第2章 确知信号与随机信号分析基础
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第2章 确知信号与随机信号分析基础课件
此定理的物理意义是 :时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
第2章 确知信号分析
{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
《随机信号分析基础》第2章 课件_随机信号时域分析
随机过程的一维统计特性具有普通随机变量的各种性质，区别在它们同时还是时间t 的函 数。“一维”只描述出随机过程在各个孤立时刻（任一时刻）的统计特性，没有反映各时刻之 间的内在联系 Þ 用“n 维”更为全面。 （2）二维分布
二维概率分布函数： X(t1)与 X(t2 ) ， FX (x1, x2;t1,t2 ) = FX (x1, x2 ) = P[X(t1) £ x1, X(t2 ) £ x2 ]
= E {X 2(t) - mX2 (t) - 2X(t)mX (t)} = E {X 2(t)} - mX2 (t)
【含义】 ① t2(t) ----随机信号在t 时刻取值相对于中心（均值）的偏离程度。 t(t)称为标准差。
② 若 X(t)为归一化阻抗下的电压或电流，则 E {X 2(t)}表示时刻t 上的瞬时总功率的统计平
若 n 阶偏导数存在，可有 n 维概率密度函数
fX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn )
=
¶FX (x1, x2,× × ×xn；t1,t2,× × ×tn ) ¶x1¶x2 × × × ¶xn
显然，n Þ 反映“内在联系”愈充分，也就越为完整地描述随机过程的全部统计特性。
2、定义 令随机试验的概率空间为 {W, F, P} ，若对于样本空间 W 中的任何一个样本点
xi Î W ，总有一个确知函数 xi = X(t, xi )，t Î T 与之对应，这样对于所有的 x Î W ，就可得 到一族关于t 的函数 X(t, x) ，称为随机信号。
族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。随机信号 X(t, x)常简记为 X(t)，对应的 样本函数简记为 x (t ) 。
2.1.3 随机过程的数字特征
第二章 信号分析基础(随机信号与相关分析)090310
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2.6 信号的
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Rx ( )是实偶函数，故 S x ()也是实偶函数
1 T 1 2 2 Rx (0) lim T x (t )dt S x ( f )df或 T T 2 2
S x ( )d
S x ( )曲线下面和频率轴所包 围的面积为信号的平均 功率， 所以S x ( )就是信号的功率谱密度 沿频率轴的分布，简称 功率谱
x(t)
y(t)
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算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相 乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。
x(t) y(t)
时 延 器
乘 法 器
X(t)y(t - τ)
积 分 器
Rxy(τ)
y(t - τ)
自相关函数：x(t)=y(t)
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1 3．均方值： lim T T
T
0
x (t )dt
――信号的强度或平均功率
2
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4．概率密度函数：
x(t)的瞬时值落在某一个
( x, x x) 区间内的概率是
Tx P[ x x(t ) x x] lim T T
n
式中：T－观测时间
Tx ti
X1
1 1 v(t 2 t 1) v m 2 2 s 两传感器的中心至漏损 处的距离 S v 声音在管道中的传播速 度
X2
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案例：地震位置测量
设想3座地震观测台记录同一个地震，且位于震源的不同方向上。这3座台站 的观测人员能够读到P波抵达时间，有时也读到S波的抵达时间（因为P波传播 速度比S波传播速度大约快2倍，所以这两种波传播得越远，它们的波前分离 间隔就越宽）。如果有了P波和S波抵达的时间，从这两种波型抵达某台时间 间隔将可以直接求得震源到该记录台的距离。然后，画3个圆，每个圆以一座 地震台为圆心，半径是计算得到的距离（震中距）。这3个圆将相交，至少是 近似的相交于所要求的震中。
信号分析基础
t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。
③两信号错开一个时间间隔0处相关程 度有可能最高，它反映两信号x(t)、y（t) 之间主传输通道的滞后时间。
五、相关分析应用
1、影像相关原理
影像相关是利用互相 关函数，评价两块影 像的相似性以确定同 名点 。
示意图
目 标 区
同名点
互相 关函 数
搜 索 区
相似程 度
影像匹配---同名点寻找
2、电子相关
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
1 2T
T T
x(t)x(t )dt
lim 1
T
x(t)x(t )dt R( )
第2章 确知信号
j 2nf 0 t
( 2.2 2)
( 2.2 3)
n
T0 / 2
T0 / 2
s( t )dt
复振幅：Cn Cn e j ，|Cn|—振幅，n—相位 Cn—双边频谱：负频率仅在数学上有意义，物理上并不存在。
2018/10/8
第16页
2.2 确知信号的频域性质
一、功率信号的频谱
周期性功率信号频谱的性质：物理上实信号的频谱和数学上的频谱函
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) cos(2nf 0 t )dt j
1 T
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) sin( 2nf 0 t )dt Re (C n ) j Im(C n )
而
T0 / 2
T0 / 2
s(t ) sin( 2nf0 t )dt 0 ，所以 Cn为实函数。
随机信号定义：是指其取值不确定、且不能事先确切预知
的信号。这种信号在任何时间的取值自然也是不可能用一个数学公
