随机信号分析基础学习知识课后学习材料
随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
随机信号与分析课后答案 王琳DOC
第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。
本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。
基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。
用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。
若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。
并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。
二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。
显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。
2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。
第2章 确知信号与随机信号分析基础课件
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析基础第3版
信号恢复
在通信系统中，由于信道噪声和干扰的影响，接收端可能无法准确恢复原始信号。利用随 机信号分析技术，可以对接收到的信号进行去噪、滤波等处理，提高信号恢复的准确性。
随机信号在雷达系统中的应用
定义
概率分布是描述随机信号取值概率的数学工具，用于 描述随机信号的统计特性。
常见概率分布
常见的概率分布有正态分布、泊松分布、指数分布等 。
适用场景
不同的概率分布在不同的场景下有不同的应用，需要 根据实际情况选择合适的概率分布。
随机信号的均值和方差
定义
01
均值是随机信号取值的平均值，方差是随机信号取值偏离均值
通过傅里叶变换计算随机信号的 功率谱密度，可以了解信号的频 率特性和功率分布。
功率谱密度的应用
在信号处理、噪声分析、系统性 能评估等领域中，功率谱密度是 重要的性能指标。
随机信号的互相关函数
互相关函数
描述两个随机信号之间的相似性和相关性，是研 究随机信号之间关系的重要工具。
互相关函数的计算
通过计算两个随机信号的互相关函数，可以了解 它们之间的相似性和变化规律。
随机信号
在通信、雷达、声呐、地震、生物医学等领域中，常常会遇 到一类信号，它们的取值具有不确定性，即不是确定的数值 ，而是按照某种概率分布。这类信号被称为随机信号。
确定性信号
在某些情况下，信号的取值是确定的，即对于给定的时间点 ，信号的值是确定的数值。这类信号被称为确定性信号。
随机信号的分类
平稳随机信号
03
CATALOGUE
随机信号的时域分析
随机信号分析基础(第3版)
随机信号的频域描述
01
02
03
频域描述
通过傅里叶变换将时间域 的随机信号转换为频域表 示，揭示信号的频率成分 和频率特性。
频域特性
描述随机信号在不同频率 下的振幅和相位变化，以 及信号的频率范围和带宽 。
频域分析的应用
用于信号的调制、滤波、 频谱分析和信号处理等领 域。
随机信号的功率谱密度
功率谱密度定义
性。
学习目标
掌握随机信号的基本概念 、统计特性和分析方法。
学习信号处理的基本原理 和技术，包括滤波、谱分 析和调制解调等。
理解随机过程的基本理论 和应用。
熟悉随机信号分析在通信 、雷达、声呐等领域的应 用。
02
CATALOGUE
随机信号的基本概念
随机信号的定义
01
随机信号是一种随时间变化的信 号，其取值在每个时间点上是随 机的，即无法提前预测。
随机信号的时域表示
随机信号在时间轴上的变化规律可以 用实数序列表示，通常采用离散时间 序列或连续时间信号。
随机信号的特性
包括均值、方差、偏度和峰度等统计 特性，以及信号的波形、幅度和频率 等时域特征。
随机信号的均值和方差
均值
随机信号的均值是信号所有可能取值的平均值，反映了信号 的“中心”位置。
方差
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、共轭性、对称性等，这些性质在信号处 理中具有重要应用。
傅里叶变换的应用
在通信、雷达、声学等领域中，通过傅里叶变换分析信号的频率成 分，实现信号的滤波、调制和解调等操作。
随机信号的拉普拉斯变换和Z变换
拉普拉斯变换
将时域的随机信号转换为复平面 上的函数，用于分析信号的稳定 性及系统函数的极点和零点等。
随机信号分析基础(第5章习题讲解)
rect ( ) 2a a2 2 a a 2 2 2 a ( 0 ) a ( 0 )2 sin ( ) 2 ( )2 2
2
( 0 ) ( 0 )
系统所示的传函为：
t 1 RC j RC h(t ) (t ) e , H ( ) RC 1 j RC
5.31 解：由题可知
得到：
e j e j z z 1 cos 2 2
2
GY ( ) GX ( ) H ( )
2
1 H ( ) 1.64 1.6 cos
1 H (Z ) 1.64 0.8Z 0.8 Z 1 1 1 (0.8Z 1) (0.8Z 1 1)
p
k0 ai RY (k i), i 0 RY (k ) p a R (k i ) 2 , k 0 i Y i i 0
p
i 0
2 RY ( p) 1 X RY (0) RY (1) R (1) R (0) R (1) a R ( p 1 ) Y Y Y Y 1 0 RY (1) 0 a RY (1) RY (0) p RY ( p)
5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤 波器，有：
