2015随机信号分析2
二章节随机信号分析
（4）R() E 2[ (t)] (t)的直流功率
（5）R(0) R() 2 (t)的交流功率
任意确定功率信号f（t），功率谱密度
P S
(
)
PS ( )
lim T
F ( ) 2 T T
F ( ) T
是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数
随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计
协方差函数与相关函数
用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性
协方差
B（t1，t2）=E{[
(t1
)-a（t1）][
(t 2
)
-a（t2）]}
=
[
x1
a(t1
)][
x 2
a(t )] 2
f (x , x ;t ,t )dx dx
2 1 212
12
5
相关函数
R（t1，t2）=E[
(t 1
n12
n12
n
x x x
f (x , x ,x ;t ,t ,,t )
n12
n12
n
12
n
n越大，Fn，fn描述 (t) 的统计特性就越充分
4
数学期望与方差
E[ (t)]=
xf1
( x, t
)dx
a(t )
D[ (t)]=E{ (t) -E[ (t)] }2
=E[ (t) ]2-[E (t) ]2 = 2 (t)
f（x）在(, a)单调上升， (a, )单调下降
x 或 x
f (x) 0
f
( x)dx
1
且有
a
f
( x)dx
通信原理第2章-随机信号分析
1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
随机信号分析2习题(供参考)
2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3……（1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。
（1）（2） 所以是确定的。
（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1（1） 是确定性随机过程？（2 ） 求任意时刻X(t)的一维概密。
解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。
解：发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面，2t ，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解： x1 x2X ：（t=1/2） 0 1Y (t=1) 1 22.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。
解：2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).解：()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k kX1 x2 x3T1=2 3 4 6E[X(2)]=313)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (31)x,2(f -+-+-=δδδ2．7随机过程X(t)由三条样本函数构成，cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现，求E （X(t)）,和 R(t1,t2)解：2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。
第二章 随机信号分析
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5
2.2 随机过程的一般表述
自相关函数 R (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。 R(t1 , t 2 ) E[x (t1 ) x (t 2 )]
x1 x2 f 2 (x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差B (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。
Ps () ＝
∞
-∞
R ( ) e -j d
∞
R ( ) ＝ (1/2) -∞ Ps () e j d (逆变换)
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课堂练习
例2.4.1 x (t) sin(0 t + )，求x (t)的功率谱密度函数。 思路：首先证明x (t) 是平稳随机过程，然后对自相关函 数R ( ) 进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps () 。 其步骤为： 1，求数学期望 E[x (t)] ＝0，自相关函数R (t1, t2) ＝ 0.5 cos0 ，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间 间隔有关，因此x (t) 是平稳随机过程。 2，对R ( ) 进行傅立叶变换，求得Ps ()
P ( ) E[ Ps ( )] lim x E FT ( ) T
2 T
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可以证明：平稳随机过程的功率谱密度 等于该过程的自相关函数的富里叶变换。
P ( ) R( ) 表示富里叶变换 x
复习：富里叶变换。
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随机信号分析第2章--随机信号
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
A与 B独立 , f AB (a, b) f A (a) fB (b)
X (t) A Bt Y(t) A
A Y(t) X (t) Y (t)
B t
01 J1 1 1
t tt
1
xy 1
xy
f XY (x, y; t ) J f AB (a,b) t f AB ( y, t ) t f A ( y) f B ( t )
E X (t) E A cost XH cost EA XH
D X (t) E X 2 (t ) E2 X (t )
方法 2：
D X (t)
D Acost XH D Acost cos2 t DA cos2 t