式准确计算出来的。然而，在一个长时间内观察，这种信号有一定的 统计规律，可以找到它的统计特性。通常，把这种信号看作是一个随 机过程。
2018/10/8
第2页
2.1 确知信号的类型
二、周期信号和非周期信号
Cn 1 T0 1 j 2nf 0 t s ( t ) e dt T0 / 2 T0
T0 / 2
j 2nf 0 t * s ( t ) e dt Cn T0 / 2
T0 / 2
( 2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即： Cn的相位奇对称
2 2 bn (2) 实信号 s(t) 的各次谐波的振幅等于 an
第二章信号分析基础-67页精选文档
b)非确定性信号 非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可
预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。例如，汽车奔驰时所产 生的振动；飞机在大气流中的浮动；树叶随风飘荡；环境噪声等。
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
然而，须要指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无 理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。
2.1.2 能量信号与功率信号 a)能量信号
在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号， 满足条件：
关于信号的能量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压在已知区间（t1；，t2 ）内消耗在电阻上的能量
对于电流，能量
在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分．讨论消耗 在IQ电阻上的能量往往是很方便的，因为当R—IQ时，上述两式具有相 同形式，采用这种规定时，就称方程
离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的．只是在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，而在其他时间没有定义的信号。
离散时间信号
2.1.5 物理可实现信号
物理可实现信号又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t) = 0， 即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。
在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反 映了物理上的因果律．实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉 冲作用于一个物理系统之后所输出的信号．例如，切削过程，可以把机 床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点 或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系 统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。
对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率 信号具有无限大能量．
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1
2
(t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
1 若对于所有的 , 都有R12 ( ) 0, 则称f1 (t )和f 2 (t )不相关. 2 若对于所有的 , 都有R12 ( ) 1, 则称f1 (t )和f 2 (t )完全相关. 3 互相关函数R12 ( )满足 : R12 ( ) R21 ( ).
f (t )e jt dt
/ 2 / 2
jt Ae dt
sin( / 2) A ASa / 2 2 F ( j )的零点满足如下关系: 从而得 : 2k
2
k , k 1,2,
第2章 确知信号与随机信号分析基础
本章包括信号分析、概率论与随机过程三个方面的 内容。这些内容已在《信号与系统》、《高等数学》中 学过，本章对其中的部分内容作一个复习和总结，只给 出结论，并尽量通俗地理解其中的物理意义及背景，不
作证明。此外，还有一些内容将在具体的章节中进行复
习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。
(n=1,2)
T0 2 T 0 2
(n=1,2)
3
2、指数形式 利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的 付氏级数展开式变换成指数形式的级数展开式。周 期信号频谱Fn的特点是离散谱，如下图所示。
n jn 0 t f ( t ) F e n n T0 / 2 jn 0 t F 1 f (t )e dt n T 0 T0 / 2
a0 f (t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
2 其中：a0 T0
T0 2 T 0 2 T0 2 T 0 2
f (t )dt f (t ) cos n0tdt f (t )sin n0tdt
2 an T0 2 bn T0
(1)
F ( j )
1
0
t
0
6
2 直流信号f (t ) A 1 2 ( ) A 2A ( )
f (t )
F ( j ) (2A)
A
0
t
0
物理意义 : 直流信号对应频域中的 0频率分量, 带宽为0 对于随时间变化很慢的信号, 它的频带宽度(带宽)很窄
7
3. 矩形脉冲的付里叶变换 F ( j )
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
17
三、能量信号与功率信号 设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
1、能量信号
若E lim f (t )dt
2 T T 2
T 2
27
（二）自相关函数的性质
1 R(0)的性质(可直接从定义获得) : 1 2 对于功率信号, R(0) lim f (t )dt S T T T / 2
T /2
对于能量信号, R(0)
f 2 (t )dt E
2 若对于所有的 , 都有R(0) R( ). 3 R( )是偶函数, 满足 : R( ) R( ).
