2018届高考数学二轮复习第一部分层级一送分专题五空间几何体的三视图表面积与体积课件理
答案：B
3． (2017· 北京高考)某四棱锥的三视 图如图所示， 则该四棱锥的最长 棱的长度为
A．3 2 C．2 2 B． 2 3 D．2
(
)
解析：在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为
2 2 2 AC1＝ AC2＋CC2 1＝ 2 ＋2 ＋2 ＝2 3.
答案：B
快 审 题
准 解 题
[准解·快解·悟通] 看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几 何体．(注：三视图中的正视图也叫主视图，侧视图也叫左 视图) 明确三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯 视图的观察方向，注意看到的部分用实线，看不到的部分 用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一 部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩 下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐 项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、 台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象 将三视图还原为实物图.
2
5 ， ∴ S
2 5 2 － 2 ＝6
△
PBD
1 ＝ ×2 2
5
1 5，又易得 S△BCD＝ ×4×5＝10， 2
1 1 S△BCP＝ ×BC×PC＝10，S△PCD＝ ×CD×CC1＝10， 2 2 ∴该三棱锥的表面积是 30＋6 5.
答案：D
[准解·快解·悟通]
想到相应几何体的表面积(体积)公式． 快 1.看到求规则图形的表面积(体积)， 审 2.看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图． 题 3.看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决． 1.活用求几何体的表面积的方法 (1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题， 即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、 锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几 准 何体的表面积． 解 题 2.活用求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得 体积计算更容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形， 转化为易计算体积的几何体.
命题分析 1.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或 “一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主 要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面
位置关系(特别是平行与垂直)．
2. 考查一个小题时，本小题一般会出现在第 4 ～ 8 题的 位置上，难度一般；考查 2 个小题时，其中一个小题难度 一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第 10～16题的位 置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍
2
3 1 1 2 6 2 2 × ×h＝ × × × ，解得h＝ ，即三棱锥ABCD 4 3 2 2 2 6
6 的高h＝ . 6
答案：A
5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(
)
A．28＋6 5 C．56＋12 5
B．60＋12 5 D．30＋6 5
解析：如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， 还原该三棱锥 PBCD， 易得 BD＝PB＝ 41， PD ＝ 2 × 41
答案：C
3．：cm)，则该几何体的体积 (单位：cm3)是 π A. ＋1 2 π B. ＋3 2 ( )
3π 3π C. ＋1 D. ＋3 2 2 解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为
1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为 2 的等腰直 角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝ 1 1 1 1 π 2 × π×1 ×3＋ × × 2× 2×3＝ ＋1. 答案：A 3 2 3 2 2
空间几何体的表面积与体积
[题点·考法·全练] 1．(2016· 全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合
而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为 A．20π B．24π ( )
C．28π D．32π 解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱
底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图 得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝ 22＋2 32 1 ＝4，S表＝πr ＋ch＋ cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 答案：C 2
2
2．(2017· 云南11校跨区调研)已知某几何 体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为 A．1 C．3 B． 2 D．6 ( )
解析：依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、 右相对)，其中底面是直角边长分别为1,2的直角三角形，
1 侧棱长为3，因此其体积为2×1×2×3＝3.
2016
卷Ⅰ
2015 卷Ⅱ
空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T11
空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T6 三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征·T9
空间几何体的三视图
[题点·考法·全练] 1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为
2 ，其俯视图
是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则 该长方体的正视图的面积等于 A．1 B． 2 C．2 D．2 2 ( )
解析：依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都 等于 2 ，正视图的长是 2 ，因此相应的正视图的面积等于 2× 2＝2.
答案：C
2．(2016· 天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角 线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图 如图所示，则该几何体的侧(左)视图为 ( )
解析：由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①， 故其侧(左)视图为图②.
4．若正三棱锥ABCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥 ABCD的高为 ( )
6 3 2 6 A. B. C. D. 6 3 2 3 解析：设三棱锥ABCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两
2 2 3 垂直，且AB＝AC＝AD＝ BC＝ ，△BCD的面积为 2 2 4 3 1 1 1 ×1 ＝ .由VAS · h＝ S△ACD· AB，即 BCD＝VBACD得 4 3 △BCD 3 3
是对基础知识、基本公式的考查．
送分专题(五) 空间几何体的三视图、表面积与体积
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 考查内容及考题位置 卷Ⅰ 空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7 2017 卷Ⅱ 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4 卷Ⅲ 球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T 8 卷Ⅰ 有关球的三视图及表面积的计算·T6 卷Ⅱ 空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6 卷Ⅲ 空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T9 直三棱柱的体积最值问题·T10 锥体体积的计算·T6
2018年高考理科数学复习课件：第一部分 层级一 送分专题(五) 空间几何体的三视图、表面积与体积
棱的长度为
()
A．3 2
B．2 3
C．2 2
D．2
解析：在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为 AC1＝ AC2＋CC21＝ 22＋22＋22＝2 3. 答案：B
[准解·快解·悟通]
快 看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几 审 何体．(注：三视图中的正视图也叫主视图，侧视图也叫左 题 视图)
2 2
，△BCD的面积为
3 4
×12＝
3 4
.由VA-BCD＝VB-ACD得
1 3
S△BCD·h＝
1 3
S△ACD·AB，即
1 3
×
43×h＝13×12×
2 2
2×
22，解得h＝
66，即三棱锥A-BCD
的高h＝
6 6.
答案：A
5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图
所示(单位：cm)，则该几何体的体积
(单位：cm3)是
()
A.π2＋1
B.π2＋3
C.32π＋1
D.32π＋3
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为
1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为 2的等腰直
角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、 准 锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几 解 何体的表面积． 题 2.活用求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得 体积计算更容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形， 转化为易计算体积的几何体.
