随机信号分析基础作业题
第一章
1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？
解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4
P D =
E －迟到，由已知可得
(|)0.25
(|)0.4
(|)0.1(|)0
P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式：
()(|)()0.075
(|)0.455()()0.165(|)()0.08
(|)0.485
()0.165
(|)()0.01
(|)0.06
()0.165(|)()
(|)0
()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?=
===?===?===?==
综上：坐轮船
3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2
2
22,0
()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=??
式中，常
数0X σ>，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？
22
222
2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx
D X
E X m X m f x dx
D X
E X E X E X x f x dx
∞
-∞
∞
-∞∞
-∞
=?=-=-=-?=????
6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0.5XY EX EY D X D Y ρ=====，令
3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。
考察随机变量函数的数字特征
思路： 协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-? 相关系数：
22()()()
()()()2(,)
XY E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abCov X Y ρ=
+=++=++
()6
()5()76()52(,)40E U E V D U D V Cov U V ==-===-
11、设随机变量X 的均值为3，方差为2。令新的随机变量622Y X =-+，问：随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？ 考察正交、不相关的概念
()0
E XY =??≠? 0正交，非0不正交
XY ρ=??
≠? 0不相关，非0相关 ()0E XY = 正交 (,)0Cov X Y ≠ 相关
以上四题都是概率论的标准题。
第二章
1、已知随机信号0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布，求
00
20,
,33t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度函数。 解：
0022
00[()][cos ]cos []
()[()][cos ]cos []
x X
m E X t E A t t E A t D X t D A t t D A ωωσωω===?===?
A Q 服从标准高斯分布
022200[]0,[]1[]cos 0
()[]cos cos x X E A D A m E A t t D A t t
ωσωω∴==∴=?==?=
∴
一维高斯概率密度函数2
2220[()]2cos 2()
(,)x X x m t x t
t x f x t ωσ--
-
=
=
①当0t =
时，2
2
(;0)x x f x -=
②当03t πω=
时，2
20(;)3x x f x πω-= ③当023t πω=
时，2
202(;)3x x f x πω-=
3、随机变量X 与Y 相互统计独立，并且服从2
(0,)N σ分布。它们构成随机信号()X t XYt =，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数(;)x f x t ；
(2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解：（1）,X Y Q 服从2
(0,)N σ分布 且()X t X Yt =+
()X t ∴也服从正态分布
[()][][][]0[()][]
E X t E X Yt E X tE Y D X t D X Yt ∴=+=+==+
,X Y Q 相互统计独立
()
2
22
222
21[()][][][](1)(;)x t x D X t D X Yt D X t D Y t f x t σρ-
+∴=+=+=+∴=
（2）t 时刻，随机变量是高斯分布
2
2
[()]0[()](1)E X t D X t t σ
==+
∴其均值为0，方差为22
(1)t σ+
4、假定随机正弦幅度信号0()cos()X t A t ωθ=+，其中频率0ω和相位θ为常数，幅度A 是一个服从[]0,1均匀分布的随机变量，试求t 时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。
解：t 时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为[()]D X t
0[()][cos()]D X t D A t ωθ=?+ Q 频率0ω和相位θ为常数
200[cos()]cos ()[]D A t t D A ωθωθ∴?+=+?
A 服从[0,1]均匀分布
1,01
()0,A a f a other <
?
2
1
1
2
2
2
201
[][][][]12
1[]12
1
[()]cos ()12
D A
E A E A a da a da D A D X t t ωθ∴=-=-?=
∴=
∴=
+??