12
D XH
公式： D aX＋ bＹ a2 D X b2 D Y 2abC XY
RX (t1, t2 )=E Acost1 XH A cost2 XH
f X (x1；0)
1
x12 e 2，
2Байду номын сангаас
A
1
X (t)
~ N (0, )
t 30
2
4
f X ( x2； 3
)＝
0
2 2
e
2
x2
2
，
X (t) t
＝0，
f ( x3；2
)
0
20
( x3)
(离散型随机变量分布律 )
2-2 如图 2.23 所示，已知随机过程 X (t) 仅由四条样本函数组
成，出现的概率为
数 RX (t1, t2 ) ？②若已知随机变量相 A, B 互独立，
它们的概率密度分别为 f A (a) 和 f B (b) ，求 X (t) 的一
随机信号分析课件第2章
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均
T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h
E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
随机信号分析与应用第二章精品PPT课件
u 2T
u 2T
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则 S X () T l i2 1 m T { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
0 d 2T
22 T T 1 2R X()ejd}u
T l i { m 2 1 T 2 2 T Td 2 2 T T 1 2R X ()ejd}u
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令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 T l iE m [X X 2 ( T T , )2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 m T T T E [X 2 (t)d ] t 2 1 S X ()d
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
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3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
T l i 2 m 1 T T T T TR X (t2 t1 )e j(t2 t1)d1 d t2t
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设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1,
(,
t2) u)
随机信号分析与估计第2章
2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
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∑ p U (x − x )
i =1 i i
n
FX ( x) 为非负、单调不减函数 （1） FX ( x) 具有右连续性 （3）
1.4 多维随机变量及其分布函数
一、二维分布函数
1、定义 2、性质
1.4 多维随机变量及其分布函数
一、二维分布ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
2、性质
1.4 多维随机变量及其分布函数
二、离散型概率分布函数
（离散型随机变量）
1.4 多维随机变量及其分布函数
五、相互独立的随机变量与条件分布
1、相互独立的随机变量
③ 离散型随机变量 ④ 连续型随机变量
1.4 多维随机变量及其分布函数
五、相互独立的随机变量与条件分布
2、条件分布
1.4 多维随机变量及其分布函数
五、相互独立的随机变量与条件分布
1.4 多维随机变量及其分布函数
②
b
概率密度函数
问题：有没有 f X ( x) ≤ 1 的约束条件
∫
∞
−∞
f X ( x)dx = P[−∞ < X < ∞= ] 1
1.3 随机变量及其概率分布函数
四．分布函数
1. 定义
（1）连续型随机变量
FX= ( x) P[ X ≤ x]
2. 性质
（2）离散型随机变量 = FX ( x) （2）0 ≤ FX ( x) ≤ 1
1、概率表示
2、性质
3、（X、Y）的联合分布函数
1.4 多维随机变量及其分布函数
三、连续型分布函数
1、（X、Y）的联合概率密度函数
2、（X、Y）的联合分布数
1.4 多维随机变量及其分布函数
四、边沿分布
若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，其极限为一维分布函数， 称为边沿分布。
（连续型随机变量）
3. 表示
1.3 随机变量及其概率分布函数
二．离散型随机变量及其分布律
1. 特点
全部可能取值是有限个或可列无限多个。 可以写出每一个可能取值的概率值
2. 概率表示——分布律
X pk x1 p1 x2 p2
... ...
xn pn
=1
P{= X x= pn , = n 1, 2,... n}
3. 性质
pn ≥ 0, n = 1, 2,...
∑p
n
n
1.3 随机变量及其概率分布函数
三．连续型随机变量及其密度函数
1. 特点
无限多个可能取值，且连续地占据着整个取值区间。
P[a < X ≤ b= ] P[ X ≤ b] − P[ X ≤ a]
2. 概率表示——密度函数
（1）定义 P[a < X ≤ b] = ∫a f X ( x)dx （2）性质 ① f X ( x) ≥ 0
随机信号分析
第2讲
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
1.3 随机变量及其概率分布函数
一．随机变量
1. 引言
<小孩学算术> 苹果、桔子、铅笔 3+2=5 <概率问题研究> 原样本空间（不同样本类型） 新样本空间（统一样本类型）
1.3 随机变量及其概率分布函数
一．随机变量
2. 定义
设随机试验E的样本空间为S={s}，如果对于每一个s∈S， 有一个实数X(s)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单 值函数X(s)，称X(s)为随机变量，简记为X。
五、相互独立的随机变量与条件分布
随机变量相互独立