2018年高考数学二轮复习专题5立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积及体积课件
• (2)空间几何体的直观图 • 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画 法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平 行长不变，垂直长减半”．
• 1．未注意三视图中实、虚线的区别 • 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画 成虚线． • 2．不能准确分析组合体的结构致误 • 对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、 体积是和还是差． • 3．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行． • 4．空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．
核心知识整合
• 1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称 棱柱 体积 表面积 S 棱柱＝2S 底面＋S 侧面
Sh V 棱柱＝__________ ．
(S 为底面积，h 为高)
1 3Sh V 棱锥＝__________
棱锥
S 棱锥＝S 底面＋S 侧面
(S 为底面积，h 为高) 棱台 1 V 棱台＝3h(S＋ SS′＋S′) (S、S′为底面积，h 为高) S 棱台＝S 上底＋S 下底＋S 侧面
知识网络构建
第一讲
空间几何体的三视图、表面积及体积
1
高考考点聚焦
2
3 4 5
核心知识整合
高考真题体验 命题热点突破 课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点 空间几何体的三 视图与直观图的
考点解读 1.根据某几何体的部分三视图，判断该几何体的其他三视
图；或者已知某几何体的三视图，判断该几何体的形状
[ 解析]
方法 1：(割补法)
由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚 线部分所得，如图所示． 将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分．由 图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆 1 1 2 2 柱体积的2， 所以该几何体的体积 V＝π×3 ×4＋π×3 ×6×2＝ 63π． 故选 B．
高考数学大二轮复习专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积和体积课件理
【解析】
(1)如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径， 知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，
OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥 S－ABC 的体积
1 1 r3 V＝ ×2SC·OB·OA＝ ， 3 3
2
【答案】
(1)36π
9 (2) π 2
互动探究答案
解析 设该球的球心为 O，三棱锥为 A－BCD，依题
意可知：VA－BCD＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－CDA＋VO－DAB， 1 1 1 1 1 即 S△BCD·h＝ S△ABC·r＋ S△BCD·r＋ S△CDA·r＋ 3 3 3 3 3 1 3 6 1 3 1 3 2 2 S△DAB·r.所以 × ×3 · ×3＝ × ×3 ·r＋ × 3 4 3 3 4 3 4 1 3 1 3 6 2 2 ×3 ·r＋ × ×3 ·r＋ × ×3 ·r.解得：r＝ .所以 3 4 3 4 4
(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．
热点三 体积
由空间几何体的结构特征求表面积、
厦门模拟)已知圆锥的底面直径为 例2 (1)(2018· 2 3π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面 3π 积为 A．1 C．3 B．2 D．4
(2)(2018· 天津 ) 已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长
面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为 2 2，底面圆 的直径为 2 2，所以该圆柱的表面积为 2×π×( 2)2＋ 2 2π×2 2＝12π.故选 B. 答案 B
3 ． (2018· 浙江 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位：
高三数学二轮专题复习第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
O的直径，所以OA⊥SC，OB⊥SC.
因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂
平面SAC，所以OA⊥平面SBC.
设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以 VA－SBC＝13×S△SBC×OA＝13×12×2r×r×r＝13r3， 所以13r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为 4πr2＝36π. 答案 36π
C.8 2π
D.10π
解析 因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆
柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2.所以 S 表面积＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.
答案 B
3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其 余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为 ________.
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几 何体的表面积为( )
A.3π＋4 2－2 C.32π＋2 2－2
B.3π＋2 2－2 D.32π＋2 2＋2
解析 (1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂 直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆 面积之和，易得球的半径为 2，则得 S＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.
【训练3】 (1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶 点的多面体的体积为________.
2018届高考数学复习——立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积(解析版)
【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 多面体的结构特征☎✆棱柱⎩⎪⎨⎪⎧底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都平行且相等☎✆棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形☎✆棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截 截面与底面之间的部分 旋转体的结构特征☎✆圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到 ☎✆圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到☎✆圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到 也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到☎✆球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到☯注意 ☎✆认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时 易忽视定义 可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识 ☎✆台体可以看成是由锥体截得的 但一定强调截面与底面平行二、空间几何体的三视图与直观图 空间几何体的三视图☎✆空间几何体的三视图包括正☎主✆视图、侧☎左✆视图、俯视图 分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线☎✆三视图的画法♊基本要求：长对正 高平齐 宽相等♋画法规则：正侧一样高 正俯一样长 侧俯一样宽； ♌看不到的线画虚线☯注意 若相邻两物体的表面相交 则表面的交线是它们的分界线 在三视图中 要注意实、虚线的区别空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 斜二测♉画法 基本步骤是：☎✆在已知图形中取互相垂直的⌧轴、⍓轴 两轴相交于点 画直观图时 把它们画成对应的⌧ 轴、⍓ 轴 两轴相交于点 且使 ⌧ ⍓ ＝ ☎或 ✆ ☎✆已知图形中平行于⌧轴、⍓轴的线段 在直观图中分别平行于 ⌧ 轴、⍓ 轴 ☎✆已知图形中平行于⌧轴的线段 在直观图中长度 保持不变 平行于⍓轴的线段 长度变为 原来的一半 ☎✆在已知图形中过 点作 轴垂直于⌧⍓平面 在直观图中对应的 轴也垂直于⌧ ⍓ 平面 已知图形中平行于 轴的线段 在直观图中仍平行于 轴且长度 不变 ☯注意 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图 其面积与原图形的面积有以下关系：直观图＝原图形 原图形＝ 直观图三、空间几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时 得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时 得到圆锥 由此可得：圆柱侧＝ ⇨❒● ❼❒ ＝❒ 圆台侧＝⇨☎❒＋❒ ✆● ❼❒ ＝圆锥侧＝⇨❒●[注意] 组合体的表面积应注意重合部分的处理. 2.空间几何体的体积(1)柱体:V 柱体＝Sh ；V 圆柱＝πr 2h .(2)锥体:V 锥体＝13Sh ；V 圆锥＝13πr 2h .(3)台体:V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ；V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2).3.球体(1)球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43πR 3(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a ,则|OJ |＝r ＝a2(r 为内切球半径).②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆,则|GO |＝R ＝22a .③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆,则|A 1O |＝R ′＝32a .(3)正四面体与球：如图,设正四面体的棱长为a ,内切球的半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,连接CD ,SE 为正四面体的高,在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O .