5、已知随机信号()X t 的均值为()X m t ，协方差函数为12(,)X C t t ，又知道()f t 是确定的时间函数。试求随机信号()()()Y t X t f t =+的均值以及协方差。
解：[()][()()][()][()]E Y t E X t f t E X t E f t =+=+
()f t Q 是确定信号
12121211221212121211221212[()]()()
(,)[()()][()][()][()()][()()][()()()()()()()()][()()][()()][()()]()[()](X X E Y t m t f t C t t E Y t Y t E Y t E Y t E X t f t E X t f t E X t X t X t f t f t X t f t f t E X t f t E X t f t E X t X t f t E X t f t ∴=+=?-?=+?+=+++-+?+=++211212************)[()]()()[()][()]()[()]()[()]()()[()()][()][()](,)
X E X t f t f t E X t E X t f t E X t f t E X t f t f t E X t X t E X t E X t C t t +-?---=-= ()Y t ∴的均值为()()X m t f t +
其协方差为：12(,)X C t t
9、设接收机中频放大器的输出随机信号为()()()X t s t N t =+，其中()N t 是均值为零，方差为2
σ的高斯噪声随机信号，而00()cos()s t t ωθ=+为确知信号，求随机信号()X t 在任
意时刻1t 的一维概率密度函数。
解：
()()()()()()
X t S t N t N t X t S t =+=-Q Q
00()cos()S t t ωθ=+Q 是确知信号
[()][()()]()[()]E X t E S t N t S t E N t ∴=+=+
()N t Q 服从均值为0，方差为2
n
σ的高斯分布
2
002
002
[cos()]2[()]0
[()]()cos()
[()][()()][()](,)n
n x t X E X t E X t S t t D X t D S t N t D N t f x t ωθσωθσ-+-
∴=∴==+=+==∴=
第三章
3、设()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号
()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
证：()X t Q 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号
∴
1212212
2
22[()](,)[()()](),||[()][()]X
X X X
X E X t m R t t E X t X t R t t E X t D X t ττ?σ====-==
同理
1212212
2
22
[()](,)[()()](),||[()][()]Y
Y Y Y
Y E Y t m R t t E Y t Y t R t t E Y t D Y t ττ?σ====-==
1212112212121212121221()()()
[()][()()][()][()](,)[()()][()()()()][()()()()][()()][()()](,)(,)()(),||
[X Y Z X Y X Y Z t X t Y t E Z t E X t Y t E X t E Y t m m R t t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X t E Y t Y t R t t R t t R R t t E Z τττ===?=?==?=?=?=?=?=-2222222
222222()][()()][()][()][()][()()][()][()]X Y X Y X Y
t E X t Y t E X t E Y t D Z t D X t Y t E Z t E Z t m m ????=?=?=?<∞=?=-=?-?
由平稳条件可知
()()()Z t X t Y t =也是平稳的随机信号
8、设随机信号00()()cos ()sin Z t X t t Y t t ωω=-，其中0ω为常数，()X t 、()Y t 为平稳信号。试求：
(1)()Z t 的自相关函数(,)Z R t t τ+；
(2)若()()X Y R R ττ=，()0XY R τ=，求(,)Z R t t τ+。
解： (1)()X t Q ，()Y t 是平稳的随机信号
000000000000(,)[()()]
[(()cos ()sin )(()cos ()()sin ())][()()cos cos ()()()cos sin ()()()sin cos ()()()sin ()sin ]c Z R t t E Z t Z t E X t t Y t t X t t Y t t E X t X t t t X t Y t t t X t Y t t t Y t Y t t t ττωωτωττωττωωττωωττωωττωτω+=?+=-?++-++=++-++-+++++=00000000os cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin ()sin ()
X XY YX Y t t R t t R t t R t tR ωωττωωττωωττωτωτ+-+-+++(2)
000000000()(),()0()()()()()()()()(,)0
(,)cos cos ()()sin sin ()()()[cos cos ()sin sin ()]()cos X Y XY YX z X Y X X R R R X t Y t Y t Y t X t Y t Y t X t R t R t t t R t t R R t t t t R τττττττττττωωττωωτττωωτωωττωτ
==∴?+=?+∴?+=?+∴+=∴+=+++=+++=Q
11、已知随机信号()sin cos X t A t B t =+，式中，A 与B 为彼此独立的零均值随机变量。求证X(t)是均值各态历经的，而X 2(t)无均值各态历经性。 证：
()sin cos [()][sin cos ]sin []cos []01()sin cos lim
(sin cos )22sin sin lim lim 02[()]()0T
T
T T T X t A t B t
E X t E A t B t t E A t E B X t A t B t A t B t dt
T B t B t T T E X t X t -→∞→∞→∞=+=+=?+?==+=+??===∴==?
