随机过程12(3.2) 平稳过程相关函数的性质
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随机过程课程第五章 平稳过程
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
首页
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
首页
一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
首页
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
τ →∞
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
平稳随机过程及其遍历性
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
第四章 随机过程中的平稳过程
证
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
2平稳过程相关函数性质及各态历经性
事实上
Xt , Xt +
Cov( Xt , Xt ) D( Xt )D( Xt )
RX (t,t ) mX (t)mX (t ) CX (t,t)CX (t ,t )
RX
( ) | mX
CX (0)
|2
CX CX
( )
(0)
rX
( )
此外，由Cauchy-Schwarz不等式易得
|rX ( )| 1
rX
(
)
CX CX
( )
(0)
e2|| ,
rY
(
)
CY CY
( )
(0)
sin(
)
于是
X 0
e2 d 1 ,
0
2
Y 0
sin d 0
2
因
X 0
Y 0
故
X
随时间的变化程度要比
Y
剧烈.
(2) / 时 rX ( ) e2 , rY ( ) 0 ，故此时 X 是相关
而 Y 已不相关.
T
X (t)X (t )dt
2T T
T
l.i.m a2
T
cos(t )cos((t ) )dt
2T T
T
l.i.m a2
T
[cos(2t 2) cos( )dt
4T T
T
l.i.m [ a2 sin(2T ) cos( 2) a2 cos( )]
T 4T
2
a2 cos
对参数集为非负实数的平稳过程 X {X (t) : t 0}
时间平均
1T
X (t) l.i.m
X (t)dt
T0
T
概率论第三章 平稳随机过程
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
二平稳过程相关函数的性质
1 2 2 1 2 2
(E X (t ) ) ( E X (t ) X (t 0 ) )
1 2 1 2 2
(R X (0)) (E X (t ) X (t 0 ) ) 0 ( 0 )
由 0的任意性，RX ( )是连续函数.
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
b
a
b
a
f (s) f (t ) RX (s, t )dsdt存在
f (t ) X (t )dt存在
又 E[ g (s) X (s)ds f (t ) X (t )dt ]
a a
* * lim g (sk ) f (tl )E[ X (sk ) X (tl )]sk tl 0 k 1 l 1 n n
n n k l
2 2
0
, tn T 及复数1 , 2 ,
X
, n有
R
k 1 l 1
(tl t k ) 0
证明 (1) RX (0) E[ X (t )X (t )]
E X (t )
2 2 2
D[ X (t )] mX mX 0
(2) RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X (t )X (t )] RX ( )
(3) RX ( ) E[ X (t )X (t )]
E X (t ) X (t ) (E X (t ) ) (E X (t ) )
1 2 2 1 2 2
( RX (0)) ( RX (0)) RX (0)
b
b
b
a
b
a
RX (t s) f (t ) g (s)dsdt
(E X (t ) ) ( E X (t ) X (t 0 ) )
1 2 1 2 2
(R X (0)) (E X (t ) X (t 0 ) ) 0 ( 0 )
由 0的任意性，RX ( )是连续函数.
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
b
a
b
a
f (s) f (t ) RX (s, t )dsdt存在
f (t ) X (t )dt存在
又 E[ g (s) X (s)ds f (t ) X (t )dt ]
a a
* * lim g (sk ) f (tl )E[ X (sk ) X (tl )]sk tl 0 k 1 l 1 n n
n n k l
2 2
0
, tn T 及复数1 , 2 ,
X
, n有
R
k 1 l 1
(tl t k ) 0
证明 (1) RX (0) E[ X (t )X (t )]
E X (t )
2 2 2
D[ X (t )] mX mX 0
(2) RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X (t )X (t )] RX ( )
(3) RX ( ) E[ X (t )X (t )]
E X (t ) X (t ) (E X (t ) ) (E X (t ) )
1 2 2 1 2 2
( RX (0)) ( RX (0)) RX (0)
b
b
b
a
b
a
RX (t s) f (t ) g (s)dsdt
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必要性 若{X(t),t∈T}均方连续.则有
0 R X () R X ( 0 ) E [ X ( t) X ( t ) ] E [ X ( t) X ( t) ]
E[X(t)(X(t)X(t))]
E[X(t)(X(t)X(t))]
1
1
(EX (t)2)2(EX (t)X (t)2)2
1
1
(R X(0))2(EX(t)X(t)2)20 ( 0)
(1) {X(t),t∈T}均方可导的充分条件是 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶 导 数存在且连续. {X(t),t∈T}均方可导的必要条件是 RX(τ)
在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.