此时,CO ＝OS ＝R ,OE ＝r ,SE ＝ 23a ,CE ＝33a ,则有R ＋r ＝ 23a ,R 2－r 2＝|CE |2＝a 23,解得R ＝64a ,r ＝612a .【第1讲：空间几何体的结构特征及三视图】题型1:空间几何体的结构特征【典型例题】[例1](1)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.解析：命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的；③正确,如图1,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠P AB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形；命题④由棱台的定义知是正确的；⑤错误,当以斜边为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图2所示,它是由两个同底圆锥形成的.答案：①③④(2)以下命题：①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.其中正确的命题序号是________.【答案】③[例2](1)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是()A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体.(2)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选DA错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥；B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥；C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.图1图2【变式训练】1.判断正误(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面()答案：(1)×(2)×(3)√2.下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.【答案】②④3.给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A题型2:空间几何体的三视图与直观图【典型例题】[例1](1)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()【答案】 C(2)如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的侧视图为()解析：选C由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1.(3)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为 ()【答案】B(4)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为()【答案】C(5)如图所示,E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是______.(填序号)【答案】②[例2](1)(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A[考向1]因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,故选A.(2)(2014·课标Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱[解析] B[由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,分析可知该几何体为三棱柱,故选B.](3)(教材例题改编)已知空间几何体的三视图如图,则该几何体是由__________________组合而成.答案：圆柱和正四棱柱(4)(教材习题改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是________,截去的几何体是________.答案：五棱柱三棱柱(5)(2015·北京朝阳期末)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4[解析] D[满足条件的四棱锥的底面为矩形,且一条侧棱与底面垂直,如图所示,易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.][例3](1)利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是__________.(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.【答案】①②④(2)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2,则原平面图形的面积为()A.4 cm2B.4 2 cm2C.8 cm2D.8 2 cm2解析：选C依题意可知∠BAD＝45°,则原平面图形为直角梯形,上下底面的长与BC,AD相等,高为梯形ABCD的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm2.(3)(2014·湖北)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析：选D在空间直角坐标系O-xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.选D.【变式训练】1.(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()【答案】D2.(2015·成都一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是()[解析]C[由题意知,俯视图的长度和宽度相等,故C不可能.]3.(2015·南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C当正视图为等腰三角形时,则高应为2,且应为虚线,排除A,D；当正视图是直角三角形,由条件得一个直观图如图所示,中间的线是看不见的线P A形成的投影,应为虚线,故答案为C.4.(2015·桂林一调)已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()[解析]C[选项A,B,D中的俯视图,正方形内的线应该为另一条对角线,当四棱锥的直观图为右图时,它的三视图是C.]5.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是________.答案：②③6.(2016天津文)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )A B C D【答案】B7.(2015·东北三校联考)利用斜二测画法可以得到：②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是________.答案：①②8.(2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()解析：选A由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为2,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2 2.9.(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()【答案】D[考向1]由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,圆台的下底面和圆柱的底面恰好重合.10.(2014·江西)一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()【答案】B俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选B.【第2讲：空间几何体的三视图与表面积和体积】题型3:空间几何体的三视图与表面积【典型例题】[例1](1)(2015·北京石景山一模)正三棱柱的侧(左)视图如图所示,则该正三棱柱的侧面积为________.解析：由侧(左)视图知：正三棱柱的高(侧棱长)为2,底边上的高为3,所以底边边长为2,侧面积为3×2×2＝12.答案：12(2)(2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图,其俯视图是面积为82的矩形.则该几何体的表面积是( ).A.8B.20＋8 2C.16D.24＋8 2解析 由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为22,由面积82,得长为4,则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋22×4＋2×2×4＝20＋8 2.答案 B (3)(2014·许昌模拟)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的表面积为( ).A.4πB.32π C .3π D .2π解析 由三视图可知,该几何体是一个圆柱,S 表＝2×π×⎝⎛⎭⎫122＋π×1×1＝3π2. 答案 B (4)(2016·湖南长沙联考)已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是________.【解析】 由题意知,该几何体是一个侧放的圆锥,圆锥底面位于右侧,底面圆的半径为1,圆锥的高为2,易知其母线长为5,所以其表面积为S ＝π·1×(1＋5)＝5π＋π. 【答案】 5π＋π (5)(2016·课标III)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18＋36 5B.54＋185C.90D.81＝2×32＋2×3×6＋2×3×32＋62 ＝18＋36＋185＝54＋18 5.[例2](1)已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体S -ABC ,则它的表面积为________.解析：过S 作SD ⊥BC ,∵BC ＝a ,∴SD ＝32a∴S △SBC ＝34a 2,∴表面积S ＝4×34a 2＝3a 2.答案：3a 2 (2)(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A.2＋ 5 B.4＋ 5 C.2＋2 5 D.5【解析】作出三棱锥的示意图如图①,在△ABC 中,作AB 边上的高CD ,连接SD . 在三棱锥S -ABC 中,SC ⊥底面ABC ,SC ＝1,底面三角形ABC 是等腰三角形,AC ＝BC ,AB 边上的高CD ＝2,AD ＝BD ＝1,斜高SD ＝5,AC ＝BC ＝ 5.∴S 表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.(3)(2015·遵义模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( ) A.3＋ 6 B.3＋ 5 C.2＋ 6 D.2＋ 5＝ 2.解析：选C 由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有OA ＝OB ＝1,AB 又PB ⊥平面ABCD , ∴PB ⊥BD ,PB ⊥AB ,∴PD ＝22＋1＝5,P A ＝2＋12＝3, 从而有P A 2＋DA 2＝PD 2,∴P A ⊥DA ,∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.A. 2B. 3C. 5D. 63.C[考向1]由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,直观图如图所示,其中P A⊥面ABCD,P A＝1,AD＝1,CD＝1,AB＝2,PD＝2,PC＝3,而在Rt△P AB中,PB＝P A2＋AB2＝12＋22＝5＞3,故最长的侧棱为PB,其长度为5,故选C.