()X t ∴是均值各态历经的
2222222222222
2
22222222
[()][sin cos 2sin cos ]sin []cos []2[]sin cos sin cos 1()lim (sin cos 2sin cos )21lim [sin cos sin 22A B
T T
T T T T T
T T T E X t E A t B t AB t t tE A tE B E AB t t
t t X t A t B t AB t t dt T A tdt B tdt AB tdt T σσ-→∞---→∞=++?=++?=+=++?=++????Q 22222
22
2222222
]
1cos 2sin sin 2111[sin 2][sin 2]2421cos 2cos cos 2111[sin 2][sin 2]2421sin 2sin 2[cos 2]02
T T T T T T T T
T T T T T T T T
T T T T T T
t A tdt A tdt A dt
A t t A T T t
B tdt B tdt B dt B t t B T T AB tdt AB tdt AB t ------------===+=++===+=+==-=????????2222222222222111
()lim [[sin 2][sin 2]]
222
1sin 21
()lim()()
242
1()sin cos 2
T T A B
X t A T T B T T T T A B A B T A B t t σσ→∞→∞∴=+++=+?+=++≠+Q 2()X t ∴无均值各态历经性
第四章
4、若调幅信号波形为0()[()]cos Y t a X t t ω=+，其中a ，0ω为常量，()X t 为具有功率谱密度()X P ω的低频随机信号，求已知波形()Y t 的功率谱密度。 解：0012()cos ()cos ()()Y t a t X t t Y t Y t ωω=+=+
其中1()Y t 为确知信号，2()Y t 为随机信号 分布求1()Y P ω、2()Y P
ω 利用4-10
1120002
001()cos cos ()cos 2()()
()[()()]2
Y Y R a t a t dt a R P a P π
π
τωωτωτπτωωπσωωσωω-=?+===
++-?Q ()X t Q 的功率谱密度为()X P ω
利用傅里叶变换的性质
120001
()cos [()()]
2
()()()
X X Y Y Y X t t P P P P P ωωωωωωωω?++-∴=+
6、已知随机信号00()()cos ()sin Z t X t t Y t t ωω=+，式中()X t ，()Y t 联合平稳，0ω为常数。
(1)讨论()X t ，()Y t 的均值和自相关函数在什么条件下，才能使随机信号()Z t Z(t)宽平稳；
(2)利用（1）的结论，用功率谱密度()X P ω，()Y P ω，()XY P ω表示()Z t 的功率谱密度
()Z P ω;
(3)若()X t ，()Y t 互不相关，求()Z t 的功率谱密度()Z P ω。 解:无答案
9、随机信号()X t 和()Y t 是统计独立的平稳信号，均值分别为X m 和Y m ，协方差函数分别为||
()X C e
αττ-=和||
()Y C e
βττ-=。求()()()Z t X t Y t =的自相关函数与功率谱密度。
思路：先求()Z R τ，()()Z Z R P τω?
()[()()][()()()()]
[()()][()()]
()()
Z X Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττττττττ=+=++=++=?
又
2||
2()[()()][()][()]()()X X X X X
C E X t X t E X t E X t R C m e
m
αττττττ-=+-+∴=+=+Q
同理||
2()Y Y R e m βττ-=+
||2
||2()||
2
||
2||
22()()()
Z X Y X
Y X X
R e m e m e
m e
m e
m m
ατβταβτβταττ---+--∴=++=+++
又()()Z Z R P τω?Q
P149 2222
222222
2()22()2()()Z X Y X Y P m m m m αββαωπσωαβωβωαω
+=
+++++++
第五章
5、若功率谱密度为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲激响应为2()()t
h t e u t -=的线性系统上，
求系统输出的均方值和功率谱密度。 解：思路：先求()Y P ω，再求2
[()]E X t
单边指数脉冲 21
()2t
e u t jw
-?
+
2
0221
()()|()|4[()](0)
Y X Y P P H N E Y t R ωωωω==?
+=Q
利用 ()()Y Y R t P ω?
可得2||
0()4
t Y N R t e -=
? 0
(0)4
Y N R =
9、一个均值为X m ，自相关函数为()X R τ的平稳随机信号()X t 通过一个线性系统后的输出信号为()()()Y t X t X t T =+-，T 为延迟时间。 (1)试画出该线性系统的框图；
(2)试求()Y t 的自相关函数和功率谱密度。 解：（1）
（2）()()()Y t X t X t T =+-
()()()h t τστστ=+- ①
()()()()Y X R R h h ττττ=**- ② 5-18 P110
将①代入②中，可得
()2()()()Y X X X R R R T R T ττττ=+++-
又()()Y Y R P τω?Q
()2()()()2()2()cos jwt
jwt Y X X X X X P P P e
P e P P w ωωωωωωτ
-∴=++=+
10、一个中心频率为c ω、带宽为B 的理想带通滤波器如下图所示。假定输入是均值为零、功率谱密度为0/2N 的高斯白噪声，试求：
(1)滤波器输出噪声的自相关函数； (2)滤波器输出噪声的平均功率； (3)输出噪声的一维概率密度函数。
解：先求()Y P ω，再求()Y R τ
(1)0
00,||()20,
H H
Y
N P other ωωωωωω?-≤≤+?=??? → 00()()cos H
Y H w R N Sa w w τττπ
=?