GY ( ) H ( ) GX ( ) 1
H ( )
2
2
2 8 ( 8 j )( 8 j ) 2 3 ( 3 j )( 3 j )
稳定的最小相位系统的H(s)的极点在左半S平面，而 零点不在右半S平面。
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第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ⋅====⋅===⋅===⋅==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩式中，常数0X σ>，求期望()E X 和方差()D X 。
考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=⋅=-=-=-⇒=⋅⎰⎰⎰6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0.5XY EX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。
考察随机变量函数的数字特征思路： 协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅ 相关系数：22()()()()()()2(,)XY E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abCov X Y ρ=+=++=++()6()5()76()52(,)40E U E V D U D V Cov U V ==-===-11、设随机变量X 的均值为3，方差为2。
令新的随机变量622Y X =-+，问：随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？ 考察正交、不相关的概念()0E XY =⎧⎨≠⎩ 0正交，非0不正交XY ρ=⎧⎨≠⎩ 0不相关，非0相关 ()0E XY = 正交 (,)0Cov X Y ≠ 相关以上四题都是概率论的标准题。
第二章1、已知随机信号0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布，求0020,,33t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度函数。
解：002200[()][cos ]cos []()[()][cos ]cos []x Xm E X t E A t t E A t D X t D A t t D A ωωσωω===⋅===⋅A Q 服从标准高斯分布 022200[]0,[]1[]cos 0()[]cos cos x X E A D A m E A t t D A t tωσωω∴==∴=⋅==⋅=∴一维高斯概率密度函数22220[()]2cos 2()(,)x X x m t x tt x f x t ωσ---==①当0t =时，22(;0)x x f x -=②当03t πω=时，220(;)3x x f x πω-= ③当023t πω=时，2202(;)3x x f x πω-=3、随机变量X 与Y 相互统计独立，并且服从2(0,)N σ分布。
它们构成随机信号()X t XYt =，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数(;)x f x t ；(2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。
解：（1）,X Y Q 服从2(0,)N σ分布 且()X t X Yt =+ ()X t ∴也服从正态分布[()][][][]0[()][]E X t E X Yt E X tE Y D X t D X Yt ∴=+=+==+,X Y Q 相互统计独立()22222221[()][][][](1)(;)x t x D X t D X Yt D X t D Y t f x t σρ-+∴=+=+=+∴=（2）t 时刻，随机变量是高斯分布22[()]0[()](1)E X t D X t t σ==+∴其均值为0，方差为22(1)t σ+4、假定随机正弦幅度信号0()cos()X t A t ωθ=+，其中频率0ω和相位θ为常数，幅度A 是一个服从[]0,1均匀分布的随机变量，试求t 时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。
解：t 时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为[()]D X t0[()][cos()]D X t D A t ωθ=⋅+Q 频率0ω和相位θ为常数200[cos()]cos ()[]D A t t D A ωθωθ∴⋅+=+⋅A 服从[0,1]均匀分布1,01()0,A a f a other<<⎧∴=⎨⎩ 211222201[][][][]121[]121[()]cos ()12D AE A E A a da a da D A D X t t ωθ∴=-=-⋅=∴=∴=+⎰⎰5、已知随机信号()X t 的均值为()X m t ，协方差函数为12(,)X C t t ，又知道()f t 是确定的时间函数。
试求随机信号()()()Y t X t f t =+的均值以及协方差。