(5)(2014·课标Ⅰ)如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6 2B.4 2C.6D.4【解析】由三视图可知该几何体为图中棱长为4的正方体中的三棱锥P-ABC.由图②可知,最长棱为PC＝42＋42＋22＝6.[例3](1)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为________.解析由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为23的圆台,则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×232＋22＝26π.答案：26π(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.解析 如图所示：该几何体为长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后剩下的部分.∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38. 答案 38 (3)(2015·课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r ＝( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析 B 由题意知,该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的.则表面积S ＝2πr 2＋2×12πr 2＋4r 2＋2πr 2＝5πr 2＋4r 2＝20π＋16,∴r ＝2.(4)[2014重庆理]某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为( ) A.54 B.60 C.66 D.72俯视图左视图正视图3245【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示, 4,'5,'2,3AB A A B B AC ====,经检验该几何体的三视图满足 题设条件.其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++,3515615146022=++++=,故选择BC'B'A'CBA(5)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18解析A由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分,如图所示,则S＝S正方体－2S三棱锥侧＋2S三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋ 3.【变式训练】1.(2015·北京西城期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为________.解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为2,所以高为3,所以正视图的面积为2 3.答案：2 32.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于()A.100πB.100π3 C.25π D.25π3解析：选A易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S＝4πR2＝100π.3.(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于().A.1B. 2C.2－12 D.2＋12解析 由俯视图的面积为1可知,该正方体的放置如图所示,当正视图的方向与正方体的侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视图的方向与正方体的对角面BDD 1B 1或ACC 1A 1垂直时,正视图的面积最大,其值为2,由于正视图的方向不同,因此正视图的面积S ∈[1,2].故选C. 答案 C 4.(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D .π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 5.(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为( ).A.3B.7＋3 2C.72π D .14解析 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14. 答案 D 6.(2015·山东淄博模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,形成的三棱锥A -BCD 的正(主)视图与俯视图如图所示,则其侧(左)视图的面积为( )A.22B.12C.24D.14解析 D 由正(主)视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直,其侧(左)视图是直角三角形,且直角边长均为22,所以侧(左)视图的面积为S ＝12×22×22＝14.7.(2016·西安一模)如图,网格纸中的小正方形的边长均为1,图中粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( ) A.12(22＋32＋4) B.12(22＋32＋8) C.12(22＋2＋8) D.12(22＋22＋8)解析 B 根据三视图可知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥,其表面积S ＝12×2×2＋12×2×3＋12×2×3＋12×2×11＝12(22＋32＋8),故选B.8.(2016·课标Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π解析C S表＝πr2＋2πr×4＋12×2πr×R＝4π＋16π＋2π22＋（23）2＝28π.9 .(2013重庆文)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240【答案】D10.(2014浙江理)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【答案】D【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4, ∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).11.(2017北京理)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( ).A.3 2B.2 3C.2 2D.2解析几何体四棱锥如图所示,最长棱为正方体的体对角线,即22222223l++=故选B.12.(2017全国1理)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ). A.10 B.12 C.14 D.16解析 由三视图可画出立体图,如图所示,该多面体只有两个相同的梯形的面, ()24226S =+⨯÷=梯,6212S =⨯=全梯.故选B.题型4:空间几何体的三视图与体积 【典型例题】 [例1](1)(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.解析 该几何体为一个半圆锥,故其体积为V ＝13×12×π×12×22＝π3.答案 π3(2)(2015·惠州二调)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左(侧)视图均为半径是2的圆,则这个几何体的体积是( )A.16πB.14πC.12πD.8π解析：选D 由三视图可知,该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分,由于球的 (3)(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示,则四棱台的体积是( ).A.4B.143C.163D.6解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V ＝13(12＋12×22＋22)×2＝143,故选B.答案 B (4)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.解析 [考向3]【解析】 由题可知锥体的高为1,底面积为12×23×1＝3,∴V 锥＝13×3×1＝33.【答案】 33[例2](1)(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3解析 C 由题意得,该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成,所以体积V ＝23＋13×22×2＝323.(2)(2017山东理)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .解析 该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+.(3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ). A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3解析 由三视图可知,直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成,半圆锥体积为()2111=13232S π⨯π⨯⨯=,三棱锥体积为211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭,所以几何体体积1212S S S π=+=+.故选A.(4)(2013·课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.16＋8π B .8＋8π C.16＋16π D .8＋16π解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2、高为4.所以V ＝2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.故选A.(5)(2015·广东中山模拟)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 π＋33[由三视图,该组合体上部是一个三棱锥,下部是一圆柱由图中数据知V 圆柱＝π×12×1＝π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,且边长是2,故其高即为三棱锥的高,高为3,故棱锥高为3由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长都是2,底面三角形的面积是12×2×2＝1, 故V 棱锥＝13×1×3＝33,故该几何体的体积是π＋33.][例3](1)(2015·山东实验模拟)设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A.2π3 B.8－π3 C.8－2π D . 8－2π3解析D[由三视图可知,几何体为正方体内挖去一个圆锥,所以该几何体的体积为V 正方体－V 锥＝23－13(π×12×2)＝8－23π.](2)(2013·辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为2,高为4,故体积为16π；正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,所以几何体的体积为16π－16. (3)(2015·河南天一联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.12＋π B .8＋π C .12－π D .6－π解析 C [由三视图可知,原几何体是底面边长为2的正方形,高为3的棱柱,里面挖去一个半径为1的球,所以所求几何体的体积为12－π,故选C.](4)(2017全国2理)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( ). A.90π B .63π C.42π D.36π解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,如图所示.2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.466(5)(2015·唐山统考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8π＋16B.8π－16C.8π＋8D.16π－8解析：选B由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱.半圆柱的高为4,底面半圆的半径为2,直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形,高为4,故几何体的体积V＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.[例4](1)(2014·福州模拟)如图所示,已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1－ABC1的体积为().A.312 B.34 C.612 D.64解析三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积,三棱锥A－B1BC1的高为32,底面积为12,故其体积为13×12×32＝312.(2)(2012·山东)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1－EDF的体积为________.[一般解法] 三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积.因为E,F分别为AA1,B1C上的点,所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值12,F到平面AA1D1D的距离为定值1,所以＝13×12×1＝16. [优美解法] E点移到A点,F点移到C点,则＝＝13×12×1×1×1＝16.[答案]16(3)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为()A.233 B.476 C.6 D.7。
2018年高考数学二轮总复习 第一部分 专题攻略 专题五 立体几何(十一)空间几何体的三视图、表面积
课时作业(十一)空间几何体的三视图、表面积和体积．②①① B．②①②．②④① D．③①①由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除该物体的表面积为S＝π×12＋π152＋1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1 3×12×1×2×2＋．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，2×3＝π2＋1.由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有10，故该多面体的所有棱中，最大值为．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为－ABCD ，如图所示，＝13S ▱ABCD ×PD ＝13(S ×3×4＋12×3×5＋12×3×5＋由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4cm2(24＋85＋82)cm2如图，依题意可知四棱锥P－ABCD是此几何体的直观图，在四棱锥ABCD是正方形，△PAD≌△(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，＋×2＝2答案：B该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截.的棱长为1，E，F分别为线段的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形FAB分别是以BC为折痕折起△DBC，△。
高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 文
第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( B )解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.2.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A )(A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体(D)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A.3.(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )(A)①和②(B)③和①(C)④和③(D)④和②解析:在空间直角坐标系O xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥A BCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.空间几何体的表面积与体积5.(2015新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( B )(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛解析:设圆锥底面半径为r,因为米堆底部弧长为8尺,所以r=8,r=≈(尺),所以米堆的体积为V=××π×()2×5≈(立方尺),又1斛米的体积约为1.62立方尺,所以该米堆有÷1.62≈22(斛),选B.6.(2015新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( D )(A)(B)(C)(D)解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,故剩余部分的体积为V2=,所求比值为=.7.(2015河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为( B )(A)π+2 (B)2π+4 (C)2π+6 (D)π+4解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,因为V=××πa2×4+××2a×a×4=a2(π+2)=,所以a2=4,所以俯视图的面积为πa2+·2a·a=2π+4,故选B.8.(2015大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A )(A)32+4π(B)24+4π(C)12+(D)24+解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故选A.多面体与球的切接问题9.(2015东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为( B )(A)16π (B)9π(C)4π(D)π解析:由三视图可知立体图形如图所示.由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R,则AB==,在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=,因为S=4πR2,所以此三棱锥外接球的表面积为9π.10.(2015甘肃兰州第二次监测)已知长方体ABCD A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,则球心O到平面ABCD的距离为( B ) (A)1 (B)(C)(D)2解析:设外接球O的半径为R,则4πR2=16π,所以R=2,由题意知长方体的对角线为球的直径,又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,设AD=x,AB=x,AA1=2x,则x2+(x)2+(2x)2=42,解得x=,球心O到平面ABCD的距离为AA1=x=,选B.11.(2015江西上饶三模)从点P 出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为( C )(A)(B)(C)(D)解析:设OP交平面ABC于O′,由题得△ABC和△PAB为正三角形,所以O′A=AB=AP,因为AO′⊥PO,OA⊥PA,所以=,=,=,所以OA==×=1,即球的半径为1,所以其体积为π×13=π.选C.12.(2015东北三校第一次联合模拟)三棱柱ABC A1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,则这个球的表面积为.解析:在△ABC中,∠ACB=120°,CA=CB=2,由余弦定理可得AB=6,由正弦定理可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O′,球心为O,在Rt△OAO′中,球半径R==4,故球的表面积为S=4πR2=64π.答案:64π一、选择题1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( D )解析:根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项D.2.(2015河南模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是( D )解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是,知底面积是,所以底面是一个半径为1的四分之一圆,故选D.3.(2015河南六市第二次联考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( B )(A)2 cm3(B) cm3(C)3 cm3(D)3 cm3解析:由三视图可知几何体如图所示,其侧面PCB与底面垂直,且△PCB为边长为2的正三角形,底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,所以四棱锥的体积为V=××(1+2)×2××2=.4.(2015赤峰模拟)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为( B )(A)(B)2 (C)4 (D)解析:三棱锥的正视图如图所示,所以该三棱锥的正视图面积=×2×2=2.故选B.5.(2015太原市高三模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为( B )(A)4π(B)2π(C)(D)解析:由正视图可知该几何体的高为H=3,其俯视图如图,OA=OB=2,AC=,AC⊥OB,所以∠AOB=,弧AB的长为,所以扇形面积为S=×2×=,所以几何体的体积为V=3×=2π.选B.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B )(A)6+(B)7+(C)8+(D)7+2解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形(梯形上底长为1,下底长为2,高为1),高为1的直棱柱,故其表面积为1×1×2+×(1+2)×1×2+1×2+1×=7+.故选B.7.(2015黑龙江高三模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( B )(A)π(B)3π(C)4π(D)6π解析:由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,且正方体的棱长为1,所以内接正方体的对角线长为,即球的直径为,所以球的表面积为S=4π×()2=3π,故选B.8.(2015辽宁沈阳高三一模)已知直三棱柱ABC A1B1C1中,所有棱的长都为3,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( B )(A)9π(B)21π (C)33π (D)45π解析:如图,因为所有棱的长都为3,所以OO1=,OA即为其外接球的半径R,又AO1=××3=,所以R2=O+A=()2+()2=,所以S球=4πR2=21π.