随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
3第二章平稳随机过程
例题3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。
例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ) 的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件 AK={N(t,t+τ)=k}的概率为
1 N
N l im P{|Nk1Xk
m|}1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长， 则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。
例题：
随机过程X(t)=acos(wt+θ ),a,w为常 数，θ 为(0,2π )上均匀分布的随机变量， 试分析X(t)集合平均和时间平均值、相 关函数和时间相关函数。
E| a bX(t)d|2 ta ba bR X(t1,t2)d1d t2t
结论：数学期望和积分可以交换秩序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连 续，则
b
Y(t) X()d a
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区 间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
具有各态历经性。
定义6.11
如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T} 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。
定理6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为
l T .i .m 2 1 T 2 2 T T ( 1 |2 T |)R [ X () |m X |2 ] d 0
演示文稿三平稳随机过程课件
率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
第三十一页，共78页。
数学期望
均方值 方差 协方差
mX RX ()
E[ X 2 (t)] RX (0)
2 X
RX (0) RX ()
CX ( ) RX ( ) RX ()
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例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100
第十页，共78页。
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求：
(1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZ t EX sin t Y cost
5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
第二十五页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第二十六页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
除Guass
SSS
WSS
二阶矩过程
SSCS
二阶矩过程
WSCS
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5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( )。
5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
第十八页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十九页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机过程课后题答案
《随机信号分析》复习备考题第一章概率论简介第二章随机信号概论参考答案：（1）)(t X 的一个样本函数的草图（2）时间连续，状态离散，离散型随机过程。
（3）一维概率密度函数：nT t T n A x A x t x p X <<-++-=)1(),(21)(21),(δδ二维概率密度函数：[][]⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-++-++-<<-+++--=nTt T n t nT t T n A x A x A x A x nT t t T n A x A x A x A x t t x x p X 22122112121212121)1(,)1(,)()()()(41,,)1(),()(21)()(21),;,(或δδδδδδδδ参考答案：[][]625.3341683241181)()()(111=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[][]625.2141283441581)()()(222=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[]()875.7)13(41)62(83)42(41)51(81,)()(212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==∑x x P x x t X t X E )1()3(41)2()6(83)4()2(41)5()1(81),;,(212121212121--+--+--+--=x x x x x x x x t t x x p X δδδδδδδδ参考答案：Φ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=Φ其它,020,21)(πϕπϕp均值：[][]021)cos()cos()()(2000=Φ⋅Φ+=Φ+==⎰d t a t a E t X E t m X ππωω 方差：01(t)cos(t)cos(t)X a b ωω=+ 自相关函数：[][12120102011202110102011202(,)()()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()][cos()cos()][cos()X R t t E X t X t E a t a t a t b t a t b t E a t a t E a t b t E a t b ωωωωωωωωωωω==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅[[][][]1010*******01020102111201022201211cos(cos()cos()][cos()cos()cos()cos(2)cos()cos(2)22cos ()cos (22E a t a t E b t b t a b E t t t t E t t t t a b t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω≈+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=-+++Φ+-+++Φ=-+-22201)cos ()cos ()22a b ωτωτ=++第三章平稳随机过程参考答案：0)sin(cos )cos(21)(21)(000lim lim lim=Φ=Φ+==∞→-∞→-∞→⎰⎰T T A dt t A T dt t x T t x T TT T T T T ωωω)cos(2)cos()cos(21)()(020002limτωτωωωτA dt t t A T t x t x T T T =Φ++Φ+=+⎰-∞→由于A 和Φ为统计独立的随机变量，于是有[][][][]021)cos()cos()(2000=ΦΦ+⋅=Φ+⋅=⎰ππωωd t A E t E A E t X E[][][][][][])cos(21)22cos()cos(21)cos()cos()()(),(020*******τωτωωτωτωωωττA E t E A E t t E A E t X t X E t t R X =Φ+++⋅=Φ++Φ+⋅=+=+由图3.5可看出，不同样本函数的A 不同，则相应的时间平均自相关函数)()(τ+t x t x 也不同，),()()(ττ+=+t t R t x t x X 不能以概率1成立，因此该随机过程不具有各态历经性。
随机信号分析第三章
§ 3.1
平稳随机过程及其数字特征
一、平稳随机过程的基本概念
1．严平稳随机过程
一个随机过程X(t), 如果它的n维概率密度(或n维分 布函数)不随时间起点选择的不同而改变，则称X(t)是 严平稳随机过程。
p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )
2 *
