()0 1.51g <<∴．()()()0.3 1.50.2f g g >>20．已知函数()224f x x x m =++(1)若不等式的解集为空集，求m 的取值范围()0f x ≤(2)若，的解集为，的最大值0m >()0f x <(),a b 82a b+【答案】(1)()2,+∞(2)9-【分析】（1）由不等式的解集为空集等价于恒成立，结合，即可求()0f x ≤2240x x m ++>∆<0解；（2）根据题意转化为是方程的两个实根，得到，，结合,a b 2240x x m ++=2a b +=-0ab >，结合基本不等式，即可求解. ()821821281022a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题意，函数，()224f x x x m =++不等式的解集为空集等价于恒成立，()0f x ≤()2240f x x x m =++>即，解得，1680m ∆=-<2m >即的取值范围为．m ()2,+∞（2）若，的解集为，所以有两个不同实根，0m >()0f x <(),a b ()=0f x ,a b 即是方程的两个实根，故，， ,a b 2240x x m ++=2a b +=-02m ab =>故同为负值，,a b则， ()82182128110109222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=-++=-++-+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≤当且仅当时，即，时等号成立， 28a b b a =43a =-23b =-故的最大值为． 82a b +9-21．已知函数是奇函数，且f (2)＝. ()223mx f x x n+=+53(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 【答案】（1）实数m 和n 的值分别是2和0；（2）. max min 45(),()33f x f x =-=-【详解】试题分析: 已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题，由于函数是奇函数，则，又f(2)= ，列方程组解出m ，n ，求出函数的解析式，有了函数的解析式()()f x f x -=-53可以利用定义研究函数的单调性，也可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.试题解析：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴ . 222222333mx mx mx x n x n x n+++=-=-++--比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝，∴，解得m ＝2. 5342563m +=因此，实数m 和n 的值分别是2和0.(2)由(1)知f (x )＝ . 22222333x x x x+=+任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(x 1－x 2)· . 231212(13x x -=12121x x x x -∵－2≤x 1＜x 2≤－1时，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，因此f (x )max ＝f (－1)＝－，f (x )min ＝f (－2)＝－. 4353【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见问题之一，有直接使用奇偶性定义，利用待定系数法求解析式，还有给出x<0的解析式，求x>0部分的解析式；求函数在某闭区间上的最值问题需要研究函数的单调性，可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.22．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大()sin()(0,0,)f x A x A ωφωφπ=+>><12x π=()f x 值3；当时，取得最小值-3. 712x π=()f x （1）求函数的单调递减区间.()f x （2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2()1h x f x m =+-m 【答案】（1）；（2）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦)1,7⎡⎣【分析】（1）根据函数的性质求出函数的解析式，再由()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解不等式即可求解. 3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈（2）将函数转化为有两个不同的实数根，即与的图像1sin 236m x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭16m y -=有两个不同的交点，数形结合即可求解.【详解】（1）由题意可得，周期， 3A =7221212T πππω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ω∴= 由，，可得， 22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈πϕπ-<<3πϕ=故函数， ()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由， 3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得， 7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈故函数的减区间为. 7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），函数有两个零点，， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2()1h x f x m =+-故有两个不同的实数根， 1sin 236m x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭即函数与的图像有两个不同的交点， sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭16m y -=作出函数大致图像，由 sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦可知，解得. 16m ⎫-∈⎪⎪⎭)1,7m ⎡∈⎣【点睛】本题考查了求三角函数的解析式、求三角函数的单调区间、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想、数形结合的思想，属于基础题.。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2019-2020学年陕西省榆林市高一上学期期末数学试题