故选B.9.(2015河南六市联考)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,四边形ABCD为直角梯形,上底为2,下底为4,高为2,且OA,AB,AD两两垂直,OA=2,所以该几何体的体积为V=××2=4.选D.10.(2015郑州第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为( C )(A)32 (B)32(C)64 (D)64解析:设三棱锥的高为h,则根据三视图可得所以x2+y2=128,因为x>0,y>0,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64,当且仅当x=y=8时取“=”号,故xy的最大值为64.选C.11.(2015广西南宁二模)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( B )(A)24π (B)6π(C)4π(D)2π解析:依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥A BCD,其中AB⊥平面BCD,AB=,BC=CD=,BD=2,将该三棱锥补成一个正方体,则有(2R)2=()2+()2+()2=6,所以R=,所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=6π.选B.12.(2015唐山市一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( C )(A)4 (B)21+(C)3+12 (D)+12解析:根据三视图可知该几何体是正六边形截得的正方体下方的几何体,因为正方体的棱长为2,所以根据分割的正方体的2个几何体的对称性得,S1=×6×22=12,正六边形的面积为6××()2=3,所以该几何体的表面积为12+3.选C.二、填空题13.(2015广西南宁二模)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等且=,则的值是.解析:设两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,==·=,①又2πr1·h1=2πr2·h2,所以=,②把②代入①可得,=,所以=()2=()2=.答案:14.(2015辽宁沈阳高三一模)已知某多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为.解析:由三视图知,该几何体是一个四棱锥,如图所示,其底面是直角梯形,AD=4,AB=4,OA=4,BC=1,则OD==,CD==5,OB==,OC===,故多面体最长的一条棱长为.答案:15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.解析:由三视图知,几何体由一个四棱锥与四棱柱组成,则体积V=×2×2×1+1×1×2=.答案:16.(2015大连市高三一模)如图,半球内有一内接正四棱锥S ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.解析:设球的半径为R,则底面ABCD的面积为2R2, 因为半球内有一内接正四棱锥S ABCD,该四棱锥的体积为,所以×2R2×R=,所以R3=2,所以该半球的体积为V=×πR3=π.答案:π。
2018届高考数学二轮复习 第一部分 专题五 立体几何 1.5.1 空间几何体的三视图、表面积及
限时规范训练空间几何体的三视图、表面积及体积限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·山东烟台模拟)一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为( )解析：选D.分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故其侧(左)视图应为D.2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.作出三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知AB＝BD＝2，BC＝CD＝2，AD＝22，AC＝6，故△ABC，△ACD，△ABD，△BCD均为直角三角形，故选C.3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π解析：选B.旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高2，高即斜边的长的一半2，故所得几何体的体积V ＝13π(2)2×2×2＝42π3.4．(2017·厦门质检)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )A.13 B.512C.36D.16解析：选D.VD 1B 1C 1E＝VE B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝16，故选D.5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π解析：选C.将三棱锥P ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22＝2 3.设外接球的半径为R ，依题意可得(2R )2＝22＋22＋(23)2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.故选C.6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧(左)视图中线段的长度x 的值是()A.7 B ．27 C ．4D ．5解析：选 C.分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，故其体积V ＝13×32＋32×4×CP ＝37，所以CP ＝7，所以x ＝32＋72＝4.7．(2017·山东青岛二模)如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧(左)视图的周长等于( )A ．17 cmB ．(119＋5)cmC ．16 cmD ．14 cm解析：选D.由题意可知，侧(左)视图是一个三角形，底边长等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形．因为侧棱长5 cm ，所以斜高h ＝52－32＝4(cm)，又正四棱锥底面正方形的边长为6 cm ，所以侧(左)视图的周长为6＋4＋4＝14(cm)．8．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310解析：选C.因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，即R ＝132.9．(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C.由三视图可知，半球的半径为22，四棱锥底面正方形边长为1，高为1， 所以该组合体的体积＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫223×12＋13×1×1×1＝13＋26π.10．(2017·吉林长春模拟)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )A ．2 5B ．2 6解析：选C.由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42＋32＝27，而PB ＝PA 2＋AB 2＝22＋42＝25，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是BC ，其长为27，选C.11．(2017·甘肃兰州三模)某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．17B ．22C ．14＋213D ．22＋213解析：选D.可借助长方体，作出该四棱锥的直观图，如图中的四棱锥V ABCD 所示．则BC ⊥平面VAB ，AB ⊥平面VAD ，CD ⊥平面VAD ，VD ＝5，VB ＝13，所以四棱锥V ABCD 的表面积S 表＝S △VAB ＋S △VBC ＋S △VCD ＋S △VAD ＋S 四边形ABCD ＝12×(2×3＋4×13＋2×5＋3×4)＋2×4＝22＋213.故选D.12．(2017·河北衡水模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π解析：选B.题中的几何体是三棱锥A BCD ，如图所示，其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ，则有BM ＝CM ＝12AD ＝1222＋22＝62.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622＝6π，应选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 答案：714．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，△PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.答案：1415．(2017·山东临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.答案：16＋8π16．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ， 由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC . 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4.令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415 cm 3. 答案：415。
(通用版)18年高考数学二轮复习专题三立体几何第一讲小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及位
[答案]
(1)B
(2)B
(3)B
[方法技巧]
1．求解几何体的表面积与体积的技巧 (1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原 则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将 不规则几何体转化为规则几何体求解． (3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化． 2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
4．(2018届高三· 浙江名校联考)某简单几 何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为________，其外接球的表面 积为________．
解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方 1 形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4× ×3＝24.又直四 2 棱柱的外接球的半径R＝
2
法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的 圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等 价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝ π×32×7＝63π. 1 (3)该几何体是一个直三棱柱截去 所得，如图所示，其 4 3 1 体积为 × ×3×4×2＝9. 4 2
A．3 2
B． 2 3
C．2 2 D．2 解析：在正方体中还原该四棱锥如图所示，
从图中易得最长的棱为 AC1＝ AC2＋CC2 1＝ 22＋22＋22＝2 3.