(2)0
0(0)H
Y w R N N B π
==
(3)Y 为高斯随机过程
202
00
(0))
2Y Y Y Y m R N B
t f N B σ===∴=-
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随机信号分析习题
随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 青海建筑职业技术学院 《电路分析基础》课程标准 适用专业：通信技术、电子信息工程技术（普大） 编写单位：信息技术系通信、电子教研室 编写人：蒋雯雯 审批：李明燕 编写日期：2007 年07月 修订日期：2011年03月 《电路分析基础》课程标准 学时数：120学时 适应专业：通信技术、电子信息工程技术（普大） 一、课程的性质、目的和任务 《电路分析基础》课程是我院普大“通信技术”和“电子信息工程技术”专业重要的技术基础课，它既是通信电子类专业课程体系中高等数学、物理学等科学基础课的后续课程，又是后续课程（如模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统和电子测量仪器等）的基础，在整个人才培养方案和课程体系中起着承前启后的重要作用。 本课程理论严密、逻辑性强，有广阔的工程背景，是通信、电子类学生知识结构的重要组成部分。本课程系统地阐述了电路的基本概念、基本定律和基本的分析方法，是进一步学习其他专业课程必不可少的前期基础课程。本课程的任务是使学生掌握通信、电子类技术人员必须具备的电路基础理论、基本分析方法，掌握各种常用电工仪器、仪表的使用和简单的电工测量方法，为后续专业课的学习和今后踏入社会后的工程实际应用奠定基础。 二、课程教学目标和基本教学要求 教学目标：通过本课程的学习，逐步培养学生严肃、认真的科学作风和理论联系实际的工程观点，培养学生的科学思维能力、分析计算能力、实验研究能力和科学归纳能力。 1．知识目标： 简单直流电路分析、一阶电路的暂态分析、交流电路的分析与应用。 2．职业技能目标： 电路元器件的识别、测量能力；基本工具的使用能力；基本仪器的使用能力；电路图识图能力，并能在电工操作台上正确连接电路；能够对实际直流电路进行正确的操作、测量；直流电路的分析、计算及初步设计；能够对实际交流电路进行正确的操作、测量；交流电路的分析、计算及初步设计；动态电路的分析、计算及初步设计；安全用电能力。 3．职业素质养成目标 耐心细致的职业习惯的养成；规范操作习惯的养成；信息获取能力；团结协作精神的养成。 教学要求：本课程应适应电路内容的知识更新和课程体系改革的需要，着重介绍经典的电路分析方法，力求做到以应用为目的，以必需、够用为度，讲清概念，结合实际、强化训练，突出适应性、实用性和针对性；重点讲清基本概念和经典的电路分析方法，在例题和习题的选取上，适当淡化手工计算的技巧，并根据该课程具有较强的实践性的特点，在每章中引入计算机辅助分析与仿真测量，同时加入16个（包括5个选做）电路的实践操作实验，以达到理论与实践的结合和“教、学、做”的统一。 三、课程的教学目的、内容、重点和难点 第一章电路的基本概念与定律 教学目的： 1.了解实际电路、理想电路元件和电路模型的概念。 2.理解电路中的基本物理量－电流、电压和电功率的基本概念。 3.掌握电路的基本定律－欧姆定律、基尔霍夫定律。 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 《电路分析基础》知识归纳 一、基本概念 1.电路：若干电气设备或器件按照一定方式组合起来，构成电流的通路。 2.电路功能：一是实现电能的传输、分配和转换；二是实现信号的传递与处理。 3.集总参数电路近似实际电路需满足的条件：实际电路的几何尺寸l（长度）远小于电路 。 正常工作频率所对应的电磁波的波长λ，即l 4.电流的方向：正电荷运动的方向。 5.关联参考方向：电流的参考方向与电压降的参考方向一致。 6.支路：由一个电路元件或多个电路元件串联构成电路的一个分支。 7.节点：电路中三条或三条以上支路连接点。 8.回路：电路中由若干支路构成的任一闭合路径。 9.网孔：对于平面电路而言，其内部不包含支路的回路。 10.拓扑约束：电路中所有连接在同一节点的各支路电流之间要受到基尔霍夫电流定律的约 束，任一回路的各支路（元件）电压之间要受到基尔霍夫电压定律约束，这种约束关系与电路元件的特性无关，只取决于元件的互联方式。 U（直流电压源）或是一定的时间11.理想电压源：是一个二端元件，其端电压为一恒定值 S u t，与流过它的电流（端电流）无关。 函数() S 12.理想电流源是一个二端元件，其输出电流为一恒定值 I（直流电流源）或是一定的时间 S i t，与端电压无关。 函数() S 13.激励：以电压或电流形式向电路输入的能量或信号称为激励信号，简称为激励。 14.响应：经过电路传输处理后的输出信号叫做响应信号，简称响应。 15.