2019-2020学年陕西省榆林市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|10B x x =-<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}|12x x << B ．{}|12x x <≤C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x ≤≤答案C确定集合B ，由集合运算的定义求解． 解：因为集合{}{}|10|1B x x x x =-<=<，所以{}|1R C B x x =≥，所以(){}|12R A C B x x =≤<I .故选：C. 点评：本题考查集合的运算，属于基础题．2．函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ） A ．(]2,5- B ．()2,5-C ．(]2,5D ．()2,5答案A使解析式有意义，因此必须有5x 0-≥且20x +>． 解：由()()lg 2f x x =+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A. 点评：本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3．若直线220x y -+=与()3510x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．132D ．132-答案B由两直线平行的充要条件计算． 解：因为直线220x y -+=与()3510x a y +-+=平行，所以351122a -=≠-，解得1a =-.故选：B. 点评：本题考查两直线平行的充要条件．两直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=平行，12210A B A B -=是必要条件，不是充要条件，仅由12210A B A B -=求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4．已知ln 2a =，b =c =，则( ) A ．b c a << B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<答案D根据指数函数、对数函数的性质可知0a <,1b >,01c <<,即可得到结果 解：由题,lnln10a =<=,105331b ==>=,000.31c <=<=,所以a c b <<, 故选:D 点评：本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是解题关键5．函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( ) A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()0,1答案A根据函数单调递增和()10f <,()20f >得到答案. 解：()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2 故选：A 点评：本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.6．若直线20x y +=被圆224x y +=截得的弦长为则m =( )A B ．5C ．10D ．25答案B圆的圆心坐标为()0,0,半径2r =1=，计算得到答案. 解：圆的圆心坐标为()0,0,半径2r =,直线被圆截得的弦长为1=,则5m =. 故选：B 点评：本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7．已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．16π B ．20πC ．40πD ．403π答案C圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径． 解：因为圆柱的底面圆的面积为9π，所以圆柱的底面圆的半径为3r =，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径R ==则该球的表面积为2440R ππ=. 故选：C. 点评：本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．8．函数2log (31),1()3,1a x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++≤⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．32⎡⎢⎣C ．D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦答案D由函数()f x 在R 上单调递增,可得不等式组13123log 4a a a >⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩,求解即可得解. 解：解：由函数2log (31),1()3,1a x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++≤⎩在R 上单调递增, 则13123log 4a a a>⎧⎪⎪≥⎨⎪≤⎪⎩,得312a <≤， 故选：D. 点评：本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π答案A根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案. 解：由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成， 且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示 由三视图可知，半球的半径为5， 所以半球的表面积为2145=502ππ⨯⨯， 圆锥的底面圆半径为5，母线长为13，所以圆锥的侧面积为51365ππ⨯⨯=， 所以该几何体的表面积6550115S πππ=+=.故选：A.点评：本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题.10．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则( ) A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<答案C将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 解：由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-,如图所示,可得210x -<<；对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 点评：本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想二、填空题11．已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______. 答案()()22125x y -+-= 求出圆心坐标和半径可得． 解：因为圆心的坐标为()1,2，()()22231125R =-+-=，所以该圆的标准方程为()()22125x y -+-=.故答案为：()()22125x y -+-=． 点评：本题考查求圆的标准方程，属于基础题． 12．若幂函数()222()22m mf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m =_______.答案1根据幂函数的定义可知2221m m +-=,再代入指数中判断是否为减函数即可. 解：由已知2221m m +-=,解得3m =-或1m =.当3m =-时,15()f x x =在(0,)+∞上为增函数,不符合题意； 当1m =时,1()f x x -=在(0,)+∞上为减函数,符合题意. 