答案：B
3．(2017· 福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实 线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三 角形的个数是 ( )
高考数学二轮复习 专题五 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积学案 理-人教版高三全册
第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝24 S.[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )[解析] 两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A.[答案] A2．(2018·河北衡水中学调研)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )[解析] 过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.[答案] C3．(2018·江西南昌二中模拟)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A ．8B ．4C ．4 3D ．4 2[解析] 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AB ＝AC ＝4，DB ＝2，则易得S △PAC ＝S △ABC ＝8，S △CPD ＝12，S 梯形ABDP＝12，S △BCD ＝12×42×2＝42，故选D.[答案] D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析] 直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.[答案] 2＋ 2[快速审题] (1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体． (2)看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法，想到原图形与直观图的面积比为24.由三视图还原到直观图的3步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．考点二 空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．3．球的表面积和体积公式S 表＝4πR 2(R 为球的半径)，V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．[对点训练]1．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm ，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V ＝1＋22×2×2＝6 cm 3.[答案] C2．(2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )A.(5－1)π2＋2 B.(5＋1)π2＋2 C.π2＋3 D.52π＋2 [解析] 由三视图知，此几何体为一个半圆锥，其底圆半径为1，高为2，故母线长为22＋12＝5，所以该几何体的表面积S ＝12π×1×5＋12π×12＋12×2×2＝(5＋1)π2＋2.故选B.[答案] B3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，高为2的四棱锥．由于正视图是一个上底边为2，下底边为4，高为2的直角梯形，故该四棱锥的底面积S ＝12×(2＋4)×2＝6，则V ＝13Sh ＝13×6×2＝4.故选D.[答案] D4．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1 B.(24＋2)π4＋1 C.(23＋2)π4＋12D.(23＋2)π4＋1 [解析] 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝(23＋2)π4＋1，故选D.[答案] D[快速审题] (1)看到求规则图形的表面积(体积)，想到相应几何体的表面积(体积)公式．(2)看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图．(3)看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决．求几何体表面积和体积关键过好“两关”(1)还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原空间几何体的直观图． (2)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积．考点三 多面体与球的切接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．角度1：与球的组合体中求棱柱(锥)的表面积或体积[探究追问] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球．∴体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面．(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[对点训练]1．[角度1](2018·广东惠州二模)已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA ＝SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( )A.33 B ．1 C. 3 D.332[解析] ∵三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA ＝SB ＝SC ＝2，∴S 在底面ABC 内的射影为AB 的中点，设AB 的中点为H ，连接SH ，CH ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等，易知SH ＝3，CH ＝1，∴Rt △SHC 中∠HSC ＝30°.在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，交SH 于点O ，交SC 于点M ，则O 为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．∵SC ＝2，∴SM ＝1，又∠OSM ＝30°，∴SO ＝233，OH ＝33，∴球心O 到平面ABC 的距离为33，故选A. [答案] A2．[角度2](2018·武汉调研)一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A ．16π B．9π C．4π D．π[解析] 三棱锥如右图，设外接球半径为R ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点．SD ⊥面ABC .球心O 在SD 上，SD ＝2.在直角△ODC 中，OC ＝R ，OD ＝2－R ，DC ＝ 2.则(2－R )2＋(2)2＝R 2，即R ＝32，故V －ABC 的外接圆的表面积为S ＝4πR 2＝9π，选B.[答案] B1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5 C．3 D．2[解析] 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示，设ME与FN 为圆柱的两条母线，沿FN将圆柱的侧面展开，如图2所示，连接MN，MN即为从M到N的最短路径，由题意知，ME＝2，EN＝4，∴MN＝42＋22＝2 5.故选B.[答案] B2．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 由三视图得四棱锥的直观图如图所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1.由SD⊥底面ABCD，AD，DC，AB⊂底面ABCD，得SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA为直角三角形，又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD⊂平面SAD，AD∩SD ＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，从而SB＝SD2＋AD2＋AB2＝3，又BC＝22＋12＝5，SC＝22，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故选C.[答案] C3．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 [解析] 由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为3 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为3 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，OC ＝1 cm ，AB ⊥OC .故其体积V ＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1cm 3.故选A.[答案] A4．(2018·天津卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．[解析] 由题意知四棱锥的底面EFGH 为正方形，其边长为22，即底面面积为12，由正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱锥M －EFGH 的体积V ＝13×12×12＝112.[答案]1125．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．[解析] 设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.[答案] 321.该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．热点课题12 补形法求几何体的表面积与体积[感悟体验]1．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 B.83 C ．4 D.209[解析] 观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A 1－ABEF ，如图所示，其体积为V正方体－V AFD －BEC －VA 1－BEC 1B 1－VA 1－FEC 1D 1＝2×2×2－12×2×1×2－13×2×(1＋2)×2×12－13×1×2×2＝83.