受控源：在电子电路中，电源的电压或电流不由其自身决定，而是受到同一电路中其它 支路的电压或电流的控制。 16.受控源的四种类型：电压控制电压源、电压控制电流源、电流控制电压源、电流控制电 流源。 17.电位：单位正电荷处在一定位置上所具有的电场能量之值。在电力工程中，通常选大地 为参考点，认为大地的电位为零。电路中某点的电位就是该点对参考点的电压。 18.单口电路：对外只有两个端钮的电路，进出这两个端钮的电流为同一电流。 19.单口电路等效：如果一个单口电路N1和另一个单口电路N2端口的伏安关系完全相同， 则这两个单口电路对端口以外的电路而言是等效的，可进行互换。 20.无源单口电路：如果一个单口电路只含有电阻，或只含受控源或电阻，则为不含独立源 单口电路。就其单口特性而言，无源单口电路可等效为一个电阻。 21.支路电流法：以电路中各支路电流为未知量，根据元件的VAR和KCL、KVL约束关系， 列写独立的KCL方程和独立的KVL方程，解出各支路电流，如果有必要，则进一步计算其他待求量。 22.节点分析法：以节点电压（各独立节点对参考节点的电压降）为变量，对每个独立节点 列写KCL方程，然后根据欧姆定律，将各支路电流用节点电压表示，联立求解方程，求得各节点电压。解出节点电压后，就可以进一步求得其他待求电压、电流、功率。23.回路分析法：以回路电流（各网孔电流）为变量，对每个网孔列写KVL方程，然后根据 《电路分析基础》第一章~第四章练习题 一、基本概念和基本定律 1、将电器设备和电器元件根据功能要求按一定方式连接起来而构成的集合体称为。 2、仅具有某一种确定的电磁性能的元件，称为。 3、由理想电路元件按一定方式相互连接而构成的电路，称为。 4、电路分析的对象是。 5、仅能够表现为一种物理现象且能够精确定义的元件，称为。 6、集总假设条件：电路的??电路工作时的电磁波的波长。 7、电路变量是的一组变量。 8、基本电路变量有四个。 9、电流的实际方向规定为运动的方向。 10、引入后，电流有正、负之分。 11、电场中a、b两点的称为a、b两点之间的电压。 12、关联参考方向是指：。 13、电场力在单位时间内所做的功称为电功率，即。 p=，当0?p时，说明电路元件实际 14、若电压u与电流i为关联参考方向，则电路元件的功率为ui 是；当0?p时，说明电路元件实际是。 15、规定的方向为功率的方向。 16、电流、电压的参考方向可。 17、功率的参考方向也可以。 18、流过同一电流的路径称为。 19、支路两端的电压称为。 20、流过支路电流称为。 21、三条或三条以上支路的连接点称为。 22、电路中的任何一闭合路径称为。 23、内部不再含有其它回路或支路的回路称为。 24、习惯上称元件较多的电路为。 25、只取决于电路的连接方式。 26、只取决于电路元件本身电流与电压的关系。 27、电路中的两类约束是指和。 28、KCL指出：对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流进）该节点的所有支路电 流的为零。 29、KCL只与有关，而与元件的性质无关。 30、KVL指出：对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的代 数和为零。 31、求电路中两点之间的电压与无关。 32、由欧姆定律定义的电阻元件，称为电阻元件。 33、线性电阻元件的伏安特性曲线是通过坐标的一条直线。 34、电阻元件也可以另一个参数来表征。 35、电阻元件可分为和两类。 36、在电压和电流取关联参考方向时，电阻的功率为。 37、产生电能或储存电能的设备称为。 38、理想电压源的输出电压为恒定值，而输出电流的大小则由决定。 39、理想电流源的输出电流为恒定值，而两端的电压则由决定。 40、实际电压源等效为理想电压源与一个电阻的。 41、实际电流源等效为理想电流源与一个电阻的。 42、串联电阻电路可起作用。 43、并联电阻电路可起作用。 44、受控源是一种双口元件，它含有两条支路：一条是支路，另一条为支路。 45、受控源不能独立存在，若为零，则受控量也为零。 46、若某网络有b条支路，n个节点，则可以列个KCL方程、个KVL方程。 47、由线性元件及独立电源组成的电路称为。 48、叠加定理只适用于电路。 49、独立电路变量具有和两个特性。 50、网孔电流是在网孔中流动的电流。 51、以网孔电流为待求变量，对各网孔列写KVL方程的方法，称为。 52、网孔方程本质上回路的方程。 53、列写节点方程时，独立方程的个数等于的个数。 54、对外只有两个端纽的网络称为。 55、单口网络的描述方法有电路模型、和三种。 56、求单口网络VAR关系的方法有外接元件法、和。 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征 电路分析基础概念题集锦 2015年7月 制作者：张雪艳 序号 页码 电路分析基础概念 1 46 （1）设任意电路的节点数为n ，则独立的KCL 方程为（n-1）个，且为任意的（n-1）个。 （2）给定一平面电路： （a ）该电路有[b-(n-1)]个网孔； （b ）[b-(n-1)]个网孔的KVL 方程是独立的。 （注：把KVL 运用到每一网孔，从而得到独立的KVL 方程，这只是一种方法而已，而且这一方法只能用于平面电路，还有可以获得KVL 独立方程的其他方法，但不论用什么方法，独立的KVL 方程的数目总是[b-(n-1)]个。 能提供独立的KCL 方程的节点，称为独立节点；能提供独立的KVL 方程的回路称为独立回路。） 2 122 等效的定义：如果一个单口网络N 和另一个单口网络N ’的电压、电流关系完全相同，亦即它们在u-i 平面上的伏安特性曲线完全重叠，则这两单口网络便是等效的。 3 126 一个含受控源及电阻的有源单口网络和一个只含电阻的单口网络一样，可以等效为一个电阻。这是一般规律，是可以证明的。在含受控源时，等效电阻可能为负值。（可能为0，也可能无穷大。） 4 149 1.接在复杂网络中的T 型或Ⅱ型网络部分的等效互换： 5 169 ()()+-=t u t u c c “电容电压不能跃变” 前提：当电容电流为无界时就不能运用。 6 169 某一时刻的电容电压取决于在此之前电流的全部历史，因此，可以说电容电压有“记忆”电流的性质，电容是一种记忆元件。 7 163 电容的VCR ：()dt du C dt dCu t i == （注：这一公式在u 和i 参考方向一致的前提下才能使用。） 在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。电容有隔直流的作用。 8 175 电感的VCR ：dt di L dt dLi u == （注：此式必须在电流、电压参考方向一致时才能使用。） 在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。电感对直流起着短路的作用。 9 164 电阻两端只要有电压（不论是否变化），电阻中就一定有电流。 10 192 当电路到达稳态（直流稳态）时，电容相当于开路，而电感相当于短路。 11 204 ()()0)(1c c u t u t u += 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 1实际电路：实际电路是各个器件按照一定的方式相互连接而构成电流的通路。以实现电能或电信号的产生、传输、转换、控制和处理等。 模型：是对实体的特征和变化规律的一种表示或者抽象。 理想电路元件：理想电路元件是用数学关系式严格定义的假想元件，每一种理想电路元件都可以表示其实际器件的其中主要的一种电磁性能，理想电路元件是电路模型的最小组成单元。 R、L、C是电路中的三类基本元件 电路模型：电路模型是实际电路在一定条件下的科学抽象和足够精确的数学描述。 集总概念：当实际电路的尺寸远小于电路工作时电磁波的波长时，可以把元件的作用集总起来，这样的元件叫做集总元件，这样的电路参数叫做集总参数，由集总元件构成的电路称为集总电路。 分布概念：当实际电路的尺寸可以电路工作时电磁波的波长相比拟时，电路中同一瞬间相邻两点的电位和电流都不相同，这样的元件叫做分布元件，这样的电路参数叫做分布参数，由分布元件构成的电路叫做分布电路。 集总电路的分类：（1）静态电路（2）动态电路 二端元件：具有两个端子的元件叫做二端元件，又叫单口元件支路：电路的每一个二端元件称为一条支路，流经元件的电流叫 1 做支路电流，元件的端电压叫做支路电压。 节点：电路中两条或两条以上的支路的公共连接点叫做节点。回路：电路中由支路组成的任一闭合路径称为回路。 网孔：部不含有支路的回路叫做网孔。 网络：一般把含有元件较多的电路称为网络。 有源网络：部含有独立电源的网络 无源网络：部不含独立电源的网络 平面网络：可以画在一个平面上而不出现任何支路交叉现象的网络。 非平面网络：不属于平面网络即为非平面网络。 KCL：对于任一集总电路的任一节点，在任一时刻，流进（或流出）改节点的支路电流的代数和为零。或表示为流入任一节点的支路电流的等于流出任一节点的支路电流。 KVL:对于任一集总电路的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压的代数和为零。或表示为回路中各支路电压升的代数和等于各支路电压降的代数和。 VCR：元件电压和电流的关系。 电阻：任何一个二端元件，如果在任一时刻，u(t)和i(t)之间存在代数关系f(u,i)=0,即这一关系可以用u-i平面上的一条曲线所决定，而不论电压或电流的波形如何，则此二端元件称为电阻元件。 电阻元件：电阻元件是从实际元件抽象出来的模型。 