排列组合问题题型方法总结

排列组合常用方法题型总结【知识内容】1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事,完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成,这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示．排列数公式:A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，,并且m n ≤． 全排列:一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘,用!n 表示．规定:0!1=．⑵组合:一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式:(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ,并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．(规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚,不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法:某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素"内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法:n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板,有11m n C --．7．分组、分配法:分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆(组），必须除以n !，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法:以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置；③间接法:先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排;②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复;④对于元素相邻的条件，采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法; ⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．【排列组合题型总结】直接法1 。

特殊元素法例1用1,2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位(2）数字1不在个位,数字6不在千位. 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2)当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ,共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1，2与3,4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数? 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个,其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的.故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯—2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻) 两端不能排女生 两端不能全排女生如果三个女生占前排,五个男生站后排，有多少种不同的排法 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。

捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ),2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有(1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有711C 种五 平均分推问题 eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？ 平均分成三堆， 平均分给甲乙丙三人一堆一本，一堆两本，一对三本甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案） 一人的一本，一人的两本，一人的三本分析：1，分出三堆书(a1，a2）,（a3,a4),（a5，a6）由顺序不同可以有33A =6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426A C C C =15种2,六本不同的书，平均分成三堆有x 种，平均分给甲乙丙三人 就有x 33A种 222642C C C3，123653C C C5,33A 123653C C C3,52,4合并单元格解决染色问题 Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答）。

分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论：（ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数A 44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（ⅰ）类似同理可得A 44种着色法．（ⅲ)当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3334⋅种方法．由加法原理知：不同着色方法共有2A C A 333444+=48+24=72（种）练习1（天津卷(文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种（以数字作答） (72） 2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答)．（120）图3 图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图 5 图62,4546132ED C BA43215．将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）。