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程) 严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
两个随机过程平稳相依
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
R X Y (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] R XY ( ), t 2 t1 ,
(2)平稳过程X（t）的二维概率密度只与t1、 t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
p X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) p X ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) p( x1 , x2 ; )
所以与二维分布有关的数字特征仅是τ的函数， 而与t1,t2的本身取值无关
式中
1 x(t ) lim T 2T
x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
x(t ) x(t )dt
分别称作X(t) 的时间均值和时间自相关函数。
各态历经过程
若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性， 则称X(t)是宽各态历经过程。 若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为一相等, 则称X(t)为 严遍历过程或窄义遍历过程. 本章仅限于研究宽遍 历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过 程. 不难看出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过 程不一定是遍历过程。 对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便 可得到其数字特征。
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章 习题讲解
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
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f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
可见复随机变量的方差 是实部和虚部方差之和 。
3.6复随机过程
对于两个复随机变量 1 X 1 jY1和Z 2 X 2 jY2 Z 它们的相关矩为： Z1Z 2 E[ Z1 * Z 2 ],*表示复共轭 R 将Z1 , Z 2代入上式得： RZ1Z 2＝E[( X 1 jY1 )( X 2 jY2 )] RX1 X 2 RY1Y2 j ( RX1 X 2 RY1Y2 )
mz(t)=E[Z(t)]=mx(t)+jmY(t) 它的方差则是实时间函数，即
即
2 z(t ) E[| Z (t ) mZ (t ) |2 ] 2 X (t ) 2Y (t )
3.6复随机过程
自相关函数定义为： Z (t , t ) E[ Z * (t ) Z (t )] R 协方差函数定义为： CZ (t , t ) E{[ Z (t ) mz (t )]*[ Z (t ) mZ (t )]} 当 0时，有 RZ (t , t ) E[| Z (t ) |2 ], CZ (t , t ) E[| Z (t ) mZ (t ) |2 ] 2 Z (t )
例3.7平稳过程X(t)的自相关函数为R X ( )=100e-10| | 100 cos(10 ) 100 求X(t)的均值、均方值和方差。
解：RX ( ) {100cos10 } {100e100| | 100} RX1 ( ) RX 2 ( )
RX1 ( )为平稳过程周期分量的相关函数是随相正弦波的相关函数， 该分量的均值为零。于是由性质6可得非周期分量 R X ()=m 2 X =100，
例3.6设随机过程X (t ) a cos( w0t ) N (t ), 式中， a, w0为常数，为(0,2 )上均匀分布的随机变量， N(t) 为一般平稳过程，对于所有的t而言， 与N(t)皆统计独立。
X (t ) a cos( w0t ) N (t )
自相关函数为：RX ( ) a cos w0 RN ( ) 2 可见，相关函数也含有与所以过程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。
广义复随机过程
由实随机过程广义平稳 定义可直接类推出复随 机过程广义平稳条件， 如果复随机过程 (t )满足： Z E[ Z (t )] mZ 复常数 E[ Z * (t ) Z (t )] RZ ( ) E[| Z (t ) |2 ] 则称Z ( t )为广义平稳复随机过程 。
复随机变量协方差定义 为： CZ1Z 2 E[(Z1 mZ1 ) * ( Z 2 mZ 2 )]
3.6复随机过程
3.6.2复随机过程
考虑随时间变化的复随机变量，就可以得到复随机过程。 如果X(t)和Y(t)为是随机过程，则
Z(t)＝ X(t)＋j Y(t)
为复随机过程，它的数学期望是一个复时间函数，
性质4 : RX (0) E[ X 2 (t )] RX (0)代表了平稳过程的“总 平均功率”
性质5 : 非周期平稳过程 (t )的自相关函数满足 X
lim RX ( ) RX () mX
2
从物理意义上讲，当 增大时X(t)与X(t+ )之间相关性会减弱。 在 的极限情况下，两者互相独立，于是有：
故有m X =m X2 = 10 均方值为E[X 2 ( t)]=R X (0)=300 方差为 2 X =R X (0)-m 2 X =200
例.3.8非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数 4 RX ( ) 25 1 6 2 求数学期望和方差.
解:根据性质5可求出随机过程的数学期望
m
利用性质6得
2
X
RX () 25
mX 5
方差为： 2 X RX (0) RX () 29 25 4
因此,随机过程X(t)的数学期望为 ± 5. 方差为4.
性质7自相关函数必须满足 R X ( )e jw d 0
并对所有的w都成立。
性质8一个函数能成为自相关函数的充要条件是，必须满足 半正定性，即对任意函数f(t),有
性质4; 互相关函数和互协方差 函数的幅度满足： 1 | RXY ( ) | [ RX (0) RY (0)] 2 1 1 2 同理有： XY ( ) | [C X (0) CY (0)] [ X 2Y ] |C 2 2
（1）相关系数
相关系数也是表示随机 过程X (t )关联程度的统计量， C X ( ) RX ( ) RX () 它定义为归一化函数： X ( ) 2 X RX (0) RX ()
所以RX (0) | E[ X (t ) X (t )] || RX ( ) |
性质3：周期平稳过程 (t )的自相关函数是周期函 X 数， 且与周期平稳过程的周 期相同。RX ( T ) RX ( )
证：RX ( T ) E[ X (t) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
lim RX ( ) lim E[ X (t ) X (t )] m 2 X
故有R X ()=m2 X
对于中心化自相关函数，则有lim CX ( ) CX () 0
性质6：若平稳过程含有平均分量(均值)为m X ,则自相关函数 将含有固定分量m 2X。即R X ( )=CX ( )+m 2X
3.2平稳过程相关函数的性质
3.2.1平稳过程相关函数的性质
性质1：实平稳过程 (t )的自相关函数为偶函数 X RX ( ) RX ( )
证：RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
性质2：平稳过程X (t )的自相关函数的最大点 0处 在 RX (0) | RX ( ) |
两个复随机程情况
对于两个复随机过程 1 (t )和Z 2 (t )互相关和互协方差函数 Z 定义为： RZ1Z 2 (t , t ) E[ Z1 * (t ) Z 2 (t )] CZ1Z 2 (t , t ) E{[ Z1 (t ) mZ1 (t )]*[ Z 2 (t ) mZ 2 (t )]}
证：任何正的随机函数的数学期望值恒为非负值，即
E[(X(t) X(t+ ))2 ] 0 E[X 2(t) 2X(t)X(t+ )+X 2(t+ )] 0
对于平稳过程，有E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] RX (0) 代入前式得，2RX (0) 2 E[ X (t ) X (t )] 0
且满足性质5的条件下有 2X =R X (0)-R X ()
证：CX ( )=E[{X(t)-mX }{X(t+ )-mX }]=R X ( )+m 2 X 故有R X ( )=CX ( )+m 2 X
考虑到非周期平稳过程，有R X ()=m2 X，并且 0时，有 CX (0)= 2 X =R X (0)-m2 X =R X (0)-R X ()