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 1、电流、电压参考方向的含义（任意的）；实际方向与参考方向的关系；关联参考方向的含义（参考方向的关系，而不是实际方向的关系） 2、P的表达式的列法，会计算元件的P，根据P可判断该元件是电源性还是负载性，能根据P的正负判定是吸收还是释放功率 3、节点、回路和网孔的概念 4、KCL、KVL的列法（KVL与方向无关）（依据是参考方向，对任意电路都适用）；会列KCL、KVL方程求解电路中的U和I；会求两点之间的电压 独立的KCL和KVL方程数会判定 5、理想电压源、理想电流源的特性（恒压不恒流、恒流不恒压）。 使用时的注意事项（理想电压源不允许短路、理想电流源不允许开路） 6、电位的概念及求解、特点（相对性） 7、等效的含义。（是伏安特性相同；对外等效，对内不等效；），会利用等效变换法求u和i 8、分压、分流公式及特点 9、R、L、C三种基本元件的伏安关系（关联和非关联参考方向） 包括时域形式及相量形式 能根据R、L、C三种基本元件的相量形式判断元件电压与电流的相位关系及振幅分析 R、L、C三种元件的串并联等效变换会计算 10、掌握电源之间的等效变换；理想电压源与理想电流源不能等效互换 11、受控源的特点；含受控源的输入电阻的求解、含受控源的支路电流分析法、节点方程、网孔方程会列 12、支路分析法的求解步骤（KCL、KVL的个数），会根据支路分析法求u 和i 13、会根据电路列出电路的结点电压方程、网孔方程 14、叠加定理适用的范围、会用叠加定理求电路中的电压和电流，不起作用的电源的处理方式 15、会用戴维南定理求解电路中的u和i；电路中负载获得最大功率的条件及其最大功率的求解 16、在直流电路中，C、L的处理方式（L相当于短路，C相当于开路） 17、换路定理（u C、i L不能突变） 18、RC、RL电路的时间常数的表达式 19、一阶电路的三要素、会用三要素法求解电路的暂态响应，会根据三要素表达式求出三要素 20、交流电表的读数是有效值 21、正弦量的三要素，相位差的含义及其求解（三同），会根据相位差判断正弦量之间的相位关系（超前或滞后关系） 22、会根据正弦量的瞬时值表达式写出其对应的相量形式，能根据相量形式写出其对应的瞬时值表达式 23、掌握正弦量的书写形式（瞬时值、相量、振幅、有效值），各种表达式能正确区分 24、已知电表的读数，求其他表的读数 25、会求解正弦稳态电路的中的电流和电压 26、会计算无源单口网络的等效阻抗Z，会求阻抗的模和阻抗角，能根据阻抗角判定其电压与电流的相位关系 26、会计算电路的有功功率P、无功功率Q，视在功率S，三者之间的关系；会求解功率因素；功率因素提高的方法及含义 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {}{}{} ()() 0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x dx k ∞ -∞==? 第②问 {}()()()21 1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ??? 电路分析基础基本概 念 1实际电路：实际电路是各个器件按照一定的方式相互连接而构成电流的通路。以实现电能或电信号的产生、传输、转换、控制和处理等。 模型：是对实体的特征和变化规律的一种表示或者抽象。 理想电路元件：理想电路元件是用数学关系式严格定义的假想元件，每一种理想电路元件都可以表示其实际器件的其中主要的一种电磁性能，理想电路元件是电路模型的最小组成单元。R、L、C是电路中的三类基本元件 电路模型：电路模型是实际电路在一定条件下的科学抽象和足够精确的数学描述。 集总概念：当实际电路的尺寸远小于电路工作时电磁波的波长时，可以把元件的作用集总起来，这样的元件叫做集总元件，这样的电路参数叫做集总参数，由集总元件构成的电路称为集总电路。 分布概念：当实际电路的尺寸可以电路工作时电磁波的波长相比拟时，电路中同一瞬间相邻两点的电位和电流都不相同，这样的元件叫做分布元件，这样的电路参数叫做分布参数，由分布元件构成的电路叫做分布电路。 集总电路的分类：（1）静态电路（2）动态电路 二端元件：具有两个端子的元件叫做二端元件，又叫单口元件1 支路：电路的每一个二端元件称为一条支路，流经元件的电流叫做支路电流，元件的端电压叫做支路电压。 节点：电路中两条或两条以上的支路的公共连接点叫做节点。回路：电路中由支路组成的任一闭合路径称为回路。 网孔：内部不含有支路的回路叫做网孔。 网络：一般把含有元件较多的电路称为网络。 有源网络：内部含有独立电源的网络 无源网络：内部不含独立电源的网络 平面网络：可以画在一个平面上而不出现任何支路交叉现象的网络。 非平面网络：不属于平面网络即为非平面网络。 KCL：对于任一集总电路的任一节点，在任一时刻，流进（或流出）改节点的支路电流的代数和为零。或表示为流入任一节点的支路电流的等于流出任一节点的支路电流。 KVL:对于任一集总电路的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的所有支路电压的代数和为零。或表示为回路中各支路电压升的代数和等于各支路电压降的代数和。 