第三章_随机信号的频域分析
随机信号
均值、方差、相关函数等特征，包含的 关于随机过程的信息比累积分布函数要少， 是比较弱的特征，因而被称为“局部特征”。
3.1.1 全局特征
任意维累积分布函数或者概率密度函数是 描述随机过程的最严格的方法，它们完全描 述了随机过程的特性；而通常情况下，也是 最困难的方法，除了一些具有特定性质的随 机过程以外，我们很难给出它们的任意维累 积分布函数或者概率密度函数。
不仅电子设备中普遍存在的热噪声是高 斯过程，一些通信系统的信源也服从高斯分布。
高斯分布具有特别的性质，高斯分布的 随机变量和随机过程，其数学上的分析处理 非常简便易用。
3.5.1 定义
3.5.2 性质
（1）高斯过程通过线性时不变系统，输 出还是高斯过程。
线性时不变系统的输出是输入和系统冲 击响应的卷积，因而可以看出是很多高斯变 量的线性和。
3.2.1 联合特征
3.1.1 JSP、Java与Javascript
3.3 平稳随机过程
– 3.3.1 严平稳随机过程 – 3.3.2 宽平稳随机过程 – 3.3.3 平稳过程的各态历经性 – 3.3.4 平稳随机过程的性质
3.3.2 宽平稳随机过程
3.3.3 平稳过程的各态历经性
第3章 随机信号
3.1 随机过程的特征 3.2 两个或者两个以上随机过程的联合特 征3.3 平稳随机过程 3.4 平稳过程的功率谱密度 3.5 高斯过程 3.6 白噪声与高斯白噪声 3.7 随机过程和线性系统 3.8 窄带平稳随机过程 3.9 循环平稳随机过程
如第2章所述，通信系统中的消息是由电 压或者电流的波形来表达的，这些波形我们 称之为信号。
第3章随机信号的频域分析
1 2 GX ( ) lim E X T ( ) T 2T 1 2 GX ( ) lim X T ( , e) T 2T
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
9 /30
（2）实随机过程功率谱密度的性质
第三章 随机信号的频域分析
5 /30
（3）能量谱密度
2 E s 信号s(t)的总能量为 (t )dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信 号的能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2
S ( ) 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
23 /30
（2）噪声的分类
从噪声与电子系统的关系来看： 内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的 外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声 根据噪声的分布： 高斯噪声：具有高斯分布的噪声 均匀噪声：具有均匀分布的噪声 从功率谱的角度来看： 白噪声：随机过程的功率谱为常数（无论是 什么分布）。 色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。
2
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
21 /30
例3.5：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相 关函数为： 9e 3 0 RXY ( ) 0 0 求互相关函数 GXY () 和 GYX () 解：G ( ) XY RXY ( )e
j
GXY () GYX () 0
随机信号分析
第三章 随机信号的频域分析
20 /30
性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数 学期望不为零，则有
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
第3章 信号及其描述
An-，n-分别称 为幅值谱和相位谱， 统称为频谱。
若是奇函数即 f ( t ) f (t ); 若是偶函数即 f ( t ) f ( t );
a0 0, an 0 bn 0
二．周期信号的频谱
不同频率信号的时域图和频域图
复杂周期信号波形
傅立叶级数的复指数展开形式：
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
f ( t ) a0 (a n cos n1 t bn sin n1 t )
n 1
• a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为
1 T /2 T / 2 f ( t )dt T 2 T /2 a n T / 2 f ( t ) cos n 1 tdt T 2 T /2 bn T / 2 f ( t ) sin n 1 tdt T a0
第三章 信号及其描述
主
要
内
容
–信号的分类与定义 确定性信号与随机信号 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号 –确定性信号的特性 时间特性 频率特性 时间与频率的联系
–确定性信号分析 时域分析 频域分析 –随机信号特性及分析
第一节 概述
信号是信息的载体和具体表现形式，或者说，信 号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中， 才可能含有信息。
连续信号
f(t) f0 f1 0 t 0 f2 t f(t)
离散信号
f(tk) (4.5) (6)
(3)
(2) -1 0 (-1) 1 2 3 4 (1.5)
t
第二节 周期信号及其描述
一．周期信号的傅立叶级数
随机信号分析
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
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《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
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均功率 P 为：
P E Pk lim
2 2 1 T 1 T E xk t , k dt lim E X t dt T 2T T T 2T T 2 1 1 1 E X T , d GX d lim 2 T 2T 2
G ( ) R ( )e j d X X 换对，即 1 RX ( ) GX ( )e j d 2
维纳—辛钦定理给出了平稳随机信号 X t 的时域特性和频域特性之间的联系，也是分 析平稳随机信号的一个最重要最基本的公式。 由于平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
Gs (参见郑君里等的《信号与系 功率谱密度 G ( ) 互为傅里叶变换对， Rs
F .T .