故答案为1 点评：本题主要考查根据幂函数求解参数的问题,同时也考查了幂函数的单调性.属于基础题型.13．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()12x f x g x ++=，则()1g -=______． 答案32-计算()()f x g x -+-再根据奇偶性联立()()12x f x g x ++=求得()()111222x xg x +-=-,再代入求解()1g -即可. 解：因为()()12x f x g x ++=,()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以()()()()12x f x g x f x g x -+-+-=-=,所以()()111222x xg x +-=-,则()312g -=-．故答案为：32-点评：本题主要考查了根据奇偶性函数的和求解函数解析式与值的问题,属于基础题. 14．如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.答案22由于折叠过程中DE 与AD 和BD 的垂直关系保持不变，因此可得DE ⊥平面1A BD ，结合平行的性质可得1CB BA ⊥，然后在直角三角形中可求得1A C . 解：易知DE BD ⊥，1DE A D ⊥，1BD A D D =I ，所以DE ⊥平面1A BD ，因为160A DB ∠=︒，12A D BD ==，所以12A B =.又//BC DE ，所以BC ⊥平面1A BD ，所以1BC A B ⊥，从而2212222AC =+=. 故答案为：22 点评：本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三、解答题15．已知直线l 的方程为43120x y +-=，1l 与l 垂直且过点()1,3--. （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程. 答案（1）3490x y --=；（2）3x =（1）由垂直求出直线1l 斜率，写出点斜式方程后化简即可． （2）求出直线1l 与l 的交点坐标可得2l 方程． 解：解：（1）由1l 与l 垂直，则可设1l ：340x y m -+=， ∵1l 过()1,3--，∴()()31430m ⨯--⨯-+=， 解得9m =-，∴1l ：3490x y --=.（2）联立1l 与l ，可得1l 与l 的交点坐标为()3,0，又2l 垂直于x 轴，则直线2l 的方程为3x =. 点评：本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．16．(1)求值0.50116π-⎛⎫++ ⎪⎝⎭(2)求值21log 5lg 4002lg 22+-+.答案(1)8;(2)12（1）由幂的运算法则和根式的定义计算； （2）由对数运算法则计算． 解：(1)原式11134-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭413=++8=(2)原式lg400lg425=-+⨯400lg104=+210=+12= 点评：本题考查幂的运算法则和对数运算法则，掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础．17．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.答案（1）()22525x y -+=；（2）1m =-或73m =-（1）设出圆心坐标为(,0)a ，得圆标准方程()222x a y a -+=，利用P 在圆上求出参数a ；（2）求出圆心到直线的距离d ，然后通过勾股定理列式求得m ． 解：解：（1）设圆心(),0C a ，则圆C 的方程可设为()222x a y a -+=.因为点()2,4P 在圆C 上，所以()22224a a -+=，解得5a =.故圆C 的方程为()22525x y -+=.（2）由（1）可知圆C 的圆心()5,0C ，半径=5r . 因为8AB =，所以圆心C 到直线l 的距离()()25142516311m m d m +++==-=++，即231070m m ++=，解得1m =-或73m =-. 点评：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长222l r d =-（d 为弦心距）．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1AA ⊥平面ABC ，1AB AA a ==，D 是BC 边上的一点，且AD 为BAC ∠的平分线．（1）证明：1A B P 平面1ADC ；（2）若在三棱柱111ABC A B C -中去掉三棱锥1C ACD -后得到的几何体的表面积为331518，求a 值．答案（1）见解析；（2）22a =(1) 连接1A C 交1AC 于点E ,连接DE ,再证明1A B DE P 即可.(2)先判断各个面的形状并求解对应的边长关于a 的表达式,再对各个面的面积求解求和即可. 解：（1）证明：如图,连接1A C 交1AC 于点E ,连接DE ,易知E 是1A C 的中点, 因为ABC V 是正三角形,且AD 为BAC ∠的平分线,所以D 是BC 的中点,所以DE 是1A BC V 的中位线,1A B DE P ．因为1A B ⊄平面1ADC ,DE ⊂平面1ADC ,所以1A B P 平面1ADC ．（2）设剩余的几何体的表面积为S ,则32AD a =,221152C D a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 易证平面ABC ⊥平面1BCC ,因为AD BC ⊥,所以AD ⊥平面1BCC ,所以1AD DC ⊥,可得1ADC △的面积为2135152228a a a ⋅⋅=, 所以22222221133151833152224888a a S a a a a a a a ++⎛⎫=-⋅⋅+++++= ⎪⎝⎭． 因为2183315183315a ++=++,所以22a =．点评：本题主要考查了线面平行的证明与求几何体表面积的方法,属于中档题.19．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.答案(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围.解：（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =.因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增， 所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩ （2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当12t =时，()max 14h t =， 所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 点评：本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
陕西高一高中数学期末考试带答案解析