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周
期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住。
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函数 (t ) E (t ) E 或 (t ) 1 物理意义 : 变化快的信号如很窄的脉冲等, 可近似用 数学模型 (t )来表示, 上式说明这类随时间变化很快 的信号的频谱很宽. (t )
因为其能量必为无穷大，为什么？ （2）对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能 量信号。如果其能量为有限值，则为能量信号， 如果其能量为无穷大，功率为有限值，则为功率
信号。一个信号或为能量信号，或为功率信号。
20
§4 Parseval定理（即能量守恒定理）
物理意义：能量守恒，时域能量等于频域能量， 即能量守恒不会变换后会发生改变。 一、对于能量信号f(t)，其频谱为F(jω)，则有
1 则 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( j ) F2 ( j )] 2 此定理的物理意义是: 时域相乘对应频域卷积ຫໍສະໝຸດ 16§3 信号的分类与特点
一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。 随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确 定，只知其取某一数值的概率。 二、周期信号与非周期信号
E f (t )
2
dt
F ( j 2f )
2
df
1 2
F ( j ) d
2
二、对于周期信号f(t)，则有
f (t ) 1 S T0 Fn e n
T0 / 2 jn 0 t
Fn
0
f0
2 f0 3 f0 4 f0
f
4
二、非周期信号的付氏变换形式
1 j t F ( j )e d (逆变换) f (t ) 2 (1) F ( j ) f (t )e jt dt ( 正变换 ) (2) f (t ) F ( j ) 付里叶变换对
T
23
P ( ) lim
FT ( )
2
f (t )
t
fT (t )
f T (t ) FT ( )
t
T /2 T /2
24
§6 互相关函数与自相关函数 一、互相关函数的定义：
设有两个信号 f1 (t )和f 2 (t ), 则互相关函数 R12 ( )定义为
1、若为周期功率信号，设周期为T0，则
, k 1,2,
注意到信号的大部分能量集中在第一个主瓣内 , 2k 1 因此, 得此信号的带宽为 f
结论 : 矩形脉冲信号的带宽f与信号的宽度成反比
8
A
f (t )
/ 2 0
/2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算 0 1
T
0
1
1
0
1 f T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
4. 正弦信号的付里叶变换 1 j0t j0 t cos0t e e [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 j0t sin0t e e j0t j [ ( 0 ) ( 0 )] 2j
0
0
15
六、时域卷积
若 则 f1 (t ) F1 ( j ), f 2 (t ) F2 ( j )
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
此定理的物理意义是: 时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1 (t ) F1 ( j ), f 2 (t ) F2 ( j )
28
§7 自相关函数与功率谱和能量谱之间的关系
1 对于能量信号 : R( ) G ( ) 即能量信号的自相关函数R( )与能量谱G ( )是一对付氏变换 2 对于功率信号: R( ) P( ) 即功率信号的自相关函数R( )与功率谱P( )是一对付氏变换
F ( j )
cos( 0 t )
( )
( ) 0
0
0
F ( j ) ( )
sin( 0 t )
( ) 0 0
0
11
§2 付氏变换的性质
一、线性叠加性质
若 f1 (t ) F1 ( j ) f 2 (t ) F2 ( j ) 则 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
其物理意义是, 时间域中的时移, 在频域中反映在 原频谱函数F ( j )的基础上附加一个相移函数e jt 0
四、频移特性
若
f (t ) F ( j ) 则
f (t )e
j0t
F[ j ( 0 )]
其物理意义是,时间域中的相移 , 对应频谱函数在频域中 的频移
14
五、调制定理
若f (t ) F ( j ) 1 1 则f (t ) cos0 t F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2 j j f (t ) sin0 t F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2
F ( )
0
显然, 能量谱密度G ( )与连续频谱F ( j )的关系为 G ( ) F ( j )
2 2
还可证明, 功率谱密度P ( )与离散频谱Fn 的关系为 P ( ) 2
n
F
2
n
( n 0 )
上式实际上是给出了周期信号(与离散谱Fn 相联系)功率谱 密度P ( )与周期信号频谱Fn 之间的关系, 下进一步给出非 周期信号功率谱密度P ( )与非周期信号频谱之间的关系 : T 上式中的FT ( )为f T (t )的频谱, 如后一页的图所示 .
