测试与检测技术基础

H s
1
s2
2 n
2s n
1
则可求得其脉冲响应函数
ht
n e n t sin 1 2
1 2nt
(欠阻尼情况,ς<1)
h t
2 n
te
n
t
(临界阻尼情况,ς=1)
ht
n
e e 2 1 n t
2 1 n t
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
(过阻尼情况,ς>1)
图2.70 二阶系统的脉冲 响应函数
式（2.218）写为
y(t) x(t) * h(t)
(2.220)
式（2.220）表明，系统对任意激励信号的响应是该 输入激励信号与系统的脉冲响应函数的卷积。根据 卷积定理，式（2.220）的频域表达式则为
Y (s) X (s)H (s)
(2.221)
若输入x(t)也符合傅里叶变换条件，则有
Y ( j) X ( j)H ( j)
图2.73 一阶系统对阶跃输入的响应
对于一个二阶系统来说，其传递函数为
H s
1
s2
2 n
2s n
1
则它对阶跃输入的响应函数可求得为
y t 1 e nt sin 1 2
1 2nt
(欠阻尼情况)
y t 1 1 n t e nt
(临界阻尼情况)
(2.208) (2.209)
y t 1
1 e 2
2 1 n t
1 e 2
2 1 n t
2 2 1
2 2 1
(过阻尼情况)
(2.210)
式中 1 2 arctan
图2.74 二阶系统对单位阶跃的响应
小结：
阶跃响应函数方程式中的误差项均包含有因子e-AT 项，故当t→∞时，动态误差为零，亦即它们没有稳 态误差。但是系统的响应在很大程度上取决于阻尼 比ς和固有频率ωn， ωn越高，系统的响应越快，阻尼 比ς直接影响系统超调量和振荡次数。
❖ 系统的输出总滞后于输入一个时间， 因此系统始终存在有一个稳态误差。
图2.75 单位斜坡函数
图2.76 一阶系统的单位阶 跃响应
二阶系统的斜坡输入响应为 ：
✓ 欠阻尼情况：
yt t 2 n
e n t
n 1 2
sin
n
✓ 临界阻尼情况 ：
1 2 t
(2.114)
yt t 2
反变换可得装置输出的时域表达
yt L1 Y s ht
(2.185)
h(t)为称装置的脉冲响应函数或权函数。
对于一阶惯性系统， 其传递函数
H s 1
s 1
可求得它们的脉冲响应 函数
ht 1 e t
(2.186)
图2.69 一阶惯性系统的脉冲 响应函数
对于一个二阶系统 ，其 传递函数为
(三)测试系统对典型激励的响应函数
1. 单位脉冲输入下系统的脉冲响应函数
单位脉冲函数δ(t)，其傅立叶变换Δ(jω)=1。同 样，对于δ(t)的拉氏变换Δ(s)=L[δ(t)]。因此，测 试装置在激励输入信号为δ(t)时的输出将是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s)Δ(s)=H(s) 。对Y(s)作拉普拉斯
3. 单位斜坡输入下系统的响应函数
斜坡函数也可视为是阶跃函数的积 分，因此系统对单位斜坡输入的响应 同样可通过系统对阶跃输入的响应的 积分求得。
单位斜坡函数
t
0
t
t0 t0
一阶系统的单位斜坡响应为
y t t 1 e t
其传递函数为
Y
s
s
2
1
s
1
(2.211) (2.212) (2.213)
dt
(2.204)
t
t'
t
dt
(2.205)
因此系统在单位阶跃信号激励下的响应便等于系
统对单位脉冲响应的积分。
一阶惯性系统H(s)=1/(τs+1)对单位阶跃函数的响 应，其响应函数为
yt 1 e t
(2.206)
相应的拉普拉斯表达式为
Y
s
1
ss 1
(2.207)
当时t=4τ，y(t)=0.982， 此时系统输出值与系统 稳定时的响应值之间的 差已不足2%，可近似认 为系统已到达稳态。 ❖ 一阶装置的时间常数应 越小越好。 ❖ 阶跃输入方式简单易行， 因此也常在工程中采用 来测量系统的动态特性。
❖ 当ς=0时，系统超调量为100%，系统持续振荡 ；
❖ 当ς>1时，系统蜕化为两个一阶环节的串联，此时系统虽 无超调（无振荡），但仍需较长时间才能达到稳态。
❖ 当ς<1时，若选择ς在0.6~0.8之间，最大超调量约在 2.5%~10%之间，对于5%~2%的允许误差而认为达到稳态的 所需调整时间也最短，约为(3~4)/ ς ωn 。因此，许多测量 装置在设计参数时也常常将阻尼比选择在0.6~0.8之间。
s2
s 2
2 n
2 n s
2 n
图2.77 二阶系统斜坡 响应
(2.117)
(四)测试系统对任意输入的响应
输入信号x(t)，可将其用一系 列等间距Δτ划分的矩形条来逼近。 则在kΔτ时刻的矩形条的面积为 x(kΔτ) Δτ 。若Δτ充分小，则可近 似将该矩形条看作是幅度为 x(kΔτ)Δτ的脉冲对系统的输入。而 系统在该时刻的响应则应该为 [x(kΔτ)Δτ]h(t- kΔτ)。在上述一系列 的窄矩形脉冲的作用下，系统的零 状态响应根据线性时不变(LTI)系 统的线性特性应该为
n
2 n
1
n 2
t
e
n t
(2.115)
✓ 过阻尼情况 ：
y t
t
2
1 2
1 2 e 2
2 2 1 n t
n
2 n 2 1
1 2
1 2 e 2
2 2 1 n t
2 n 2 1
(2.116)
其中
arctan
2 1 2 2 2 1
其传递函数为：
Y s
(2.222)
(五)测试系统特性参数的实验测定
公式中所应用的单位脉冲函数在实际中是不存在的， 工程中常采取时间较短的脉冲信号来加以近似。比如给系 统以短暂的冲击输入，其冲击持续的时间若小于τ/10，则 可近似认为是一个单位脉冲输入。
图2.72 精确的和近似的脉冲响应
2. 单位阶跃输入下系统的响应函数
阶跃函数和单位脉冲函数间的关系是
亦即
t d t
y(t) x(k )h(t k ) k 0
图2.78 任意输入x(t)的脉冲 函数分解
(2.218)
当Δτ→0（即k→∞），对上述式子取极限得
y (t ) lim x(k )h(t k ) 0 k 0
0 x( )h(t )d
(2.219)
上述推导过程亦即卷积公式的另一种推导过程。将