证明 (1)（ 必 要 性 ） 由 { X ( t) ,t T } 均 方 可 导
R X ( s ,t) 在 ( t,t) 处 广 义 二 阶 可 导 R X ( s , t ) 在 ( t , t ) 处 一 阶 , 二 阶 导 数 存 在
RX (ts) (t,t) RX (0) 同 理 2 R X t (s s,t)(t,t) R X (t s)(t, t) R X (0 )
R X ( s , t ) 在 ( t , t ) 处 二 阶 混 合 偏 导 数 存 在 , 且 连 续 { X (t),t T } 均 方 可 导
R X ( 0 ) R X ( ) R X () R X ( 0 )( )
充分性 若 R X ( ) 在 0 连 续 ， 即 R X ( ) R X ( 0 （ ) 0 ）
由 （ ） 得 E X (t) X (t)2 （ 0 0 ）
由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.
R X ( ) 在 = 0 处 一 阶 , 二 阶 导 数 存 在
sR X (s ,t)s t li s m 0R X (t s ,ts ) R X (t,t)
limRX(s)RX(0)
s0
s
limRX(s)RX(0)
s 0
s
RX (0)
即 RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在. 同理可证 RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.
§2 平稳过程相关函数的性质
一般用数字特征描述随机过程比用分 布函数相对简便.
对于平稳过程,描述其统计特性的数 字特征是相关函数.
( 4 ) 对 n 1 , t 1 , t 2 ,, t n T 及 复 数 1 ,2 ,,n 有
n n
nn
k lR X (tl tk) k lE [X (tk)X (tl)]
l im 0 R X ( ) R X ( 0 ) l im 0 R X ( t,t ) R X ( t,t)
t RX(s,t) st
即 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在. 同理可证 RX(τ)在τ=0处二阶导数存在.
（ 充 分 性 ） 由 R X ( ) 在 = 0 处 二 阶 可 导
(2) 若{X(t),t∈T}均方可导,则其导数过程 {X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.且
m X (t) 0 ,R X () R X ()
证明 (2) mX(t)=E[X(t)]
X(tt)X(t)
E[l.i.m
]
t 0
t
lim E [X(t t)]E [X(t)]0
t 0
t
2 RX(s,t)=st RX(s,t)
则其相关函数也是周期函数,且周期相同也 为T0.
(2)实 平 稳 过 程 的 相 关 函 数 为 偶 函 数 即
R X( )R X()
(3) 平 稳 过 程 的 协 方 差 函 数 C X()具 有 C X(0)D X(t)0; C X()C X(0)
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方 连 续的充要条件是
E [X(t)(X(t)X(t0))]
E[X(t)(X(t)X(t0))]
1
1
(E X (t)2)2(EX (t) X (t0)2)2
1
1
(R X(0 ))2(EX (t )X (t 0)2)20 (0)
由 0 的 任 意 性 ， R X () 是 连 续 函 数 .
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
=
2 st
RX
(t
s)
=
t
[RX (t
s)]
=R X (ts)R X ()
即 导数过程{X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.
推论 (1) 设{X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程. 则对任意的t∈T, X(t)与X′(t)不相关.
所 以 R X ()在 0 处 连 续 .
{X(t),t∈T}均方连续
下证RX(τ)是连续函数
RX()在 0连 续 ， { X ( t) , t T } 均 方 连 续 ，
则对0有
0 R X () R X (0 ) E [ X ( t ) X ( t ) ] E [ X ( t ) X ( t 0 ) ]
k 1l 1
k 1l 1
nn
E[ kX(tk)lX(tl)] k1 l1
n
n
E[ kX(tk) lX(tl)]
k1
l1
n
2
E k X(tk ) 0
k1
特别
(1) 若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即
X ( t T 0 ) X ( t ) ,t T , T 0 是 一 常 数 （ 称 为 周 期 ）
RX(τ)在τ=0处连续. 此时,RX(τ)是连续函数.
证明 t T ,
E X (t) X (t)2 E [(X (t) X (t))(X (t) X (t))]
R X ( t , t ) R X ( t , t ) R X ( t , t ) R X ( t , t )
又 2 R X s (ts,t)(t,t) lit m 0 sR X (s,t tt) sst) sRX(ts)(t,t) lit m 0 R X (t t s t) R X (t s)(t,t) lit m 0 （ R X (t s tt) R X (t s)） (t,t)