f
2
(t )dt
则称f (t )为能量信号
18
2、功率信号
若E
f
2
(t )dt
T 2
1 但S lim T T
T f
2
2
(t )dt
则称f (t )为功率信号.
19
2
(t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
1 若对于所有的 , 都有R12 ( ) 0, 则称f1 (t )和f 2 (t )不相关. 2 若对于所有的 , 都有R12 ( ) 1, 则称f1 (t )和f 2 (t )完全相关. 3 互相关函数R12 ( )满足 : R12 ( ) R21 ( ).
f (t )e jt dt
/ 2 / 2
jt Ae dt
sin( / 2) A ASa / 2 2 F ( j )的零点满足如下关系: 从而得 : 2k
2
k , k 1,2,
第2章 确知信号与随机信号分析基础
本章包括信号分析、概率论与随机过程三个方面的 内容。这些内容已在《信号与系统》、《高等数学》中 学过，本章对其中的部分内容作一个复习和总结，只给 出结论，并尽量通俗地理解其中的物理意义及背景，不
作证明。此外，还有一些内容将在具体的章节中进行复
习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的 必备的数学知识，要求大家掌握。
(n=1,2)
T0 2 T 0 2
(n=1,2)
3
2、指数形式 利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的 付氏级数展开式变换成指数形式的级数展开式。周 期信号频谱Fn的特点是离散谱，如下图所示。
n jn 0 t f ( t ) F e n n T0 / 2 jn 0 t F 1 f (t )e dt n T 0 T0 / 2
a0 f (t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
2 其中：a0 T0
T0 2 T 0 2 T0 2 T 0 2
f (t )dt f (t ) cos n0tdt f (t )sin n0tdt
2 an T0 2 bn T0
(1)
F ( j )
1
0
t
0
6
2 直流信号f (t ) A 1 2 ( ) A 2A ( )
f (t )
F ( j ) (2A)
A
0
t
0
物理意义 : 直流信号对应频域中的 0频率分量, 带宽为0 对于随时间变化很慢的信号, 它的频带宽度(带宽)很窄
7
3. 矩形脉冲的付里叶变换 F ( j )
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期， 不满足上述关系的信号称为非周期信号。
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三、能量信号与功率信号 设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电 阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
1、能量信号
若E lim f (t )dt
2 T T 2
T 2
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（二）自相关函数的性质
1 R(0)的性质(可直接从定义获得) : 1 2 对于功率信号, R(0) lim f (t )dt S T T T / 2
T /2
对于能量信号, R(0)
f 2 (t )dt E
2 若对于所有的 , 都有R(0) R( ). 3 R( )是偶函数, 满足 : R( ) R( ).