VCR：元件电压和电流的关系。 电阻：任何一个二端元件，如果在任一时刻，u(t)和i(t)之间存在代数关系f(u,i)=0,即这一关系可以用u-i平面上的一条曲线所决定，而不论电压或电流的波形如何，则此二端元件称为电阻元件。 随机信号分析习题二： 1. 设正弦波随机过程为 0()cos X t A w t = 其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即 1,01 ()0,others A a f a ≤≤?=? ? (1) 试求000 30, , , 44t w w w π π π =时，()X t 的一维概率密度； (2) 试求0 2t w π = 时，()X t 的一维概率密度。 2. 若随机过程()X t 为 (),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随 机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为 0()sin X t V w t = 其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数， φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 5. 设()sin(),X t A w t t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B w t t θφ=++-∞<<+∞，其中 A ， B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。 6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2 210.5() 12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t = 。求()Y t 的均值和相关函数。 7. 设随机信号3()cos 2t X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的 随机信号0 ()()t Y t X d λλ= ? 。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。 8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程 cos ,()2, t X t t π?=??出现正面 出现反面 第3章 单相正弦交流电路的基本知识 前面两章所接触到的电量，都是大小和方向不随时间变化的稳恒直流电。本章介绍的单相正弦交流电，其电量的大小和方向均随时间按正弦规律周期性变化，是交流电中的一种。这里随不随时间变化是交流电与直流电之间的本质区别。 在日常生产和生活中，广泛使用的都是本章所介绍的正弦交流电，这是因为正弦交流电在传输、变换和控制上有着直流电不可替代的优点，单相正弦交流电路的基本知识则是分析和计算正弦交流电路的基础，深刻理解和掌握本章内容，十分有利于后面相量分析法的掌握。 本章的学习重点： ● 正弦交流电路的基本概念； ● 正弦量有效值的概念和定义，有效值与最大值之间的数量关系； ● 三大基本电路元件在正弦交流电路中的伏安关系及功率和能量问题。 3．1 正弦交流电路的基本概念 1、学习指导 （1）正弦量的三要素 正弦量随时间变化、对应每一时刻的数值称为瞬时值，正弦量的瞬时值表示形式一般为解析式或波形图。正弦量的最大值反映了正弦量振荡的正向最高点，也称为振幅。 正弦量的最大值和瞬时值都不能正确反映它的作功能力，因此引入有效值的概念：与一个交流电热效应相同的直流电的数值定义为这个交流电的有效值。正弦交流电的有效值与它的最大值之间具有确定的数量关系，即I I 2m 。 周期是指正弦量变化一个循环所需要的时间；频率指正弦量一秒钟内所变化的周数；角频率则指正弦量一秒钟经历的弧度数，周期、频率和角频率从不同的角度反映了同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。 相位是正弦量随时间变化的电角度，是时间的函数；初相则是对应t=0时刻的相位，初相确定了正弦计时始的位置。 正弦量的最大值（或有效值）称为它的第一要素，第一要素反映了正弦量的作功能力；角频率（或频率、周期）为正弦量的第二要素，第二要素指出了正弦量随时间变化的快慢程度；初相是正弦量的第三要素，瞎经确定了正弦量计时始的位置。 一个正弦量，只要明确了它的三要素，则这个正弦量就是唯一地、确定的。因此，表达一 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案
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