[答案] B2．(2018·合肥联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为( )A ．24π B．29π C．48π D．58π[解析] 如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A －BCD )，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR 2＝π(32＋22＋42)＝29π.[答案] B专题跟踪训练(二十一)一、选择题1．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2[解析] 由三视图得该四棱锥的直观图如图中S－ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.[答案] B2．(2018·益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A.23B.43C.83D ．4 [解析] 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥A －PBC (放到棱长为2的正方体中)，则V A －PBC ＝13×S △PBC ×AB ＝13×12×2×2×2＝43.故选B.[答案] B3．(2018·辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．36 B．48 C．64 D．72[解析] 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为12×3×4×4＋12×3×4×4＝48，故选B.[答案] B4．(2018·广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )A ．13π B．16π C．25π D．27π[解析] 由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4，所以底面边长为22，由侧视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，则2R ＝(22)2＋(22)2＋32＝5，解得R ＝52，所以该几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×254＝25π，故选C. [答案] C5．(2018·洛阳市高三第一次联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823π B.833π C.863π D.1623π [解析] 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长，其长为22，则球O 的体积V ＝43πR3＝823π，故选A.[答案] A6．(2018·河北第二次质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )A ．50B ．75C ．25.5D ．37.5[解析] 由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为 5.如图，图中几何体ABCC 1MN 为剩余部分，因为AM ＝2，B 1C 1⊥平面MNB 1A 1，所以剩余部分的体积V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×5×5×5－13×3×5×5＝37.5，故选D.[答案] D7．(2018·广东广州调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．4＋42＋2 3B ．14＋4 2C ．10＋42＋2 3D ．4[解析] 如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S －ABCD .连接AC ，因为AC ＝22＋42＝25，SC ＝(25)2＋22＝26，SD ＝SB ＝22＋22＝22，CD ＝22＋22＝22，SB 2＋BC 2＝(22)2＋42＝24＝SC 2，故△SCD 为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．过D 作DK ⊥SC 于点K ，则DK ＝(22)2－(6)2＝2，△SCD 的面积为12×2×26＝23，△SBC 的面积为12×22×4＝4 2.所求几何体的表面积为12×(2＋4)×2＋2×12×2×2＋42＋23＝10＋42＋23，选C.[答案] C8．(2018·河南濮阳二模)已知三棱锥A －BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A －BD －C 为直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( )A.10π3B．5π C．6π D.20π3[解析] 取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作面ABD的垂线，过Q作面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝33，CQ＝233，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝153，表面积为4πR2＝20π3，故选D.[答案] D9．(2018·广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为( )A．4π＋16 B．2(2＋2)π＋16C．4π＋8 D．2(2＋2)π＋8[解析] 由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表＝5×22＋2π·2·1＋2π·(2)2－22＝2(2＋2)π＋16.故选B[答案] B10．(2018·福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( )A ．64－32π3B ．64－8πC ．64－16π3D ．64－8π3[解析] 由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－14⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×4×4＋π×4×4＝64－16π3.故选C.[答案] C11．(2018·湖南十三校联考)三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示，则该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．32π B.1123π C.283π D.643π [解析] 设外接球的半径为r ，球心为O .由正视图和侧视图可知，该三棱锥S －ABC 的底面是边长为4的正三角形．所以球心O 一定在△ABC 的外心上方．记球心O 在平面ABC 上的投影点为点D ，所以AD ＝BD ＝CD ＝4×32×23＝433，则由题可建立方程 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4332＋r 2－⎝⎛⎭⎪⎫4332＝4，解得r 2＝283.所以该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积S ＝4πr 2＝1123π.故选B.[答案] B12．(2018·中原名校联考)已知A ，B ，C ，D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，点AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∠AED ＝120°，AE ＝DE ＝3，BC ＝2，则球O 的表面积为( )A.73π B.28π3C ．4πD ．16π[解析] 由题意可知△ABC 与△BCD 都是边长为2的正三角形，如图，过△ABC 与△BCD 的外心M ，N 分别作面ABC 、面BCD 的垂线，两垂线的交点就是球心O .连接OE ，可知∠MEO ＝∠NEO ＝12∠AED ＝60°，在Rt △OME 中，∠MEO ＝60°，ME ＝33，所以OE ＝2ME ＝233，连接OB ，所以球O 的半径R ＝OB ＝OE 2＋BE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋12＝213，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝283π，故选B.[答案] B 二、填空题13．(2018·沈阳质检)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．[解析] 如图，设S △ABD ＝S 1，S △PAB ＝S 2，E 到平面ABD 的距离为h 1，C 到平面PAB 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1，V 1＝13S 1h 1，V 2＝13S 2h 2，所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝14.[答案] 1414．(2018·宁夏银川一中模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．[解析] 由三视图知，该几何体是一个高为2，底面直径为2的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下45°切开所剩下的几何体，其体积为对应的圆柱的体积的一半，即V＝1 2×π×12×2＝π.故答案为π.[答案] π15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为________．[解析] 依题意知，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD.其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为3，BC＝2，CD＝23，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝22，所以该几何体最长的棱长为2 3.[答案] 2 3.16．(2018·厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图， 则该几何体的表面积为________．[解析] 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.[答案] 26。