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周
期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住。
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三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函数 (t ) E (t ) E 或 (t ) 1 物理意义 : 变化快的信号如很窄的脉冲等, 可近似用 数学模型 (t )来表示, 上式说明这类随时间变化很快 的信号的频谱很宽. (t )
因为其能量必为无穷大，为什么？ （2）对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能 量信号。如果其能量为有限值，则为能量信号， 如果其能量为无穷大，功率为有限值，则为功率
信号。一个信号或为能量信号，或为功率信号。
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§4 Parseval定理（即能量守恒定理）
物理意义：能量守恒，时域能量等于频域能量， 即能量守恒不会变换后会发生改变。 一、对于能量信号f(t)，其频谱为F(jω)，则有
1 则 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( j ) F2 ( j )] 2 此定理的物理意义是: 时域相乘对应频域卷积ຫໍສະໝຸດ 16§3 信号的分类与特点
一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。 随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确 定，只知其取某一数值的概率。 二、周期信号与非周期信号
E f (t )
2
dt
F ( j 2f )
2
df
1 2
F ( j ) d
2
二、对于周期信号f(t)，则有
f (t ) 1 S T0 Fn e n
T0 / 2 jn 0 t
Fn
0
f0
2 f0 3 f0 4 f0
f
4
二、非周期信号的付氏变换形式
1 j t F ( j )e d (逆变换) f (t ) 2 (1) F ( j ) f (t )e jt dt ( 正变换 ) (2) f (t ) F ( j ) 付里叶变换对
T
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P ( ) lim
FT ( )
2
f (t )
t
fT (t )
f T (t ) FT ( )
t
T /2 T /2
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§6 互相关函数与自相关函数 一、互相关函数的定义：
设有两个信号 f1 (t )和f 2 (t ), 则互相关函数 R12 ( )定义为
1、若为周期功率信号，设周期为T0，则
, k 1,2,
注意到信号的大部分能量集中在第一个主瓣内 , 2k 1 因此, 得此信号的带宽为 f
结论 : 矩形脉冲信号的带宽f与信号的宽度成反比
8
A
f (t )
/ 2 0
/2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算 0 1
T
0
1
1
0
1 f T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
4. 正弦信号的付里叶变换 1 j0t j0 t cos0t e e [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 j0t sin0t e e j0t j [ ( 0 ) ( 0 )] 2j
0
0
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六、时域卷积
若 则 f1 (t ) F1 ( j ), f 2 (t ) F2 ( j )
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
此定理的物理意义是: 时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1 (t ) F1 ( j ), f 2 (t ) F2 ( j )
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§7 自相关函数与功率谱和能量谱之间的关系
1 对于能量信号 : R( ) G ( ) 即能量信号的自相关函数R( )与能量谱G ( )是一对付氏变换 2 对于功率信号: R( ) P( ) 即功率信号的自相关函数R( )与功率谱P( )是一对付氏变换
F ( j )
cos( 0 t )
( )
( ) 0
0
0
F ( j ) ( )
sin( 0 t )
( ) 0 0
0
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§2 付氏变换的性质
一、线性叠加性质
若 f1 (t ) F1 ( j ) f 2 (t ) F2 ( j ) 则 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
其物理意义是, 时间域中的时移, 在频域中反映在 原频谱函数F ( j )的基础上附加一个相移函数e jt 0
四、频移特性
若
f (t ) F ( j ) 则
f (t )e
j0t
F[ j ( 0 )]
其物理意义是,时间域中的相移 , 对应频谱函数在频域中 的频移
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五、调制定理
若f (t ) F ( j ) 1 1 则f (t ) cos0 t F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2 j j f (t ) sin0 t F [ j ( 0 )] F [ j ( 0 )] 2 2
F ( )
0
显然, 能量谱密度G ( )与连续频谱F ( j )的关系为 G ( ) F ( j )
2 2
还可证明, 功率谱密度P ( )与离散频谱Fn 的关系为 P ( ) 2
n
F
2
n
( n 0 )
上式实际上是给出了周期信号(与离散谱Fn 相联系)功率谱 密度P ( )与周期信号频谱Fn 之间的关系, 下进一步给出非 周期信号功率谱密度P ( )与非周期信号频谱之间的关系 : T 上式中的FT ( )为f T (t )的频谱, 如后一页的图所示 .
f
2
(t )dt
则称f (t )为能量信号
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2、功率信号
若E
f
2
(t )dt
T 2
1 但S lim T T
T f
2
2
(t )dt
则称f (t )为功率信号.
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