解：[()][()()][()][()]E Y t E X t f t E X t E f t =+=+()f t Q 是确定信号12121211221212121211221212[()]()()(,)[()()][()][()][()()][()()][()()()()()()()()][()()][()()][()()]()[()](X X E Y t m t f t C t t E Y t Y t E Y t E Y t E X t f t E X t f t E X t X t X t f t f t X t f t f t E X t f t E X t f t E X t X t f t E X t f t ∴=+=⋅-⋅=+⋅+=+++-+⋅+=++211212************)[()]()()[()][()]()[()]()[()]()()[()()][()][()](,)X E X t f t f t E X t E X t f t E X t f t E X t f t f t E X t X t E X t E X t C t t +-⋅---=-= ()Y t ∴的均值为()()X m t f t +其协方差为：12(,)X C t t9、设接收机中频放大器的输出随机信号为()()()X t s t N t =+，其中()N t 是均值为零，方差为2σ的高斯噪声随机信号，而00()cos()s t t ωθ=+为确知信号，求随机信号()X t 在任意时刻1t 的一维概率密度函数。
解：()()()()()()X t S t N t N t X t S t =+=-Q Q00()cos()S t t ωθ=+Q 是确知信号[()][()()]()[()]E X t E S t N t S t E N t ∴=+=+()N t Q 服从均值为0，方差为2nσ的高斯分布2002002[cos()]2[()]0[()]()cos()[()][()()][()](,)nn x t X E X t E X t S t t D X t D S t N t D N t f x t ωθσωθσ-+-∴=∴==+=+==∴=第三章3、设()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号。
求证由它们的乘积构成的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
证：()X t Q 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号∴1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]XX X X X E X t m R t t E X t X t R t t E X t D X t ττϕσ====-==同理1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]YY Y YY E Y t m R t t E Y t Y t R t t E Y t D Y t ττϕσ====-==1212112212121212121221()()()[()][()()][()][()](,)[()()][()()()()][()()()()][()()][()()](,)(,)()(),||[X Y Z X Y X Y Z t X t Y t E Z t E X t Y t E X t E Y t m m R t t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X t E Y t Y t R t t R t t R R t t E Z τττ===⋅=⋅==⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=-2222222222222()][()()][()][()][()][()()][()][()]X Y X Y X Yt E X t Y t E X t E Y t D Z t D X t Y t E Z t E Z t m m ϕϕϕϕ=⋅=⋅=⋅<∞=⋅=-=⋅-⋅由平稳条件可知()()()Z t X t Y t =也是平稳的随机信号8、设随机信号00()()cos ()sin Z t X t t Y t t ωω=-，其中0ω为常数，()X t 、()Y t 为平稳信号。
试求：(1)()Z t 的自相关函数(,)Z R t t τ+；(2)若()()X Y R R ττ=，()0XY R τ=，求(,)Z R t t τ+。
解： (1)()X t Q ，()Y t 是平稳的随机信号000000000000(,)[()()][(()cos ()sin )(()cos ()()sin ())][()()cos cos ()()()cos sin ()()()sin cos ()()()sin ()sin ]c Z R t t E Z t Z t E X t t Y t t X t t Y t t E X t X t t t X t Y t t t X t Y t t t Y t Y t t t ττωωτωττωττωωττωωττωωττωτω+=⋅+=-⋅++-++=++-++-+++++=00000000os cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin ()sin ()X XY YX Y t t R t t R t t R t tR ωωττωωττωωττωτωτ+-+-+++(2)000000000()(),()0()()()()()()()()(,)0(,)cos cos ()()sin sin ()()()[cos cos ()sin sin ()]()cos X Y XY YX z X Y X X R R R X t Y t Y t Y t X t Y t Y t X t R t R t t t R t t R R t t t t R τττττττττττωωττωωτττωωτωωττωτ==∴⋅+=⋅+∴⋅+=⋅+∴+=∴+=+++=+++=Q11、已知随机信号()sin cos X t A t B t =+，式中，A 与B 为彼此独立的零均值随机变量。