陕西高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3，则a 5的值是( ) A ．9 B ．13 C ．17D ．212.已知全集U ＝R ，集合P ＝{x|x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定4.已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．165.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．300 D ．1806.若A 、B 是锐角的两个内角，则点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．98.等比数列x ，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ） A ．－24 B ．0C ．12D ．249.a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( )A ．a 2＞－a 3＞－aB ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 310.不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．14二、填空题1.函数y=sin2x+COS 2x 的最小正周期T= _______.2.在数列{a n }中，a n ＝4n －，a 1＋a 2＋…＋a n ＝An 2＋Bn ，n ∈N ＋，其中A ，B 为常数，则AB ＝__________.3.在△ABC 中，已知a ＝，cos C ＝，S △ABC ＝，则b ＝________.4.关于x 的不等式：的解集为 .5.某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好与每次的购买吨数的数值相等(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则应购买________次．三、解答题1.在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．2.解关于x 的不等式：3.(1)已知等差数列{a n }的公差d > 0，且是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，求数列通项公式(2)设，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且cosA=. （1）求+cos2A 的值;（2）若a=,求bc 的最大值.5.已知=2，点（）在函数的图像上，其中=.(1)证明：数列}是等比数列；（2）设，求及数列{}的通项公式；（3）记，求数列{}的前n 项和，并求的值.陕西高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3，则a 5的值是( ) A ．9 B ．13 C ．17D ．21【答案】C【解析】根据题意，由于数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3，那么当n=5，则可知a 5的值是20-3=17，故答案为C. 【考点】等差数列点评：主要是考查了数列的通项公式的运用，属于基础题。
陕西省榆林市玉林英才中学2019-2020学年高一数学理期末试卷含解析
陕西省榆林市玉林英才中学2019-2020学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是简单命题，则“为真”是“为真”的：A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（）A. B.C. D.参考答案：A略3. （5分）已知f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（1）?g（2）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=a x，g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f（1）?g（2）＜0，即可选出答案．解答：由指数函数和对数函数的单调性知，函数f（x）=a x和 g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上单调性相同，故可排除选项A、D．而指数函数f（x）=a x的图象过定点（0，1），对数函数g（x）=log a x的图象过定点（1，0），再由关系式f（1）?g（2）＜0，故可排除选项 B．故选 C．点评：本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力，属于基础题．4. 函数的最小值是( )A．1 B.－1 C． D．－参考答案：D5. 函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.参考答案：6. 若奇函数满足则（）A.0B.1C.D.参考答案：D7. 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A.4条B．3条 C. 2条 D.1条参考答案：B8. 函数的部分图象如右图所示，则的解析式为()A．B．C．D．参考答案：D9. 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2C．4D．8参考答案：D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．10. 已知函数在上是减函数，则实数的范围为（）A．[2,3）B．(1,3) C．(2,3) D．[1,3]参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC满足，，设是△内的一点(不在边界上)，定义，其中分别表示△,△,△的面积，若，则的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：C12. 设集合A={1，2，a}，B={1，a2}，若A∪B=A，则实数a允许取的值有个．参考答案：3【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】由已知中集合A={1，2，a}，B={1，a2}，若A∪B=A，根据子集的定义我们易构造关于a的方程，解方程即可求出答案，再利用集合元素的互异性排除增根，即可得到结论．【解答】解：∵A∪B=A，∴B?A∵A={1，2，a}，B={1，a2}，∴a2=2或a2=a即a=±或a=0或a=1（舍去）故答案为：3【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中利用集合元素的性质构造方程并排除增根是解答本题的关键．13. 函数的定义域为______________．参考答案：略14. 若tanα=2，tanβ=，则tan（α﹣β）等于．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=，∴tan（α﹣β）===．故答案为：．15. 把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为．参考答案：y=﹣sin2x略16. 已知函数，若对于任意的恒成立，则的取值范围是________.参考答案：略17. 圆上的点到直线的距离的最小值是______.参考答案：【分析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.【详解】圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线的距离为：，所以最小值为：故答案为：【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d，圆的半径为r且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r，最小值为d-r.三、解答题：本大题共5小题，共72分。