平稳随机过程

平稳随机过程
⏹严格平稳随机过程
⏹广义平稳随机过程
⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程
1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。

1111(,,,,,)(,,,,,)
X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。

(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。

二维概率密度
只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。

12121212121221212
(,,,)(,,,)
(,,,0)(,,)
X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-
如果X (t )是严格平稳随机过程, 则
121212121212
(,)(,,,)()
X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞
-∞
==ττ=-⎰()()X X X
m t xp x dx m ∞
-∞==⎰22
2()()()X
X X X
t x m p x dx ∞
-∞σ=-=σ
⎰
100200300400500
-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise
0100200300400500
-4
-3
-2-101234Non-stationay Gaussian Noise
可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。

IID: Independent and Identical Distribution
即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。

121111
(,,...,,,...,)(,)(,)
()
N
X N N X i i i N
X i i i N
X i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布
利用独立性
与n 无关
例1：随机幅度信号
0()cos X t Y t
=ω0ω是常数
~(0,1)
Y N 判断X (t )是否严平稳。

2
001
1(,)exp 2cos 2cos X x p x t t t ⎡⎤
⎛⎫=-⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
ωπω由前一节的例题可知：
所以，X (t )不是严平稳的。

2.广义平稳(Wide-Sense Stationary, WSS)随机过程严格平稳
广义平稳
一定
不一定
随机相位信号是广义平稳随机过程
1212
(,)(),X X R t t R t t =ττ=-()X X
m t m =定义：
例2: 设随机过程定义为00()cos sin X t A t B t
=ω+ω其中ω0为常数，A 和B 是相互独立的随机变量,取-1的概率为2/3,取2的概率为1/3,判断该过程的平稳性? 解:
()()()E A E B ==-⨯+⨯=21
120
33
()()()E A E B ==-⨯+⨯=+=222
22124122
3333
A (B)-12P
2/3
1/3
()()()E AB E A E B ==0
()()()E A E B ==-⨯+⨯=-+=3
3
3
32128
122
3333
A (B)-12P
2/3
1/3
()[()]
[]cos []sin X m t E X t E A t E B t ==ω+ω=000
(,)[()()]
{[cos sin ][cos sin ]}[]cos cos []sin sin []cos sin []sin cos cos cos sin sin cos ()cos X R t t E X t X t E A t B t A t B t E A t t E B t t E AB t t E BA t t t t t t t t ==ω+ωω+ω=ωω+ωω+ωω+ωω=ωω+ωω=ω-=ωτ
τ1212010102022
2
01020102010201020102010201202222t t =-12
所以X (t )是广义平稳的
()
[()]{[cos sin ]}
[cos sin cos sin cos sin ]cos sin E X t E A t B t E A t B t A B t t B A t t t t =ω+ω=ω+ω+ωω+ωω=⋅ω+ω33
003
3
3
3
2
2
00002003
3
00332X (t ) 不是严格平稳的。