统》)。对于平稳随机过程，是否也存在这种关系呢？ 1．维纳-辛钦定理(Winener-Khinchin Theorem) 平稳随机信号 X t 的自相关函数 RX
与其功率谱密度 GX 之间是一对傅里叶变
[物理含义] Gk , k /Gk f , k 代表了随机信号 X t 的某一样本函数 x t , k 在单位 频带内消耗在 1 电阻上的平均功率。 3．随机信号的平均功率及功率谱（密度）
若对 X t 中所有样本函数的 P k （对所有的 k ）取统计平均，则有随机信号 X t 的总平
s(t )
2
dt s (t ) s (t )dt
可得
s 2 (t )dt
1 2
s( ) d
2
s( f ) df ——帕斯瓦尔能量守恒定理
2
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因此，定义能量实函数 s t 的能量谱密度为 s ( ) ，也称能量谱。
W
ra 2 ST ( f ) 2T
W
Hz
其中 ST ( ) 或 ST ( f ) 为功率信号 s t 的截短（断）信号 ST (t ) 的傅里叶变换。 【说明】 ①功率谱密度用 P 或者 P f 更为通用，但课本采用 G 或者 G ( f ) 来表示。 ②信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数： 对其在整个频率范围内进行积分以后， 就是 信号的总功率；它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况。
P lim
Pn 1 T0
1 T 2T
T
T
s 2 (t )dt
1 2
n
2
P d
P f df 帕斯瓦尔功率守恒定理
T0 2
T0 2
s 2 (t )dt
n
C
周期信号帕斯瓦尔定理
2
其中 Cn 为周期信号第 n 次谐波（其频率为 nf 0 ）的振幅，因此 Cn 是第 n 次谐波的功率
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第三章
随机信号的频域分析(4 课时)
对确定信号可以采用傅立叶变换工具来实现确定信号的频域分析， 得到频谱分布。 对随 机信号是否也能应用傅立叶变换呢？随机信号也有频谱概念？在一般意义下， 信号持续时间 无限，故能量无限，因此多考虑单位时间内的能量即功率(功率有限)，因此主要考虑平均功 率在频域上的分布 功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)。功率谱密度指“单位带 宽上的平均功率”。 3.1实随机信号（分析）的功率谱密度 【确知信号频域分析补充】★ 1．信号分析中信号的分类 信号 s t 的能量 E
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xk t t T x t 截取函数表达式为： kT t T 0
对 xkT t 其持续时间有限，满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在，故 X kT t 为能量 信号，有下列成立。
X kT xkT t
P f
n
C
2 n
f nf 0 周期信号的功率谱（密度）
3.1.1 实随机信号（过程）的功率谱密度 分析思路： 随机过程的样本函数是确知的功率信号， 故分析可以从样本函数的功率谱开 始；但样本函数的功率谱无法代表整个随机过程的功率谱，也是随机的，对其取统计平均为 整个随机信号的功率谱。 1、随机信号的截断（短）函数
lim
2 1 X kT f , k df T 2T
lim
式中： P k 是 X t , k 中某个样本函数的平均功率。 （2）样本函数的功率谱密度 Gk , k /GX f , k
Gk , k lim
T
2 2 1 1 X kT , k 或 Gk f , k lim X T f , k T 2T 2T
由于 xk t 是随机过程 X t 的一个样本函数，取哪一个样本函数取决于试验结果 k ， 且 是 随 机 的 。 因 此 X kT t 和 X kT
/ X kT f 也 都 是 试 验 结 果 k 的 随 机 函 数 。 即
X kT t X kT t , k , X kT X T , k 或X kT f X T f , k 。
将上式的积分变量变换成 t t2 和 t1 t2 ，则 2T , 2T ， t 在直线 T 和
3.1 随机信号的截断信号 从随机信号 X t 抽取任一样本函数 xk t ，对 x t 任意截取一段，长度为 2T，并记为
xT t ，并称 xT t 为 x t 的截取（截断（短） ）信号。如图 3.1 所示。
《随机信号分析基础》第三章：随机信号的频域分析
s t dt （绝对可积）的等价条件为
s (t ) dt （信号 s t 的总能量有限） 。
2
若 s t 满足上述条件，则有傅里叶变换对存在： （正变换）频谱
S ( )
1 2
s t e jt dt 或 S ( f )
S e jt d 或 s (t )
s t e j 2 ft dt
S f e j 2 ft df
（反变换）信号 s (t )
对于上述实能量信号，由傅里叶变换对可得
E
1 s (t ) s e jt d dt 2 1 1 s s t e jt dt d s s d 2 2 1 2 2 2 s ( ) d 或E s (t ) dt s ( f ) df 2
是 的偶函数 RX RX
所以 GX GX —— GX 也是 的偶函数。
G ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 因此维纳—辛钦公式（定理）又可写成 1 RX ( ) GX ( ) cos d 0
GX 表示了随机信号 X t 的各个不同频率上的单位频带内消耗在 1 电阻上的平
均功率，同时描述了随机信号 X t 的各个平均功率在各个频率上的分布状况。 3.1.2 实平稳随机信号(过程)的功率谱密度与自相关函数之间的关系 由信号与系统课程知： 一个能量无限而功率有限的确知信号的时间相关函数 Rs 与其
2
定 义 E s ( ) J / rad / s ) 或 E f s ( f )
2
2
J
Hz 为 能 量 信 号 的 能 量 谱 密 度
(ESD)。 3．功率信号的功率谱（密度）(Power Spectral Density PSD)
P lim
T
1 2 ST ( ) 2T
同理随机信号 X t 的功率谱密度 GX 为：
2 2 1 1 GX E X T , k lim E X T , k lim GX , k E T 2T T 2T 2 2 1 1 E X T lim E XT f lim T 2T T 2T
lim
T
T T
s (t ) dt 0 E
2
s 2 (t ) dt
1 T 2T
信号 s t 的平均功率 P lim 规定： 0 E
1 T 2T
T
T
s (t ) dt 0 P lim
2
T
T
s 2 (t ) dt
P 0 能量信号 ； E 0 P 功率信号 。
【维纳-辛钦定理的证明】
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图3.2 维纳-辛钦定理推导中的变量置换过程 将傅氏变换定义代入式 GX ( ) lim
2 1 E X T ，有 T 2T
T 1 T GX lim E X T t1 e jt1 dt1 X T t2 e jt2 dt2 T T 2T T T T 1 E X t1 X t2 e j t1 t2 dt1dt2 lim T 2T T T