第四章 随机过程中的平稳过程

证
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1

RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
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P


k 0
N ( ) 2k

P
k 0

k 0
N ( ) 2k 1

P N ( ) 2k P N ( ) 2k 1
k 0 k 0



k 0
2k
2k !
k 0
解
的密度函数为
所以
1 ，当 0 sin 2 ( t ) x sin 2 txdx 2 R(t , t ) 0 0，当 0 故 X (t ) 是平稳随机序列。
E[ X (t )] sin 2txdx 0
0
1
1, f ( x) 0 ,
维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过 程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑广义 平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。
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说明
当T为整数集 或 { nt ，n=0,1,2,„}时
则称 X (t ) 为
例5
设{ X (t ), t 0}是只取 1两个值的过程，其符号的 改变次数是一参数为的poisson过程 {N (t ), t 0} 且 t 0, P ( X (t ) 1) P ( X (t ) 1) 1/ 2, 试讨 论{ X (t ), t 0}的平稳性。
定理4.2.1
设{X (t ), t 0}是复平稳过程，则RX ( )具有性质：
1 ）RX (0) E[ X (t ) ] mX
证
2
2
2
0
2
RX (0) E[ X (t )X (t )] E[ X (t ) ] D[ X (t )] mX mX 0
2
2) RX ( ) RX ( )
严平稳过程的特点 1）
严平稳过程 X (t ) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关，
二维概率密度 f (t1 , t2；x1 , x2 ) 仅与时间差 t1 t 2 有关， 而与时间起点无关。
证
一维 对任意的τ，必有
f (t；x) f (t ；x)
f (t；x) f (0；x) f ( x)


xf ( x)dx m

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R(s, t ) E[ X (s)X (t )]









x1 x2 dF (s, t；x1 , x2 )
x1 x2 dF (0, t s；x1 , x2 )
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析 要容易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机 过程的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变 化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如
接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温
度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电
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2）
若严平稳过程存在二阶矩，则
（1）值函数为常数：
m(t ) E[ X (t )] m
（2）相关函数仅是时间差
记 R( )
证 只对连续型的情况
t1 t2 的函数：
R(s, t ) R(t s)
m(t ) E[ X (t )] xf (t；x)dx
例 1
设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。
试问X(t)是否平稳？
解、
E{X (t )} E{tA} tE{A} 0
RX (t1, t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} t1t2 E{A2} t1t2
所以X(t)是非平稳的。
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2
bk 0,
bk ,
k 1

令Y (t ) X k e jk t , t ,
k 1

{n , n 1, 2, }是两两不相等的实数序列，试讨 论{Y (t ), t }的平稳性。
解
jk t mY (t ) E[Y (t )] E X k e k 1 = E X k e jk t 0
F (t1, t2 ,, tn；x1, x2 ,, xn )
F (t1 , t2 ,, tn ；x1, x2 ,, xn )
则称{X(t),t∈T} 为严(强、狭义）平稳过程，或称 {X(t),t∈T} 具有严平稳性。
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解
1 1 mX (t ) E[ X (t )] 1 1 0 2 2
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] P{ X (t ) X (t ) 1} P{ X (t ) X (t ) 1}
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平稳时间序列
注1
严平稳过程不一定是宽平稳过程。 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2
宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。
注3
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正态过程的严平稳与宽平稳是等价的。(定理4.4.1)
E{[ X (t )X (t )] mE[ X (t )] mE[ X (t )] m2
2 R ( ) m R(t , t ) m
2
C ( )
即表示协方差函数仅依赖于τ，而与t无关，与相关函数 相同。
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第四章 平稳过程
4.1 平稳过程的基本概念 4.2 平稳过程相关函数的性质 4.3 平稳过程的各态历经性 4.4 平稳过程的谱密度 4.5 平稳过程的谱分解 4.6 线性系统中的平稳过程
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注4
利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳 性。
因为 均值函数 m(t)=m 协方差函数
C(t , t ) cov[ X (t ), X (t )]
E{[ X (t ) m(t )][ X (t ) m(t )]}
所以， {X n , n 1, 2, }是一个平稳随机序列。
注 在科学和工程中，例中的过程称为“白噪声”，它 是实际中最常用的噪声模型。
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例3
设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…} ，η是在[0，1]上服从均匀 分布的随机变量， 试讨论随机序列 X (t ) 的平稳性。
1
0 x 1
其它

注
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该例中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
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例4
设{ X n , n 1, 2, }是随机变量序列，E[ X k } 0, E[ X k X l ] 0(k l )，E[ X k X k ] E X k
k 1
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